Considerações Adicionais

Nesta seção, discutem-se alguns aspectos adicionais relacionados à aplicação da RL ao problema de PDO.

4.9.1 Inicialização dos multiplicadores

Para que se tenha uma maior rapidez de convergência do método de RL, é importante se dispor de boas estimativas iniciais para os multiplicadores das restrições relaxadas [127], como pode ser confirmado pelos resultados apresentados na seção 7.4.1.

Existem diversas formas de inicialização dos multiplicadores. Para os problemas de

TUC, TUCH, ou HTUC (vide capítulo 3), Uma primeira forma consiste em utilizar os

multiplicadores obtidos ao se resolver um subproblema de TED, TDED, ou HTS (conforme a formulação adotada), com todas as unidades acionadas [126], ou selecionando apenas um conjunto de unidades por meio de uma lista de prioridades [421]. Pode-se, alternativamente, utilizar os multiplicadores obtidos ao se resolver o problema para no dia anterior, para as horas correspondentes [412]. Em [381], a inicialização é feita a partir dos multiplicadores obtidos resolvendo-se uma versão “convexificada” do problema, e reportam-se excelentes resultados com esta técnica.

Nesta tese, para o problema de SCTUCH estudado no capítulo 8, os multiplicadores são

inicializados com os valores de custo marginal de operação obtidos para cada intervalo de tempo, resolvendo previamente uma formulação linear do problema.

4.9.2 Qualidade do limite inferior

Para o problema de TUC, em [320] mostra-se que, devido à chamada propriedade de integralidade (integrality property) em otimização combinatória [422], o limite inferior para a função objetivo primal, obtido pela RL, equivale ao limite que seria obtido se a integralidade das variáveis de status das unidades geradoras fosse relaxada ao intervalo [0,1]. Para o problema com restrições de UC hidroelétrico, onde as restrições de função de produção das usinas hidroelétricas impõem relações não lineares (e não convexas) entre as variáveis, a satisfação da propriedade de integralidade deve ser investigada. Em [356], faz-se um estudo teórico sobre o gap de dualidade (vide seção 4.1) para um problema semelhante, de alocação de recursos, e conclui-se que o valor do gap diminui quando se relaxam restrições não lineares.

O fato de que o gap de dualidade se reduz, em termos relativos, em relação ao tamanho do sistema, já foi sinalizada em [353], e confirmado para o problema de TUC em [321]. Assim, a razão gd/n se reduz na medida em que aumenta o número n de unidades do sistema.

Resultados empíricos em [423] mostram que o gap de dualidade pode chegar próximo a 1%. Outros trabalhos da literatura de TUC reportam gaps inferiores a 1% para o

problema de TUC ou TUCH [128], [384]. Nos resultados da aplicação do trabalho desta

tese em um estudo de caso real com o sistema brasileiro, apresentados na seção 8.4.1, obteve-se um gap de dualidade da ordem de 0,15%. Este valor tão reduzido deve estar relacionado ao fato do percentual de geração térmica no sistema brasileiro ser muito baixo.

4.9.3 Critérios de parada

Os critérios de parada descritos na seção 4.5.4 são empregados quando se utilizam algoritmos mais rigorosos para a maximização do problema dual, como o método de feixes ou de plano cortantes. Em métodos menos rigorosos, como o método de subgradientes, pode-se parar quando a norma do vetor diferença dos multiplicadores de uma iteração para a outra for suficientemente próxima de zero, ou quando valores sucessivos da função dual forem suficientemente próximos.

No entanto, o critério que tem sido mais adotado, principalmente quando se resolve o problema pelo método de subgradientes com um enfoque primal-dual, é quando a diferença entre o valor da função dual (limite inferior) e o valor da função primal na melhor solução primal até então encontrada (limite superior) estiver dentro de uma tolerância relativa especificada. O problema de se adotar esta regra como único critério é que pode existir um gap de dualidade intrínseco ao problema e que seja superior à tolerância especificada, o que fará com que este teste nunca seja ativado.

Um critério adicional de emergência é parar após se atingir um número máximo de iterações, estabelecido a partir de testes com diversos estudos de caso.

4.9.4 Análise da função dual

Alguns trabalhos apresentam uma análise da função dual relacionada aos problemas de

TUC e TUCH [124], [361], [391], [371], [424]. Em [361], apresentam-se as curvas de

nível no entorno do ponto de máximo, para dois multiplicadores referentes às restrições de demanda e reserva. Em [371], comparam-se as curvas de nível da função dual quando se considera uma formulação linear ou suave para as funções de custos do problema. Posteriormente, em [424], comparam-se as funções duais obtidas por RL ou LA sobre a equação de demanda.

O trabalho [425] faz uma análise detalhada das propriedades da função dual para um problema de UC estático, onde as decisões não são acopladas no tempo. Estuda-se a curva θ(λ,α), onde λ e α são os multiplicadores da demanda e reserva, respectivamente.

Conclui-se que θ apresenta apenas um ponto de máximo e uma série de curvas

denominadas switching curves, que dividem o plano λ x α em diversas regiões no

interior das quais os status das unidades se mantêm inalterados com pequenas variações nos multiplicadores. Esses estudos originam um algoritmo para resolver o UC estático de forma analítica e motivam estudos posteriores para a análise da função dual para o problema de TUC tradicional.

Em [351], faz-se uma análise geométrica da função-valor de uma versão simplificada do problema de PDO, referente ao valor da demanda. Ao se representar no gráfico o hiperplano referente à função dual relaxando-se a demanda, pode-se visualizar a ocorrência do gap de dualidade.

Nesta tese, apresenta-se, no Apêndice I, um estudo da função dual do problema de TED (ou formulações equivalentes) resolvido por RL com duplicação de variáveis.

4.9.5 Custo marginal

Os custos marginais de operação para cada intervalo, fornecidos pela RL, são os próprios valores das variáveis duais, no caso de se relaxar a demanda, ou os multiplicadores das equações de demanda no subproblema elétrico, no caso de relaxação por duplicação de variáveis. Estudos mostram que esses valores são maiores do que os que seriam obtidos por um modelo de despacho econômico para cada intervalo de tempo, pois nele estão implicitamente embutidos os custos de partida das unidades térmicas [426]. Ressalta-se ainda que, quando a viabilidade primal é obtida por Lagrangeanos aumentados, os custos marginais podem sofrer ainda acréscimos adicionais, devido ao parâmetro de penalização.