Condic¸˜oes iniciais de simulac¸˜ao

A condic¸˜ao inicial do escoamento deve ser definida levando-se em considerac¸˜ao a geometria da tubulac¸˜ao e as condic¸˜oes de contorno na entrada. Pode-se inicializar a simulac¸˜ao com escoamento estratificado ao longo de toda a tubulac¸˜ao, ou definir um trecho na entrada que tem o regime estratificado e o restante da tubulac¸˜ao toda preenchida por l´ıquido.

Para tubulac¸˜ao horizontal e sem mudanc¸a de direc¸˜ao (ver Figura 4.17), pode-se assumir que, no instante inicial, o escoamento encontra-se no regime estratificado ao longo de toda a tubulac¸˜ao. Sendo assim, o modelo de iniciac¸˜ao de golfadas ´e utilizado para gerar pist˜oes, indicado em 𝑡 = 𝑡1. Ap´os a formac¸˜ao de um n´umero m´ınimo de pist˜oes, em 𝑡 = 𝑡2, o modelo de seguimento de pist˜oes comec¸a a ser utilizado para as c´elulas j´a desenvolvidas. Quando as primeiras c´elulas unit´arias alcanc¸am a sa´ıda da tubulac¸˜ao, representado em 𝑡 = 𝑡3, o modelo de captura de golfadas ´e eliminado da sa´ıda.

0 z = z=L 1 t 2 t z t

Captura de golfadas Seg. de pistões Captura de golfadas

Captura de golfadas

Captura de golfadas

Captura de golfadas Seguimento de pistões

0

3

t

Figura 4.17: In´ıcio da simulac¸˜ao no padr˜ao estratificado para tubulac¸˜ao horizontal

Uma segunda possibilidade para o caso horizontal consiste em considerar que, no instante inicial, toda a tubulac¸˜ao est´a preenchida com l´ıquido. Ressalta-se que um pequeno trecho na entrada da tubulac¸˜ao deve ser definido como estratificado, uma vez que o modelo de captura de golfadas precisa de pelo menos duas c´elulas para que se possa montar e resolver o sistema de equac¸˜oes. Representa uma situac¸˜ao em que h´a apenas o escoamento monof´asico, at´e que a fase gasosa comec¸a a entrar na tubulac¸˜ao juntamente com o l´ıquido. A situac¸˜ao na qual o escoamento ocorre a partir do regime monof´asico est´a representada na Figura 4.18.

Sendo assim, o modelo de iniciac¸˜ao de golfadas ´e utilizado para gerar os pist˜oes, e ap´os a formac¸˜ao de um n´umero m´ınimo de bolhas, em 𝑡 = 𝑡1, o modelo de seguimento de pist˜oes comec¸a a ser utilizado. Assim, a ´ultima c´elula unit´aria ´e transferida para o modelo de seguimento de pist˜oes, representado em 𝑡 = 𝑡′₁. Na continuidade da simulac¸˜ao, as c´elulas unit´arias geradas s˜ao transferidas uma a uma para o modelo de seguimento de pist˜oes, que passa a rastrear as c´elulas at´e que alcancem a sa´ıda da tubulac¸˜ao, o que est´a ilustrado em 𝑡 = 𝑡2.

t 0 t = 1 t t ' 1 t 2 t Captura de golfadas Seguimento de pistões Captura de golfadas Captura de golfadas 0 z = z=L z Seguimento de pistões Captura de golfadas

Figura 4.18: In´ıcio da simulac¸˜ao no padr˜ao monof´asico para tubulac¸˜ao horizontal

A simulac¸˜ao para tubulac¸˜oes com mudanc¸a de direc¸˜ao, de horizontal para ascendente, ilustrada na Figura 4.19, pode ser inicializada com escoamento estratificado utilizando-se somente o modelo de captura de golfadas. Ap´os a gerac¸˜ao de um determinado n´umero de pist˜oes, a partir de 𝑡 = 𝑡1, as c´elulas unit´arias s˜ao transferidas para o modelo de seguimento de pist˜oes (ver Figura 4.14a).

Quando a frente da ´ultima bolha do modelo de seguimento de pist˜oes estiver a uma distˆancia inferior a 40𝐷 do cotovelo, a partir de 𝑡 = 𝑡2, a c´elula unit´aria correspondente volta para o modelo de captura de golfadas (ver Figura 4.14b), que simula o escoamento na regi˜ao do cotovelo. Por fim, ap´os um determinado n´umero de pist˜oes atravessar a regi˜ao do cotovelo, para 𝑡 > 𝑡3, as c´elulas unit´arias s˜ao novamente simuladas pelo modelo de seguimento de pist˜oes, conforme representado em 𝑡 = 𝑡4.

z t 0 1 t 2 t 3 t 4 t

Figura 4.19: In´ıcio da simulac¸˜ao no padr˜ao estratificado para tubulac¸˜ao com mudanc¸a de direc¸˜ao horizontal / ascendente.

Pode-se tamb´em iniciar a simulac¸˜ao a partir do escoamento monof´asico, como est´a ilustrado na Figura 4.20. Assume-se toda a tubulac¸˜ao preenchida por l´ıquido no instante inicial, exceto um pequeno trecho na entrada da tubulac¸˜ao que deve conter sec¸˜oes com escoamento estratificado. A grande vantagem de iniciar a simulac¸˜ao com escoamento monof´asico ´e o custo computacional. De fato, se o escoamento ´e monof´asico no in´ıcio, h´a somente um pist˜ao ocupando quase toda a tubulac¸˜ao, e para o pist˜ao, somente uma equac¸˜ao ´e resolvida.

Assim, em 𝑡 = 0 (Figura 4.20), quase toda a tubulac¸˜ao est´a preenchida com l´ıquido, e o modelo de captura de golfadas simula o escoamento at´e que alguns pist˜oes tenham se formado. Em algum instante (𝑡 = 𝑡2), o trecho horizontal tem c´elulas unit´arias rastreadas pelos dois modelos. Conforme as bolhas ficam a uma distˆancia inferior a 40𝐷 do cotovelo, s˜ao transferidas uma a uma para o modelo de captura de golfadas novamente, que melhor fornece as condic¸˜oes do escoamento durante a mudanc¸a de direc¸˜ao, ilustrado em 𝑡 = 𝑡3. Na sequˆencia da simulac¸˜ao, as c´elulas no trecho ascendente s˜ao uma a uma transferidas para o modelo de seguimento de pist˜oes at´e a sa´ıda da tubulac¸˜ao, o que est´a representado em 𝑡 = 𝑡4.

z t 0 1 t 2 t 3 t 4 t

Figura 4.20: In´ıcio da simulac¸˜ao no padr˜ao monof´asico para tubulac¸˜ao com mudanc¸a de direc¸˜ao horizontal / ascendente.

Por fim, pode-se inicializar o programa com dados experimentais na entrada da tubulac¸˜ao. Nesse caso, assume-se escoamento monof´asico, em 𝑡 = 0, e apenas o modelo de seguimento de pist˜oes ´e utilizado para simular o escoamento nos instantes iniciais da simulac¸˜ao. Em 𝑡 = 𝑡1, quando a frente da ´ultima bolha est´a a distˆancia 10𝐷 do cotovelo, a c´elula unit´aria passa para o modelo de captura de golfadas (ou seja, introduz-se o segundo modelo), conforme ilustrado em 𝑡 = 𝑡′₁.

Assim, na sequˆencia da simulac¸˜ao, as c´elulas unit´arias que alcanc¸am o cotovelo s˜ao uma a uma transferidas para o modelo de captura de golfadas a cada vez que a frente da bolha est´a a 10𝐷 do cotovelo. No trecho descendente, apenas o modelo de captura de golfadas ´e utilizado para simular o escoamento, uma vez que pode ocorrer a transic¸˜ao para o regime estratificado.

t 1 t ' 1 t z 0 2 t

Figura 4.21: In´ıcio da simulac¸˜ao no padr˜ao monof´asico com mudanc¸a de direc¸˜ao de horizontal para descendente.

O c´odigo h´ıbrido ´e capaz, portanto, de utilizar os dois modelos simultaneamente. A tubulac¸˜ao pode ser dividida em v´arios trechos, dependendo do caso que se quer simular, e cada trecho utiliza um modelo diferente de forma alternada. Pode-se inicializar o programa com qualquer um dos c´odigos, a depender da condic¸˜ao de contorno na entrada da tubulac¸˜ao. A cada passo de tempo, todas as interfaces (fronteiras entre dois modelos consecutivos) devem ser atualizadas, c´elulas podem ser transferidas de um modelo para outro, e ainda, um modelo pode ser exclu´ıdo. Essa flexibilidade do programa permite a simulac¸˜ao dos diversos casos citados nesta subsec¸˜ao, e possivelmente outros casos que poder˜ao ser explorados em trabalhos futuros. Na pr´oxima subsec¸˜ao, ser˜ao explicadas em detalhes as etapas da soluc¸˜ao por meio da metodologia h´ıbrida.

4.3.4 PASSOS PARA A SOLUC¸ ˜AO

Para a simulac¸˜ao, devem ser conhecidas as condic¸˜oes iniciais e de contorno. Na sa´ıda da tubulac¸˜ao, a condic¸˜ao de contorno ´e a press˜ao. Na entrada da tubulac¸˜ao, a condic¸˜ao de contorno pode ser o par de velocidades superficiais das fases ou informac¸˜oes completas das c´elulas unit´arias que est˜ao sendo inseridas.

No primeiro caso, o modelo 1 (adjacente `a entrada da tubulac¸˜ao) ser´a o modelo de captura de golfadas, e os valores que devem ser informados s˜ao as velocidades superficiais na entrada da tubulac¸˜ao, conforme foi explicado na subsec¸˜ao 4.1.4.

Para o segundo caso, o modelo 1 ´e o modelo de seguimento de pist˜oes, que ´e alimentado com dados das c´elulas que est˜ao sendo inseridas. A seguir ser˜ao descritas todas as etapas do c´odigo h´ıbrido; as mesmas se repetem a cada passo de tempo, at´e o encerramento da simulac¸˜ao.

1 - Soluc¸˜ao da lista de modelos

Na Figura 4.22, est´a representado o processo para a soluc¸˜ao global do c´odigo h´ıbrido. Inicia-se a soluc¸˜ao pelo modelo 𝑁 , adjacente `a sa´ıda da tubulac¸˜ao. Ap´os a soluc¸˜ao do mesmo, as informac¸˜oes que servem como condic¸˜ao de contorno para o modelo 𝑁 − 1 s˜ao atualizadas na fronteira modelo 𝑁 − 1/modelo 𝑁 . Parte-se ent˜ao para a soluc¸˜ao do modelo 𝑁 − 1, e assim por diante, at´e a soluc¸˜ao do modelo 1.

Modelo N Modelo N-1

Modelo 1 Modelo 2 ... p_atm

Sentido do escoamento z , , ( , ) ou Dados S S L in G in U U

Figura 4.22: Representac¸˜ao da etapa da soluc¸˜ao da lista de modelos.

2 - Atualizac¸˜ao do conte ´udo de cada modelo

Conforme bolhas avanc¸am na tubulac¸˜ao, as mesmas podem ser transferidas de um modelo para outro (ver Figura 4.14), conforme explicados nos diversos casos apresentados na subsec¸˜ao anterior. Tamb´em deve-se verificar a coalescˆencia de bolhas pertencentes a modelos diferentes, fazendo o devido tratamento (ver Figura 4.16). Deve-se, portanto, fazer a manutenc¸˜ao de cada uma das 𝑁 listas.

3 - Atualizac¸˜ao do n ´umero de modelos

Modelos podem ser inseridos ou exclu´ıdos com o andamento da simulac¸˜ao. Quando for o caso, o n´umero 𝑁 de modelos ´e atualizado, e h´a uma renumerac¸˜ao da lista.

4 - Atualizac¸˜ao das condic¸˜oes de contorno

At´e esta etapa, a posic¸˜ao de todas as interfaces e as informac¸˜oes de todas as listas est˜ao bem definidas e atualizadas. Deve-se, por fim, atualizar as condic¸˜oes de contorno em cada uma das interfaces, preparando a simulac¸˜ao para o pr´oximo passo de tempo.

4.4 CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS

Neste cap´ıtulo, dedicou-se a apresentar a modelagem num´erica. Individualmente, foram feitas algumas modificac¸˜oes em relac¸˜ao aos trabalhos de Rodrigues (2009) e Conte (2014), com o objetivo de melhorar a metodologia num´erica. Por´em, a principal contribuic¸˜ao

do presente trabalho est´a na sec¸˜ao 4.3, onde foi proposta a metodologia para o acoplamento dos dois modelos.

N˜ao se pretendeu esgotar o tema. Pelo contr´ario, espera-se que muitas melhorias possam ser feitas em estudos futuros, uma vez que este ´e o primeiro trabalho direcionado `a essa nova metodologia. No pr´oximo cap´ıtulo, ser˜ao apresentados os resultados conseguidos at´e aqui.

5 RESULTADOS

Os resultados da metodologia h´ıbrida proposta neste trabalho ser˜ao agora apresentados e discutidos. Trˆes tipos de simulac¸˜oes foram realizados. O primeiro consiste na simulac¸˜ao apenas para tubulac¸˜oes horizontais. Depois, foram realizadas simulac¸˜oes com tubulac¸˜oes que possuem uma mudanc¸a de direc¸˜ao, de horizontal para ascendente. No terceiro, foram realizadas simulac¸˜oes com mudanc¸a de direc¸˜ao de horizontal para descendente.

Para os dois primeiros casos, o programa foi inicializado a partir do escoamento monof´asico de l´ıquido e foi inserido um trecho descendente e estratificado na entrada da tubulac¸˜ao para iniciar o escoamento intermitente com uma frequˆencia maior, possibilitando visualizar dados do desenvolvimento do escoamento at´e que o mesmo atinja uma configurac¸˜ao est´avel. Os dois primeiros tipos de simulac¸˜oes tˆem o objetivo de verificar a implementac¸˜ao e o acoplamento proposto na metodologia h´ıbrida.

No terceiro e ´ultimo tipo de simulac¸˜ao, foram simulados escoamentos com mudanc¸a de direc¸˜ao de horizontal para descendente, inicializando-se o programa com escoamento monof´asico e alimentado com dados experimentais na entrada da tubulac¸˜ao.

Quanto ao refinamento da malha (no modelo de dois fluidos) e o passo de tempo, ∆𝑧 e ∆𝑡, respectivamente, os valores foram selecionados com base na an´alise de sensibilidade do trabalho de Conte (2014), que fez um amplo estudo sobre a influˆencia desses termos na convergˆencia do modelo de dois fluidos. Outro fator importante ´e a relac¸˜ao entre ∆𝑧 e ∆𝑡, que deve satisfazer a condic¸˜ao de CFL. Reconhece-se desde j´a a importˆancia de que algum estudo futuro seja especificamente direcionado `a an´alise de sensibilidade da metodologia h´ıbrida em relac¸˜ao a esses parˆametros.

Na Tabela 5.1, listam-se as propriedades que ser˜ao utilizadas em todas as simulac¸˜oes. Basicamente, os fluidos s˜ao ´agua e ar `a temperatura ambiente.

Tabela 5.1: Propriedades dos fluidos e condic¸˜oes do escoamento

Diˆametro da tubulac¸˜ao 𝐷 = 26 [𝑚𝑚]

Densidade do l´ıquido 𝜌𝐿 = 1000 [𝑘𝑔/𝑚3] Viscosidade dinˆamica do l´ıquido 𝜇𝐿= 0, 000855 [𝑘𝑔/𝑚 · 𝑠]

Viscosidade dinˆamica do g´as 𝜇𝐺 = 0, 000017 [𝑘𝑔/𝑚 · 𝑠] Produto entre a constante dos gases e a temperatura ambiente 𝑅𝑇 = 0, 0000116 [𝐽/𝑘𝑔]