Conceitos importantes na metodologia de blockmodel

A presente Seção apresenta os principais conceitos envolvidos na metodologia de blockmodel. Para maior clareza, as descrições podem ser complementas a Seção 3.3.3, em que a aplicação da metodologia é exemplificada, abordado os conceitos da presente Seção e da 3.3.2.

a) Matriz imagem e blocos

O principal elemento da aplicação do blockmodel é a representação resumida da rede, chamada matriz imagem. A matriz imagem pode ser pré-estipulada para aplicação do

blockmodel, ou resultado dele, dependendo da abordagem adotada (ver Seção 3.5.2).

Indiferentemente disso, a matriz imagem consiste em uma matriz em que as linhas e colunas correspondem aos clusters que compõe a rede (analogamente aos vértices em uma matriz de adjacências). Por sua vez, no interior da matriz imagem, cada combinação de linha e coluna contém informação sobre qual tipo de relação entre os vértices dos clusters, ou seja, quais os blocos que compõe a matriz. Essas informações são o número zero (ausência de ligação) e 1 (presença de ligação). Os principais tipos de blocos são:

o Nulo: não há ligação entre qualquer combinação de vértices, de modo que o bloco contém apenas zeros;

o Completo: existe ligação entre todas as combinações de vértices, então o bloco é composto de 1 em todas as células;

o Regular: existe ao menos uma ligação partindo de cada vértice na linha, e ao menos uma ligação chegando a cada vértice na coluna. Assim, existe ao menos um 1 em cada linha e em cada coluna. Portanto, um bloco completo é um caso particular de bloco regular.

b) Matriz de erros

Outro resultado da aplicação do blockmodel é a matriz de erros, que computa as exceções nas ligações existentes em cada bloco, ou seja, se um bloco é nulo e há uma ligação entre dois vértices nesse bloco, computa-se uma exceção, e assim por diante. Portanto, a matriz de erros de um blockmodel com 3 clusters possui 9 células.

c) Permutação de matrizes

A informação essencial em um uma rede é quais vértices são adjacentes (e eventualmente, qual a medida quantitativa dessa relação). Portanto, a atribuição de números

aos vértices do grafo é arbitraria, e, por extensão, a ordem das linhas e colunas na sua representação matricial. Assim, qualquer rearranjo de linhas, e, simultaneamente, de colunas, não altera as informações sobre adjacência dos vértices, e muitas vezes é útil para destacar os padrões de relacionamento na rede, como subgrupos de vértices que possuem ligações em comum com vértices de outro subgrupo.

Daí a ideia da permutação de vértices na matriz representativa de uma rede. Uma permutação é qualquer reordenamento dos vértices que preserve as ligações do formato original. Para uma matriz com g vértices, há g! = g x (g - 1) x (g - 2) x ... x 1 formas para se reordenar colunas e linhas simultaneamente (Wasserman e Faust, 1994, p. 155).25

d) Equivalência

Um dos fundamentos da metodologia de blockmodel é a ideia de equivalência, cuja especificação pode seguir conceitos diferentes. A literatura de análise de redes se consolidou em torno de dois conceitos de equivalência. O primeiro, proposto por Lorrain e White (1971) é de equivalência estrutural, em que dois agentes são equivalentes se estiverem ligados aos demais agentes da rede de modo idêntico.

Assim, dois vértices A e B são equivalentes estruturais se as ligações de entrada e de saída (ou simplesmente ligações, no caso de rede não direcional) de A são idênticas às de B. Do ponto de vista formal, a equivalência estrutural se refere à semelhança entre linhas e colunas dos vértices na matriz de adjacência. Por isso, vértices equivalentes estruturais possuem linhas e colunas idênticas, com exceção das células na diagonal principal. Também possuem o mesmo grau e pertencem aos mesmos cliques. Dessa maneira, dois vértices equivalentes estruturais podem ser trocados sem alterar a estrutura da rede, ou seja, somente podem ser distinguidos pelos nomes.

O conceito de equivalência estrutural é bastante estrito, por isso as tentativas de propor um conceito mais abrangente de equivalência. Um elemento comum nessas formulações foi a ideia de que agentes tem algum tipo de equivalência quando são equivalentes na forma como se relacionam com outros entres (Wasserman e Faust, 1994, p. 173).

O conceito de equivalência com essa característica mais frequentemente usado na análise de redes é a equivalência regular, introduzida por White e Reitz (1983), compatível

25 _{O objetivo da permutação matricial é concentrar as “ligações” na região ao redor da diagonal principal, de forma que os}

vértices com ligações entre si ficarão próximos nas linhas e colunas. Embora os detalhes dos procedimentos de permutação matricial não sejam relevantes nesse trabalho, vale destacar que os algoritmos dos softwares de análise de redes procuram minimizar a extensão em que as ligações mais relevantes ficam afastadas da região da diagonal principal (Wasserman e Faust, 1994, p. 155).

com fenômeno de dois indivíduos que exercem igual função em uma estrutura, mas não necessariamente estão ligados aos mesmos indivíduos.

A equivalência regular existe quando dois vértices (A e B) não necessariamente possuem ligações com os mesmos vértices (A1 e A2 e B1 e B2, respectivamente), mas estão

conectados à vértices com posicionamento equivalente (pertencem à mesma classe). A equivalência estrutural é, portanto, um caso particular de equivalência regular. A equivalência estrutural está para a igualdade assim como a equivalência regular está para a analogia.

Fonte: Newman (2010, p. 212).

e) Partição da rede e tabulação cruzada

Uma partição de uma rede é uma forma de atribuição dos vértices em clusters. Em comparação com a análise da rede na forma original, a partição pode facilitar a compreensão sobre os padrões de ligação e estrutura geral da rede (Newman, 2010, p. 355). Dessa maneira, a partição é uma fase do processo de geração do blockmodel.

Dois conceitos podem ser aplicados no estabelecimento da partição de uma rede: partição de grafos e detecção de grupos (community detection). No primeiro caso, trata-se de dividir os vértices de uma rede em um número determinado de clusters com quantidade determinada de vértices, de forma a minimizar o número de ligações entre vértices de distintos clusters. A detecção de grupos também visa maximizar as conexões dentro de cada

cluster e minimizar aquelas entre clusters, com a distinção de que o número e tamanho dos clusters não são pré-determinado pelo analista (Newman, 2010, p. 357).

Existe uma série de algoritmos para execução desses métodos de formação de

clusters. Entre os principais, para partição de grafos há o algoritmo de Kernighan-Lin e

partição espectral (Spectral Partitioning), enquanto a detecção de grupos pode usar algoritmos baseados em centralidade, algoritmos análogos ao de Kernighan-Lin e partição

Figura 8. Equivalência estrutural e equivalência regular

Equivalência estrutural entre os vértices i e j

Equivalência regular entre os vértices i e j

espectral usados para partição de grafos, além de uma série de algoritmos de clusterização hierárquica (hierarchical clustering) (Newman, 2010, p. 357/391).

f) Similaridade de partições

O nível de similaridade entre duas partições para uma mesma rede pode ser indicado por diversos índices. O Pajek calcula dois tipos: Cramers´V e o Índice de Informação de Rajski. O primeiro índice sofre problema de confiabilidade no caso da tabulação cruzada dessas partições conterem muitas células vazias (de Nooy et al, 2005, p.50). Como esse é justamente o caso das redes avaliadas, especialmente as de propriedade acionária, a análise da dissimilaridade entre distintas partições avaliadas para cada rede é calcada no Índice de Informação de Rajski.

Dadas duas partições, ou seja, duas composições distintas de clusters de uma rede, o Índice de Informação de Rajski (IIR) indica o nível de similaridade entre essas partições (na terminologia do Pajek: �_� � �_� ). Seu conceito é a relação entre o conteúdo informacional mútuo entre as duas partições e o conteúdo informacional conjunto dessas duas partições. Em termos matemáticos, conforme definido por Sneath e Sokal (1973, p. 142), tem-se:

��� = ����; �� ⁄ ���, ���

Admitindo uma rede e duas partições (A e B), cuja tabulação cruzada é representada abaixo. No presente caso, a quantidade de clusters das partições é diferente, mas o Índice de Informação de Rajski também pode ser calculado para duas partições com a mesma quantidade de clusters:

Tabela 2. Tabulação cruzada das partições A e B de uma rede

Clusters b1 b2 Total

a1 n11 n12 Σ (n11; n12)

a2 n21 n22 Σ (n21; n22)

a3 n31 n32 Σ (n31; n32)

Total Σ (n11; n21; _n31) Σ (n12; n22; _n32) Σ (n11; n21; n31; _{n12; n22; n32)} Fonte: elaboração própria com base em Sneath e Sokal (1973, p. 142).

���; �� : conteúdo informacional mútuo entre as duas partições ���; �� � ���� � ���� � ���, ��

���� : conteúdo informacional da partição B Na forma literal:

���� = ���� � �� � ���ln��� �����ln���� ���� ����ln���� ����� �

���

Os valores de �_�� correspondem à frequência marginal dos valores das duas partições, ou seja, a soma dos valores contidos na tabulação cruzada, tanto no sentido das linhas como das colunas, e o valor ��_�é o total dos valores da tabulação cruzada (igual a soma dos totais no sentido das linhas ou colunas). Em termos da tabulação cruzada acima, tem-se:

���� � �� ��11; �21; �31; �12; �22; �32��ln�� ��11; �21; �31; �12; �22; �32�� � �� ��11; �12��ln�� ��11; �12�� � �� ��21; �22��ln�� ��21; �22�� � �� ��31; �32��ln�� ��31; �32�� ���� � �� ��11; �21; �31; �12; �22; �32��ln�� ��11; �21; �31; �12; �22; �32�� � �� ��11; �21; �31��ln����11; �21; �31�� � �� ��12; �22; �32��ln�� ��12; �22; �32��

���, �� : conteúdo informacional conjunto dessas duas partições ���, �� � �� ��11; �21; �31; �12; �22; �32��ln�� ��11; �21; �31; �12; �22; �32��

� �� ��11��ln����11�� � �� ��12��ln����12�� � �� ��21��ln����21�� � �� ��22��ln����22�� � �� ��31��ln����31�� � �� ��32��ln����32��

O Índice de Informação de Rajski será maior conforme os seguintes comportamento das funções:

���+ = ��+��; �� ⁄ �_��, ���, logo, = � �+��� � �+���– �_��, ��� ⁄ �_��, ��

Dada a função x ln(x) presente no algoritmo, cujo valor cresce exponencialmente com o aumento linear de x, o Índice de Informação de Rajski será mais alto quanto maior a quantidade de informações em menos células da tabulação cruzada. Isto é, será maximizado quando, para um dado valor x correspondente ao cluster 1 da partição A, algum cluster da partição B tenha valor o mais próximo possível de x, e assim por diante com os demais

O Índice de Informação de Rajski será igual a 1 se e somente se a tabulação cruzada (eventualmente mediante permutação dos clusters) tiver a diagonal principal com valores positivos, e todas as demais posições iguais à zero.