A palavra trigonometria é constituída pelos termos trigono que faz referência ao triângulo e metria que está associada à ideia de medir. Por isso, diz-se que a tri- gonometria é a parte da Matemática que analisa as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo. Entretanto, essa definição tem-se tornado mui- to limitada para as diversas aplicações que, historicamente, foram dadas a esse campo da Matemática.
A origem da trigonometria é considerada como incerta (EVES, 2004); porém, sabe-se que ela nasceu com a busca de caminhos matemáticos que fossem capa- zes de explicar fenômenos relativos à astronomia, à agrimensura e à navegação, o que, provavelmente, ocorreu entre os séculos IV ou V a. C., com os egípcios e babi- lônios.
No papiro Rhind11, existem alguns problemas que tratam da cotangente de um ângulo diedro da base de uma pirâmide. Também, a tábula cuneiforme babilôni- ca Plimpton 32212 apresenta uma tábua de secantes.
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O papiro Rhind (ou Ahmes, como também é conhecido) deve ter sido produzido por volta de 1 650 a. C e trata de um texto matemático na forma de manual prático com 85 problemas escritos em hierá- tica pelo escriba Ahmes e é uma das principais fontes de informações referente à Matemática egípcia antiga (EVES, 2004).
Figura 2 - Papiro Rhind
Fonte: Disponível em http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm. Acesso em 21/09/2016.
Figura 3 - Tábula cuneiforme babilônia Plimpton 322
Fonte: Disponível em http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/ternos-pitagricos_16.html. Acesso em 21/09/2016.
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Trata-se da tábula da coleção G. A. Plimpton da Universidade de Colúmbia, catalogada sob o nú- mero 322. A tábula foi escrita entre 1 900 e 1 600 a. C e é considerada uma das mais importantes tábulas matemáticas babilônias.
Tais registros históricos têm indicado que os astrônomos babilônicos dos sé- culos VI e V a. C. desenvolveram muitos conhecimentos sobre a trigonometria e a- credita-se que parte significativa dessas descobertas chegaram aos gregos, que também realizaram aplicações importantes nessa área, como os estudos envolven- do as relações entre ângulos - ou arcos - de uma circunferência e os comprimentos das suas cordas (EVES, 2004). O grego Aristarco de Samos (310 – 230 a. C.), por exemplo, apresentou um método geométrico para investigar a razão entre as distân- cias da Terra ao Sol e da Terra à Lua.
Atribui-se ao grego Hiparco de Niceia, astrônomo que viveu por volta de 140 a. C., elevada importância no desenvolvimento desse campo. Para Eves (2004, p. 203) “as realizações de Hiparco na astronomia são menos importantes que o papel que ele teve no desenvolvimento da trigonometria.” Atribui-se a ele um tratado em 12 livros que se ocupa de apresentar uma tábua de cordas, considerada como a primeira tabela trigonométrica. Por isso, Hiparco é apontado como o “pai da trigono- metria”.
Na época, a trigonometria baseava-se no estudo da relação entre um arco ar- bitrário e sua corda. Outorga-se, também, a Hiparco, ou talvez a Hipsicles (que viveu por volta de 180 a. C.), a divulgação na Grécia da divisão do círculo em 360 partes (cada parte correspondendo a um grau).
As ideias de seno e cosseno têm origem na Astronomia, e o conceito de tan- gente nasce da necessidade de calcular alturas e medidas inacessíveis. O termo seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Já a palavra cos- seno, que surgiu no século XVII, faz referência ao seno de um ângulo complementar (co-seno).
O termo empregado para se referir a função tangente – função sombra – tem origem no cálculo de medidas inacessíveis por meio de uma associação com a sombra projetada por uma vara, por exemplo. Com a movimentação do sol, tinha-se uma variação no ângulo que os raios solares formavam com a vara, mas que permi- tiam razão constante entre a medida da vara e a medida da sua sombra, possibili- tando o cálculo de medidas inacessíveis, razão, hoje conhecida como tangente.
Embora a trigonometria tenha tido a sua origem marcada pelo estudo das re- lações entre as medidas dos lados e dos ângulos do triângulo, atualmente, ela não está limitada apenas ao estudo do triângulo, isto é, possui aplicações em diversos campos da Matemática e também em muitas outras áreas. Na Educação Básica, os primeiros conceitos trigonométricos são apresentados aos estudantes, geralmente, no 9º ano do Ensino Fundamental.
Diante disso, optamos por vivenciar a nossa proposta de ensino com estudan- tes cegos do Ensino Médio, dado que o nosso objetivo é compreender os efeitos do modo como a escola tem percebido a inclusão, em Matemática, destes estudantes, particularmente, em relação aos conceitos relativos às razões trigonométricas. Na seção seguinte, apresentaremos os principais conceitos relativos às razões trigono- métricas: tangente, seno e cosseno.
3.5 Razões trigonométricas: tangente, seno e cosseno
A compreensão das funções trigonométricas requer do estudante o entendi- mento do significado da razão trigonométrica relativa a cada função, isto é, apreen- der como se comporta a função tangente exige que, previamente, o estudante co- nheça a razão tangente e a sua natureza. A propósito de melhor situar o leitor, indi- camos a seguir a definição relativa a cada uma dessas razões trigonométricas: tan- gente, seno, cosseno.
Considere o ângulo de origem O, indicado a seguir:
Figura 4 - Representação do ângulo α de lados e
Traçando alguns segmentos de retas perpendiculares à semirreta , obte- mos:
Figura 5 - Representação de segmentos de retas perpendiculares à semirreta
Fonte: Produção do autor.
A partir do ponto O, é possível verificar que as razões são constantes. Essa constante é chamada de tangente do ângulo .
Os lados de um triângulo retângulo - que é aquele que possui um ângulo reto - recebem nomes especiais: catetos e hipotenusa. Catetos são os lados, que for- mam o ângulo reto, e hipotenusa é o nome dado ao lado oposto ao ângulo reto. Os catetos podem ser classificados como adjacente ou oposto, conforme a posição que ocupam em relação a um dos ângulos agudos considerados. No caso do ângulo (Figura 5), o lado que está junto desse ângulo ( é chamado cateto adjacente ( , da mesma forma que o lado oposto ao ângulo é denominado de cateto oposto ( , .
Diante do exposto, conclui-se que, no triângulo retângulo, define-se como tangente de um ângulo agudo a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.
Do mesmo modo, a partir do ponto O, percebe-se que as razões
, também são constantes. Nesse caso, diz-se que é a razão seno do ân-
a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo conside- rado.
Finalmente, constata-se também que as razões são cons- tantes. A constante é denominada de cosseno do ângulo . No triângulo retân- gulo, define-se como cosseno de um ângulo agudo a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.
No três casos, as constantes , resultam de relações estabelecidas en- tre medidas homólogas de triângulos semelhantes - o que nos permite obter as razões tangente, seno e cosseno, respectivamente, para o ân- gulo
As razões tangente, seno e cosseno, tais como apresentadas, estão definidas para ângulos com medidas entre 0º e 90º e a sua validade pode ser verificada a par- tir das propriedades da semelhança de triângulos. Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, as medidas dos lados homólogos são proporcionais e se os ângu- los correspondentes são congruentes. Na Figura 6, a seguir, apresentamos um e- xemplo que ilustra o que estamos tratando:
Figura 6 - Exemplo de triângulos semelhantes ( ABC
Fonte: Produção do autor.
Se e então, os triângulos ABC e MNP são semelhantes. Nos casos em que a constante é igual a 1, dizemos que os triângulos em análise são congruentes. A congruência entre triângulos ou outras fi-
guras planas, pode ser facilmente verificada quando a situação permite a sobreposi- ção das figuras. É o caso, por exemplo, quando se emprega materiais concretos pa- ra a representação de triângulos ou de outras figuras planas.
4. SUPORTES TEÓRICO-METODOLÓGICOS DA PESQUISA
Neste capítulo, tratamos de forma mais detalhada da Teoria das Representa- ções Sociais (TRS) e da Teoria dos Campos Conceituais (TCC), teorias recrutadas para a análise da questão de pesquisa que estamos propondo. A TRS irá nos auxili- ar na apreensão das representações sociais de aprendizagem de pessoas com defi- ciência por estudantes e por professores. A TCC, por sua vez, irá permitir a elabora- ção de uma proposta de ensino direcionada à aprendizagem dos conceitos de ra- zões trigonométricas.
Além disso, em última análise, a Teoria dos Campos Conceituais viabiliza também o acesso à zona implícita do processo de aprendizagem, dando luz aos e- lementos que podem estimular o desenvolvimento dos conceitos em pauta pelo es- tudante com deficiência visual.