4.2 Tipos de Condi¸c˜oes Aplic´aveis a Consultas aos Vizinhos mais Pr´oximos
4.2.1 Condi¸c˜oes Baseadas em Agrega¸c˜ao por Contagem
Uma condi¸c˜ao baseada em agrega¸c˜ao por contagem, ou c-acond, ´e uma acond do tipo hCOUNT(agAtr, tcond) θ ci que garante que a quantidade de tuplas que satisfazem a condi¸c˜ao tcond, e cujo valor do atributo agAtr n˜ao ´e nulo, seja θ c. Note-se que a op¸c˜ao
de minimiza¸c˜ao (parˆametro min-op da forma geral das condi¸c˜oes baseadas em agrega¸c˜ao) ´e omitida nas condi¸c˜oes baseadas em agrega¸c˜ao por contagem, pois essas condi¸c˜oes s˜ao indiferentes a este fator, como ser´a discutido na Se¸c˜ao 4.2.2. De forma semelhante ao que ocorre na fun¸c˜ao de agrega¸c˜ao COUNT do padr˜ao SQL, em uma c-acond o parˆametro agAtr pode ser substitu´ıdo por um ‘∗’, indicando a contagem de todas as tuplas (e n˜ao de tuplas cujo valor de agAtr seja n˜ao nulo). Este tipo de condi¸c˜ao baseada em agrega¸c˜ao permite definir v´arias consultas, como, por exemplo, a consulta definida a seguir sobre o conjunto de cidades americanas.
Consulta 1: Retorne as 5 cidades que s˜ao as mais pr´oximas a Bristol city, de forma que o resultado inclua ao menos 3 cidades com popula¸c˜ao maior ou igual a 5000 habitantes.
A Consulta 1 estabelece que o resultado satisfa¸ca uma condi¸c˜ao baseada em agrega¸c˜ao por contagem. Ela pode ser escrita usando o operador por similaridadeckNN como:
¨
σcoordckNN[L2,5,COUNT(∗,pop≥5000)≥3] BristolCoord(CidadesAmericanas)
onde L2 ´e a fun¸c˜ao de distˆancia utilizada e BristolCoord ´e uma constante contendo
as coordenadas geogr´aficas de Bristol city. Observe que essa consulta pode descar- tar cidades mais pr´oximas de Bristol city que tenham menos que 5000 habitantes para que o resultado satisfa¸ca a condi¸c˜ao baseada em agrega¸c˜ao por contagem. Para ilustrar esta id´eia, a Figura 4.5 mostra o conjunto por dissimilaridade induzido sobre o conjunto CidadesAmericanas por L2 e Bristol city, ordenado conforme o valor de dissimilaridade
dos elementos, isto ´e, a sua distˆancia para o elemento de referˆencia. A resposta para a Consulta 1 considerando o conjunto CidadesAmericanas como rela¸c˜ao de entrada ´e dado pelo k-conjunto minimal restrito induzido por dissimilaridade apresentado na Figura 4.6. Observe-se que a resposta inclui a 6a cidade mais pr´oxima a Bristol city, descartando a
5a cidade mais pr´oxima, para satisfazer a c-acond apresentada.
A consulta apresentada a seguir ´e outro exemplo de consulta que utiliza uma c-acond, definida sobre a rela¸c˜ao Hoteis.
Consulta 2: Retorne os 10 hot´eis mais pr´oximos ao local da conferˆencia, tal que no m´aximo 2 deles estejam 10 km ou mais do aeroporto.
A Consulta 2 pode ser escrita conforme segue: ¨
σcoordckNN[L2,10,COUNT(∗,L2(coord,aerCoord)≥10km)≤2] conf Coord(Hoteis)
onde aerCoord e conf Coord s˜ao, respectivamente, as coordenadas do aeroporto e do local da conferˆencia e as distˆancias s˜ao calculadas usando a fun¸c˜ao L2. Note-se que apesar de
SL2,Bristol city = { hBristol city, VA, 17367, [36.6111, −82.1762], 0i,
hBluff City city, TN, 1559, [36.4634, −82.275], 0.177697i, hAbingdon town, VA, 7780, [36.7098, −81.9757], 0.223478i, hWatauga city, TN, 403, [36.3673, −82.2913], 0.269604i, hNickelsville town, VA, 448, [36, 7519, −82.417], 0.278942i, hBlack Mountain town, NC, 7511, [35.6192, −82.3254], 1.00306i, hWellford city, SC, 2030, [34, 9511, −82.0985], 1.66182i,
hForest Hills village, NC, 330, [35, 2972, −83.1937], 1.66182i, hMooresville town, NC, 18823, [35.5843, −80.8201], 1.70098i } Figura 4.5: Conjunto induzido sobre o conjunto CidadesAmericanas por L2 e
Bristol city, apresentado em ordem do valor de dissimilaridade.
SL2,Bristol city
c, 5 = { hBristol city, VA, 17367, [36.6111, −82.1762], 0i,
hBluff City city, TN, 1559, [36.4634, −82.275], 0.177697i, hAbingdon town, VA, 7780, [36.7098, −81.9757], 0.223478i, hWatauga city, TN, 403, [36.3673, −82.2913], 0.269604i,
hBlack Mountain town, NC, 7511, [35.6192, −82.3254], 1.00306i } Figura 4.6: Conjunto resposta da Consulta 1, considerando o conjunto
CidadesAmericanas como a instˆancia da rela¸c˜ao de entrada e c = hCOUNT(∗, pop ≥ 5000) ≥ 3i.
ser usada uma fun¸c˜ao distˆancia como filtro, isso n˜ao apresenta conflito com o operador de busca por similaridade, uma vez que a condi¸c˜ao hL2(coord, aerCoord) ≤ 10kmi ´e uma
condi¸c˜ao baseada em tupla, e portanto pode ser usada tal como qualquer outra condi¸c˜ao tradicional.
Uma varia¸c˜ao da condi¸c˜ao baseada em agrega¸c˜ao por contagem consiste em adicionar o modificador DISTINCT `a fun¸c˜ao de agrega¸c˜ao COUNT, gerando uma condi¸c˜ao baseada em agrega¸c˜ao por contagem de distintos (cd-acond ). Uma cd-acond indica que o resultado da consulta deve incluir no m´aximo/m´ınimo c tuplas que satisfazem tcond e que tenham valores distintos para o atributo agAtr. Para elucidar o significado das cd-aconds, considere-se a rela¸c˜ao de imagens de exames m´edicos Exames, apresentada na Tabela 4.1. Em v´arias modalidades de exames de diagn´ostico por imagem, tais como ressonˆancia magn´etica e tomografia computadorizada, as imagens s˜ao agrupadas em estudos, que representam um ´unico exame. Nesses casos, o conjunto de imagens que forma um estudo pode ser interpretado como uma (ou mais) imagem tridimensional da regi˜ao do paciente que ´e alvo da investiga¸c˜ao m´edica. Desta forma, em muitas situa¸c˜oes n˜ao ´e interessante para o usu´ario de um sistema de CBIR da ´area m´edica que uma consulta por similaridade
retorne mais de uma imagem de um mesmo estudo, pois geralmente as imagens de um estudo s˜ao analisadas em conjunto. Este tipo de situa¸c˜ao ´e ilustrado pela consulta a seguir.
Consulta 3: Retorne as 10 imagens m´edicas que sejam as mais similares a uma dada imagem de referˆencia iq, sendo que cada imagem retornada seja de um estudo distinto.
Considerando a rela¸c˜ao Exames, a Consulta 3 pode ser representada como: ¨
σimagemckNN[L2,10,COUNT(DISTINCT(idEstudo))≥10] iq(Exames)
Observando-se que o atributo idEstudo identifica o estudo do qual a imagem faz parte, esta consulta n˜ao permite que exista mais de uma imagem de um mesmo estudo no resultado, pois os valores de c e k s˜ao iguais (c = 10 e k = 10). Essa consulta utiliza uma tcond nula, contudo ´e poss´ıvel utilizar filtros `a fun¸c˜ao de agrega¸c˜ao em cd-aconds para responder a consultas como a Consulta 4.
Consulta 4: Retorne as 10 imagens m´edicas que s˜ao mais similares a uma dada imagem de referˆencia iq, sendo que, pelo menos, 8 delas sejam de exames distintos de idosos (65
anos ou mais).
A Consulta 4 pode ser representada utilizando a opera¸c˜aock-NNq como segue:
¨
σimagemckNN[L2,10,COUNT(DISTINCT(idEstudo),idade≥65)≥8] iq(Exames)
Note que a condi¸c˜ao usada nessa consulta permite que o resultado inclua mais de uma imagem de um mesmo exame, pois k > c. Inclusive, mais de uma imagem de um mesmo exame de idoso pode fazer parte do resultado. Neste caso, apenas uma dessas imagens ´e considerada na fun¸c˜ao COUNT(DISTINCT), que ´e a imagem do exame em quest˜ao mais similar `a imagem de referˆencia. As imagens que n˜ao precisam ser de exames distintos de idosos s˜ao as mais similares `a imagem de referˆencia encontradas, descontando-se as imagens mais similares de exames distintos de idosos. Ou seja, uma vez encontrado um conjunto C, que cont´em as c tuplas de exames distintos que s˜ao as mais similares `a ima- gem de consulta, os demais elementos retornados s˜ao os k − c elementos pertencentes a (S∆δ,Q− C) com menor valor de dissimilaridade, sendo S∆δ,Q o conjunto por dissimilari-
dade induzido sobre S por δ, ∆ e Q, onde, no caso, S ´e o conjunto formado pelos valores do atributo imagem nas tuplas da rela¸c˜ao Exames, δ = L2 e Q ´e o conjunto unit´ario
{iq}, portanto, ∆ foi omitida. O significado deste tipo de condi¸c˜ao ´e que deseja-se obter
as c imagens de exames distintos de idosos mais similares a iq e tamb´em as k − c ima-
mais jovens, ou mesmo de pertencerem a um mesmo exame de idosos que outras imagens retornadas.
Para ilustrar o significado das principais varia¸c˜oes de condi¸c˜oes baseadas em agrega¸c˜ao por contagem, a Figura 4.7 mostra resultados de consultas ck-NN restritas por estas
varia¸c˜oes sobre um conjunto de dados geogr´aficos. A regi˜ao mostrada nas figuras ´e a vizinhan¸ca da cidade de Bristol, localizada no estado da Virg´ınia, Estados Unidos, pr´oxima `a divisa com o estado do Tennessee. A referˆencia de consulta ´e a pr´opria cidade de Bristol, representada nas figuras pela estrela vermelha, que foi retirada do conjunto para tornar os exemplos mais claros. Os c´ırculos s´olidos s˜ao cidades com popula¸c˜ao de 100.000 ou mais habitantes, os c´ırculos sem preenchimento s˜ao cidades ou vilarejos com popula¸c˜ao entre 10.000 e 99.999 habitantes e os pontos cinza s˜ao cidades ou vilarejos com menos de 10.000 habitantes. As consultas recuperam os 10 vizinhos mais pr´oximos `a cidade de referˆencia que satisfazem a condi¸c˜ao imposta. As cidades que comp˜oem o resultado de cada consulta s˜ao aquelas marcadas com um “x” nas figuras.
• A Figura 4.7a mostra o resultado de uma k-NNq regular (ou seja, umack-NNq com
condi¸c˜ao nula).
• A c-acond da Figura 4.7b, hCOUNT(∗, pop ≥ 100.000) ≥ 4i, indica que o resultado deve incluir ao menos 4 cidades com 100.000 habitantes ou mais. Visualmente, percebe-se que o resultado inclui 4 c´ırculos s´olidos (marcados com um “x” na figura), sendo 1 no estado do Tennessee (TN) e 3 na Carolina do Norte (NC). Note que tais cidades n˜ao faziam parte do resultado da k-NNq (Figure 4.7a).
• A c-acond da Figura 4.7c, hCOUNT(∗, pop < 10.000) ≤ 2i, indica que o resultado deve incluir, no m´aximo, 2 cidades com popula¸c˜ao menor que 10.000 habitantes. Observando esta figura, nota-se que o conjunto resposta inclui apenas as 2 cidades com menos de 10.000 habitantes mais pr´oximas `a cidade de consulta, sendo que as outras 8 cidades que comp˜oem o resultado tem 10.000 ou mais habitantes.
• A c-acond da Figura 4.7d, hCOUNT(DISTINCT(estado), pop ≥ 100.000) ≥ 3i, in- dica que o resultado deve incluir ao menos 3 cidades de estados distintos com 100.000 habitantes ou mais. Desta forma, o resultado apresentado na figura in- clui uma cidade com 100.000 habitantes ou mais do estado do Tennessee, uma da Carolina do Norte e outra do Kentucky (KY). Observe que a cidade com 100.000 habitantes ou mais do Kentucky que foi selecionada est´a mais distante que duas outras cidades da mesma faixa de popula¸c˜ao da Carolina do Norte (veja que tais ci- dades da Carolina do Norte foram selecionadas na consulta da Figura 4.7b). Por´em, a cidade do Kentucky foi inclu´ıda no resultado por estar em um estado diferente. • A cd-acond da Figura 4.7e, hCOUNT(DISTINCT(estado), pop < 10.000) ≤ 1i, in-
TN
NC
KY
VA
WV
COUNT(DISTINCT (estado) , pop 100,000) 3≥ ≥
d)
TN
NC
KY
VA
WV
COUNT(DISTINCT(estado), pop<10,000) 1≤ e)TN
NC
KY
VA
WV
COUNT(*, pop<10,000)) 2≤ c)TN
NC
KY
VA
WV
COUNT(*, pop 100,000)) 4≥ ≥ b)TN
NC
KY
VA
WV
k-NN Tradicional a)Figura 4.7: Compara¸c˜ao dos resultados de uma k-NNq e de consultas ck-NN com va-
ria¸c˜oes de condi¸c˜oes baseadas em agrega¸c˜ao por contagem. O elemento de consulta ´e a estrela no centro da figura, e as cidades retornadas s˜ao as mar- cadas com um “x”. O n´umero de vizinhos ´e k = 10 e abaixo de cada figura est´a a cd-acond que gera o resultado apresentado na figura.
tintos deve ser menor ou igual a 1. Uma interpreta¸c˜ao errˆonea desta condi¸c˜ao seria imaginar que o resultado s´o poderia incluir uma ´unica cidade com menos de 10.000 habitantes. Na verdade, esta cd-acond permite que o resultado inclua v´arias ci- dades com menos de 10.000 habitantes, desde que sejam todas do mesmo estado. Isto se deve ao fato que apenas a cidade com menos de 10.000 habitantes mais pr´oxima `a cidade de consulta de cada estado ´e considerada na fun¸c˜ao de agrega¸c˜ao COUNT(DISTINCT). Analisando a Figura 4.7a, nota-se a cidade com menos 10.000 habitantes mais pr´oxima `a cidade de referˆencia est´a no estado do Tennessee, por- tanto, nenhuma cidade com menos de 10.000 habitantes de outro estado pode ser inclu´ıda no resultado, pois a cd-acond define c = 1. Entretanto, outras cidades do Tennessee com menos de 10.000 habitantes podem ser inclu´ıdas no resultado, con- forme mostra a figura, pois elas n˜ao alteram o valor da fun¸c˜ao COUNT(DISTINCT). Nota-se, ainda, que o resultado dessa consulta inclui 3 cidades com 10.000 habitan- tes ou mais, que tamb´em s˜ao do Tennessee. O fato de tais cidades serem do mesmo estado da cidade considerada na fun¸c˜ao COUNT(DISTINCT) foi uma coincidˆencia neste exemplo, pois cidades com 10.000 habitantes n˜ao satisfazem o filtro da fun¸c˜ao de agrega¸c˜ao e, portanto, n˜ao mudam o valor da contagem de distintos, indepen- dentemente do estado a que pertencem.