Simulação numérica do escoamento intermitente utilizando uma metodologia híbrida baseada no acoplamento dos modelos de captura de golfadas e de seguimento de pistões

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CAMPUS CURITIBA

DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA E DE MATERIAIS – PPGEM

VINÍCIUS RODRIGUES DE ALMEIDA

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO INTERMITENTE

UTILIZANDO UMA METODOLOGIA HÍBRIDA BASEADA NO

ACOPLAMENTO DOS MODELOS DE CAPTURA DE GOLFADAS

E DE SEGUIMENTO DE PISTÕES

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

CURITIBA 2017

(2)

SIMULAC

¸ ˜

AO NUM ´

ERICA DO ESCOAMENTO INTERMITENTE

UTILIZANDO UMA METODOLOGIA H´IBRIDA BASEADA NO

ACOPLAMENTO DOS MODELOS DE CAPTURA DE GOLFADAS E

DE SEGUIMENTO DE PIST ˜

OES

Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do t´ıtulo de Mestre em Engenharia, pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, do Campus de Curitiba, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Área de concentração: Engenharia Térmica.

Orientador: Prof. Dr. Rigoberto Eleazar Melgarejo Morales

CURITIBA 2017

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação A447s Almeida, Vinícius Rodrigues de

2017 Simulação numérica do escoamento intermitente utilizando uma metodologia híbrida baseada no acoplamento dos

modelos de captura de golfadas e de seguimento de pistões / Vinícius Rodrigues de Almeida.-- 2017. 163 f.: il.; 30 cm.

Texto em português com resumo em inglês.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Curitiba, 2017.

Bibliografia 120-122.

1. Engenharia mecânica - Dissertações. 2. Engenharia térmica. 3. Métodos de simulação. 4. Modelos matemáticos. 5. Mecânica dos fluídos. 6. Escoamento intermitente. 7. Escoamento em golfadas. I. Melgarejo Morales, Rigoberto Eleazar. II. Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais. III. Título.

CDD: Ed. 22 -- 620.1 Biblioteca Ecoville da UTFPR, Câmpus Curitiba

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TERMO DE APROVAÇÃO

VINÍCIUS RODRIGUES DE ALMEIDA

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO EM

GOLFADAS UTILIZANDO UMA METODOLOGIA HÍBRIDA

BASEADA NO ACOPLAMENTO DOS MODELOS DE CAPTURA

DE GOLFADAS E DE SEGUIMENTO DE PISTÕES

Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia, área de concentração em engenharia de ciências térmicas, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais.

_________________________________ Prof. Paulo César Borges, Dr.

Coordenador do Programa

Banca Examinadora

Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr. PPGEM/UTFPR

Prof. Viviana Cocco Mariani, Dra. PUC/PR

Prof. Moisés A. Marcelino Neto, Dr. PPGEM/UTFPR

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Primeiramente, agradec¸o a Deus por toda a forc¸a que tem me dado.

Agradeço à minha mãe, Valderes, a quem dedico este trabalho, que em todos os momentos me deu todo o suporte e apoio para que eu conseguisse estudar e realizar os meus sonhos. Ao meu pai (in memorian), Luiz Carlos, que me ajudou em tudo e fez o que estava ao seu alcance para a nossa fam´ılia, deixando-nos ensinamentos dos quais jamais me esquecerei.

Agradeço aos meu irmãos, Ciro e Cintia, ao meu cunhado, Marcelo, e aos meus sobrinhos, Eduardo, Gabriela e Davi, que estiveram comigo nos momentos mais dif´ıceis, e juntos temos compartilhado também inúmeros momentos de alegria.

Aos muitos colegas e amigos que fiz durantes esses dois anos e meio de mestrado na cidade de Curitiba. Não ouso escrever o nome de um a um por receio de me esquecer de alguém, mas cada um deles sabe a importância que teve para mim, seja ajudando com discussões relacionadas ao meu trabalho, ou compartilhando momentos de lazer.

Agradec¸o ao Marco, que me coorientou e dedicou muitas horas para que este trabalho se concretizasse. E ao meu orientador, o professor Rigoberto, pela disponibilidade, pelo trabalho proposto, pela confianc¸a depositada e pela estrutura fornecida.

`

A Universidade Tecnológica Federal do Paraná, ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais do Campus Curitiba, ao Núcleo de Escoamento Multifásico, à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de N´ıvel Superior e à Petrobrás pela estrutura e suporte financeiro.

Por fim, eu sou grato a todos que contribu´ıram de alguma forma, direta ou indiretamente, para que este trabalho fosse poss´ıvel.

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ALMEIDA, Vin´ıcius Rodrigues de. SIMULAÇ ÃO NUM ÉRICA DO ESCOAMENTO INTERMITENTE UTILIZANDO UMA METODOLOGIA HÍBRIDA BASEADA NO ACOPLAMENTO DOS MODELOS DE CAPTURA DE GOLFADAS E DE SEGUIMENTO DE PIST ÕES. 163 f. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2017.

O escoamento em golfadas consiste na passagem intermitente de pistões de l´ıquido e bolhas alongadas, sendo comum nas linhas de produção de petróleo e na indústria nuclear. Muitas pesquisas têm sido feitas nessa área, e mesmo assim, o entendimento desse padrão de escoamento ainda não está completamente esclarecido na literatura. Existem algumas dificuldades na modelagem do fenômeno de formação das golfadas e influência da mudança de direção. Além disso, o regime intermitente em escoamento descendente e a transição para o regime estratificado têm sido pouco estudados. Em um trabalho recente, Conte (2014) utilizou um modelo Lagrangiano, baseado no modelo de dois fluidos para o caso unidimensional e isotérmico, para simular a iniciação das golfadas. A desvantagem é o custo computacional relativamente elevado. Outra metodologia para simular a evolução das golfadas, também Lagrangiana e unidimensional, é o modelo de seguimento de pistões de Rodrigues (2009). A mesma possui um baixo custo computacional, porém necessita que as propriedades do escoamento na entrada da tubulação sejam conhecidas. A finalidade deste trabalho é apresentar uma metodologia para o acoplamento dos modelos de captura de golfadas e de seguimento de pistões e implementar uma rotina computacional capaz de trabalhar com ambos os modelos simultaneamente. Será poss´ıvel simular a iniciação das golfadas na entrada da tubulação, e acompanhar o desenvolvimento das mesmas a um custo computacional mais baixo. Para isso, utiliza-se o modelo de captura de golfadas para simular a formação dos pistões e os efeitos quando há mudança de direção na tubulação. Já o modelo de seguimento de pistões rastreia as células unitárias em trechos retos. A metodologia h´ıbrida proposta neste trabalho se mostrou capaz de prever as principais variáveis do escoamento em qualquer posição da tubulação: comprimentos da bolha e do pistão, frequência das golfadas, pressão e fração de vazio na região da bolha. Uma boa concordância nos resultados foi observada, juntamente com um custo computacional inferior a 50% da metodologia h´ıbrida em relação à de captura de golfadas. Pode-se também inicializar o programa com dados experimentais na entrada da tubulação utilizando o modelo de seguimento de pistões, e utilizar o modelo de captura de golfadas para avaliar a influência quando há mudança de direção de horizontal para descendente. Para esse segundo caso, os resultados foram comparados com dados experimentais, observando-se que a metodologia foi capaz de prever os casos em que há transição para o escoamento estratificado.

Palavras-chave: Escoamento intermitente, Iniciação de golfadas, Seguimento de pistões, Mudança de direção, Metodologia h´ıbrida.

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ALMEIDA, Vin´ıcius Rodrigues de. NUMERICAL SIMULATION OF SLUG FLOW USING A HYBRID METHODOLOGY BASED ON SLUG CAPTURING AND SLUG TRACKING MODELS. 163 f. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2017.

The slug flow consists of the intermittent repetition of liquid slugs and elongated bubbles, and it is a common flow regime in oil production and nuclear industry. Even though many studies have been conducted, the complete understanding of this flow pattern is not yet found in the literature. There are some difficulties in modeling the slug initiation and influence of the change of direction. In addition, the intermittent downward flow and the transition to the stratified regime is not well understood. In a recent work, Conte (2014) used a Lagrangian approach, based on the two-fluid model for the one-dimensional and isothermal case, to simulate the slug initiation. The disadvantage is the relatively high computational time. Another methodology to simulate the evolution of slugs, also Lagrangian and one-dimensional, is the Rodrigues (2009) slug tracking model. It has a lower computational cost than the slug capturing, but requires the properties of the flow at the inlet of the pipeline to be known. The purpose of this work is to present a methodology for the coupling of the slug capturing and slug tracking models and to develop a computational routine capable of working with both models simultaneously. It will be possible to simulate the slug initiation at the entrance of the pipeline, and to follow the development of the slugs at a lower computational cost. In order to do that, the slug capturing model is used to simulate the formation of the slugs and the effects when there is change of direction in the pipe. The slug tracking model tracks the unit cells in straight sections. The hybrid methodology proposed in this work was able to predict the main flow variables at any position in the pipeline: bubble and slug lengths, slug frequency, pressure and void fraction in the bubble region. A good agreement in the results was observed, along with a reduction of about 50% of the computational cost required by the hybrid methodology when compared to a pure slug capturing. It is also possible to start-up the program with experimental data at the inlet of the pipeline using the slug tracking model, and to use the slug capturing to evaluate the influence when there is a change of direction from horizontal to descending. For this second case, the results were compared to experimental data, observing that the methodology was able to predict the cases in which there is transition to the stratified regime.

Keywords: Intermittent flow, Slug initiation, Slug tracking, Change of direction, Hybrid methodology.

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–

Figura 1.1 Exploração de petróleo em águas profundas. . . 17 –

Figura 1.2 Mapa de fluxo para escoamento horizontal de ´agua-ar para diˆametro de 1 polegada baseado no trabalho de Barnea (1987). . . 18 –

Figura 2.1 C´elula unit´aria do escoamento intermitente. . . 24 –

Figura 2.2 Caracter´ısticas geom´etricas da regi˜ao estratificada. . . 25 –

Figura 2.3 Crescimento de onda na interface do escoamento estratificado. . . 26 –

Figura 2.4 a) Passagem do filme no cotovelo inferior, causando b) a formação de um novo pistão ou c) o deslocamento de l´ıquido para o pistão anterior. . . 28 –

Figura 2.5 a) Passagem do filme no cotovelo superior, causando b) a redução da massa de l´ıquido no pistão anterior ou c) dissipação do pistão de l´ıquido e surgimento do pistão de gás. . . 29 –

Figura 2.6 C´elula unit´aria do escoamento intermitente definida por Wallis (1969). . . 31 –

Figura 2.7 Queda de pressão ao longo da célula unitária. . . 32 –

Figura 3.1 Transic¸˜ao do escoamento estratificado para golfadas. . . 36 –

Figura 3.2 Balanço de forças no pistão. . . 38 –

Figura 3.3 Célula unitária do modelo de seguimento de pistões . . . 42 –

Figura 4.1 Malha utilizada para a soluc¸˜ao do problema. . . 44 –

Figura 4.2 Soluc¸˜ao do problema de Riemann. . . 52 –

Figura 4.3 Estado intermedi´ario esquerdo e direito. . . 52 –

Figura 4.4 Estado intermedi´ario esquerdo e direito. . . 53 –

Figura 4.5 Deslocamento da frente do pist˜ao . . . 55 –

Figura 4.6 C´alculo do fluxo na entrada . . . 57 –

Figura 4.7 Verificação na entrada da tubulação. . . 58 –

Figura 4.8 Verificação na sa´ıda da tubulação. . . 58 –

Figura 4.9 Célula unitária com pistão não-aerado. . . 60 –

Figura 4.10 Processo de entrada de bolhas e pistões na tubulação. . . 63 –

Figura 4.11 Processo de sa´ıda de bolhas e pistões na tubulação. . . 65 –

Figura 4.12 Coalescˆencia de bolhas. . . 67 –

Figura 4.13 Acoplamento dos modelos . . . 68 –

Figura 4.14 Transic¸˜oes na interface entre os modelos. . . 69 –

Figura 4.15 Condic¸˜oes de contorno nas fronteiras. . . 70 –

Figura 4.16 Coalescˆencia nas interfaces. . . 72 –

Figura 4.17 In´ıcio da simulação no padrão estratificado para tubulação horizontal . . . . 73 –

Figura 4.18 In´ıcio da simulação no padrão monofásico para tubulação horizontal . . . . 74 –

Figura 4.19 In´ıcio da simulação no padrão estratificado para tubulação com mudança de direção horizontal / ascendente. . . 75 –

Figura 4.20 In´ıcio da simulação no padrão monofásico para tubulação com mudança de direção horizontal / ascendente. . . 76 –

Figura 4.21 In´ıcio da simulação no padrão monofásico com mudança de direção de horizontal para descendente. . . 77 –

Figura 4.22 Representação da etapa da solução da lista de modelos. . . 78 –

(9)

–

Figura 5.4 Valores m´edios para o ponto P04 para escoamento horizontal. . . 87 –

Figura 5.5 Foto do escoamento para o ponto P04 em um instante de tempo, com a metodologia h´ıbrida. . . 88 –

Figura 5.8 Comparação dos resultados da metodologia h´ıbrida com o modelo de captura de golfadas salvos na posição 𝑧 = 41 [𝑚]. . . 92 –

Figura 5.9 Configuração da tubulação para o caso horizontal com mudança de direção para ascendente. . . 94 –

Figura 5.10 Valores m´edios para o ponto P02 para escoamento horizontal e ascendente. . . 96 –

Figura 5.12 Foto do escoamento para o ponto P04 em dois instantes mostrando o ac´umulo de l´ıquido durante a passagem do filme pelo cotovelo. . . 98 –

Figura 5.16 Comparac¸˜ao dos resultados do presente trabalho com o modelo de captura de golfadas. . . 103 –

Figura 5.17 Posições das probes e comprimentos dos trechos, onde a) corresponde à configuração experimental no trabalho de Alves (2015), e b) mostrando que a simulação numérica é iniciada na posição correspondente à do primeiro sensor. . . 106 –

Figura 5.18 Valores m´edios para o ponto P11. . . 107 –

Figura 5.19 Foto do escoamento e do perfil de velocidade para o ponto P11 e inclinac¸˜ao −5𝑜_{. . . 108} –

Figura A.1 Caracter´ısticas geom´etricas da regi˜ao estratificada. . . 123 –

Figura B.1 Parˆametros do escoamento estratificado. . . 128 –

Figura B.2 Aproximação hidrostática. . . 128 –

Figura C.1 Volume de controle ao redor do pist˜ao. . . 131 –

Figura C.2 Volume de controle ao redor da bolha alongada e do filme. . . 132 –

Figura C.3 Queda de press˜ao na regi˜ao da mistura. . . 135 –

Figura D.1 Segunda etapa da soluc¸˜ao do filme de l´ıquido. . . 137 –

Figura D.2 Soluc¸˜ao do problema de Riemann. . . 137 –

Figura D.3 Segunda etapa da soluc¸˜ao do filme de l´ıquido. . . 139 –

Figura D.4 Estado intermedi´ario esquerdo e direito. . . 140 –

(10)

–

Figura E.4 Valores m´edios para o ponto P08 para escoamento horizontal. . . 156 –

Figura E.5 Valores m´edios para o ponto P09 para escoamento horizontal. . . 157 –

Figura E.6 Valores m´edios para o ponto P01 para escoamento horizontal e ascendente. . . 159 –

Figura E.10 Valores m´edios para o ponto P09 para escoamento horizontal e ascendente. . . 163

(11)

–

Tabela 4.1 Velocidade da frente da bolha . . . 54 –

Tabela 4.2 Velocidade da frente do pist˜ao . . . 56 –

Tabela 5.1 Propriedades dos fluidos e condic¸˜oes do escoamento . . . 80 –

Tabela 5.2 Grade de testes para o caso horizontal . . . 82 –

Tabela 5.3 Comparativo dos custos computacionais dos dois modelos para tubulac¸˜ao horizontal . . . 93 –

Tabela 5.4 Grade de testes para o caso horizontal com mudança de direção para ascendente . . . 95 –

Tabela 5.5 Comparativo dos custos computacionais dos dois modelos para tubulac¸˜ao horizontal e ascendente . . . 104 –

Tabela 5.6 Grade de testes . . . 106 –

Tabela A.1 Coeficientes para o c´alculo da velocidade da bolha . . . 124 –

Tabela A.2 Coeficientes para o c´alculo de ¯ℎ . . . 125 –

Tabela D.1 Rarefação à esquerda - rarefação à direita . . . 141 –

Tabela D.2 Rarefação à esquerda - choque à direita . . . 142 –

Tabela D.3 Choque à esquerda - rarefação à direita . . . 143 –

Tabela D.4 Choque `a esquerda - choque `a direita . . . 144 –

Tabela D.5 Choque saturado . . . 145 –

Tabela D.6 Rarefação à esquerda - Vazio à direita . . . 146 –

Tabela D.7 Vazio à esquerda - Rarefação à direita . . . 147 –

Tabela D.8 Rarefação à esquerda - Rarefação à direita com leito vazio . . . 148 –

Tabela D.9 Caso seção-pistão (frente de bolha) . . . 149 –

Tabela D.10 Caso pistão-seção (frente de bolha) . . . 150 –

Tabela E.1 Grade de testes para o caso horizontal . . . 152 –

(12)

S´ımbolo Descric¸˜ao Unidade

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 Coeficientes do sistema tri-diagonal [1/𝑠]

𝑎𝑊, 𝑏𝑊 Coeficientes para o c´alculo do fator de esteira [−]

𝐴 Area´ [𝑚2_]

𝐶0 Coeficiente para o c´alculo da velocidade da bolha [𝑚3/𝑠]

𝐶𝑓 Fator de atrito de Fanning [−]

𝐷 Diâmetro da tubulação [𝑚]

𝐷ℎ Diˆametro hidr´aulico [𝑚]

𝐹 Forc¸as volum´etricas [𝑁/𝑚3]

𝑓 Coeficiente para o perfil polinomial da bolha [−]

𝑓𝑆 Frequˆencia das golfadas [1/𝑠]

𝑓𝑈 Frequência da célula unitária [1/𝑠]

𝐹 𝑟 N´umero de Froude [−]

𝑔 Acelerac¸˜ao da gravidade [𝑚/𝑠2]

¯

ℎ Fator de esteira [−]

ℎ Coeficiente para o perfil polinomial da bolha [−]

ℎ𝐿 Altura da coluna de l´ıquido [𝑚]

𝐿 Comprimento da tubulac¸˜ao [𝑚]

𝐿𝑐𝑟 Máximo comprimento da célula (captura de golfadas) [𝑚] 𝐿𝑚𝑖𝑛 Comprimento m´ınimo do pistão antes da coalescência [𝑚]

𝑚 Massa [𝑘𝑔]

𝑁 Número total de células ou volumes de controle [−] 𝑁𝑐𝑒𝑙 Número de células simuladas pelo slug capturing [−]

𝑝 Press˜ao absoluta [𝑃 𝑎]

𝑄 Vaz˜ao volum´etrica [𝑚3/𝑠]

𝑅 Frac¸˜ao de fase [−]

𝑅 Constante universal dos gases perfeitos [𝐽/𝑘𝑔.𝑜𝐶]

𝑅𝑒 N´umero de Reynolds [−]

𝑆 Per´ımetro [𝑚]

𝑡 Tempo [𝑠]

(13)

𝐷 Velocidade de deslizamento [𝑚/𝑠]

𝑈𝑀 Velocidade da mistura [𝑚/𝑠]

𝑈𝑆 Velocidade superficial [𝑚/𝑠]

𝑈𝑇 Velocidade de translac¸˜ao da bolha alongada [𝑚/𝑠]

𝑉– Volume [𝑚3]

𝑥 Coordenada de posic¸˜ao [𝑚]

𝑦 Coordenada de posic¸˜ao [𝑚]

𝑧 Coordenada de posic¸˜ao [𝑚]

∆𝑧 Refinamento da malha (modelo captura de golfadas) [−]

∆𝑡 Passo de tempo [−]

Θ Coeficiente para c´alculo da frequˆencia [−]

𝜃 Angulo de inclinação da tubulação com a horizontalˆ [𝑜_] 𝜅 Parâmetro do modelo de iniciação de golfadas [𝑚2/𝑠2_] 𝜆 Razão entre velocidade superficial do l´ıquido e da mistura [−]

𝜇 Viscosidade dinˆamica [𝑃 𝑎.𝑠]

𝜉 Vari´avel espacial adimensional para o comprimento da bolha [−]

𝜌 Massa espec´ıfica [𝑘𝑔/𝑚3]

𝜎 Tens˜ao superficial [𝑁/𝑚]

𝜏 Tens˜ao cisalhante [𝑁/𝑚]

Φ Coeficiente para c´alculo da frequˆencia [−]

𝜑 Angulo da fase l´ıquida vista do centro do tuboˆ [𝑜]

𝜒 Coeficiente para c´alculo da press˜ao [𝑃 𝑎.𝑠/𝑘𝑔]

Ψ Coeficiente para c´alculo da frequˆencia [−]

𝜓 Coeficiente para o c´alculo da press˜ao [𝑃 𝑎]

Sobrescritos

𝑛 Tempo antigo

𝑛 + 1/2 Tempo intermedi´ario

𝑛 + 1 Tempo novo

Subscritos

𝐵 Regi˜ao da bolha alongada

𝐺 Fase gasosa

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Interface l´ıquido-g´as

𝑗, 𝐽 Numerac¸˜ao dos volumes de controle

𝐿 Fase l´ıquida

𝑙 Lado esquerdo

𝑚 Solução intermediária (l´ıquido)

𝑟 Lado direito

(15)

CFL Courant–Friedrichs–Lewy IKH InviscidKelvin-Helmholtz K-H Kelvin-Helmholtz

NUEM N´ucleo de Escoamento Multif´asico TDMA Tridiagonal matrix algorithm VKH ViscousKelvin-Helmholtz

(16)

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 17

1.1 OBJETIVOS . . . 20

1.2 JUSTIFICATIVA . . . 20

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO . . . 21

2 REVIS ˜AO BIBLIOGR ´AFICA . . . 23

2.1 PAR ÂMETROS DO ESCOAMENTO BIF ÁSICO DE LÍQUIDO-G ÁS . . . 23

2.2 O ESCOAMENTO EM GOLFADAS . . . 24

2.2.1 Iniciac¸˜ao das golfadas . . . 26

2.2.2 Velocidade de translac¸˜ao da bolha alongada . . . 26

2.2.3 Frequência das golfadas e da célula unitária . . . 27

2.2.4 Efeitos da mudança de direção no escoamento em golfadas . . . 28

2.2.5 Dissipac¸˜ao das golfadas . . . 29

2.3 ESTUDOS ANTERIORES SOBRE O ESCOAMENTO EM GOLFADAS . . . 30

2.3.1 Modelos estacion´arios . . . 31

2.3.2 Modelos transientes . . . 33

2.4 S´INTESE DO CAP´ITULO . . . 34

3 MODELAGEM MATEM ´ATICA . . . 36

3.1 MODELO PARA A CAPTURA DE GOLFADAS . . . 36

3.1.1 Equações de conservação para a região estratificada . . . 37

3.1.2 An´alise integral aplicada ao pist˜ao . . . 38

3.1.3 Relac¸˜oes de fechamento . . . 40

3.2 MODELO DE SEGUIMENTO DE PIST ˜OES (SLUG TRACKING) . . . 41

3.2.1 Equações de conservação aplicada a uma célula genérica . . . 41

3.2.2 Equac¸˜oes auxiliares . . . 42

4 MODELAGEM NUM ´ERICA . . . 44

4.1 SOLUÇ ÃO NUM ÉRICA DO MODELO DE CAPTURA DE GOLFADAS . . . . 44

4.1.1 Solução do dom´ınio do gás . . . 45

4.1.2 Soluc¸˜ao do filme l´ıquido . . . 50

4.1.3 C´alculo do deslocamento da frente do pist˜ao e da bolha . . . 53

4.1.4 Condic¸˜oes de contorno . . . 56

4.1.5 Gerenciamento da lista . . . 59

4.2 SOLUÇ ÃO NUM ÉRICA DO MODELO DE SEGUIMENTO DE PIST ÕES . . 59

4.2.1 Discretização das equações acopladas . . . 60

4.2.2 Discretização das equações auxiliares . . . 62

4.2.3 Processo de entrada de bolhas e pistões na tubulação . . . 62

4.2.4 Processo de sa´ıda de bolhas e pistões na tubulação . . . 64

4.2.5 Coalescˆencia de bolhas . . . 66

4.3 MODELO H´IBRIDO . . . 67

4.3.1 Acoplamento dos modelos . . . 68

4.3.2 Singularidades . . . 71

(17)

5 RESULTADOS . . . 80

5.1 ESCOAMENTO HORIZONTAL . . . 81

5.2 ESCOAMENTO HORIZONTAL E ASCENDENTE . . . 94

5.3 ESCOAMENTO HORIZONTAL E DESCENDENTE . . . 105

6 CONCLUS ˜OES . . . 117

6.1 PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS . . . 119

REFER ˆENCIAS . . . 120

Apêndice A -- RELAÇ ÕES GEOM ÉTRICAS E CORRELAÇ ÕES . . . 123

A.1 RELAÇ ÕES GEOM ÉTRICAS NA REGI ÃO ESTRATIFICADA . . . 123

A.2 VELOCIDADE DE TRANSLAC¸ ˜AO DA BOLHA ALONGADA . . . 124

A.3 FREQU ˆENCIA DAS GOLFADAS . . . 125

Apêndice B -- MODELO DE INICIAÇ ÃO DE GOLFADAS . . . 127

Apêndice C -- MODELO MATEM ÁTICO DE SEGUIMENTO DE PIST ÕES (SLUG TRACKING) . . . 131

C.1 BALANC¸ OS DE MASSA . . . 131

C.1.1 Massa de l´ıquido no pist˜ao . . . 131

C.1.2 Massa de l´ıquido no filme . . . 132

C.1.3 Massa de g´as na bolha . . . 133

C.1.4 Equac¸˜oes combinadas . . . 133

C.2 QUANTIDADE DE MOVIMENTO . . . 133

C.2.1 Balanc¸o de quantidade de movimento de l´ıquido no pist˜ao . . . 134

C.3 ACOPLAMENTO ENTRE A BOLHA E OS PIST ˜OES ADJACENTES . . . 134

Apêndice D -- SOLUÇ ÃO PARA A FASE LÍQUIDA NA REGI ÃO DO FILME . . . 136

D.1 OBTENÇ ÃO DO ESTADO INTERMEDI ÁRIO . . . 137

D.2 OBTENÇ ÃO DOS ESTADOS INTERMEDI ÁRIOS ESQUERDO E DIREITO 139 D.3 ATUALIZAÇ ÃO DAS FRONTEIRAS, VELOCIDADES E FRAÇ ÃO VOLUM ÉTRICA EM CADA C ÉLULA . . . 150

Apˆendice E -- RESULTADOS EM ANEXO . . . 152

E.1 ESCOAMENTO HORIZONTAL . . . 152

(18)

1 INTRODUC¸ ˜AO

O escoamento multifásico consiste no escoamento simultâneo de duas ou mais fases. Ele ocorre em diversas situações na natureza e em aplicações industriais, e tem sido objeto de pesquisa nos últimos 70 anos, devido a sua frequente ocorrência nas indústrias do petróleo, qu´ımica, nuclear, espacial, entre outras.

Na indústria do petróleo, é comum a exploração em águas cada vez mais profundas, o que tem aumentado a complexidade da operação. O fluido retirado dos poços geralmente consiste numa mistura de óleo, gás, água e alguns componentes sólidos. O transporte desses componentes pode ocorrer através de uma tubulação horizontal de longa extensão e com leves mudanças de direção, de modo a se adaptar ao leito marinho, e elevada até a superf´ıcie através de uma tubulação flex´ıvel, o chamado riser. Na Figura 1.1, é ilustrado o processo de exploração e produção de petróleo em alto mar.

Figura 1.1: Exploração de petróleo em águas profundas.

Fonte: Rigzone (2016).

Para o correto dimensionamento da tubulação e da infraestrutura como um todo, é necessário saber os esforços e condições resultantes do ambiente hostil em que ocorre a exploração. Entre outras coisas, é necessário conhecer as caracter´ısticas do escoamento, como por exemplo, o gradiente de pressão, a vazão e a fração volumétrica de cada fase. Pode-se simplificar o estudo considerando apenas o escoamento bifásico de l´ıquido-gás.

O escoamento de l´ıquido-gás numa tubulação apresenta diversas configurações que, para os casos horizontal e levemente inclinado, podem ser classificadas em: estratificado, golfadas, anular, ou bolhas dispersas, representadas na Figura 1.2.

(19)

Velocidade superﬁcial do gás [m/s]

V

elocidade superﬁcial do líquido [

m/s

]

Figura 1.2: Mapa de fluxo para escoamento horizontal de ´agua-ar para diˆametro de 1 polegada baseado no trabalho de Barnea (1987).

Fonte: Autoria pr´opria.1

O regime estratificado, no qual o l´ıquido se concentra na parte de baixo da tubulação por efeito da gravidade, pode ser subdividido em estratificado liso, quando a interface entre as fases é plana, ou estratificado ondulado, quando ocorrem ondulações na interface; o padrão estratificado ocorre para baixas velocidades. No escoamento anular, apenas o l´ıquido está em contato com a parede, enquanto o gás se concentra no centro da tubulação; ocorre para velocidades de gás relativamente altas. Já o escoamento em golfadas, também chamado intermitente, apresenta duas regiões: o pistão, onde há l´ıquido e pode conter bolhas dispersas, e uma região contendo uma bolha alongada, que desliza sobre um filme l´ıquido. Por fim, no escoamento em bolhas dispersas, pequenas bolhas ficam distribu´ıdas de modo uniforme no l´ıquido, e ocorre para altas velocidades de l´ıquido. Outros padrões de escoamento podem ser definidos; uma revisão mais completa deve ser consultada na literatura especializada (SHOHAM, 2006; FALCONE et al., 2009).

O regime de escoamento depende basicamente das velocidades superficiais de cada fase, das propriedades dos fluidos, da inclinação e diâmetro da tubulação. Existem estudos que tentam prever o padrão de escoamento em função dessas variáveis, dando origem aos mapas de

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fluxo. Alguns estudos foram: Taitel e Dukler (1976), que elaboraram um modelo para construir mapas de fluxo para escoamentos horizontais; e Barnea (1987), que apresentou um modelo mais completo, para escoamentos horizontais, inclinados e verticais. Ambos os modelos tentam prever os chamados mapas generalizados, baseados em vari´aveis adimensionais.

O escoamento em golfadas é o escopo do presente trabalho. Esse padrão de escoamento é comum nas linhas de exploração de petróleo, e por esse motivo é grande o interesse em pesquisas nessa área. Mesmo após décadas de estudos, o completo entendimento desse tipo de escoamento ainda não é conhecido na literatura. Na modelagem desse padrão de escoamento, algumas metodologias são bastante simplificadas e utilizam correlações baseadas em análises estat´ısticas, enquanto as metodologias com poucas simplificações necessitam da solução simultânea de grandes matrizes (ANSARI; DARAMIZADEH, 2012). Os modelos estacionários desconsideram a intermitência do escoamento, calculando os parâmetros como se bolhas e pistões se repetissem periodicamente no tempo e no espaço. Com o aumento da capacidade computacional, surgiram alguns modelos de simulação numérica que levam em conta a intermitência, dentre os quais podem-se citar as metodologias baseadas nos modelos de dois fluidos e de seguimento de pistões (slug tracking).

No modelo de dois fluidos, as fases são independentes entre si, ou seja, as equações de conservação são aplicadas para cada fase. Quando implementado com o propósito de captar a transição do regime estratificado para o intermitente num escoamento bifásico em tubulações, é chamado de modelo de captura de golfadas. Os resultados obtidos com essa metodologia são dependentes do refinamento da malha e das condições iniciais. O modelo de seguimento de pistões simula a propagação das golfadas ao longo da tubulação, e é Lagrangiano, ou seja, a malha acompanha as estruturas presentes no escoamento. Esse tipo de modelo simula apenas o escoamento em golfadas, portanto as propriedades do escoamento na entrada da tubulação devem ser conhecidas. Deve-se garantir que, desde a entrada até a sa´ıda da tubulação, o escoamento se encontre no padrão intermitente.

O interesse, neste trabalho, é no modelo de captura de golfadas desenvolvido por Conte (2014) e de seguimento de pistões desenvolvido por Rodrigues (2009). Ambos são unidimensionais, o que representa uma enorme economia no tempo computacional em relação aos softwares para simulação em 3-D (três dimensões), que muitas vezes são inviáveis em aplicações práticas quando se deseja simular o escoamento para tubulações muito longas. Os modelos de Conte (2014) e Rodrigues (2009) são capazes de predizer as principais caracter´ısticas do escoamento intermitente em qualquer ponto da tubulação, através da solução de sistemas de equações obtidos através das leis de conservação e relações de fechamento.

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1.1 OBJETIVOS

O objetivo do presente trabalho é o desenvolvimento de uma metodologia h´ıbrida para a simulação do escoamento intermitente, que combina um modelo de captura de golfadas e um modelo de seguimento de pistões. O modelo de iniciação de golfadas é utilizado para gerar o escoamento intermitente, simular os efeitos causados quando há mudança de direção, e também, simular o escoamento descendente. A evolução dos pistões em trechos retos, sejam esses horizontais ou ascendentes, é feita pelo modelo de seguimento de pistões. Para que se pudesse alcançar tal objetivo, as seguintes etapas foram seguidas:

a) Desenvolvimento de uma metodologia para o acoplamento dos modelos de dois fluidos (CONTE, 2014) e de seguimento de pist˜oes (RODRIGUES, 2009);

b) Aprimoramento do modelo desenvolvido por Conte (2014) para a simulação do escoamento em golfadas em trechos descendentes para possibilitar a captura da dissipação de pistões;

c) Simulação do escoamento bifásico de l´ıquido-gás no padrão intermitente em dutos horizontais e com mudança de direção;

d) Avaliação do ganho computacional com a utilização da metodologia h´ıbrida;

e) Avaliac¸˜ao da capacidade do modelo, comparando alguns resultados com dados experimentais.

1.2 JUSTIFICATIVA

A simulação do escoamento em golfadas é de grande interesse da indústria petrol´ıfera. Esse padrão de escoamento ocorre nas tubulações que ligam as cabeças dos poços no leito marinho às plataformas de produção na superf´ıcie. A ocorrência desse escoamento afeta o projeto das instalações, uma vez que pelas caracter´ısticas do escoamento, em determinados momentos há uma grande quantidade de gás atravessando uma determinada região, e subitamente surge uma grande quantidade de l´ıquido, alterando o gradiente de pressão, e prejudicando o funcionamento de determinados componentes, como por exemplo, os separadores. Pode ainda causar vibrações na tubulação, devido aos choques sucessivos de pistões nas válvulas, cotovelos, entre outros componentes.

Por isso, diversos estudos vêm sendo realizados nas últimas décadas, com o objetivo de entender fisicamente esse tipo de escoamento, e cujos resultados são utilizados por engenheiros. Uma das linhas de pesquisa do NUEM (Núcleo de Escoamento Multifásico) se concentra no

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estudo numérico e experimental do escoamento em golfadas, e o presente trabalho visa dar continuidade aos trabalhos já desenvolvidos. O grande desafio é desenvolver uma ferramenta numérica que produza resultados confiáveis, e ao mesmo tempo, tenha um custo computacional relativamente baixo. É nesse contexto que este trabalho se encaixa.

Este trabalho utiliza uma metodologia ainda não encontrada anteriormente na literatura. Acoplaram-se os dois modelos transientes, possibilitando as simulações a um custo computacional reduzido. E também, foi estudado o escoamento descendente, e a transição de golfadas para o regime estratificado, algo pouco explorado na literatura. Uma metodologia foi proposta para determinar as condições em que se inicia a dissipação dos pistões e assim, algumas melhorias foram feitas no modelo de captura de golfadas. O desenvolvimento deste trabalho visa produzir uma alternativa em relação aos custosos softwares comerciais no que se refere à simulação do escoamento intermitente, e prever informações que os modelos mecanicistas não são capazes de fornecer.

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO

O tema central deste trabalho é, portanto, a modelagem e simulação do escoamento em golfadas. Este trabalho está dividido em seis cap´ıtulos e cinco apêndices, organizados da seguinte forma:

Contextualização e apresentação do problema: o Cap´ıtulo 1 contém a introdução ao tema, trazendo as aplicações e a importância de estudos na área de escoamento de liquido-gás no regime intermitente, e abordando o problema em estudo e a metodologia que será empregada para a solução do mesmo. Também são definidos o objetivo e justificativa, explicando o que se pretende alcançar com este trabalho e como isso será feito.

Embasamento teórico e levantamento de literatura: no Cap´ıtulo 2, são apresentados os conceitos básicos de escoamento bifásico, definindo também alguns parâmetros para facilitar o entendimento do texto. Explica-se em detalhes o escoamento em golfadas, como se dá a sua formação, quais as principais variáveis envolvidas e como ocorre a sua dissipação. Na revisão bibliográfica, são apresentados alguns trabalhos sobre o tema. Por fim, discute-se a contribuição do presente estudo em relação às pesquisas recentes na área.

Modelagem matemática: o Cap´ıtulo 3 apresenta os dois modelos matemáticos que são empregados para a simulação do problema em estudo. Primeiramente, é apresentado o modelo de captura de golfadas, onde apresentam-se as equações simplificadas do modelo de dois fluidos, válidas para a região estratificada, e a completa dedução da equação para a região do pistão. Em seguida, é apresentado de modo resumido o modelo de seguimento de pistões (slug tracking). A completa dedução das equações para o modelo de dois fluidos está em anexo

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no Apêndice B, enquanto que a demonstração do modelo de seguimento de pistões do presente trabalho está em anexo no Apêndice C. Adicionalmente, o Apêndice A apresenta as correlações utilizadas neste trabalho.

Solução numérica: o Cap´ıtulo 4 contempla a modelagem numérica dos modelos de captura de golfadas e seguimento de pistões, e a metodologia para o acoplamento dos modelos. Detalhes de todas as etapas para a solução numérica serão apresentadas, incluindo uma explicação sobre o funcionamento da metodologia h´ıbrida, bem como uma discussão sobre condições iniciais de simulação e o tratamento das condições de contorno. Por fim, no Apêndice D, a solução do filme no modelo de dois fluidos é mostrada em detalhes.

Resultados e discussões: no Cap´ıtulo 5, apresentam-se os resultados obtidos com a metodologia proposta neste trabalho. Foram realizadas três tipos de simulações: para escoamento horizontal, horizontal com mudança para ascendente, e horizontal com mudança para descendente. Para o último caso, os resultados serão comparados com dados experimentais. No Apêndice E estão em anexo os gráficos referentes aos resultados de pares de vazão que não estão presentes no cap´ıtulo de Resultados. No Cap´ıtulo 6 é discutido o que foi feito no trabalho e os resultados alcançados. Propostas para trabalhos futuros serão listadas.

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2 REVIS ˜AO BIBLIOGR ´AFICA

Este cap´ıtulo está dividido em três seções. Na primeira seção, são definidos os conceitos básicos de escoamento bifásico de l´ıquido-gás, para facilitar o entendimento das seções e cap´ıtulos subsequentes. Na segunda seção, o escoamento em golfadas, que é o foco do presente trabalho, será explicado em detalhes. Na terceira seção, alguns trabalhos relacionados a modelagem e simulação do escoamento em golfadas serão discutidos, com o objetivo de contextualizar o presente estudo, abordando aqueles que são mais conhecidos ou recentes sobre o tema.

2.1 PAR ÂMETROS DO ESCOAMENTO BIF ÁSICO DE LÍQUIDO-G ÁS

Na presença de duas fases, as variáveis que caracterizam o escoamento devem ser avaliadas para cada fase. Nesta seção, apresentam-se as principais variáveis em um escoamento de l´ıquido-gás, baseado no exposto por Shoham (2006).

Um parâmetro importante é a velocidade superficial, 𝑈𝑆, que representa a velocidade da fase como se a mesma fosse a única na tubulação (escoamento monofásico), e depende da vazão e da área da seção transversal. As velocidades superficiais de l´ıquido e gás são definidas pelas seguintes equações:

𝑈_𝐿𝑆 = 𝑄𝐿 𝐴 e 𝑈 𝑆 𝐺 = 𝑄𝐺 𝐴 (2.1)

onde 𝑄𝐿 e 𝑄𝐺são as vazões volumétricas das fases, sendo que 𝐿representa a fase l´ıquida e𝐺 a fase gasosa, e 𝐴 a área da seção transversal da tubulação. A velocidade da mistura, 𝑈𝑀, é a soma das velocidades superficiais:

𝑈𝑀 = 𝑄𝐿+ 𝑄𝐺 𝐴 = 𝑈 𝑆 𝐿 + 𝑈 𝑆 𝐺 (2.2)

Devido à presença de duas fases no escoamento, uma fração da área da seção transversal é ocupada por l´ıquido e outra fração é ocupada por gás. A razão entre cada uma dessas áreas com a área total da tubulação é a fração volumétrica da fase na seção transversal analisada. Definem-se, portanto, as frações volumétricas de l´ıquido e de gás, que são:

𝑅𝐿= 𝐴𝐿

𝐴 e 𝑅𝐺 =

𝐴𝐺

𝐴 = 1 − 𝑅𝐿 (2.3)

onde 𝐴𝐿e 𝐴𝐺são as áreas ocupadas pelo l´ıquido e pelo gás. As velocidades do l´ıquido e do gás, 𝑈𝐿 e 𝑈𝐺, são as velocidades absolutas de cada fase em uma determinada região da tubulação. São calculadas por:

𝑈𝐿= 𝑄𝐿 𝐴𝐿 = 𝑈𝑆 𝐿 𝑅𝐿 e 𝑈𝐺= 𝑄𝐺 𝐴𝐺 = 𝑈𝑆 𝐺 𝑅𝐺 (2.4)

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Outro parâmetro importante é o número de Reynolds, 𝑅𝑒, que quantifica a relação entre forças inerciais e forças viscosas, o que permite classificar o escoamento em laminar ou turbulento. O escoamento é laminar quando as forças inerciais são relativamente baixas, ou turbulento quando elas são relativamente altas. No estudo do escoamento bifásico de l´ıquido-gás, o número de Reynolds é calculado separadamente para as fases:

𝑅𝑒𝐿= 𝜌𝐿𝐷ℎ,𝐿𝑈𝐿 𝜇𝐿 e 𝑅𝑒𝐺= 𝜌𝐺𝐷ℎ,𝐺𝑈𝐺 𝜇𝐺 (2.5)

onde 𝜌 é a densidade, 𝐷ℎ é o diâmetro hidráulico, e 𝜇 é a viscosidade dinâmica.

2.2 O ESCOAMENTO EM GOLFADAS

O padrão intermitente numa tubulação com ângulo de inclinação 𝜃 em relação à horizontal, ilustrado na Figura 2.1, consiste na presença alternada de pistões e bolhas alongadas. Na região do pistão, podem existir bolhas dispersas. Já na região da bolha alongada, existe também o filme de l´ıquido. Para o escoamento horizontal e inclinado, a bolha de gás se localiza na parte de cima da tubulação, enquanto que no escoamento vertical ou quase vertical (ver Figura 2.6), a bolha se concentra no centro da tubulação, e apenas o filme l´ıquido está em contato com a parede.

θ

Figura 2.1: C´elula unit´aria do escoamento intermitente.

Na região da bolha alongada, a altura do filme é variável, portanto a fração de l´ıquido na região também é variável. Em alguns modelos, como por exemplo, os modelos estacionários e os modelos de seguimento de pistões, trabalham-se com valores médios. Na Figura 2.2, observa-se a interface l´ıquido-gás na região da bolha alongada. O parâmetro 𝑆 corresponde ao per´ımetro molhado, o ´ındice𝐼 refere-se à interface l´ıquido-gás, e o ângulo 𝜑 é dependente da relação entre a altura ℎ𝐿da coluna de l´ıquido e o diâmetro 𝐷 da tubulação (ver Apêndice A).

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L h L S G S I S ϕ D

Figura 2.2: Caracter´ısticas geom´etricas da regi˜ao estratificada.

Fonte: Adaptado de Conte (2014)

A fração de l´ıquido no pistão, conhecida por hold-up de l´ıquido, também é variável ao longo do pistão, uma vez que a distribuição das bolhas dispersas não é uniforme. No escoamento horizontal e inclinado, as bolhas dispersas no pistão ficam concentradas preferencialmente na parte de cima da tubulação, devido ao empuxo, o que não ocorre no escoamento vertical.

Segundo Rodrigues (2009), no escoamento vertical ascendente há uma maior concentração de bolhas dispersas no pistão do que no escoamento horizontal. Segundo o autor, isso ocorre porque no escoamento vertical o filme está em queda livre, possuindo velocidade negativa. Isso ocasiona um choque entre o l´ıquido do filme e o pistão, criando uma maior agitação na região, o que aumenta o desprendimento de gás da traseira da bolha.

Há uma grande dificuldade de se calcular a fração de l´ıquido no pistão. Existem fórmulas obtidas experimentalmente na literatura, mas nenhuma é definitiva. As trocas mássicas de gás entre pistão e bolha alongada são dif´ıceis de modelar. No presente trabalho, será considerado que o pistão é não aerado.

Para escoamentos horizontal e ascendente, a bolha alongada, que ocupa a maior parte da seção transversal, empurra o pistão. Geralmente, a velocidade do l´ıquido no filme é baixa se comparada com as velocidades da bolha e do pistão. Com isso, o gradiente de pressão na região da bolha é baixo se comparada com a queda de pressão no pistão. Como a densidade do l´ıquido é muito maior, o pistão carrega a maior parte do momento linear do escoamento.

O escoamento descendente, por sua vez, pode ter um comportamento diferente, dependendo das condições do escoamento. O filme pode ter uma velocidade maior do que a do l´ıquido no pistão. Nesse caso, o pistão é empurrado também pela força gravitacional, e o gradiente de pressão pode ser positivo no sentido do escoamento, ao contrário do que ocorre no escoamento horizontal ou descendente. Por fim, a frente da bolha pode se inverter, uma vez que a frente do pistão vai estar cedendo l´ıquido para o filme, e a traseira do pistão vai estar captando l´ıquido.

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2.2.1 INICIAC¸ ˜AO DAS GOLFADAS

Muitos autores explicam a formação de golfadas a partir do escoamento estratificado, com base na instabilidade de Kelvin-Helmholtz (K-H). Taitel e Dukler (1976) foram uns dos autores que usaram a análise de K-H no escoamento inv´ıscido (Inviscid Kelvin-Helmholtz - IKH), quando se despreza a viscosidade dos fluidos. Já no trabalho de Barnea (1991), considerou-se na análise de K-H os efeitos da viscosidade (Viscous Kelvin-Helmhotz - VKH). Considerando-se um sistema estratificado com dois fluidos imisc´ıveis entre si, que possuem diferentes velocidades e densidades (𝑈1 ̸= 𝑈2 e 𝜌1 < 𝜌2), ilustrado na Figura 2.3, é poss´ıvel a formação de ondas na interface entre as fases. Esse fenômeno ocorre quando um aumento na velocidade do fluido de menor densidade provoca uma queda local de pressão, devido ao efeito Bernoulli. Como consequência, ocorre a formação das ondas na interface, que podem crescer até que os picos das ondas atinjam a parede superior da tubulação

1 ρ U1 2 U 2 ρ

Figura 2.3: Crescimento de onda na interface do escoamento estratificado.

Fonte: Adaptado de Taitel e Dukler (1976).

Para o escoamento de l´ıquido-gás, quando a superf´ıcie do l´ıquido atinge o topo da tubulação, forma-se o pistão. O pistão pode dissipar-se logo em seguida, ou crescer rapidamente, caso comece a captar l´ıquido do filme que está a sua frente. Neste último caso, uma determinada quantidade de gás ficará confinada quando dois pistões se formarem, provocando a formação da bolha alongada.

2.2.2 VELOCIDADE DE TRANSLAC¸ ˜AO DA BOLHA ALONGADA

A velocidade da fronteira entre a frente da bolha e a traseira do pistão é a chamada velocidade de translação da bolha, 𝑈𝑇. Para o cálculo dessa velocidade, deve-se levar em consideração a velocidade da mistura, 𝑈𝑀, e a velocidade de deslizamento, 𝑈𝐷. Também sofre os efeitos causados pelo fator de esteira, ¯ℎ. É calculada por:

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O coeficiente 𝐶0 depende se o escoamento é laminar ou turbulento. Se o escoamento for turbulento, também há uma dependência em relação ao número de Froude, dado por 𝐹 𝑟𝐿 = 𝑈𝐿𝑆/

√

𝑔𝐷, que representa a razão entre as forças inerciais e gravitacionais. Segundo Bendiksen (1984), no escoamento horizontal há o valor cr´ıtico para 𝐹 𝑟𝐿 a partir do qual a velocidade da bolha sofre uma grande variação porque, acima desse valor, o nariz da bolha tende a desencostar do tubo, causando uma movimentação vertical na mesma. O termo 𝑈𝐷 é a velocidade de deslizamento entre a bolha alongada e o pistão à sua frente, e resulta de uma combinação entre efeitos gravitacionais e o formato da bolha.

Já o fator de esteira é resultado da recirculação de l´ıquido no pistão, proveniente do filme à sua frente. Isso ocorre porque a bolha alongada possui uma velocidade maior do que a do l´ıquido no filme, ou seja, o filme sempre possui uma velocidade relativa negativa em relação à bolha. Esse efeito causa um aumento na queda de pressão na região logo atrás da bolha, o que aumenta a velocidade da bolha de trás. Utiliza-se:

¯ ℎ = 𝑎𝑊exp (︂ −𝑏𝑊 𝐿𝑆 𝐷 )︂ (2.7)

onde os coeficientes 𝑎𝑊 e 𝑏𝑊 são parâmetros experimentais, que variam conforme o tipo de fluido, e 𝐿𝑆 é o comprimento do pistão que está a frente da bolha.

As constantes utilizadas neste trabalho para o cálculo da velocidade de translação da bolha estão presentes na seção A.2.

2.2.3 FREQU ÊNCIA DAS GOLFADAS E DA C ÉLULA UNIT ÁRIA

A frequência das golfadas, 𝑓𝑆, é o número de células unitárias que passam em uma posição fixa da tubulação por unidade de tempo, e depende basicamente do comprimento das células unitárias e velocidade das mesmas. Considerando que ∆𝑡𝑈 é o tempo que uma célula leva para atravessar uma determinada região da tubulação, a frequência da célula unitária, 𝑓𝑈, é dada pela relação:

𝑓𝑈 = 1 ∆𝑡𝑈

(2.8) Essa variável também está relacionada com a velocidade de translação da bolha e com os comprimentos do pistão e da bolha. As frequências de golfadas e de células unitárias se relacionam através da seguinte equação:

𝑓𝑆 = 𝑘 1 𝑓𝑈,1 + 1 𝑓𝑈,2 + ... + 1 𝑓𝑈,𝑘 (2.9)

onde 𝑘 é o número de células unitárias utilizadas na amostra. É comum em trabalhos numéricos e experimentais o cálculo desses parâmetros para a caracterização do escoamento.

(29)

2.2.4 EFEITOS DA MUDANÇ A DE DIREÇ ÃO NO ESCOAMENTO EM GOLFADAS O escoamento em golfadas é afetado quando há mudança de direção. Duas situações serão consideradas: passagem do escoamento em um cotovelo inferior, e passagem em um cotovelo superior.

Considerando o cotovelo inferior, ilustrado na Figura 2.4, a passagem do filme pode modificar algumas caracter´ısticas do escoamento. Devido ao choque com o cotovelo, observa-se que há a formação de um acúmulo de l´ıquido no filme, repreobserva-sentado na Figura 2.4a. Esobserva-se acúmulo é facilitado também porque o l´ıquido a montante e a jusante tende, devido à gravidade, a acelerar em direção ao cotovelo. O acúmulo de l´ıquido aumenta a fração da seção transversal que é ocupada por l´ıquido. Isso provoca um aumento local na velocidade do gás, que tende a sugar o l´ıquido devido à queda de pressão. Esse fenômeno dá força à instabilidade de K-H, aumentando a possibilidade de formação de um novo pistão, ilustrada na Figura 2.4b. Caso essa onda não cresça o suficiente para formar um novo pistão, essa quantidade de l´ıquido vai se deslocar para o pistão de trás, aumentando a comprimento do pistão e diminuindo o comprimento da bolha, conforme ilustrado na Figura 2.4c. Neste último caso, a fração média de gás na região da bolha e do filme vai aumentar.

a)

Sentido do escoamento

b) c)

Figura 2.4: a) Passagem do filme no cotovelo inferior, causando b) a formação de um novo pistão ou c) o deslocamento de l´ıquido para o pistão anterior.

Fonte: Adaptado de Alves (2015).

Uma situação diferente ocorre quando há um cotovelo superior, ilustrado na Figura 2.5. Quando o filme passa pelo cotovelo (ver Figura 2.5a), o l´ıquido a jusante e a montante tendem

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a se afastar do cotovelo, devido à gravidade. O filme que está antes do cotovelo tende a escoar na direção do pistão de trás. Esse l´ıquido então vai ser capturado pelo pistão. Duas situações podem ocorrer. Se a quantidade de l´ıquido for suficiente, esse filme não vai desaparecer, e o pistão de trás não vai se dissipar, conforme representado na Figura 2.5b. Uma segunda situação ocorre quando essa quantidade de l´ıquido não é suficiente para manter o pistão até que o mesmo atinja o cotovelo, ilustrada na Figura 2.5c. Nesse caso, vai surgir uma região após o cotovelo cuja seção transversal contém apenas gás, o chamado pistão de gás.

Sentido do escoamento a)

b) c)

Figura 2.5: a) Passagem do filme no cotovelo superior, causando b) a redução da massa de l´ıquido no pistão anterior ou c) dissipação do pistão de l´ıquido e surgimento do pistão de gás.

Fonte: Adaptado de Alves (2015).

Em complemento ao explicado nesta subseção sobre os efeitos no escoamento na passagem por um cotovelo superior, a próxima subseção é dedicada ao estudo da dissipação do pistão, o que pode provocar a transição do regime intermitente para o regime estratificado. 2.2.5 DISSIPAÇ ÃO DAS GOLFADAS

Um fenômeno que pode ocorrer quando se produz uma mudança de direção de um trecho de tubulação horizontal ou ascendente para um trecho descendente é o da dissipação de alguns ou todos os pistões. A instabilidade de K-H analisa o crescimento das ondas na interface entre as fases para definir essa transição entre os regimes de escoamento. Contudo, quando o escoamento já está no padrão intermitente, os critérios que definem a mudança entre os dois padrões de escoamento não são os mesmos.

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O trabalho de Taitel et al. (2000) é um dos poucos conhecidos que fazem uma análise teórica para prever as condições nas quais a dissipação dos pistões se inicia, e a distância necessária para a completa dissipação do escoamento em golfadas. Baseou-se na análise estacionária de trabalhos anteriores (TAITEL; BARNEA, 1990a, 1990b), e assumiu que para os casos em que as equações que modelam a bolha (considerada como uma região estratificada), juntamente com correlações para a velocidade da bolha e balanços de massa para o deslocamento do pistão, não possuem solução, ou trazem soluções que não são poss´ıveis (como por exemplo, comprimentos da bolha negativos), o escoamento não é intermitente.

Alves (2015) desenvolveu um trabalho experimental, analisando o escoamento em golfadas quando há mudança de direção de tubulação horizontal para levemente descendente, para escoamento de água e ar à temperatura ambiente. O objetivo foi melhor compreender o escoamento nessas condições, algo pouco reportado na literatura. Para os casos em que ocorreu a transição do regime intermitente para estratificado, obteve-se uma boa concordância em relação ao modelo de Taitel et al. (2000). Os dados experimentais obtidos por Alves (2015), desenvolvidos no NUEM, serão explorados neste trabalho.

No escoamento horizontal e ascendente, a velocidade do filme é baixa se comparada à velocidade da bolha e do pistão. Já no escoamento descendente, a velocidade do filme pode aumentar bastante, e inclusive ter um valor maior do que a velocidade do pistão. Com isso, a quantidade de movimento do l´ıquido no filme pode não ser desprez´ıvel. Isso ocorre porque na mudança para o trecho descendente, há a competição entre a força gravitacional, que tende a acelerar o l´ıquido, e a força devido à tensão cisalhante, que tende a desacelerar o escoamento. Com isso, o l´ıquido acelera até que as forças que atuam nele entrem em equil´ıbrio novamente.

Fisicamente, a dissipação dos pistões pode ocorrer quando a quantidade de l´ıquido captada pelo pistão for menor do que a quantidade cedida para o filme atrás desse pistão; assim ele vai perder massa de l´ıquido e consequentemente diminuir de tamanho. A transição para o regime estratificado vai ocorrer se o trecho descendente for longo o suficiente para que os pistões se dissipem. Se a velocidade do filme à frente do pistão for maior do que a velocidade do l´ıquido no pistão, o pistão não tem condições de captar l´ıquido do filme; pelo contrário, o l´ıquido da parte da frente do pistão vai ocupar o vazio à frente do pistão deixado pelo avanço do filme. Nessas condições, o perfil da bolha tende a se inverter, com o nariz apontando para o sentido contrário ao do escoamento.

2.3 ESTUDOS ANTERIORES SOBRE O ESCOAMENTO EM GOLFADAS

O escoamento em golfadas vem sendo estudado desde a década de 60. Os primeiros estudos resultaram nos chamados modelos estacionários, que apresentam bastante simplificações, fornecendo resultados para os valores médios, e são razoavelmente aceitos. Já os

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modelos transientes surgiram com o avanço da computação, e são capazes de fornecer resultados mais precisos. Contudo, ainda são muito custosos computacionalmente, e muitas vezes, são inviáveis para utilização na indústria. Por isso, estudos nessa área continuam avançando.

2.3.1 MODELOS ESTACION ´ARIOS

Os modelos estacionários utilizam correlações obtidas anal´ıtica ou experimentalmente para o cálculo das variáveis. Em geral, utilizam o conceito de célula unitária1, introduzido por Wallis (1969) (Figura 2.6), que considera que a passagem de bolhas e pistões é estacionário e periódico. Nessa abordagem, estuda-se a dinâmica do escoamento de uma bolha para compreender o escoamento como um todo.

L

Q Q_G T U

Comprimento da célula unitária

Figura 2.6: C´elula unit´aria do escoamento intermitente definida por Wallis (1969).

Dukler e Hubbard (1975) estudaram fisicamente a transição do escoamento estratificado para golfadas, explicando a formação das golfadas a partir de instabilidades na interface entre as fases. Foi proposta uma metodologia para o cálculo da queda de pressão, e deduziu-se analiticamente uma expressão para o cálculo da velocidade de translação da bolha. Um modelo para o caso horizontal e levemente inclinado foi apresentado pelos autores. Com esse modelo, é poss´ıvel obter informações do escoamento em golfadas a partir dos dados de entrada, que são as vazões de l´ıquido e gás, diâmetro da tubulação, propriedades dos fluidos, frequência das golfadas e fração de l´ıquido no pistão. Simulações e resultados experimentais foram comparados para escoamentos de água-ar.

Um importante fenômeno foi observado nos experimentos de Dukler e Hubbard (1975): há uma queda de pressão acentuada na fronteira entre a frente do pistão e a traseira 1_{A célula unitária adotada neste trabalho é composta por um pistão e a bolha que está logo atrás, diferente da} célula unitária definida por Wallis (1969), que engloba uma bolha e metade dos pistões adjacentes.

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da bolha subsequente, ilustrada na Figura 2.7. Atribui-se essa queda de pressão em razão da recirculação de l´ıquido na região da mistura, que ocorre devido ao choque entre o l´ıquido proveniente do filme e o l´ıquido do pistão. Várias considerações propostas pelos autores foram utilizadas posteriormente em diversos trabalhos, e são aceitas até hoje.

p

z

Figura 2.7: Queda de pressão ao longo da célula unitária.

Fonte: Adaptado de Dukler e Hubbard (1975).

Fernandes et al. (1983) também estudaram o escoamento bifásico de l´ıquido-gás no padrão golfadas, e propuseram uma metodologia para obter os parâmetros do escoamento para o caso vertical. Aplicou-se balanços de massa para cada uma das fases nas regiões do pistão e da bolha, e correlações de fechamento; o gás é considerado incompress´ıvel. A solução é obtida através da solução do sistema de equações. Para a avaliação do modelo, foram realizados experimentos com água e ar para uma ampla faixa de velocidades superficiais das duas fases. A razão entre os comprimentos da bolha e do pistão, a fração de vazio na região da bolha e a fração de vazio no pistão foram comparados com dados experimentais, obtendo-se discrepâncias, segundo os autores, de 10%, 10% e 5%, respectivamente.

Taitel e Barnea (1990a) e Taitel e Barnea (1990b) desenvolveram estudos para caracterizar o escoamento em golfadas nas direções horizontal e inclinado (ascendente). Utilizaram equações já conhecidas na literatura, e propuseram uma metodologia para o cálculo da queda de pressão, formato e comprimento da bolha. O objetivo dos autores foi demonstrar que a inclusão de todos os fenômenos que contribuem para a queda de pressão levam a resultados similares, independente da escolha do volume de controle. Observou-se, contudo, que dependendo de como esses fenômenos são tratados matematicamente, os resultados em termos absolutos são bastante diferentes. O modelo de bolha e as considerações utilizados pelos autores para o cálculo da queda de pressão servem de base para muitos trabalhos na área.

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2.3.2 MODELOS TRANSIENTES

Comentou-se no Cap´ıtulo 1 que dois modelos transientes utilizados na literatura para a simulação do escoamento em golfadas são: o modelo de dois fluidos e o modelo de seguimento de pistões (slug tracking).

O modelo de dois fluidos foi desenvolvido por Ishii (1975). Nessa metodologia, as equações de conservação de massa e quantidade de movimentos são aplicadas para cada fase individualmente, e somente em relação ao eixo axial. Portanto, consiste na solução simultânea de seis equações diferenciais, ou quatro para escoamento isotérmico. Um dos primeiros modelos transientes comercialmente dispon´ıveis foi o software OLGA (BENDIKSEN et al., 1991), que se baseia no modelo de dois fluidos. O OLGA é capaz de simular a formação de golfadas, e tem sido largamente utilizado pela indústria até os dias de hoje. Segundo Aursand et al. (2012), a versão mais recente do software OLGA é capaz de simular o escoamento trifásico de óleo, água e gás.

Renault (2007) apresentou uma metodologia para simular a iniciação e rastreamento das golfadas. A metodologia é baseada no modelo de dois fluidos, porém com uma formulação lagrangiana, onde aplicam-se as leis de conservação para cada uma das fases, modelando-se a região estratificada e tratando os pistões como singularidades. Assim, fluxo de gás, pressão e velocidade da mistura no pistão são obtidos a partir da discretização das equações de conservação para o gás e para o pistão pelo método das diferenças finitas, enquanto a velocidade do filme e a fração de l´ıquido são obtidas através da solução do problema de Riemann. Deslocamento da frente e traseira do pistão são obtidos através de balanços de massa e correlações. O modelo serviu de base para o trabalho de Conte (2014).

Conte (2014) desenvolveu um código computacional para simular a iniciação de golfadas. O objetivo foi utilizar o modelo de Renault (2007) para simular a formação de golfadas a partir do escoamento estratificado, em tubulações com mudança de direção. Foram realizadas simulações para caracterizar o escoamento, compreender fisicamente a formação das golfadas, e verificar os critérios de estabilidade e convergência do modelo. Experimentos foram realizados para a validação do código, observando-se uma boa concordância entre os resultados numéricos e experimentais. A desvantagem do modelo é o elevado custo computacional, que pode ser significativo para tubulações de grande comprimento e inviabilizar a simulação.

Os modelos de seguimentos de pistões são lagrangianos e utilizam o conceito de célula unitária. A malha é móvel e acompanha o deslocamento das células. O primeiro trabalho do tipo foi apresentado por Taitel e Barnea (1993), cujo principal objetivo foi calcular os valores dos comprimentos dos pistões em qualquer posição ao longo da tubulação. Tal modelo é bem simplificado, considerando o gás como incompress´ıvel, pistão não aerado, frente do pistão com velocidade constante e velocidade da bolha dependente do pistão que está a sua frente. Uma

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evolução do modelo foi apresentado por Zheng et al. (1994), que estudaram o escoamento em terrenos acidentados e pistão aerado, enquanto Taitel e Barnea (1998) estudaram os efeitos da compressibilidade do gás.

Franklin (2004) apresentou um modelo de seguimento de pistões para o escoamento horizontal, em que considera o gás como compress´ıvel e ideal, e leva em consideração a intermitência; é baseado em balanços de massa para cada bolha e cada pistão, e balanços de quantidade de movimento de cada pistão. Serviu de base para o modelo de Rodrigues (2009), para escoamentos horizontal, inclinado e vertical.

O modelo de Rodrigues (2009) parte das equações de conservação na forma integral para a obtenção de duas equações diferenciais. Estas são resolvidas para a pressão na bolha e a velocidade do l´ıquido no pistão. As demais variáveis são calculadas por meio de equações auxiliares. O modelo simula somente o escoamento em golfadas, ou seja, é necessário que desde a entrada até a sa´ıda da tubulação, o escoamento esteja no padrão intermitente. As propriedades das células que estão sendo inseridas na tubulação devem ser conhecidas. Uma evolução do trabalho foi apresentado por Parra (2013). O modelo apresentado pelo último autor é capaz de simular o escoamento, quando se produz uma leve mudança de direção.

2.4 S´INTESE DO CAP´ITULO

Foi apresentado neste cap´ıtulo um resumo sobre os estudos anteriores relacionados ao escoamento bifásico de l´ıquido-gás em golfadas, e a principal contribuição de cada um, focando na f´ısica do escoamento e na modelagem matemática. Todos os modelos citados são unidimensionais, baseados em processos de média na seção transversal. As equações são aplicadas na direção axial. Foi explicado o processo de formação do escoamento em golfadas e as principais caracter´ısticas desse regime de escoamento.

Nota-se que existem poucos modelos robustos na literatura que se dedicam à simulação da iniciação das golfadas e, principalmente, à influência da mudança de direção. As metodologias comumente utilizadas apresentam muitas simplificações ou têm elevado custo computacional. Este trabalho visa portanto apresentar uma nova metodologia que vem a preencher essa lacuna. O modelo apresentado neste trabalho permite a obtenção de detalhes da geração das golfadas e do desenvolvimento do escoamento em diversos ângulos de inclinação e com mudanças de direção. O escoamento descendente também tem sido pouco estudado, assim como o processo de dissipação dos pistões. Este trabalho contribui ao acrescentar ao modelo de captura de golfadas considerações teóricas que permitam captar o fenômeno da estratificação do escoamento intermitente.

Portanto, os modelos de interesse neste trabalho s˜ao o modelo de dois fluidos e o modelo de seguimento de pist˜oes. Pretende-se apresentar uma metodologia que emprega os dois

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modelos simultaneamente, objetivando combinar as vantagens dos dois modelos. A capacidade do modelo de dois fluidos, que simula a iniciação do escoamento intermitente e capta os efeitos quando se produz uma leve mudança de direção, será integrada à capacidade do modelo de seguimento de pistões, que rastreia a evolução das golfadas em trechos retos a um baixo custo computacional.

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3 MODELAGEM MATEM ´ATICA

Neste cap´ıtulo, são apresentados dois modelos matemáticos. O primeiro consiste no modelo de dois fluidos simplificado. A metodologia utilizada neste trabalho foi proposta por Renault (2007), e posteriormente estudada por Conte (2014), para modelar a formação de golfadas a partir do padrão estratificado. A dedução das equações está detalhada no Apêndice B. O segundo consiste no modelo de seguimento de pistões (slug tracking), baseado no trabalho de Rodrigues (2009), cuja demonstração das equações está apresentada no Apêndice C. Apenas a hidrodinâmica do escoamento é analisada.

3.1 MODELO PARA A CAPTURA DE GOLFADAS

O objetivo principal do modelo de iniciação de golfadas é, a partir do escoamento estratificado, simular a formação de ondulações na interface l´ıquido-gás, a transição para o escoamento intermitente, representada na Figura 3.1, e ainda, a dissipação de pistões.

Escoamento em golfadas Iniciação da golfada

Figura 3.1: Transic¸˜ao do escoamento estratificado para golfadas.

Fonte: Adaptado de Conte (2014).

As hipóteses do modelo são: ∙ Escoamento unidimensional; ∙ Gás ideal;

∙ L´ıquido incompress´ıvel;

∙ Diferença de pressão entre as fases na interface l´ıquido-gás desprez´ıvel; ∙ Pistão e filme não aerados.

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3.1.1 EQUAÇ ÕES DE CONSERVAÇ ÃO PARA A REGI ÃO ESTRATIFICADA

Conforme já mencionado, as equações de conservação de massa e quantidade de movimento são aplicadas individualmente para as fases l´ıquida e gasosa. As principais hipóteses são: l´ıquido incompress´ıvel e gás ideal. Vale ressaltar que não há mudança de fase. O sistema de equações a ser resolvido é:

𝜕 𝜕𝑡(𝑅𝐿) + 𝜕 𝜕𝑧 (𝑅𝐿𝑈𝐿) = 0 (3.1) 𝜕 𝜕𝑡(𝜌𝐺𝑅𝐺) + 𝜕 𝜕𝑧 (𝜌𝐺𝑅𝐺𝑈𝐺) = 0 (3.2) 𝜕 𝜕𝑡(𝑅𝐿𝑈𝐿) + 𝜕 𝜕𝑧 (︂ 𝑅𝐿𝑈_𝐿2+1 2𝜅𝑅 2 𝐿 )︂ = 𝑅𝐿 𝜌𝐿 𝐹 (𝑅𝐿, 𝑈𝐿, 𝑈𝐺) (3.3) 𝜕 𝜕𝑡(𝜌𝐺𝑅𝐺𝑈𝐺) + 𝜕 𝜕𝑧 (︀𝜌𝐺𝑅𝐺𝑈 2 𝐺)︀ = (︂ −𝜏𝐺𝑆𝐺 𝐴 − 𝜏𝐼𝑆𝐼 𝐴 − 𝜌𝐺𝑔𝑅𝐺sin 𝜃 − 𝑅𝐺 𝜕𝑝 𝜕𝑧 )︂ (3.4) onde 𝑡 é o tempo, 𝑧 é a variável espacial que representa a posição na tubulação, 𝜏 é a tensão de cisalhamento, 𝑆 é o per´ımetro molhado e 𝑝 é a pressão.

As equações (3.1) e (3.2) representam, respectivamente, os balanços de massa para o l´ıquido e para o gás. A equação (3.3) representa o balanço de quantidade de movimento para o l´ıquido, na qual o termo relativo à queda de pressão foi eliminado após a combinação com a equação do balanço de quantidade de movimento para o gás. Isso resultou no aparecimento do termo 𝐹 , que representa as forças viscosas e gravitacionais que atuam em um volume de controle diferencial. Esse termo é dado por:

𝐹 = −𝜏𝐿𝑆𝐿 𝐴𝐿 + 𝜏𝐺𝑆𝐺 𝐴𝐺 + 𝜏𝐼𝑆𝐼 (︂ 1 𝐴𝐿 + 1 𝐴𝐺 )︂ − (𝜌𝐿− 𝜌𝐺)𝑔 sin 𝜃 (3.5)

J´a o termo 𝜅 ´e calculado da seguinte forma:

𝜅 = 𝜌𝐿− 𝜌𝐺 𝜌𝐿 𝑔 cos 𝜃 𝐴 𝑑𝐴𝐿 𝑑ℎ𝐿 − 1 𝑅𝐺 (𝑈𝐺− 𝑈𝐿)2 (3.6)

Por fim, a equação (3.4) representa o balanço de quantidade de movimento para o gás. Vale observar que as equações são todas dependentes das velocidades do l´ıquido e do gás, 𝑈𝐿(𝑧, 𝑡) e 𝑈𝐺(𝑧, 𝑡), da fração de l´ıquido, 𝑅𝐿(𝑧, 𝑡), e da pressão , 𝑝(𝑧, 𝑡). Os dados de entrada são as propriedades f´ısicas dos fluidos (densidade e viscosidade) a uma dada temperatura, e do diâmetro e ângulo de inclinação da tubulação, 𝐷 e 𝜃. As relações de fechamento, calculadas em função dessas variáveis, são apresentadas na subseção 3.1.3.