Conceito de limite de funções dos estudantes

O ensino do conceito de limite de funções, adotado nos primeiros anos de algumas universidades, tem priorizado às vezes os aspectos mecânicos na resolução de infinitas listas de exercícios semelhantes aos exemplos feitos em aula e explicados também de forma breve e superficial. Segundo Cornu (1991, p. 153), diferentes investigações realizadas mostram muito claramente que a maioria dos estudantes

não domina a ideia de limite, mesmo em um estágio mais avançado dos seus estudos. Isso não os impede de conseguirem resolver exercícios e problemas, e

assim conseguirem ter sucesso em seus exames, porque muitas vezes as provas trazem itens semelhantes aos trabalhados em aulas e em exercícios e que exigem apenas cálculos e procedimentos decorados e instrumentais (SKEMP, 1976).

Realizamos, em julho de 2015, uma entrevista (Apêndice H) com sujeitos selecionados da pesquisa. O nosso objetivo era descobrir, vários meses depois do término da pesquisa na turma deles, se eles compreenderam a noção de limite de funções ou qual imagem do conceito de limite que conseguiram formar. Os estudantes A1 e A13 cursaram a disciplina de Cálculo II, em 2015/1, e o estudante A19 ainda não cursou essa outra disciplina.

Em nossa investigação, optamos em não trabalhar com a definição de épsilon-delta de limite, que denominamos de definição formal. Optamos por uma definição intuitiva e dinâmica de limite. De maneira geral, utilizamos, em nossas aulas e em nossas explicações a seguinte notação para definir limite de função:

Suponha que f(x) seja definida quando x está próximo ao número a. Portanto, significa que f(x) é definida em algum intervalo aberto que contenha a, exceto, possivelmente, no próprio ponto a. Então, definimos:

L x f

a

x→ ( )=

lim e dizemos que o “limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L” se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximo de L quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a. (STEWART, 2013, p. 81).

Resumidamente, em outras palavras podemos dizer que lim_x→_a f(x)=L, significa: os

valores de f(x) tendem a ficar cada vez mais próximos do número L, à medida que x se aproxima de a, tanto pela direita, quanto pela esquerda de a, mas não necessariamente em x=a, ou seja, em x≠a. Não é necessário que f(x) esteja definida em x=a, mas a única coisa que importa é como f(x) está definida para valores próximos de a.

Nas entrevistas (Ver Anexo H) realizadas com os três estudantes foi possível observar outras informações, além das coletadas durante o 1º semestre de 2014, quando realizamos a pesquisa de campo. Entrevistamos A1 no dia 03/7/15, A19 no dia 05/7/15 e A13 no dia 08/7/15, com o objetivo de verificar se conseguiram internalizar uma imagem conceitual (TALL, VINNER, 1981) da noção intuitiva de limite. Propusemos, em nossa entrevista, para cada estudante, as seguintes perguntas:

a) O que é, para você, o limite de uma função?

b) O que significa a expressão lim_x→_a f(x)=L?

Acreditamos que essas duas perguntas se complementam para a construção do conceito de limite de função. Segundo Tall e Vinner (1981), geralmente, nesse processo de construção do conceito é dado um símbolo ou um nome que permite que ele seja comunicado, e isso auxilia na manipulação mental. Seguem as respostas desses estudantes e nossas interpretações.

Resposta do estudante A1:

Esse limite não tem que ser exatamente um valor. Para mim, quando x se aproxima de a, a função se aproxima de L.

Resposta do estudante A13:

Que o limite é um valor que chegaria próximo de a, mas não seria o valor de a. Então significa que, quando x se aproxima lateralmente de um valor a, o valor da função se aproxima de L.

Resposta do estudante A19

O limite de f(x), quando x tende a a, significa se você substituir x=a nessa função, você encontra L. Podemos fazer o valor de x se aproximar de a cada vez mais, e as imagens desses valores de x se aproximarão de L, tanto quanto você queira, só fazer o x se aproximar mais de a.

A partir da análise das respostas desses estudantes, vamos dividi-las em duas categorias. Os dois primeiros nos parecem trazer uma noção intuitiva de limite dentro do ponto de vista histórico, que seria a definição de D’Alembert (REZENDE, 1994, p.148), em que a variável é um conceito dinâmico que, em hipótese alguma, atinge o seu valor limite, “ela tende a esse valor” (grifo do autor). Levando em consideração que não fizeram nenhum tipo de consulta a livros e que eles não faziam nenhuma ideia do que iríamos perguntar, podemos ainda observar que traziam elementos de uma definição de limite de função. Embora nos parecesse ao escutar e ler o que disseram uma definição um pouco distorcida, mas com argumentos próximos da definição que utilizamos em sala de aula.

Na segunda categoria de resposta temos a fala de A19, cuja definição gostaríamos de destacar dois pontos que, de certo modo, são contraditórios. O primeiro, é que ela começa com uma definição de limite como algo operatório e bem instrumental (SKEMP, 1976), ou seja, o limite de uma função é só substituir o valor de x na função e calcular. Em contrapartida, ela traz na segunda parte de sua definição um detalhe, que nos chamou a atenção. Não podemos afirmar se esse insight (TALL, VINNER, 1981) na sua definição foi de maneira consciente ou inconsciente, quando ela define que o valor de x se aproxima a cada vez mais e as imagens desses

valores de x se aproximarem de L, tanto quanto você queira, só fazer o x se aproximar mais de a. Essa frase, que destacamos na definição do limite de uma

função da estudante A19, é exatamente a ideia intuitiva dos épsilons e deltas da definição formal de limite e pode ser que ela tenha iniciado a compreender este conceito intuitivo de limite.

Para nós, professores, esse tipo de resposta está nos mostrando que existe potencial de aprendizagem no diálogo com argumentos e contra-argumentos de professor e estudantes. Se nós soubermos aproveitar o potencial de nossos alunos

e criarmos situações em sala de aula, deixando que exponham e defendam mais suas ideias e conceitos aprendidos, ou ainda em construção, possibilidades concretas de aprendizagem e de esclarecimentos de dúvidas surgem ou podem surgir. Por que não arriscarmos dizer que é possível, sim, que eles construam uma imagem do conceito e a definição do conceito do limite de funções. Mas, aqui, colocamos, como desafios, a necessidade de planejarmos aulas, listas de exercícios e provas que envolvam tarefas operatórias e conceituais diferentes das que usamos na rotina das aulas de Cálculo I em cursos universitários de serviço. Nossa pesquisa de doutorado nos colocou este desafio e atualmente, em 2016, ministrando aulas de Cálculo I para estudantes repetentes no IFES, campus de Itapina estamos procurando ter essa postura diferenciada em nossas aulas.