Ca,4 ∈ RN ×N ×N ×N e seja o vetor aleatório dado por b = Ga com G ∈ RN ×N. O tensor de cumulantes de ordem quatro de b, denotado por Cb,4 ∈ RN ×N ×N ×N, pode ser expresso elemento a elemento como
[Cb,4]i,j,k,`= N X p=1 N X q=1 N X r=1 N X s=1 [Ca,3]p,q,r,sgi,pgj,qgk,rg`,s (3.44)
para i, j, k, ` = 1, 2, . . . , N , em que gi,j = [G]i,j.
Demonstração. Resulta da propriedade de multilinearidade dos cumulantes conforme a
Proposição 2.5-(i); (3.44) pode ser compreendida como uma extensão de (3.23) para o caso de ordem quatro.
Quanto à proposição apresentada, destaca-se que:
A expressão (3.44) pode ser colocada de maneira tensorial. Denotando-se por gp ∈ RN
a p-ésima coluna de G para p = 1, 2, . . . , N , tem-se
Cb,4 = N X p=1 N X q=1 N X r=1 N X s=1 [Ca,4]p,q,r,sgp ◦ gq◦ gr◦ gs. (3.45)
Agora, considera-se a obtenção de uma transformação linear que permita tornar não correlacionados, em ordem quatro, os elementos de um determinado vetor aleatório. Em outras palavras, supondo quea é um vetor aleatório de elementos quaisquer com tensor de
cumulantesCa,4 ∈ RN ×N ×N ×N, deseja-se obterG∈ RN ×N tal que os elementos de b = Ga
sejam não correlacionados em ordem quatro. Nesse caso, tem-se que Cb,4 ∈ RN ×N ×N ×N
será um tensor diagonal dado elemento a elemento por
[Cb,4]i,j,k,` = Cbi,4δi,j,k,` (3.46)
para i, j, k, ` = 1, 2, . . . , N , em que δi,j,k,` é igual a um se i = j = k = ` e igual a zero caso
contrário (MCCULLAGH, 2018). Na diagonal principal desse tensor ficam os autocumulan- tes de ordem quatro dos elementos de b. Substituindo-se (3.46) na representação de (3.32),
o tensor diagonal de ordem quatroCb,4 pode ser expresso de maneira simplificada como Cb,4= N X i=1 Cbi,4e ◦4 i . (3.47)
3.5. Conclusões 85
Analogamente aos casos de ordem dois e três, a obtenção de b = Ga com elementos
não correlacionados em ordem quatro está condicionada à existência de G tal que, na
expressão (3.45), o tensor de cumulantes Cb,4 resulte diagonal. Se essa matriz existir, ela
poderá ser obtida a partir de uma diagonalização do tensorCa,4, que, em geral, é um tensor
cheio. Como Ca,4 é um tensor simétrico, deseja-se obter a sua decomposição conforme
Ca,4= N
X
i=1
λig◦4i , (3.48)
em que λi ∈ R para i = 1, 2, . . . , N e G = [ g1 g2 · · · gN] ∈ RN ×N possui posto
completo. Se essa decomposição existir, a escolha de G = G−1 garantirá a não correlação em ordem quatro dos elementos de b. Porém, assim como para ordem três, em ordem
quatro a existência dessa decomposição é apenas garantida para N = 2 (COMON et al., 2008). Para N > 2, como não há resultado teórico que garanta a existência da decomposição (COMON et al., 2008). Além disso, não há como garantir, em geral, a unicidade de decomposições de tensores como (3.48), mesmo que elas existam (COMON et al., 2008).
As dificuldades existentes para obtenção da transformação de diagonalização de um tensor de ordem quatro para N > 2, em relação à existência da decomposição e à sua unicidade, motivam a consideração de uma representação matricial equivalente para esses tensores (CARDOSO, 1990; CARDOSO; SOULOUMIAC, 1993). Recorda-se que, na Subseção 3.3.3, foi obtida uma representação matricial para cumulantes de ordem três, denominada matriz de tricovariância.
3.5 Conclusões
Nesse capítulo, os conceitos necessários à abordagem algébrica de cumulantes de ordem superior foram gradativamente introduzidos. Até aqui, decidiu-se por não se voltar a uma aplicação específica em virtude das inúmeras possibilidades de aplicações de tensores e estatísticas de ordem superior em processamento estatístico de sinais (MENDEL, 1991; NIKIAS; PETROPULU, 1993; COMON, 2014). Acredita-se que o tratamento dado ao assunto nesse capítulo auxilia, também, a consideração de tensores em contextos que não envolvam, necessariamente, cumulantes. Por exemplo, tensores de dados e suas decomposi- ções têm atraído interesse das comunidades de processamento de sinais e aprendizado de máquina por se mostrarem úteis na resolução de diversos problemas (CICHOCKI et al., 2015; SIDIROPOULOS et al., 2017).
Ao longo do capítulo, enfatizou-se a conveniência que a representação tensorial traz à abordagem de cumulantes de ordem superior. Embora tensores sejam ferramentas mate- máticas capazes de capturar a essência das transformações multilineares (LANDSBERG, 2012), como é o caso dos cumulantes, ainda há muitos problemas teóricos em aberto acerca
de decomposições tensoriais, sua existência e unicidade (COMON et al., 2008; COMON, 2014). Sendo assim, a aplicação direta de tensores a problemas práticos de processamento de sinais baseados em cumulantes ainda inspira cuidados e possui limitações. No entanto, a representação tensorial é extremamente útil à compreensão de propriedades algébricas de cumulantes e à obtenção de representações simplificadas convenientes. Representações matriciais para cumulantes (CARDOSO, 1990), por exemplo, além de contarem com tratamento algébrico relativamente mais simples, dispõem de teoria já conhecida no campo da álgebra linear (HOFFMAN; KUNZE, 1971).
Na Seção 3.2, abordaram-se representações para cumulantes de ordem dois. A matriz de covariância foi relacionada a uma representação equivalente por meio de funcional linear. Além disso, abordou-se a regra de transformação que a matriz de covariância satisfaz sob mudanças de base. Essa regra, amplamente utilizada em aplicações de cumulantes de ordem dois, é um dos princípios fundamentais das técnicas de análise de componentes principais (PCA) abordadas no Apêndice B.
Na Seção 3.3, os conceitos abordados para ordem dois foram estendidos para cumulantes de ordem três. O tensor de cumulantes de ordem três foi apresentado como uma extensão da matriz de covariância e também foi representado, de maneira equivalente, como um funcional linear. Por meio da representação por funcional, foi possível obter uma represen- tação matricial para cumulantes de ordem três: a matriz de tricovariância. Em seguida, abordou-se a diagonalização do tensor de cumulantes de ordem três e destacaram-se as dificuldades teóricas que passam a existir quando se lida com tensores de ordem maior do que dois. Essas dificuldades motivam a consideração de representações matriciais para estatísticas de ordem três, como a matriz de tricovariância, em aplicações de processamento estatístico de sinais.
Na Seção 3.4, o caminho percorrido para ordem três foi estendido para o caso de cumulantes de ordem quatro. Em aplicações de processamento estatístico de sinais, esses cumulantes apresentam mais relevância e utilidade do que os de ordem três (LACOUME; AMBLARD; COMON, 1997). A extensão feita, porém, não é direta: a obtenção da represen- tação matricial para cumulantes de ordem quatro, denominada matriz de quadricovariância, requereu interpretações adicionais.
Na Figura 3 é apresentado um esquema simplificado do caminho percorrido na ob- tenção da representação matricial. Primeiramente, introduziu-se a representação usual de cumulantes de ordem quatro, que consiste em um tensor. Nele está contemplada toda a descrição estatística de ordem quatro de um vetor aleatório. A partir do tensor e do conceito de espaço dual da álgebra linear (HOFFMAN; KUNZE, 1971), obteve-se uma representação por meio de funcional linear. Ambas as representações são equivalentes, pois há um mapeamento bijetor (i.e., isomorfismo) entre elas. Em seguida, com base na expressão do funcional linear, definiu-se uma terceira representação para os cumulantes de ordem quatro — denominada operador de quadricovariância. Esse operador consiste em
3.5. Conclusões 87
um mapeamento que leva uma matriz de pesos a uma matriz de cumulantes de ordem quatro denominada matriz de quadricovariância. O espaço vetorial de todos os operado- res de quadricovariância possui a mesma dimensão que o espaço de funcionais lineares. Logo, o operador de quadricovariância também contempla toda a descrição estatística presente no tensor de cumulantes. Porém, ao fixar a matriz de pesos e considerar apenas uma matriz do espaço imagem desse operador, passa-se a uma representação que não necessariamente mantém toda a informação sobre as estatísticas. Isso motivou abordar, de maneira preliminar, a questão da completude da representação matricial. Basicamente, essa questão consiste em saber se uma determinada matriz de quadricovariância permite descrever completamente as estatísticas de ordem quatro de um vetor aleatório necessárias à resolução de um problema. Evidentemente, a resposta depende da aplicação considerada. No Capítulo 6, a questão da completude é revisitada no contexto do problema de separação cega de fontes.
Tensor de cumulantes de ordem quatro Ca,4∈ RN×N×N×N
Funcional linear de cumulantes de ordem quatro
fa,4: RN×N×N×N→ R Operador de quadricovariância Qa: RN×N → RN×N Matriz de quadricovariância Qa(V ) ∈ imagem de Qa isomorfismo (espaço dual) isomorfismo representação particular matriz de pesos fixa completude da
representação matricial
influência da aplicação
Figura 3 – Esquema simplificado do caminho percorrido na Seção 3.4 para a obtenção de uma representação matricial para cumulantes de ordem quatro.
Fonte: autoria própria.
Por meio desse capítulo, foi possível evidenciar que o uso de tensores permite obter representações matriciais para cumulantes de ordem superior análogas à matriz de cova- riância para o caso de ordem dois. No Capítulo 6, verifica-se como a representação por matriz de quadricovariância permite abordar o problema de separação cega de fontes e obter soluções. Antes, porém, apresenta-se uma formulação detalhada desse problema no capítulo a seguir.
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