Gradiente, Divergente e Laplaciano

Vamos agora introduzir as no¸c˜oes muito ´uteis de gradiente, divergente eLaplaciano (ouoperador de Laplace-Beltrami) no contexto de variedades Riemannianas ou Lorentzianas dotadas de uma conex˜ao afim.

Fazemos notar que, para o caso de conex˜oes de Levi-Civita, essas no¸c˜oes podem ser introduzidas com mais elegˆancia e generalidade na teoria das formas diferenciais fazendo uso do chamado mapa dual de Hodge²⁵. Esse ´e o assunto da Se¸c˜ao 35.2.3.1, p´agina 1777. L´a indicaremos inclusive como definir o operador rotacional em variedades, o que n˜ao faremos aqui.

Em contraste, no presente contexto de conex˜oes, podemos definir os operadores divergente e Laplaciano mesmo em variedades com tor¸c˜ao, o que n˜ao ocorre no contexto de formas diferenciais.

O estudante deve notar que as defini¸c˜oes de gradiente, divergente e Laplaciano que apresentaremos adiante s˜ao defini¸c˜oes intr´ınsecas, isto ´e, independentes de cartas locais de coordenadas, ainda que nosso principal objetivo seja obter express˜oes para esses operadores em cartas locais de coordenadas.

• Gradiente

Seja (M, g) uma variedade Riemanniana ou Lorentziana ef :M →R uma fun¸c˜ao diferenci´avel emM assumindo valores nos reais. Recordando, a diferencial def, denotada pordf´e o elemento de X^∗(M) definido por²⁶

hdf, Ai = A(f),

para todoA∈X(M), ondeA(f) foi definido em (34.52), p´agina 1684. Assim,df´e um campo de covetores tais que para todo A∈X(M) valehdf, Ai ≡df(A) =A^{i ∂f}_∂xi em uma carta local (e, portanto, em todas, devido `a invariˆancia do lado direito), sendoA=A^{i ∂}_∂xi.

Definimos o gradientedef, denotado por grad (f)∈X(M), por grad (f) := g^♯ df

, (34.130)

ou seja, grad (f) ´e definido como o campo vetorial definido emM tal que para todop∈M e todov∈T_pM valha g grad (f), v

p = (df)p(v). (34.131)

Em um sistema de coordenadasx¹, . . . , xⁿdefinido por uma carta local empem quev=v^k _∂x^∂k

p(usando a conven¸c˜ao de soma de Einstein) e grad (f)p= grad (f)p

k ∂

∂x^k

p, teremos (df)p(v) = _∂x^∂fk(p)v^keg(grad (f), v)p= grad (f)p

i

v^jgij(p).

Assim, (34.131) se escreve na forma

g grad (f), v

p = grad (f)pi

v^jgij(p) = ∂f

∂x^j(p)v^j , (34.132)

implicando que grad (f)p

i

gij(p) = _∂x^∂fj

ppara todo j e, portanto, que grad (f)pi

= g^ij(p) ∂f

∂x^j

p

(34.133) para todo i. Assim,

grad (f)p =

g^kj ∂f

∂x^j

p

∂

∂x^k

p

. (34.134)

25William Vallance Douglas Hodge (1903–1975).

26A aplica¸c˜aodf foi tamb´em definida em (33.53), p´agina 1635, como opushforwardde fun¸c˜oes reais definidas emM, mais precisamente, como a aplica¸c˜ao diferencial associada a uma fun¸c˜aof:M→Rde classeC^∞.

Observe-se que, para um campo vetorialA∈X(M), (34.132) afirma que g grad (f), A

= A(f). (34.135)

Por raz˜oes facilmente compreens´ıveis, o gradiente def ´e frequentemente denotado por∇ⁱf ou por∂ⁱf.

• Divergente

Seja ∇uma conex˜ao afim eA∈X(M) e considere-se o tensorK^A:X(M)→X(M) definido por

K^A(B) := ∇^BA , (34.136)

paraB∈X(M). Definimos odivergente deA(segundo∇) como sendo o tra¸co da aplica¸c˜ao definida porK^A: div (A) := Tr K^A

. (34.137)

(A no¸c˜ao de tra¸co encontra-se definida `a p´agina 1628). Pela considera¸c˜oes que fizemos quando da defini¸c˜ao da no¸c˜ao de tra¸co, conclu´ımos que div (A) ´e invariante por mudan¸ca de coordenadas.

E interessante e ´´ util expressarmosK^Ae div (A) em coordenadas locais. Escrevendo K^A

∂

∂xⁱ

= K^Ak i

∂

∂x^k teremos,

K^Ab i

∂

∂x^b = K^A ∂

∂xⁱ

= ∇ ^∂

∂xiA = ∂A^k

∂xⁱ + Γ^k_ijA^j ∂

∂x^k K^Ak

i = ∂A^k

∂xⁱ + Γ^k_ijA^j e, por (33.33), teremos div (A) = Tr K^A(33.33)

= K^Ai

i=^∂A_∂xiⁱ+Γⁱ_ijA^j=Aⁱ_;i= (∇ⁱA)ⁱ. Em particular, em coordenadas locais e para uma conex˜ao afim geral, vemos que

div (A) = ∂Aⁱ

∂xⁱ + Γⁱ_ijA^j. (34.138)

O estudante facilmente apercebe-se que no caso da variedadeRⁿcom a conex˜ao plana usual tem-se para coordenadas Cartesianas div (A) =^∂A_∂xiⁱ, que ´e a defini¸c˜ao usual de divergente de um campo vetorial.

Por raz˜oes facilmente compreens´ıveis, o divergente deA´e frequentemente denotado por∇jA^j ou porA^j_;j.

Se ∇ for uma conex˜ao m´etrica e sim´etrica (ou seja, uma conex˜ao de Levi-Civita), ent˜ao podemos usar (34.114) e escrever

div (A) = ∂Aⁱ

∂xⁱ + Γⁱ_ijA^j = ∂Aⁱ

∂xⁱ + 1

2g

∂g

∂x^j

A^j e, portanto,

div (A) = 1 p|g|

∂

∂x^j A^jp

|g|

. (34.139)

• Laplaciano (ou operador de Laplace-Beltrami)

Seja f :M →Ruma fun¸c˜ao duas vezes diferenci´avel emM assumindo valores nos reais. Definimos oLaplaciano de f, denotado por ∆(f), por

∆(f) := div grad (f) .

O Laplaciano mapeia fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis deM em fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis deM e, por isso, podemos falar de um operador Laplaciano. No contexto de Geometrias Riemannianas ou Lorentzianas e na Geometria de superf´ıcies, o operador Laplaciano ´e frequentemente denominadooperador de Laplace²⁷-Beltrami²⁸.

27Pierre-Simon Laplace (1749–1827).

28Eugenio Beltrami (1835–1899).

Em coordenadas locais e para uma conex˜ao afim geral, teremos por (34.138) e (34.133),

O estudante facilmente apercebe-se que no caso da variedade Rⁿ com o tensor m´etrico Riemanniano usual e a conex˜ao plana usual tem-se para coordenadas Cartesianas ∆(f) = Pn

i=1

∂²f

∂xⁱ², que ´e a defini¸c˜ao usual de Laplaciano de uma fun¸c˜ao escalar.

Por raz˜oes facilmente compreens´ıveis, o Laplaciano def ´e frequentemente denotado por ∇ⁱ∇ⁱf.

Se ∇ for uma conex˜ao m´etrica e sim´etrica (ou seja, uma conex˜ao de Levi-Civita), ent˜ao podemos usar (34.139), e escrever

Essa rela¸c˜ao pode ser usada mesmo no caso plano deRⁿ para expressar o Laplaciano em coordenadas gerais. Vide Se¸c˜ao 4.3, p´agina 266.

E. 34.22 Exerc´ıcio. Usando (34.115), mostre que, no caso de uma conex˜ao de Levi-Civita, (34.140) pode ser reescrita como

∆(f) = g^ij

E. 34.23 Exerc´ıcio. Mostre que para uma conex˜ao m´etrica geral tem-se

div (A) = 1

Ksendo o tensor de contor¸c˜ao, e

∆(f) = 1

Sugest˜ao: Basta usar (34.111) e os resultados (34.139) e (34.141). 6

* *** *

As rela¸c˜oes (34.133), (34.139) e (34.141) s˜ao muito ´uteis, podendo mesmo ser usadas nas variedades planasRⁿ, com o tensor m´etrico Riemanniano usual, para expressar o gradiente, o divergente e o Laplaciano em coordenadas outras que n˜ao as Cartesianas, tal como fizemos em diversos problemas do Cap´ıtulo 42, p´agina 2259, e alhures. Para tal, emprega-se as express˜oes de (34.28), que apresentam as componentes do tensor m´etrico Riemanniano (covariante e contravariante) em sistemas de coordenadas gerais em Rⁿ. Nesse caso, como comentamos no Exerc´ıcio E. 34.2, p´agina 1679, podemos usar o fato queg= det(J)2

, ondeJ ´e a matriz dada em (34.29). Vide tamb´em a Se¸c˜ao 4.3, p´agina 266, para a forma expl´ıcita do operador Laplaciano em alguns sistemas de coordenadas de interesse emR²eR³.

Em certos livros-texto de F´ısica-Matem´atica, como [283] e [15], o estudante pode encontrar tais express˜oes para os operadores gradiente, divergente e Laplaciano em diversos sistemas de coordenadas de interesse f´ısico em R² e em R³. Essas referˆencias [283] e [15] obt´em (34.133), (34.139) e (34.141) por meios mais pedestres e com menos generalidade.

Como j´a dissemos acima, as diversas express˜oes que encontramos podem ser obtidas com mais elegˆancia e generalidade atrav´es do uso de formas diferenciais. Vide Se¸c˜ao 35.2.3.1, p´agina 1777.

• A conex˜ao de Levi-Civita, o gradiente e um operador sim´etrico

A proposi¸c˜ao a seguir ´e relevante em diversos contextos. Iremos us´a-la na an´alise da identidade de Raychaudhuri, na Se¸c˜ao 34.6.1, p´agina 1742.

Proposi¸c˜ao 34.5 Seja∇uma conex˜ao de Levi-Civita e sejaf :M →R´e uma fun¸c˜ao ao menos duas vezes diferenci´avel.

Seja L^f :X(M)→X(M)o tensor de tipo (1, 1)definido por

L^f(B) := K^gradf(B) = ∇Bgrad (f),

comB ∈X(M). Ent˜ao,L^f ´e um tensor g-sim´etrico (vide defini¸c˜ao `a p´agina 1681), ou seja, L^f†

=L^f e, pois vale g B, L^f(C)

= g L^f(B), C

(34.146) para todos B, C∈X(M), ou seja,

g

B, ∇Cgrad (f)

= g

C, ∇Bgrad (f) . As componentes de L^f em um sistema local de coordenadas, s˜ao dadas por

(L^f)^l_i = ∂

∂xⁱ

g^la ∂f

∂x^a

+ Γ^l_ijg^ja ∂f

∂x^a . (34.147)

e (34.146) significa que (L^f)ⁱ_j= (L^f)_jⁱ, ou ainda que(L^f)_ij = (L^f)_ji. 2

Prova. De (34.117) segue facilmente que g

C, ∇BA

−g

B, ∇CA

= B

g C, A

−C

g B, A

−g [B, C], A para todos A, B, C∈X(M) (verifique!). TomandoA= grad (f), teremos por (34.135)

g

C, ∇^Bgrad (f)

−g

B, ∇^Cgrad (f)

= B

g C, grad (f)

−C

g B, grad (f)

−g [B, C], grad (f)

(34.135)

= B C(f)

−C B(f)

−[B, C](f) = 0. Isso provou (34.146). Em um sistema local de coordenadas, escrevemos

L^f(B) = (L^f)(B)^l ∂

∂x^l = (L^f)^l_iBⁱ ∂

∂x^l = Bⁱ∇igrad (f) = Bⁱ ∂

∂xⁱgrad (f)^l+ Γ^l_ijgrad (f)^j ∂

∂x^l , de modo que

(L^f)^l_i = ∂

∂xⁱgrad (f)^l+ Γ^l_ijgrad (f)^j = ∂

∂xⁱ

g^la ∂f

∂x^a

+ Γ^l_ijg^ja ∂f

∂x^a .

A rela¸c˜ao de simetria (34.146) significagikBⁱ(L^f)^k_jC^j = glj(L^f)^l_iBⁱC^j, ou seja, gik(L^f)^k_j = glj(L^f)^l_i, que significa (L^f)_ij = (L^f)_ji, ou ainda, (L^f)ⁱ_j = (L^f)_jⁱ.

Observe-se que Tr(L^f) = (L^f)i

i= (L^f)ⁱ_i^(34.140)= ∆(f).

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