Regras Algébricas Envolvendo Condi¸cões Baseadas em Agrega¸cão

4.3 Regras Alg´ebricas

4.3.2 Regras Algébricas Envolvendo Condi¸cões Baseadas em Agrega¸cão

Esta se¸cão apresenta as regras algébricas da sele¸cão por similaridade tendo um termo utilizando o operador ck-NN com uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por contagem.

Como visto anteriormente, a fun¸cão de agrega¸cão neste tipo de condi¸cão pode assumir duas formas: COUNT(atr, tcond), na qual o valor da fun¸cão é dado pela contagem de valores não nulos no atributo de agrega¸cão agAtr das tuplas do resultado da consulta que satisfazem tcond; ou COUNT(∗, tcond), na qual o valor da fun¸cão de agrega¸cão é dado simplesmente pela contagem de tuplas do resultado que satisfazem tcond. Entretanto, a segunda forma é mais geral, pois a primeira forma sempre pode ser convertida na segunda, como define a Regra 4.6.

Regra 4.6 (Generalidade da contagem de tuplas) Uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por contagem que indica a contagem de valores não nulos no atributo de agrega¸cão pode ser transformada em uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por contagem de tuplas em uma sele¸cão por similaridade envolvendo o operador ckNN, isto é:

σSckNN[δ,∆,k,COUNT(atr,tcond)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗,atr6=NULL∧tcond)θc] Q(R) (4.12)

A regra da generalidade da contagem de tuplas baseia-se na observa¸cão que uma agrega¸cão por contagem de valores não nulos pode ser transformada em uma agrega¸cão por contagem de tuplas que inclui uma verifica¸cão de nulidade do atributo de agrega¸cão na condi¸cão de filtragem da fun¸cão, como mostra a Equivalência 4.12. Note-se que nem sempre é poss´ıvel transformar uma agrega¸cão por contagem de tuplas em uma agrega¸cão por contagem de valores não nulos. Uma agrega¸cão por contagem de tuplas só pode ser transformada em uma agrega¸cão por contagem de valores não nulos se houver algum atributo garantidamente não nulo na rela¸cão de entrada. Baseando-se nesta regra, sem perda de generalidade, as demais regras apresentadas nesta se¸cão consideram a agrega¸cão por contagem de tuplas. A regra a seguir considera a possibilidade de inconsistência entre os valores c e k.

Regra 4.7 (Inconsistência da contagem) Uma sele¸cão por similaridade sobre uma rela¸cão com k tuplas ou mais envolvendo o operadorckNN com uma condi¸cão baseada em

agrega¸cão por contagem c-acond, cujo valor de c é inconsistente com o valor de k, produz um resultado vazio. Se a c-acond não é filtrada, isto é, tcond é nula, c é inconsistente com k quando: θ é ‘=’ e c 6= k; ou θ é ‘6=’ e c = k; ou θ é ‘>’ e c ≥ k; ou θ é ‘≥’ e c > k; ou θ é ‘≤’ e c < k; ou θ é < e c ≤ k. Nesses casos, a expressão a seguir é válida:

Caso a c-acond seja filtrada, c é inconsistente com k quando: θ é ‘=’ e c > k; ou θ é ‘>’ e c ≥ k; ou θ é ‘≥’ e c > k; ou θ é ‘≤’ e c < 0; ou θ é < e c ≤ 0. Nesses casos, a expressão a seguir é válida:

σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗,tcond)θc] Q(R) = ∅ (4.14)

A Regra 4.7 é baseada no fato que não existe um k-conjunto minimal restrito indu- zido por dissimilaridade ¯S_caδ,Q_-_cond,k que seja restrito por uma c-acond cujo valor de c é inconsistente com o valor de k.

Regra 4.8 (Redundância da contagem) Uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por contagem não filtrada, cujo valor de c é sobreposto pelo valor de k, não acrescenta significado ao operador ckNN de uma sele¸cão por similaridade sobre uma rela¸cão com k tuplas

ou mais e pode ser eliminada. Em c-conds não filtradas, o valor de c é sobreposto por k quando: θ é ‘=’ e c = k; ou θ é ‘6=’ e c 6= k; ou θ é ‘>’ e c < k; ou θ é ‘≥’ e c ≤ k; ou θ é ‘≤’ e c ≥ k; ou θ é ‘<’ e c > k. Nesses casos, é válida a expressão a seguir:

σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k] Q(R) (4.15)

A Regra 4.8 não se aplica caso a c-acond seja filtrada. Entretanto, existem casos particulares de sobreposi¸cão entre c e k que são interessantes para a reescrita de consultas, pois permitem antecipar à sele¸cão por similaridade uma sele¸cão convencional e eliminar a c-acond, conforme mostram as regras 4.9 e 4.10 apresentadas a seguir.

Regra 4.9 (Conversão de c-conds com sobreposi¸cão em t-conds) Uma sele¸cão por similaridade envolvendo um operador ckNN, cuja condi¸cão é uma condi¸cão baseada

em agrega¸cão por contagem filtrada por uma condi¸cão tcond, pode ser antecipada por uma sele¸cão convencional cuja expressão condicional é tcond se o valor de c for sobreposto pelo valor de k. Em c-aconds filtradas, o valor de c é sobreposto por k quando: θ é ‘≥’ e c = k; ou θ é ‘>’ e c = k − 1. Nesses casos, é válida a expressão a seguir:

σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗,tcond)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,tcond] Q(R) (4.16)

Regra 4.10 (Conversão de c-conds filtrantes em t-conds) Uma sele¸cão por similaridade envolvendo um operador ckNN, cuja condi¸cão é uma condi¸cão baseada em

agrega¸cão por contagem filtrada por uma condi¸cão tcond, pode ser antecipada por uma sele¸cão convencional cuja expressão condicional é a nega¸cão de tcond se a ca-cond for filtrante e se a condi¸cão de filtragem tcond for avaliada como verdadeira ou falsa para todas as tuplas da rela¸cão de entrada. Uma ca-cond é filtrante quando tcond não é nula,

θ ∈ {=, ≤} e c = 0 ou quando tcond não é nula, θ = ‘<’ e c = 1. Nesses casos, é válida a expressão a seguir:

σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗,tcond)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,¬tcond] Q(R) (4.17)

Note-se que a Regra 4.10 não é válida se existir a possibilidade da condi¸cão tcond ser avaliada como unknown (desconhecido) para alguma tupla, o que pode ocorrer se a condi¸cão envolver atributos que aceitam valores nulos. A regra seguir trata da nega¸cão de c-conds.

Regra 4.11 (Nega¸c˜ao de c-conds) Uma ck-NNq restritra por uma condi¸c˜ao baseada

em agrega¸cão por contagem, cuja condi¸cão de filtragem tcond é avaliada como verdadeira ou falsa para todas as tuplas da rela¸cão de entrada1_{, pode ser transformada em}

uma ck-NNq restrita pela nega¸cão dessa condi¸cão. A nega¸cão de c-conds é dada pela

equivalˆencia a seguir: ¨

σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗,tcond)≥c] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗,¬tcond)<(k−c+1)] Q(R) (4.18)

De forma geral, não existem equivalências das regras apresentadas nesta subse¸cão para o operadorck-NN quando a condi¸cão é baseada em agrega¸cão por contagem de distintos

(cd-acond ). Sele¸c˜oes por similaridade envolvendo um operador ckNN restrito por uma

cd-acond têm pouqu´ıssimas propriedades para reescrita de consultas. Uma exce¸cão é se o atributo agAtr é uma chave candidata da rela¸cão de entrada, o que torna o modificador DISTINCT dispensável. Este caso particular é enunciado na regra a seguir.

Regra 4.12 (Redundˆancia da contagem de distintos) Uma ck-NNq restrita por

uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por contagem de distintos não filtrada, cujo atributo de agrega¸cão agAtr é uma chave candidata da rela¸cão de entrada, pode ser transformada em uma ck-NNq restrita por uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por contagem, pois,

garantidamente, todas as tuplas de R tem valores diferentes para agAtr. Neste caso, é válida a expressão a seguir:

σSckNN[δ,∆,k,COUNT(DISTINCT(agAtr),tcond)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗,tcond))θc] Q(R)

(4.19) Vale ressaltar que, nos casos em que a regra da redundância da contagem de distintos é válida, por transitividade as regras válidas envolvendo c-aconds, apresentadas anteriormente, também são válidas. O modificador DISTINCT também altera o significado da nega¸cão de uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por contagem. Em se tratando de cd-aconds, não é válida uma regra semelhante à Regra 4.11, a menos que o atributo de

agrega¸cão seja chave candidata da rela¸cão de entrada. Esta observa¸cão é fundamentada na Expressão 4.20: ¨ σSckNN[δ,∆,k,COUNT(DISTINCT(agAtr),tcond)≥c] Q(R) < _σ_¨_S ckNN[δ,∆,k,COUNT(DISTINCT(agAtr),¬tcond)<(k−c+1))] Q(R) (4.20)

pois o lado esquerdo da expressão indica que o resultado deve incluir ao menos c tuplas que satisfazem tcond e tenham valores distintos para agAtr, enquanto o lado direito da expressão apenas impõe que o resultado deve ter menos de (k − c + 1) tuplas que não satisfazem tcond e que tem valores distintos para agAtr. Ou seja, o lado direito da ex- pressão não trata da quantidade de tuplas satisfazendo tcond e com valores distintos para agAtr, podendo até mesmo não retornar nenhuma tupla que satisfaz tcond, contradizendo a condi¸cão indicada no lado esquerdo da expressão.

4.3.3 Regras

Alg´ebricas

Envolvendo

Condi¸c˜oes

Baseadas

em

Agrega¸c˜ao por Soma ou por M´edia

As consultas aos vizinhos mais próximos estendidas com condi¸cões baseadas em agrega¸cão por soma e média têm poucas propriedades que podem ser utilizadas para reescrita de consultas. A única regra relevante para estes tipos de condi¸cões, definida a seguir, é baseada na observa¸cão que as defini¸cões de média e soma são correlacionadas (média = soma/contagem), se a condi¸cão de agrega¸cão não é filtrada.

Regra 4.13 (Equivalência entre agrega¸cão por soma e por média não filtradas) Uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por média não filtrada pode ser transformada em uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por soma não filtrada, e vice-versa, em uma sele¸cão por similaridade sobre uma rela¸cão com k tuplas ou mais envolvendo o operador ckNN,

isto ´e:

σSckNN[δ,∆,k,AVG(agAtr)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,SUM(agAtr)θ(k·c)] Q(R) (4.21)

Note-se que, se a condi¸cão baseada em agrega¸cão por média (ou por soma) é filtrada (tcond não nula), a Regra 4.13 não é válida. O motivo é que não se sabe a priori o valor da contagem de tuplas que satisfazem tcond no resultado da consulta. Sabe-se, apenas, que esse valor é menor ou igual a k, o que não é suficiente para tornar a regra válida.

4.3.4 Regras

Alg´ebricas

Envolvendo

Condi¸c˜oes

Baseadas

em

Agrega¸c˜ao por M´ınimo ou por M´aximo

Esta se¸cão apresenta as regras algébricas para a sele¸cão por similaridade envolvendo um operador ckNN restrito por uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por m´ınimo ou por

Regra 4.14 (Conversão de min-acond em tcond ) Uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por m´ınimo, cujo operador θ é ‘>’ ou ‘≥’, pode ser transformada em uma condi¸cão baseada em tupla em uma sele¸cão por similaridade. Isto é, são válidas as equivalências 4.22 e 4.23, respectivamente se tcond é nula na min-acond e se tcond não é nula na min-acond:

σSckNN[δ,∆,k,MIN(agAtr)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,(agAtr=NULL)∨(agAtrθc)] Q(R) (4.22)

σSckNN[δ,∆,k,MIN(agAtr,tcond)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,(tcond∧((agAtr=NULL)∨(agAtrθc)))∨(¬tcond)] Q(R)

(4.23) Observe-se que na Equivalência 4.22 a condi¸cão equivalente à min- acond é uma disjun¸cão de duas condi¸cões baseadas em tupla: a primeira htcond ∧ ((agAtr = NULL) ∨ (agAtrθc))i que considera as tuplas que satisfazem a condi¸cão de filtragem tcond e, portanto, cujo m´ınimo valor para o atributo agAtr deve ser c (ou então agAtr é nulo); e a segunda h¬tcondi para incluir as tuplas que não satisfazem a condi¸cão de filtragem da fun¸cão de agrega¸cão. Uma observa¸cão semelhante pode ser feita considerando-se a Equivalência 4.23. Uma exce¸cão à Regra 4.14, considerando a Equivalência 4.22, ocorre se o valor do atributo agAtr for nulo para todas as tuplas da rela¸cão de entrada. Neste caso, a ck-NNq com a condi¸cão baseada em agrega¸cão

por m´ınimo retorna uma rela¸cão vazia e a rela¸cão retornada pela ck-NNq com condi¸cão

baseada em tupla não é vazia. Outra exce¸cão à Regra 4.14 considera a Equivalência 4.23, caso todas as tuplas da rela¸cão de entrada que satisfazem a condi¸cão de filtragem tcond tenham valor nulo para o atributo agAtr.

Uma propriedade interessante da regra da conversão de min-acond em tcond é que uma sele¸cão por similaridade envolvendo o operador ckNN restrito por uma min-acond

pode ser convertida em uma sele¸cão convencional, cuja expressão condicional é a condi¸cão baseada em tupla equivalente à min-acond, seguida por uma sele¸cão por similaridade com um operadorckNN com condi¸cão nula. Isto é dado pelas equivalências 4.24 e 4.25, obtidas,

respectivamente, a partir das equivalˆencias 4.22 e 4.23, por transitividade pela Regra 4.5. ¨

σSckNN[δ,∆,k,MIN(agAtr)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k] Q(σ(agAtr=NULL)∨(agAtrθc)(R)) (4.24)

σSckNN[δ,∆,k,MIN(agAtr,tcond)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k] Q(σ(tcond∧((agAtr=NULL)∨(agAtrθc)))∨(¬tcond)(R))

(4.25) Regra 4.15 (Conversão de min-acond em c-acond ) Uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por m´ınimo, cujo operador θ é ‘≤’ ou ‘<’, pode ser transformada em uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por contagem em uma sele¸cão por similaridade. Isto é,

são válidas as equivalências 4.26 e 4.27, respectivamente se a condi¸cão tcond é nula na min-acond e se tcond não é nula na min-acond:

σSckNN[δ,∆,k,MIN(agAtr)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗,agAtrθc)≥1] Q(R) (4.26)

σSckNN[δ,∆,k,MIN(agAtr,tcond)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗,tcond∧(agAtrθc))≥1] Q(R) (4.27)

Analisando-se a Equivalˆencia 4.26, nota-se que a c-acond do operadorckNN da sele¸c˜ao

por similaridade à direita na equivalência indica que o resultado deve incluir ao menos uma tupla cujo valor de agAtr seja maior (ou igual) a c. É essa observa¸cão que garante que o valor m´ınimo para agAtr no resultado seja maior (ou igual) a c, como especificado na min-acond da consulta à esquerda na equivalência. Um racioc´ınio semelhante aplica-se à Equivalência 4.27. A regras 4.16 e 4.17, apresentadas a seguir, são equivalentes às regras 4.14 e 4.15, mas considerando condi¸cões baseadas em agrega¸cão por máximo.

Regra 4.16 (Conversão de max-acond em tcond ) Uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por máximo, cujo operador θ é ‘<’ ou ‘≤’, pode ser transformada em uma condi¸cão baseada em tupla em uma sele¸cão por similaridade. Isto é, são válidas as equivalências 4.28 e 4.29, respectivamente se tcond é nula na max-acond e se tcond não é nula na max-acond:

σSckNN[δ,∆,k,MAX(agAtr)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,(agAtr=NULL)∨(agAtrθc)] Q(R) (4.28)

σSckNN[δ,∆,k,MAX(agAtr,tcond)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,(tcond∧((agAtr=NULL)∨(agAtrθc)))∨(¬tcond)] Q(R)

(4.29) Regra 4.17 (Conversão de max-cond em c-acond ) Uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por máximo, cujo operador θ é ‘≥’ ou ‘>’, pode ser transformada em uma condi¸cão baseada em agrega¸cão por contagem em uma sele¸cão por similaridade. Isto é, são válidas as equivalências 4.30 e 4.31, respectivamente se tcond é nula na max-acond e se tcond não é nula na max-acond:

σSckNN[δ,∆,k,MAX(agAtr)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗,agAtrθc)≥1] Q(R) (4.30)

σSckNN[δ,∆,k,MAX(agAtr,tcond)θc] Q(R) ⇔ ¨σSckNN[δ,∆,k,COUNT(∗,tcond∧(agAtrθc))≥1] Q(R) (4.31)

As regras 4.14, 4.15, 4.16 e 4.17 mostram que as principais varia¸cões de min-aconds e max-aconds podem ser representadas utilizando outros tipos de condi¸cões restringindo o operadorckNN em uma sele¸cão por similaridade. Os casos que escapam a essas regras são

as exce¸cões citadas e as consultas que utilizam min-aconds ou max-aconds, cujo operador θ é ‘=’ ou ‘6=’, que têm aplica¸cão prática limitada. Desta forma, as condi¸cões baseadas em agrega¸cão por m´ınimo e máximo são convenientes para representar consultas, contudo pouco aumentam o poder de expressividade do operador ckNN.

No documento Tratamento de condições especiais para busca por similaridade em bancos de dados... (páginas 111-117)