2 REFERENCIAL TEÓRICO
2.3 MECANISMO DO FENÔMENO
De acordo com Netto et al. (1998), quando uma canalização está conduzindo água com uma certa velocidade, como representado na Figura 2, considerando-se ao longo da massa líquida várias porções, que serão designadas por lâminas. Verifica- se, então, o seguinte:
1. Com o fechamento do registro (R), a lâmina 1 comprime-se e sua energia de velocidade (V) é convertida em pressão, ocorrendo, simultaneamente, a distensão do tubo e esforços internos na lâmina (deformação elástica). O mesmo acontecerá em seguida com as lâminas 2,3,4 etc..., propagando-se uma onda de pressão até a lâmina n junto ao reservatório.
2. Em seguida, a lâmina n, por conta dos esforços internos e da elasticidade do tubo, tende a sair da canalização em direção ao reservatório, com velocidade –v, o que também pode ser observado, sucessivamente, com as lâminas n-1, n-2, ..., 4,3,2,1. Enquanto isso, a lâmina 1 fica com sobrepressão durante o tempo apresentado na Equação (1),
𝑇 =
2 ∙ 𝐿
𝑎
(1)sendo T a fase ou período da canalização (s); L o comprimento da adutora (m); e a a velocidade de propagação da onda (m/s), geralmente denominada celeridade. Há então a tendência de a água sair da tubulação pela extremidade superior. Como a extremidade inferior do tubo está fechada, haverá uma depressão interna. Nessas condições, -v é convertida em uma onda de depressão.
3. Devido à depressão na canalização, a água tende a ocupá-la novamente, voltando as lâminas de encontro ao registro, dessa vez com velocidade v. E assim por diante.
Figura 2 - Esquema de autora por gravidade com registro de gaveta na extremidade de jusante
Fonte: Adaptado de Netto et al. (1998)
Tsutiya (2006) também apresenta um esquema ilustrativo de golpe de aríete num sistema composto por um reservatório, tubo e válvula na extremidade. Esse esquema é apresentado a seguir:
Inicialmente, a válvula está aberta, transportando uma vazão (Q), com uma velocidade V0, em regime permanente, como apresentando na Figura 3. No instante t
= t0, a válvula é fechada instantaneamente e o líquido junto à válvula é freado.
Figura 3 - Regime permanente t = t0
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
Após fechamento da válvula, a energia cinética é transformada em pressão, a qual expande o tubo. Essa onda de pressão propaga-se para montante com uma velocidade “a”, que é a celeridade de propagação da onda de pressão no tubo como
apresentado na Figura 4. Na região hachurada do tubo, a carga vale H = H0 + ΔH,
sendo H0 a carga de regime permanente. A onda se propaga à montante até atingir
o reservatório.
Figura 4 - Região da frente de pressão logo após fechamento da válvula t = Δt
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
Segundo Rosich (1987) e Netto et al. (1988), a celeridade da onda pode ser estimada pela Equação (2),
𝑎 =
9900 √48,3+𝑘.𝐷𝑒(2)
em que a é a celeridade da onda (m/s); D é o diâmetro da tubulação (mm); e é a espessura da parede da tubulação (mm) e; k é o coeficiente que leva em conta os módulos de elasticidade da água e do material que compõe a tubulação.
k pode ser expresso pela Equação (3),
𝑘 =
10𝐸10(3)
em que k é a constante (adim.); 1010 é o módulo de elasticidade da água (Pa) e; E é
o módulo de elasticidade do material da tubulação (Pa).
De acordo com Netto et al. (1988), em geral, os valores de k são: para tubos de aço, k=0,5; para tubos de ferro fundido, k=1,0 e; para tubos plásticos, k=18,0.
A variação de pressão 𝛥𝐻 devida à variação de velocidade ΔV é dada pela Equação (4), conhecida como equação de Joukowski:
𝛥𝐻 = 𝑎.
𝛥𝑉𝑔
(4)
em que 𝛥𝐻 é a variação da carga de pressão (mH2O); a é a celeridade de propagação
da onda (m/s) e; g é a aceleração devido a gravidade (m/s2).
Segundo Rosich (1987), no início do século XX, na mesma época que a equação de Joukowski, Jouguet propôs a Equação (5) que também descreve a magnitude da sobrepressão:
𝛥𝐻 =
𝐿∙𝑉𝑔∙𝑇(5)
sendo 𝛥𝐻 a variação da carga de pressão (mH2O); L o comprimento da adutora (m);
V a velocidade média do escoamento(m/s); T o período da tubulação (s) e; g é a aceleração devido a gravidade (m/s2).
No intervalo de tempo em que 𝑡 =2∙𝑎2𝐿 e L é o comprimento da tubulação, metade da tubulação está com velocidade nula e com carga H, como mostra a figura a seguir:
Figura 5 - Região da frente de pressão para t = L/(2.a)
Pouco instante antes da frente de onda chegar ao reservatório, quase toda a tubulação está sujeita a carga H , enquanto a frente de onda e a velocidade continuam em direções opostas (Figura 6).
Figura 6 - Região da frente de pressão para t = (L/a) + Δt
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
No instante em que a onda atinge o reservatório, 𝑡 = 𝐿𝑎, o sistema encontra-se todo com velocidade nula e, o tubo expandido, sob a forma de energia elástica (Figura 7).
Figura 7 - Região da frente de pressão para t = L/a
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
Como a carga de pressão dentro do tubo é maior do que no reservatório, existe uma quantidade de água comprimida dentro do tubo que está expandido. Assim, irá ocorrer fluxo do tubo para o reservatório, formado uma frente de onda que se propaga em direção à válvula com celeridade -a. Instantes após a frente de onda atingir o
reservatório em 𝑡 = 𝑎𝐿+ 𝛥𝑡 , ela é refletida em direção à válvula, continuando a velocidade e a frente de onda com sentidos opostos, conforme apresentado na figura a seguir:
Figura 8 - Região da frente de pressão para t = (L/a) + Δt
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
A onda refletida vai percorrendo em direção à válvula e, em 𝑡 = 𝐿𝑎+ 2𝑎𝐿 , metade da tubulação se encontra sobre pressão H, com a velocidade de onda e a frente de onda com sentidos opostos, como apontado pela Figura 9.
Figura 9 - Região da frente de pressão em t = (L/a) + (L/(2a))
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
Pouco tempo antes da frente de onda atingir a válvula de retenção 𝑡 = 2𝐿𝑎 − 𝛥𝑡, a maior parte da tubulação está com carga permanente. Apenas uma pequena parcela da tubulação está com carga H (Figura 10).
Figura 10 - Região da frente de pressão em t = 2L/a –Δt
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
No momento 𝑡 = 2𝐿𝑎, a frente de onda atinge a válvula e, nesse instante, toda a tubulação está com carga H (permanente). Porém, o sentido do escoamento está contrário ao inicial (Figura 11).
Figura 11 - Região da frente de pressão em t = 2L/a
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
A frente de onda, ao chegar à válvula no instante 𝑡 = 2𝐿𝑎, devida à inércia, fará com que a massa d’água dentro do tubo tenda a se manter em movimento. Como a válvula se encontra fechada, a camada junto a ela também permanecerá parada, originando uma queda de pressão igual a ΔH= H0 – ΔH. Supondo que a pressão seja superior à de vapor, irá formar uma onda de descompressão, no sentido da válvula para o reservatório.
Logo após a onda atingir a válvula em 𝑡 = 2𝐿𝑎 + 𝛥𝑡 , a onda gerada caminhará no sentido do reservatório, no mesmo sentido da velocidade do escoamento, gerando uma subpressão, como mostra a figura abaixo:
Figura 12 - Região da frente de pressão em t = 2L/a + Δt
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
Ao atingir novamente o centro da tubulação em 𝑡 = 2𝐿𝑎 +2𝑎𝐿, metade da tubulação se encontra em subpressão, sendo que a velocidade e a frente de onda continuam no mesmo sentido (Figura 13).
Figura 13 - Região da frente de pressão em t = 2L/a + L/2.a
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
Quando a onda está prestes a atingir novamente o reservatório em 𝑡 = 3𝐿𝑎 − 𝛥𝑡, quase toda a tubulação está sujeita à subpressão, com a velocidade e a frente de onda em mesmo sentido como visto na Figura 14.
Figura 14 - Região da frente de pressão em t = 3L/a - Δt
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
Ao atingir o reservatório pela segunda vez em 𝑡 = 3𝐿𝑎, todo tubo encontra-se com velocidade nula e carga H = H0 – ΔH, ou seja, o tubo está “encolhido”, conforme apresentado na Figura 15.
Figura 15 - Região da frente de pressão em t = 3L/a - Δt
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
Em 𝑡 = 3𝐿𝑎 + 𝛥𝑡 , como a carga no reservatório é maior que a de dentro do tubo, irá ocorrer escoamento do reservatório para o tubo, com velocidade V=V0 e H=H0 . Isso irá formar uma nova onda, que se propaga do sentido do reservatório para a válvula, como mostra a figura a seguir:
Figura 16 - Região da frente de pressão em t = 3L/a + Δt
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
No instante em que a onda atinge o centro da tubulação, 𝑡 = 3𝐿𝑎 +2𝑎𝐿, novamente metade da tubulação se encontra em subpressão (Figura 17).
Figura 17 - Região da frente de pressão em t = 3L/a + L/2a
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
Segundos antes de a onda atingir por mais uma vez a válvula, 𝑡 = 4𝐿𝑎 − 𝛥𝑡, quase toda a tubulação se encontra em carga permanente, com a frente de onda e a velocidade com sentidos iguais, como mostra a Figura 18:
Figura 18 - Região da frente de pressão em t = 4L/a - ΔT
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)
No instante 𝑡 = 4𝐿𝑎, é reestabelecida a condição inicial e, assim, toda a tubulação com carga permanente e com velocidade no sentido inicial da vazão. Após esse instante, o ciclo se repete. Neste esquema, foram desprezadas as perdas de carga, uma vez que em casos reais as perdas de energia amortecem as amplitudes (carga e vazão) sem que os períodos de onda sejam afetados, até que o sistema atinja repouso (Figura 19).
Figura 19 - Região da frente de pressão em t = 4L/a
Fonte: Adaptado de Tsutiya (2006)