Conclusões e contribuições

A seguir, apresentam-se conclusões e contribuições relativas a quatro tópicos centrais abordados nesse trabalho:

 Abordagem tensorial aplicada à representação de cumulantes.

No Capítulo 3, apresentou-se uma abordagem tensorial aplicada à representação de cumulantes. Estabeleceu-se, do ponto de vista conceitual, o papel de cumulantes como ferramentas úteis em processamento estatístico de sinais. Além disso, obtiveram-se representações matriciais consistentes de estatísticas de ordem superior. Ao longo do capítulo, enfatizou-se a conveniência que a representação tensorial traz à abordagem de cumulantes de ordem superior. Embora tensores sejam ferramentas matemáticas capazes de capturar a essência das transformações multilineares (LANDSBERG, 2012), como é o caso dos cumulantes, ainda há muitos problemas teóricos em aberto acerca de decomposições tensoriais, sua existência e unicidade (COMON et al., 2008; COMON, 2014). Sendo assim, a aplicação direta de tensores em processamento de sinais baseado em cumulantes, além de continuar sendo estudada (FERNANDES; FAVIER; MOTA, 2008; FERNANDES; COMON; FAVIER, 2010), ainda inspira cuidados e possui limitações (VAN EEGHEM; SØRENSEN; DE LATHAUWER, 2017; VAN EEGHEM et al., 2018). Apesar disso, o uso da representação tensorial é extremamente útil à compreensão de propriedades algébricas de cumulantes, bem como à obtenção de representações simplificadas e convenientes do ponto de vista prático.

Contribuições: Por meio dessa abordagem, evidenciou-se como e por que o uso de

tensores permite obter representações matriciais para cumulantes de ordem superior. Ao tratar dos casos de ordens dois e três antes de ordem quatro, explicitou-se como os conceitos teóricos podem ser generalizados. Com base na representação tensorial, obteve-se um funcional linear equivalente e, posteriormente, a representação matricial foi obtida de maneira natural. Em particular, destacou-se que a obtenção da matriz de quadricovariância a partir do tensor de cumulantes de ordem quatro não é direta. De acordo com o esquema resumido apresentado na Figura 3, foram necessários passos adicionais envolvendo a definição de um operador linear associado e a consideração das matrizes pertencentes a seu espaço imagem. A utilização das representações matriciais em problemas cuja abordagem requer estatísticas de ordem superior foi motivada a partir da consideração da diagonalização dessas representações. Destacou-se a dificuldade teórica existente no problema de diagonalização do tensor de cumulantes e abordou-se a relação dessa diagonalização com a imposição de não correlação em ordem superior.

 Formulação do problema de BSS e interpretação das condições de sepa- rabilidade das fontes.

No Capítulo 4, o problema de BSS foi inicialmente apresentado de forma geral e posteriormente particularizado para o modelo de sistema misturador linear e instantâneo. Embora não se trate de um modelo realista em alguns casos práticos, acredita-se que a compreensão do problema de separação de fontes a partir desse modelo é um ponto inicial fundamental para o entendimento aprofundado de modelos mais elaborados e de soluções avançadas (CARDOSO, 1998). A hipótese de fontes iid, em conjunto com o modelo de sistema misturador linear e instantâneo, facilita a formulação do problema de separação. Abordou-se a hipótese de independência espacial mútua das fontes, de modo a viabilizar algum procedimento de separação cega. De fato, em sistemas físicos, muitas vezes essa hipótese é razoável para as fontes que se deseja separar. No entanto, ela não precisa ser exatamente verdadeira na prática para ser considerada e permitir a separação adequada das fontes (HYVÄRINEN; OJA, 2000; COMON; JUTTEN, 2010). Um resumo dos diferentes modelos para sistemas misturadores e fontes, apresentado na Tabela 1, permitiu sedimentar os conceitos teóricos e conhecimentos empregados ao longo do capítulo.

No Capítulo 5, os limites teóricos e os princípios de funcionamento de soluções de separação por imposição de independência, esclarecidos por Comon (1994) graças ao teorema de Darmois–Skitovich (DARMOIS, 1953), foram revisitados. Esse teorema estabelece a relação muito pouco evidente entre independência estatística e não gaus- sianidade de variáveis aleatórias. Até a atualidade, o teorema de Darmois–Skitovich é assunto de pesquisa em processamento de sinais e estatística (THEIS, 2004; MAZUR,

8.1. Conclusões e contribuições 193

2013). Em separação cega de fontes, esse teorema já foi estendido de diferentes formas visando a sua posterior aplicação à obtenção de condições de separabilidade em problemas envolvendo fontes complexas (ERIKSSON; KOIVUNEN, 2006) ou tipos particulares de misturas não lineares (TALEB; JUTTEN, 1999; ERIKSSON; KOIVUNEN, 2002; JUTTEN; BABAIE-ZADEH; HOSSEINI, 2004; ERIKSSON; KOIVUNEN, 2005), por exemplo.

A obtenção de condições de separabilidade para fontes iid e mutuamente indepen- dentes no espaço, a partir do teorema de separabilidade das fontes, inspirou uma ramificação no conjunto de técnicas de separação cega de fontes para misturas lineares e instantâneas. Basicamente, houve uma subdivisão em duas vertentes: (i) separação de fontes iid, independentes e não gaussianas, e (ii) separação de fontes não iid, independentes e gaussianas. Neste trabalho, enfoque foi dado ao primeiro caso.

Contribuições: Na formulação do problema de BSS, ressaltou-se a relevância do

modelo de mistura considerado. Enfatizou-se a influência do modelo adotado nos métodos considerados para resolução do problema inverso. Interpretou-se e revisitou- se o teorema de separabilidade das fontes com base no teorema de Darmois–Skitovich aplicado ao contexto de separação por imposição de independência. Apesar de envolver conceitos teóricos relativamente avançados, a compreensão do teorema de separabilidade é essencial à obtenção de soluções e métodos de BSS por imposição de independência.

 Interpretação da completude da representação matricial de cumulantes no contexto de BSS.

No Capítulo 6, vislumbrando-se o entendimento de técnicas de análise de componentes independentes (ICA) propostas na literatura, abordaram-se os princípios da separa- ção cega de fontes via imposição de independência. Em particular, abordaram-se métodos de separação baseados em propriedades algébricas de cumulantes. Trata-se de fundamentos clássicos na literatura de BSS (CARDOSO; SOULOUMIAC, 1993; CARDOSO, 1999; DE LATHAUWER, 1997), mas que nesse capítulo foram revisita- dos e reinterpretados com base no arcabouço teórico considerado nos Capítulos 2, 3 e 5. Embora o assunto geral do capítulo já tenha sido abordado na literatura de BSS, ele reserva questões teóricas e interpretações a serem ainda consideradas e revisitadas. De fato, tanto extensões — e.g., para dados tensoriais ou misturas convolutivas — quanto particularizações dos métodos considerados nesse capítulo continuam atraindo interesse científico; veja, por exemplo, os trabalhos de Miettinen et al. (2013), Miettinen et al. (2015), Maurandi e Moreau (2017), Van Eeghem, Sørensen e De Lathauwer (2017), Virta et al. (2018), Van Eeghem et al. (2018). Atenção especial foi dada à completude da representação matricial utilizada na descrição das estatísticas de ordem quatro das misturas branqueadas. Em particular,

interpretou-se a identificabilidade da matriz ortogonal de mistura como uma decor- rência, na aplicação particular de separação cega, da completude da representação matricial dos cumulantes de ordem quatro abordada inicialmente no Capítulo 3. Com base no trabalho de Cardoso (1999), inicialmente mostrou-se como as condições de identificabilidade podem ser ampliadas a partir da diagonalização simultânea das automatrizes do operador de quadricovariância. Posteriormente, após uma exposição algébrica sobre espaços vetoriais relacionados a esse operador, foi possível demonstrar que outras matrizes de pesos podem ser consideradas para compor um conjunto de matrizes de quadricovariância completo, i.e., que mantenha as condições mais amplas de identificabilidade.

Contribuições: A partir da aplicação das representações matriciais de cumulantes

ao problema de BSS, foi possível evidenciar a influência que a questão genérica da completude da representação matricial possui no problema particular de separação. Ressaltou-se que a completude se manifesta, na aplicação de BSS, por meio de condições de identificabilidade da matriz ortogonal de mistura. Destaca-se que as Subseções 6.6.2 e 6.6.3, e em particular a Proposição 6.7 e sua demonstração, são contribuições originais desse trabalho. Trata-se de uma formalização e, até certo ponto, extensão dos comentários feitos por Cardoso e Souloumiac (1993), Cardoso (1999) sobre a escolha de matrizes de pesos alternativas que garantam a completude da representação matricial. De fato, os conceitos teóricos necessários à compreensão dos métodos algébricos de separação podem parecer complicados e pouco acessíveis, o que pode desencorajar a sua utilização. No entanto, acredita-se que a exposição feita nesse capítulo, bem como as interpretações e relações apresentadas, facilitem a aplicação desses métodos a problemas de estimação cega que eventualmente ainda não tenham sido abordados dessa forma.

 Relação entre a completude da representação matricial e critérios de separação baseados em independência.

No Capítulo 7, foram abordados critérios clássicos de separação por independência e suas relações. Com isso, buscou-se complementar, sob um ponto de vista de otimiza- ção, a interpretação dos métodos algébricos de separação considerados no Capítulo 6. Inicialmente, foram apresentadas definições usuais de contrastes, enfatizando-se que a validade de um contraste está atrelada à distribuição das fontes independentes. Em seguida, os contrastes entrópicos baseados em independência foram revisitados. As relações entre esses contrastes foram abordadas seguindo o caminho esquematizado de maneira sintética na Figura 25. Revisitaram-se, também, versões aproximadas dos contrastes entrópicos baseadas em cumulantes. A partir do esquema resumido apresentado na Figura 26, foi possível não apenas destacar as relações entre os con- trastes aproximados e suas versões entrópicas, mas também explicitar os diferentes