O escoamento em golfadas vem sendo estudado desde a d´ecada de 60. Os primeiros estudos resultaram nos chamados modelos estacion´arios, que apresentam bastante simplificac¸˜oes, fornecendo resultados para os valores m´edios, e s˜ao razoavelmente aceitos. J´a os
modelos transientes surgiram com o avanc¸o da computac¸˜ao, e s˜ao capazes de fornecer resultados mais precisos. Contudo, ainda s˜ao muito custosos computacionalmente, e muitas vezes, s˜ao invi´aveis para utilizac¸˜ao na ind´ustria. Por isso, estudos nessa ´area continuam avanc¸ando.
2.3.1 MODELOS ESTACION ´ARIOS
Os modelos estacion´arios utilizam correlac¸˜oes obtidas anal´ıtica ou experimentalmente para o c´alculo das vari´aveis. Em geral, utilizam o conceito de c´elula unit´aria1, introduzido por Wallis (1969) (Figura 2.6), que considera que a passagem de bolhas e pist˜oes ´e estacion´ario e peri´odico. Nessa abordagem, estuda-se a dinˆamica do escoamento de uma bolha para compreender o escoamento como um todo.
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Q QG T U
Comprimento da célula unitária
Figura 2.6: C´elula unit´aria do escoamento intermitente definida por Wallis (1969).
Dukler e Hubbard (1975) estudaram fisicamente a transic¸˜ao do escoamento estratificado para golfadas, explicando a formac¸˜ao das golfadas a partir de instabilidades na interface entre as fases. Foi proposta uma metodologia para o c´alculo da queda de press˜ao, e deduziu-se analiticamente uma express˜ao para o c´alculo da velocidade de translac¸˜ao da bolha. Um modelo para o caso horizontal e levemente inclinado foi apresentado pelos autores. Com esse modelo, ´e poss´ıvel obter informac¸˜oes do escoamento em golfadas a partir dos dados de entrada, que s˜ao as vaz˜oes de l´ıquido e g´as, diˆametro da tubulac¸˜ao, propriedades dos fluidos, frequˆencia das golfadas e frac¸˜ao de l´ıquido no pist˜ao. Simulac¸˜oes e resultados experimentais foram comparados para escoamentos de ´agua-ar.
Um importante fenˆomeno foi observado nos experimentos de Dukler e Hubbard (1975): h´a uma queda de press˜ao acentuada na fronteira entre a frente do pist˜ao e a traseira 1A c´elula unit´aria adotada neste trabalho ´e composta por um pist˜ao e a bolha que est´a logo atr´as, diferente da c´elula unit´aria definida por Wallis (1969), que engloba uma bolha e metade dos pist˜oes adjacentes.
da bolha subsequente, ilustrada na Figura 2.7. Atribui-se essa queda de press˜ao em raz˜ao da recirculac¸˜ao de l´ıquido na regi˜ao da mistura, que ocorre devido ao choque entre o l´ıquido proveniente do filme e o l´ıquido do pist˜ao. V´arias considerac¸˜oes propostas pelos autores foram utilizadas posteriormente em diversos trabalhos, e s˜ao aceitas at´e hoje.
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Figura 2.7: Queda de press˜ao ao longo da c´elula unit´aria.
Fonte: Adaptado de Dukler e Hubbard (1975).
Fernandes et al. (1983) tamb´em estudaram o escoamento bif´asico de l´ıquido-g´as no padr˜ao golfadas, e propuseram uma metodologia para obter os parˆametros do escoamento para o caso vertical. Aplicou-se balanc¸os de massa para cada uma das fases nas regi˜oes do pist˜ao e da bolha, e correlac¸˜oes de fechamento; o g´as ´e considerado incompress´ıvel. A soluc¸˜ao ´e obtida atrav´es da soluc¸˜ao do sistema de equac¸˜oes. Para a avaliac¸˜ao do modelo, foram realizados experimentos com ´agua e ar para uma ampla faixa de velocidades superficiais das duas fases. A raz˜ao entre os comprimentos da bolha e do pist˜ao, a frac¸˜ao de vazio na regi˜ao da bolha e a frac¸˜ao de vazio no pist˜ao foram comparados com dados experimentais, obtendo-se discrepˆancias, segundo os autores, de 10%, 10% e 5%, respectivamente.
Taitel e Barnea (1990a) e Taitel e Barnea (1990b) desenvolveram estudos para caracterizar o escoamento em golfadas nas direc¸˜oes horizontal e inclinado (ascendente). Utilizaram equac¸˜oes j´a conhecidas na literatura, e propuseram uma metodologia para o c´alculo da queda de press˜ao, formato e comprimento da bolha. O objetivo dos autores foi demonstrar que a inclus˜ao de todos os fenˆomenos que contribuem para a queda de press˜ao levam a resultados similares, independente da escolha do volume de controle. Observou-se, contudo, que dependendo de como esses fenˆomenos s˜ao tratados matematicamente, os resultados em termos absolutos s˜ao bastante diferentes. O modelo de bolha e as considerac¸˜oes utilizados pelos autores para o c´alculo da queda de press˜ao servem de base para muitos trabalhos na ´area.
2.3.2 MODELOS TRANSIENTES
Comentou-se no Cap´ıtulo 1 que dois modelos transientes utilizados na literatura para a simulac¸˜ao do escoamento em golfadas s˜ao: o modelo de dois fluidos e o modelo de seguimento de pist˜oes (slug tracking).
O modelo de dois fluidos foi desenvolvido por Ishii (1975). Nessa metodologia, as equac¸˜oes de conservac¸˜ao de massa e quantidade de movimentos s˜ao aplicadas para cada fase individualmente, e somente em relac¸˜ao ao eixo axial. Portanto, consiste na soluc¸˜ao simultˆanea de seis equac¸˜oes diferenciais, ou quatro para escoamento isot´ermico. Um dos primeiros modelos transientes comercialmente dispon´ıveis foi o software OLGA (BENDIKSEN et al., 1991), que se baseia no modelo de dois fluidos. O OLGA ´e capaz de simular a formac¸˜ao de golfadas, e tem sido largamente utilizado pela ind´ustria at´e os dias de hoje. Segundo Aursand et al. (2012), a vers˜ao mais recente do software OLGA ´e capaz de simular o escoamento trif´asico de ´oleo, ´agua e g´as.
Renault (2007) apresentou uma metodologia para simular a iniciac¸˜ao e rastreamento das golfadas. A metodologia ´e baseada no modelo de dois fluidos, por´em com uma formulac¸˜ao lagrangiana, onde aplicam-se as leis de conservac¸˜ao para cada uma das fases, modelando- se a regi˜ao estratificada e tratando os pist˜oes como singularidades. Assim, fluxo de g´as, press˜ao e velocidade da mistura no pist˜ao s˜ao obtidos a partir da discretizac¸˜ao das equac¸˜oes de conservac¸˜ao para o g´as e para o pist˜ao pelo m´etodo das diferenc¸as finitas, enquanto a velocidade do filme e a frac¸˜ao de l´ıquido s˜ao obtidas atrav´es da soluc¸˜ao do problema de Riemann. Deslocamento da frente e traseira do pist˜ao s˜ao obtidos atrav´es de balanc¸os de massa e correlac¸˜oes. O modelo serviu de base para o trabalho de Conte (2014).
Conte (2014) desenvolveu um c´odigo computacional para simular a iniciac¸˜ao de golfadas. O objetivo foi utilizar o modelo de Renault (2007) para simular a formac¸˜ao de golfadas a partir do escoamento estratificado, em tubulac¸˜oes com mudanc¸a de direc¸˜ao. Foram realizadas simulac¸˜oes para caracterizar o escoamento, compreender fisicamente a formac¸˜ao das golfadas, e verificar os crit´erios de estabilidade e convergˆencia do modelo. Experimentos foram realizados para a validac¸˜ao do c´odigo, observando-se uma boa concordˆancia entre os resultados num´ericos e experimentais. A desvantagem do modelo ´e o elevado custo computacional, que pode ser significativo para tubulac¸˜oes de grande comprimento e inviabilizar a simulac¸˜ao.
Os modelos de seguimentos de pist˜oes s˜ao lagrangianos e utilizam o conceito de c´elula unit´aria. A malha ´e m´ovel e acompanha o deslocamento das c´elulas. O primeiro trabalho do tipo foi apresentado por Taitel e Barnea (1993), cujo principal objetivo foi calcular os valores dos comprimentos dos pist˜oes em qualquer posic¸˜ao ao longo da tubulac¸˜ao. Tal modelo ´e bem simplificado, considerando o g´as como incompress´ıvel, pist˜ao n˜ao aerado, frente do pist˜ao com velocidade constante e velocidade da bolha dependente do pist˜ao que est´a a sua frente. Uma
evoluc¸˜ao do modelo foi apresentado por Zheng et al. (1994), que estudaram o escoamento em terrenos acidentados e pist˜ao aerado, enquanto Taitel e Barnea (1998) estudaram os efeitos da compressibilidade do g´as.
Franklin (2004) apresentou um modelo de seguimento de pist˜oes para o escoamento horizontal, em que considera o g´as como compress´ıvel e ideal, e leva em considerac¸˜ao a intermitˆencia; ´e baseado em balanc¸os de massa para cada bolha e cada pist˜ao, e balanc¸os de quantidade de movimento de cada pist˜ao. Serviu de base para o modelo de Rodrigues (2009), para escoamentos horizontal, inclinado e vertical.
O modelo de Rodrigues (2009) parte das equac¸˜oes de conservac¸˜ao na forma integral para a obtenc¸˜ao de duas equac¸˜oes diferenciais. Estas s˜ao resolvidas para a press˜ao na bolha e a velocidade do l´ıquido no pist˜ao. As demais vari´aveis s˜ao calculadas por meio de equac¸˜oes auxiliares. O modelo simula somente o escoamento em golfadas, ou seja, ´e necess´ario que desde a entrada at´e a sa´ıda da tubulac¸˜ao, o escoamento esteja no padr˜ao intermitente. As propriedades das c´elulas que est˜ao sendo inseridas na tubulac¸˜ao devem ser conhecidas. Uma evoluc¸˜ao do trabalho foi apresentado por Parra (2013). O modelo apresentado pelo ´ultimo autor ´e capaz de simular o escoamento, quando se produz uma leve mudanc¸a de direc¸˜ao.