Condições de contorno de montante e de jusante

O modelo computacional construído foi baseado na análise do transitório hidráulico ocorrido em uma estação de bombeamento no momento de parada de uma bomba. Dessa maneira, a condição de montante refere-se à variação de vazão e carga de pressão na saída de uma bomba dotada com válvula de retenção. Já a condição de jusante refere-se à chegada da tubulação em um reservatório, podendo a entrada estar afogada ou não.

3.3.4.1 Condição de Montante

Para a simulação do sistema com bombeamento, deve-se conhecer a curva de pressão em função da vazão bombeada, sendo que estes valores compõem as condições de contorno das bombas. Segundo Chaudhry (2014), pouco se sabe a respeito do comportamento dessa relação Vazão x Pressão em regime transiente. Contudo, dados das bombas em regime permanente vêm sendo considerados em estudos de transientes sem se ter registrado erros decorrentes dessa consideração.

Dentre as grandezas características do funcionamento de uma turbobomba, Macintyre (1997) apresenta a relação entre vazão e rotação do motor-bomba, conforme Equação (68).

𝑄1

𝑄2

=

𝑁1

sendo Q1 e Q2 as vazões de bombeamento obtidas a partir das rotações N1 e N2 do conjunto motor-bomba.

Tal relação expressa pela equação acima indica uma linearidade entre as vazões bombeadas e as rotações a qual o conjunto motor-bomba é submetido.

Segundo Streeter e Wylie (1979) a variação da rotação inicial (N0) de uma

bomba a partir do instante (t) da parada, é dada pela Equação (69).

∝=

𝟏

𝟏+(𝑷𝒐𝒕∙𝒈

𝝎𝟎𝟐∙𝑰∗)∙𝒕

,

₍₃₅₎

em que 𝛼 é a variação da rotação da bomba (dec.); Pot é a potência do conjunto elevatório (kg.m/s); g a aceleração devido a gravidade (m/s2_{); 𝜔}

0 a velocidade angular

do rotor da bomba (rad/s); 𝐼∗ _{o momento de inércia da bomba (kgf/m}2_{) e; t o tempo}

transcorrido a partir da parada da bomba (s).

A potência requerida para o conjunto motor-bomba é obtida pela Equação (70).

𝑃𝑜𝑡 = 75,9 ∙

𝛾∙𝑄∙𝐻_75∙ ,

(70)

sendo Pot a potência requerida (kg.m/s); 𝛾 o peso específico da água (1000kg/m3_{); Q}

a vazão bombeada (m3_{/s); H a altura manométrica (mH}

2O) e;  é a eficiência global

do conjunto motor-bomba (dec.)

A velocidade angular (𝜔₀) é estabelecida conforme Equação (71).

𝜔

₀

= (

𝑅𝑃𝑀

60

) ∙ 2 ∙ 𝜋

,

(71)

em que 𝜔0 é a rotação angular da bomba (rad/s) e RPM é a rotação da bomba.

A curva característica de uma bomba centrífuga descreve a altura manométrica ou de elevação (H0) a partir da vazão bombeada (Q0), conforme Equação (72).

𝐻

₀

= 𝐻

_𝑆

+ 𝐴

₁

∙ 𝑄

₀

+ 𝐴

₂

∙ 𝑄

₀2, (72)

sendo H0 a altura manométrica na condição estacionária (mH2O) estabelecida para

condição estacionária para 𝑡 ≤ 0 e; A1, A2 constantes obtidas a partir do ajuste de uma equação quadrática baseada em 3 pontos (H,Q) da curva característica da bomba.

No entanto, com a parada da bomba, a rotação do rotor diminui, diminuindo a vazão bombeada, assim como a altura de elevação. Com isso, as constantes A1 e A2 estabelecidas na Equação (72) podem ser escritas em função da variação da rotação da bomba, conforme explicitado na Equação (73) e Equação (74).

𝑎

₁

= 𝛼 ∙ 𝐴

₁

(73)

𝑎

₂

= 𝛼

2

_{∙ 𝐴}

2 (74)

Com isso, a Equação (72), que descreve a curva característica da bomba, pode ser reescrita para qualquer tempo t, conforme Equação (75).

𝐻

_𝑡

= 𝐻

_𝑆

+ 𝑎

₁

∙ 𝑄

_𝑡

+ 𝑎

₂

∙ 𝑄

_𝑡2 (75)

Assim, Streeter e Wylie (1979) propuseram que a vazão de bombeamento (Qt)

para qualquer instante t, após a parada da bomba, pode ser obtida pela Equação (76) e estabelecida para 𝑡 > 0 e 𝑥 = 0.

𝑄

_𝑡,0

=

1

𝑎2

∙ [𝐵

𝑀

− 𝑎

1

− √(𝐵

𝑀

− 𝑎

1

)

2

_{+ 4 ∙ 𝑎}

2

∙ (𝐶

𝑀

− 𝐻

𝑆

)]

(76) sendo Qt a vazão recalcada em um determinado instante t após a parada da bomba (m3_{/s); BM o fator representado pela Equação (58); CM o fator representado pela}

Equação (57); a1 o fator representado pela Equação (73); a2 o fator representado pela Equação (74) e; HS a altura manométrica de shut-off (mH2O).

Da mesma maneira, os autores estabeleceram que a carga de pressão 𝐻𝑃_𝑡,0, definida para 𝑡 > 0 e 𝑥 = 0 é dada pela Equação Característica (𝐶−_{), Equação (54) ,}

podendo ser expressa pela Equação (77):

𝐻𝑃

_{𝑡 ,0}

= 𝐻𝑃

_{𝑡−1,𝑥+1}

+ 𝐵 ∙ (𝑄𝑃

_𝑡,0

− 𝑄𝑃

_{𝑡−1,𝑥+1}

) + 𝑅 ∙

Vale ressaltar que as Equações (76) e (77) são válidas para quando o conjunto motor-bomba não é equipado com dispositivos de acionamento e parada como a soft- starter, ou seja, assemelham-se a condição de queda de energia ou parada brusca da bomba.

Conforme mencionado anteriormente na seção 2.6.7, Soft-starter é o nome

dado a um dispositivo eletrônico composto de pontes de tiristores acionadas por uma placa eletrônica, com o objetivo principal de controlar a tensão de partida de um motor elétrico trifásico (WEG, 2006). Seu uso é comum em bombas centrífugas, entre outros equipamentos, cuja aplicação não exija a variação de velocidade.

A instalação de recalque aqui estudada possui uma Soft-starter marca WEG, modelo SS06, capaz de controlar a aceleração, a desaceleração e permitir a proteção do motor elétrico de indução trifásicos, a partir do controle da tensão aplicada ao motor. Neste trabalho foram abordadas duas possibilidades de programação dessa chave de partida: (a) Rampa de Tensão e b) Controle da Bomba.

a) Rampa de Tensão:

Para esta opção, o usuário deve parametrizar a tensão inicial (P101) de modo a iniciar suavemente o movimento de carga. A partir desse ponto, a tensão sobe linearmente segundo um tempo também parametrizado (P102) até atingir o valor nominal (Un). No entanto, ao se desligar o motor, a tensão é reduzida a zero quase que instantaneamente, permitindo que a bomba continue girando em função de seu momento de inércia, semelhante ao que ocorre com um conjunto motor-bomba sem esse dispositivo.

A Figura 37 ilustra as características da rampa de tensão da Soft- starter WS006:

Figura 37 - Característica da rampa de tensão estabelecida para a opção “Rampa de Tensão”

Fonte: WEG (2006)

Neste caso, as Equações (35), (76) e (77) foram consideradas válidas como condição de contorno junto à bomba.

b) Controle da Bomba:

A diferença entre esta opção de programação e a “Rampa de tensão”, descrita anteriormente, está na parametrização do procedimento de desaceleração. Neste caso, o usuário programa o degrau de tensão (P103) na desaceleração tal que, com o auxílio de um manômetro, perceba-se que não há redução da pressão, até uma tensão (P105) que permita a parada do motor em um determinado tempo (P104).

A Figura 38 ilustra a variação de tensão para a opção “Controle de Bombas”:

Figura 38 - Característica da rampa de tensão estabelecida para a opção “Controle de Bombas”

Fonte: WEG (2006)

É válido considerar que, após o término de todo o processo transitório na linha de recalque, a carga de pressão, imediatamente a jusante da bomba, é equivalente ao desnível geométrico (HR) existente

entre o eixo da bomba e a extremidade da tubulação de recalque (caso de saída livre),ou do nível d´água do reservatório de jusante.

A Figura 39 ilustra a carga de pressão imediatamente a jusante da bomba após o término do transitório hidráulico na linha de recalque:

Figura 39 - Carga de pressão a jusante da bomba após o término do transitório hidráulico: a) para saída livre; b) para saída afogada

(a) (b)

Fonte: Elaborada pelo autor

Neste trabalho, assume-se a hipótese de que a tensão ao final da rampa de tensão (P105) seria tal que resultasse em altura de elevação

compatível com a carga de pressão imediatamente a jusante da bomba no momento de sua parada. Dessa maneira, afirma-se que a variação da carga de pressão na desaceleração da bomba é dada pela Equação (78).

∆𝐻

_{𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎}

= 𝐻

_𝑚𝑎𝑛

− 𝐻

_𝑅 (36)

em que ∆𝐻_{𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎} é a carga de pressão imediatamente a jusante da bomba após o período da tubulação (mH2O) e 𝐻_𝑅 é o desnível

geométrico entre o nível d´água ou a chegada da tubulação no reservatório de jusante e o eixo da bomba (m).

Ademais, este trabalho considera o tempo P104 como sendo o período (T) da tubulação de recalque. Assim, ao admitir a hipótese formulada anteriormente de que a carga de pressão que o ponto imediatamente a jusante da bomba fosse 𝐻𝑅 , após o período da

tubulação (T), o caso assemelha-se à condição de contorno descrita por Streeter e Wylie (1979) para o caso de um reservatório de montante.

Para esta condição de contorno, os autores mencionam que, conhecido a carga de pressão (Hman) em t=0, o comportamento da carga de pressão assemelha-se a uma curva senoidal, conforme Equação (79).

𝐻𝑃

_𝑡+1,0

= 𝐻 + ∆𝐻 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ∙ 𝑡)

, (79) sendo:

𝐻 = 𝐻

_𝑚𝑎𝑛

− ∆𝐻

_{𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎}

= 𝐻

_𝑅 , (80)

𝜔 =

2∙𝜋_𝑇 , (82)

∆𝐻 = −

𝑎∙∆𝑣 𝑔

= −

𝑎 𝑔

∙ (

𝑄𝑃𝑡−1,0−𝑄𝑃𝑡,0 𝑆

)

e (81)

em que a é a celeridade da onda (m/s); g é a aceleração devido a gravidade (m/s2_{); 𝑄𝑃}

𝑡−1,0 e 𝑄𝑃𝑡,0 são, respectivamente as vazões (m3/s)

no ponto x=0 (junto a bomba) para os tempos t-1 e t; S é a área transversal da tubulação de recalque (m2_{); T é o período da tubulação}

de recalque (s) e; t é o tempo transcorrido desde a queda da energia (s). Assim, a condição de contorno para a carga de pressão no ponto P para um dado instante t, foi descrita conforme Equação (83).

𝐻𝑃

_𝑡+1,0

= 𝐻

_𝑅

+ [−

𝑎 𝑔

∙ (

𝑄𝑃𝑡−1,0−𝑄𝑃𝑡,0 𝑆

)] ∙ 𝑠𝑒𝑛 (

2∙𝜋 𝑇

∙ 𝑡).

(83)

Uma vez que a carga de pressão (𝐻𝑃_𝑡+1,0) é conhecida, a vazão QP pode ser diretamente determinada como solução direta da Equação (52), cujo resultado é descrito pela Equação (84).

𝑄𝑃

_𝑡+1,0

=

(𝐻𝑃𝑡+1,0−𝐶𝑀)

𝐵𝑀 .

(84)

3.3.4.2 Condição de jusante

Na extremidade de jusante da linha de recalque, foram consideradas duas situações possíveis: (a) a saída livre, não afogada, em um reservatório e (b) a saída afogada.

Assim, para a posição 𝑥 = 𝐿, tem-se a relação estabelecida pela Equação (85).

𝐻𝑃

_𝑡,𝐿

= {_{𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑓𝑜𝑔𝑎𝑑𝑎}𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑢𝑙𝑎çã𝑜: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑎𝑓𝑜𝑔𝑎𝑑𝑎

(85) Na determinação da vazão 𝑄𝑃𝑡 para a posição 𝑥 = 𝐿, observa-se a Equação

Característica (𝐶+_{), Equação (53) podendo ser explicitada conforme a Equação (86).}

𝑄𝑃

_𝑡,𝐿

=

(𝐶𝑃

𝑡

− 𝐻𝑃

𝑡,𝐿

)

3.3.5 Da Transposição dos resultados do Epanet em condição estacionária

No documento Desenvolvimento de modelo computacional para simulação de transiente hidráulico em linhas de recalque (páginas 79-87)