Conex˜ oes de Weyl e a Origem das Transforma¸c˜ oes de Calibre

= k

i j

. (34.118)

Assim, os coeficientes de uma conex˜ao de Levi-Civita coincidem com os s´ımbolos de Christoffel. Da condi¸c˜ao de simetria vale, naturalmente, Γ^k_ij = Γ^k_jipara todosi, j, k. Mais importante ´e notar que, segundo (34.118), os coeficientes de uma conex˜ao de Levi-Civita s˜ao univocamente determinados pelo tensor m´etrico apenas. Esse fato ´e muitas vezes denominado Teorema Fundamental da Geometria Riemanniana.

E importante tamb´em observar que, como toda variedade diferenci´´ avel admite um tensor m´etrico Riemanniano infinitamente diferenci´avel (Proposi¸c˜ao 34.1, p´agina 1674), segue que toda variedade diferenci´avel possui tamb´em uma conex˜ao de Levi-Civita para esse tensor m´etrico Riemanniano.

• Conex˜oes de Riemann-Cartan e de Einstein-Cartan

Se (M, g) ´e uma variedade Riemanniana (Lorentziana), uma conex˜ao∇compat´ıvel comg(ou seja, m´etrica) e dotada de tor¸c˜ao n˜ao-nula ´e por vezes dita ser uma conex˜ao de Riemann-Cartan (conex˜ao de Einstein-Cartan). A variedade (M, g, ∇) assim constitu´ıda ´e dita ser uma variedade de Riemann-Cartan (variedade de Einstein-Cartan). O estudo de variedades de Riemann-Cartan (de Einstein-Cartan) ´e denominado Geometria de Riemann-Cartan (Geometria de Einstein-Cartan).

A formula¸c˜ao Einsteniana da Teoria da Relatividade Geral pressup˜oe uma conex˜ao de Levi-Civita, compat´ıvel com um tensor m´etrico Lorentziano e, portanto, com tor¸c˜ao nula. H´a uma formula¸c˜ao alternativa, denominadaTeoria de Einstein-Cartan, na qual considera-se uma conex˜ao de Einstein-Cartan, i.e., compat´ıvel com um tensor m´etrico Lorentziano, mas com tor¸c˜ao n˜ao-nula. A Teoria de Einstein-Cartan introduz efeitos gravitacionais devidos aospinda mat´eria. Os efeitos f´ısicos mensur´aveis da presen¸ca de tor¸c˜ao, por´em, s˜ao muito pequenos para serem observ´aveis dentro dos padr˜oes atuais de experimenta¸c˜ao. Para alguns artigos de revis˜ao sobre a tor¸c˜ao na Teoria da Relatividade Geral, vide [166] ou [399].

Para algumas referˆencias aos trabalhos originais de Cartan, vide nota-de-rodap´e 11, p´agina 1683.

34.2.3.4 Conex˜ oes de Weyl e a Origem das Transforma¸c˜ oes de Calibre

As conex˜oes de Levi-Civita possuem uma generaliza¸c˜ao de alguma relevˆancia, as chamadas conex˜oes de Weyl. Parte dessa relevˆancia ´e hist´orica, pois o estudo das conex˜oes de Weyl deu origem `a descoberta de uma importante classe de

“transforma¸c˜oes de simetria”: as transforma¸c˜oes de calibre.

Os trabalhos de Weyl, notadamente o livro [414], cuja primeira edi¸c˜ao data de 1918, foram tamb´em muito influentes no desenvolvimento geral da teoria das conex˜oes. Esses trabalhos representam tamb´em a primeira tentativa de unifica¸c˜ao geom´etrica da Gravita¸c˜ao com o Eletromagnetismo e uma das primeiras tentativas de estender Teoria da Relatividade Geral de Einstein.

• Conex˜oes de Weyl

Uma conex˜ao afim∇ que seja sim´etrica (ou seja, com tor¸c˜ao nula) ´e dita ser uma conex˜ao de Weyl²² se existir um

21Tullio Levi-Civita (1873–1941).

22Hermann Klaus Hugo Weyl (1885–1955).

campo de covetoresφ∈X^∗(M) tal que

∇A(g) = hφ, Aig (34.119)

para todo A∈X(M), comg sendo o tensor m´etrico. Em coordenadas locais, escreve-se (34.119) como

gµν;α = φαgµν . (34.120)

Cada conex˜ao de Weyl ´e, portanto, caracterizada por um campo φ∈X^∗(M). Por vezes, emprega-se a nota¸c˜ao ∇^{(g, φ)} para caracterizar a dependˆencia da conex˜ao comg e comφ. Como se vˆe, conex˜oes de Levi-Civita correspondem ao caso particular ondeφ´e identicamente nulo.

Uma express˜ao expl´ıcita para os coeficientes de uma conex˜ao de Weyl em termos deg eφser´a obtida mais adiante.

Vide (34.128)–(34.129).

Conex˜oes de Weyl foram introduzidas por aquele autor em cerca de 1918²³em uma proposta de unifica¸c˜ao geom´etrica do Eletromagnetismo com a Teoria da Relatividade Geral, um sonho te´orico perseguido por v´arios autores (Einstein inclusive), seguindo diversas ideias distintas. No caso de Weyl, a 1-forma definida por φ deve ser entendida como o quadripotencial-vetor do Eletromagnetismo e a 2-formaF :=dφ, cujas componentes em uma carta local de coordenadas s˜aoFµν = ^∂φ_∂x^µν −^∂φ∂x^νµ, deve ser identificada com o campo eletromagn´etico. Logo adiante elaboraremos mais a respeito.

O texto cl´assico a respeito dos trabalhos de Weyl sobre teorias com conex˜oes de Weyl ´e [414]. Vide tamb´em a contribui¸c˜ao de Weyl a [110]. Para uma an´alise f´ısica detalhada da teoria de Weyl, vide [306].

Para uma an´alise de algumas antigas teorias de unifica¸c˜ao do Eletromagnetismo com a Gravita¸c˜ao, vide [306] e [301], esse ´ultimo texto possui, inclusive, uma cronologia das diversas teorias.

• A origem das transforma¸c˜oes de calibre

Para tornar as observa¸c˜oes que seguem mais transparentes, vamos denotar uma conex˜ao de Weyl por∇^{(g, φ)}de modo a deixar clara a dependˆencia com o tensor m´etricog e comφ.

Tomemos λ ∈ C^∞(M). Considere-se a transforma¸c˜ao g 7→ g^′ := e^λg (por vezes denominada uma transforma¸c˜ao conformedo tensor m´etrico, oureescalonamento de Weyl), acompanhada pela transforma¸c˜aoφ7→φ^′ :=φ−dλ(ou seja, em coordenadas locais,φα7→φα−∂x^∂λα). Teremos,

∇^{(g, φ)}A e^λg

−

φ−dλ, A e^λg

= e^λ∇^{(g, φ)}A g+✘✘✘✘ A e^λ

g− hφ, Aie^λg−✘✘✘✘ A λ

e^λg = e^λ

∇^{(g, φ)}A g− hφ, Aig _(34.119)

= 0. Como, por defini¸c˜ao,

0 = ∇^(gA^{′, φ′)}(g^′)− hφ^′, Aig^′ = ∇^(gA^{′, φ′)} e^λg

− hφ−dλ, Ai e^λg , conclu´ımos que

∇^(gA^{′, φ′)}(g^′) = ∇^{(g, φ)}A (g^′). Fazendo agora uso da express˜ao (34.78), essa igualdade implica que

g^′_jlΓ^′j_ik+g^′_kjΓ^′j_il = g^′_jlΓ^j_ik+g^′_kjΓ^j_il,

onde Γ^′j_ik e Γ^j_ik denotam os coeficientes da conex˜ao∇^{(g′, φ′)}e∇^{(g, φ)}, respectivamente. Definindo um tensorQ^a_bcpor Q^a_bc:= Γ^′a_bc−Γ^a_bc (trata-se de um tensor por ser a diferen¸ca entre duas conex˜oes), obtemos

g^′_jlQ^j_ik+g^′_kjQ^j_il = 0 ou seja, Q_lik = −Q_kil (34.121) (aqui, o rebaixamento de ´ındices ´e feito com o tensor m´etricog^′). Al´em disso, vale tamb´em

Q^a_bc = Q^a_cb e, portanto, Q_abc = Q_acb, (34.122) pois ambas as conex˜oes∇^(gA^{′, φ′)} e∇^{(g, φ)}A s˜ao supostas sim´etricas.

Vamos agora provar que as rela¸c˜oes (34.121) e (34.122) implicam Q^a_bc= 0. De fato,

Q_lik ^(34.121)= −Q_kil ^(34.122)= −Q_kli ^(34.121)= Q_ilk ^(34.122)= Q_ikl ^(34.121)= −Q_lki ^(34.122)= −Q_lik ,

23Uma primeira referˆencia seria: H. Weyl, “Gravitation und Elektricit¨at”, Sitzungsberichte der Preussischen Akad. der Wissenschaften, 465, (1918), reproduzido em traduzido para o Inglˆes em [110]. Para mais referˆencias a trabalhos originais da teoria de Weyl, vide [306].

o que mostra queQ_lik = 0 e estabelece que

∇^{(g′, φ′)} = ∇^{(g, φ)}.

Esta identidade mostra que a conex˜ao∇^{(g, φ)}´e invariante pela transforma¸c˜ao (g, φ) 7−→ (g^′, φ^′) := e^λg, φ−dλ

. (34.123)

Pode-se dizer, portanto, que a transforma¸c˜ao (34.123) ´e uma transforma¸c˜ao de simetria no espa¸co das conex˜oes de Weyl.

Essa transforma¸c˜ao foi denominada por Weyl umatransforma¸c˜ao de calibre²⁴.

O nome “calibre” prov´em da ideia geom´etrica de que a transforma¸c˜aog 7→e^λg corresponde a uma recalibra¸c˜ao das medidas de distˆancia, n˜ao alterando o tipo (luz, tempo ou espa¸co) dos quadrivetores e, portanto, n˜ao alterando as rela¸c˜oes causais.

O fato de (34.123) envolver a transforma¸c˜aoφ7→φ−dλ refor¸ca a ideia que as conex˜oes de Weyl ∇^{(g, φ)}dependem n˜ao da 1-forma φ, mas da 2-forma F =dφ, que ´e invariante por essa transforma¸c˜ao, pois d(dλ) = 0 (vide Proposi¸c˜ao 35.2, p´agina 1763).

Apesar de admirado por Einstein, o trabalho de Weyl e sua proposta de usar conex˜oes de Weyl para a unifica¸c˜ao da Gravita¸c˜ao com o Eletromagnetismo acabou rejeitado por raz˜oes f´ısicas. Einstein apontou que teorias com a conex˜oes de Weyl violam o princ´ıpio de equivalˆencia (essencialmente pois as curvas geod´esicas dependem deφ). Uma an´alise f´ısica da teoria das conex˜oes de Weyl encontra-se em [306].

Ainda assim, transforma¸c˜oes similares `as de calibre foram redescobertas no contexto da F´ısica Quˆantica (na forma das transforma¸c˜oes simultˆaneas ψ 7→ e^iλψ, φ 7→ φ−dλ, com ψ sendo a fun¸c˜ao de onda de um sistema quˆantico) e desempenham nessa nova forma um papel central na F´ısica posterior aos anos 60–70 do s´ec. XX, especialmente com o advento do Modelo Padr˜ao da F´ısica das Part´ıculas Elementares. Aparentemente essa nova vers˜ao das transforma¸c˜oes de calibre em sistemas quˆanticos foi criada pelo pr´oprio Weyl na d´ecada de 1920.

• Obtendo explicitamente os coeficientes de uma conex˜ao de Weyl

Para completar essa discuss˜ao vamos obter uma express˜ao expl´ıcita para os coeficientes Γⁱ_jkde uma conex˜ao de Weyl.

Escrevendo (34.120) com uso de (34.78), temos

∂g_kl

∂xⁱ −g_jlΓ^j_ik−g_kjΓ^j_il = φig_kl , (34.124)

∂g_li

∂x^k −g_jiΓ^j_kl−g_ljΓ^j_ki = φkg_li , (34.125)

∂g_ik

∂x^l −g_jkΓ^j_li−g_ijΓ^j_lk = φlg_ik , (34.126) onde as duas linhas inferiores s˜ao obtidas da linha de cima por permuta¸c˜oes c´ıclicas dos ´ındices. Somando a ´ultima `a pen´ultima e subtraindo a primeira linha, obtemos, usando tamb´em a simetria Γ^a_bc= Γ^a_cbda conex˜ao,

∂g_li

∂x^k −2g_jiΓ^j_kl+∂g_ik

∂x^l −∂g_kl

∂xⁱ = φkg_li+φlg_ik−φig_kl . (34.127) Portanto,

Γⁱ_kl = 1 2g^ij

∂g_lj

∂x^k +∂g_jk

∂x^l −∂g_kl

∂x^j

+1 2

φⁱg_kl−φkδ_lⁱ−φlδⁱ_k

(34.128)

(34.109)

=

i k l

+1

2

φⁱg_kl−φkδ_lⁱ−φlδⁱ_k

. (34.129)

E. 34.20 Exerc´ıcio. Complete os detalhes para a obten¸c˜ao de (34.127), (34.128) e (34.129)! 6

24No original, “Eichtransformation”, em Inglˆes “gauge transformation”.

E. 34.21 Exerc´ıcio. Usando diretamente (34.128), prove novamente o fato j´a estabelecido queΓⁱkl´e invariante pelas transforma¸c˜oes

de calibre (34.123). 6