Técnicas para reduzir a inviabilidade

Os problemas A a H são convexos e, portanto, os valores ótimos primais e duais coincidem, conforme visto nos resultados da Tabela 7.3. Pode-se, então, atribuir a inviabilidade verificada na pseudo-solução primal (notadamente, nas restrições de igualdade entre as variáveis Z e GH) ao fato do problema de PDO em consideração ter sido formulado como um problema de PL, conforme discutido na seção 4.7.

Como foi mencionado anteriormente, as dificuldades no atendimento das restrições Z−GH=0 se devem:

• ao fato de se usar uma função de produção hidroelétrica linear por partes para as

usinas hidroelétricas no subproblema [H] ({FPHA}, eq. (5.8)). Com isto, limitam-se

os valores ótimos possíveis para z ou _it Z aos pontos de quebra da função de _it

produção. Para a estratégia 3uni, os valores ótimos também podem se situar nos

pontos onde se alcançam as potências máximas das unidades;

• ao fato do subproblema [E], principalmente sem consideração da rede elétrica, apresentar, na solução ótima, todas as unidades geradoras em seu ponto de geração mínima ou máxima, exceto, possivelmente, uma única unidade geradora denominada de marginal (vide seção 6.3.2).

A fim de diminuir a inviabilidade da pseudo-solução primal obtida ao final da etapa de RL, propõem-se as seguintes modelagens alternativas:

• considerar um número maior de segmentos para representar a FPHA. Com isto, busca-se diminuir a inviabilidade aumentando-se a quantidade de valores discretos

para Z que podem ser obtidos na solução ótima de [H]. Este artifício pode ser

entendido como um passo no sentido de aproximar o modelo de uma formulação não linear, para a qual a técnica de RL apresenta uma melhor performance para a viabilidade do pseudo-ponto primal, em relação a uma formulação linear. Este procedimento está ilustrado na Figura 7.7;

Figura 7.7 – Ilustração do maior detalhamento da modelagem da função de produção ao se adicionarem mais cortes (em vermelho).

• definir unidades geradoras adicionais para as usinas, a partir de uma repartição artificial das unidades existentes. Por exemplo, se uma usina possui 2 unidades, cada uma com capacidade de 250 MW, pode-se representá-la como possuindo 10 unidades, cada uma com capacidade de 50 MW. Deve-se tomar o cuidado, no entanto, de garantir que todas as unidades criadas artificialmente apresentam as mesmas características incrementais das unidades originais, para que o problema a ser resolvido seja semelhante ao problema original. Este procedimento visa aumentar a quantidade de valores discretos para Z e GH que podem ser obtidos ao se resolverem os subproblemas [H] e [E], respectivamente.

A seguir, apresentam-se os resultados da implementação destas duas estratégias para os casos-teste A a H, que foram resolvidos com as seguintes opções:

• 1 – caso base: caso original, cujos resultados foram mostrados anteriormente;

• 2 – FPHA detalhada: caso modificado com 25 segmentos para a FPHA de cada usina (o caso-base apresenta 5 pontos para cada usina);

FPHA com poucos segmentos

Cortes adicionais para a FPHA detalhada

FP real (não linear)

Q GH

• 3 – Unidades artificiais: caso modificado incluindo-se unidades artificiais para cada usina;

• 4 – FPHA + unidades: caso modificado incluindo ambas as modificações descritas nos itens 2 e 3.

7.3.3.2 Redução nas diferenças entre Z e GH

A 0 e a Figura 7.9 mostram os valores de invH (vide seção 7.3.1.1) para as estratégias

3uni e 3usi, respectivamente, para todos os casos e as 4 opções de resolução descritas

acima.

Figura 7.8 – Valores de invH, para cada caso e opção de resolução considerada - Estratégia 3uni.

Figura 7.9 – Valores de invH, para cada caso e opção de resolução considerada - Estratégia 3usi.

Para a estratégia 3uni, percebe-se que o aperfeiçoamento da modelagem da função de

produção das usinas (opções 2 e 4) não surtiu muito efeito em relação às opções correspondentes com a FPHA original (1 e 3, respectivamente). Pode-se atribuir este

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 A B C D E F G H

1 - caso-base 2 -FPHA detalhada

3 - Unidades artificiais 4 - FPHA + Unidades

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A B C D E F G H

1 - caso-base 2 -FPHA detalhada

fenômeno ao fato de já existir, para um razoável número de usinas, vários pontos de quebra devido às potências máximas de cada uma de suas unidades geradoras. Para a

estratégia 3usi, onde as unidades não estão representadas individualmente no

subproblema [H], percebe-se que o uso de uma FPHA mais detalhada apresentou

melhorias sensíveis em todos os casos.

Em relação à adoção de unidades artificiais, percebe-se que este procedimento resultou

em uma redução significativa nas diferenças médias entre Z e GH, para ambas as

estratégias 3uni e 3usi.

As reduções individuais dos desvios para cada uma das 16 usinas estudadas anteriormente são apresentadas na Tabela 11.12 e na Tabela 11.13 do Apêndice IV.3. Embora em algumas usinas os artifícios empregados não tenham diminuído as

diferenças entre Z e GH, na maioria das usinas os decréscimos são significativos, como

por exemplo para a usina de Itumbiara na estratégia 3uni (17,82% no caso-base para

8,21% na opção FPHA+unidades), e para a usina de Ilha Solteira Equivalente na

estratégia 3usi (13,83% no caso base para 3,91% na opção FPHA+unidades).

Avaliação dos efeitos da adição de uma FPHA detalhada

A eficácia de uma melhor discretização da FPHA na redução das diferenças entre Z e

GH depende das características da usina. De forma geral, os efeitos são mais visíveis,

para a estratégia 3uni, para as usinas que apresentam um menor número de unidades

geradoras, já que as usinas que possuem muitas unidades já dispõem de muitos pontos de quebra para Z. Por outro lado, para a estratégia 3usi, como as unidades geradoras não estão representadas individualmente em Z, os efeitos são visíveis tanto para usinas com poucas unidades como para usinas com muitas unidades.

Este comportamento é ilustrado no Apêndice IV.4, onde apresentam-se os resultados

para as estratégias 3uni e 3usi, no caso C, para a usina de Tucuruí, que possui 25

unidades geradoras (Figura 11.13 e Figura 11.14) e para a usina de Paulo Afonso IV, que possui apenas 6 unidades (Figura 11.15 e Figura 11.16).

Avaliação dos efeitos da adição de unidades artificiais

Quando se adicionam unidades artificiais para as usinas hidroelétricas, o efeito, para a estratégia 3usi, se dá nos valores das variáveis gh, uma vez que, no subproblema [H], a

geração é representada por usina. Para a estratégia 3uni, o efeito pode se dar tanto nos valores de Z como de gh.

A seguir ilustram-se estes impactos para a usina Salto Santiago, no caso C. A Figura 7.10 mostra os resultados do caso base, onde se percebe uma grande discrepância entre

os valores de Z e GH. Ao se adicionarem unidades artificiais (Figura 7.11), conseguiu-

se uma estabilização de GH em ambas as estratégias, e uma estabilização de Z apenas na

estratégia 3uni. Finalmente, ao se considerar tanto a adição de unidades artificiais como

uma modelagem mais detalhada da FPHA, conseguiu-se uma grande aproximação entre

os valores de Z e GH para ambas as estratégias, como mostrado na Figura 7.12.

Figura 7.10 – Geração ao longo do dia para a usina de Salto Santiago - caso-base.

Figura 7.11 – Geração ao longo do dia para a usina de Salto Santiago - caso com inclusão de unidades artificiais.

Salto Santiago - caso base – 3uni

0 100 200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718192021222324_t Z GH

Salto Santiago - caso base – 3usi

0 100 200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415161718192021222324 _t Z GH

Santo Santiago - Unidades Artificiais – 3uni

0 100 200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819 20 21 22 23 24 t Z GH

Salto Santiago - Unidades Artificiais - 3usi

0 100 200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324 t Z GH

Figura 7.12 – Geração ao longo do dia para a usina de Salto Santiago caso com inclusão de unidades artificiais e modelagem detalhada da FPHA das usinas.

7.3.3.3 Redução nas diferenças entre a demanda e a soma das variáveis Z e GH.

Apresentam-se na Figura 7.13 e Figura 7.14, as diferenças médias, para cada caso, entre os valores de demanda e a soma dos valores de Z e y para cada intervalo de tempo.

Figura 7.13 – Percentual médio de inviabilidade no atendimento à demanda, por intervalo, com a soma das variáveis Z e y , para cada caso e opção estudada – Estratégia 3uni.

Salto Santiago - caso base + Unidades Artificiais - 3uni 0 100 200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 89 10111213141516171819 20 21 22 23 24_t Z GH

Salto Santiago - caso base + Unidades Artificiais - 3usi 0 100 200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15161718192021222324 _t Z GH Estratégia 3uni 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 1 - caso- 6,4 7,8 5,4 0,6 0,5 0,1 0,2 1,1 2 -FPHA 1,5 1,5 3,2 0,1 0,2 0,4 0,0 0,2 3 - Unidades artificiais 1,9 2,7 2,0 0,6 0,5 0,5 0,3 0,5 4 - FPHA + 2,1 1,9 1,6 0,7 0,5 0,6 0,4 0,4 A B C D E F G H

Figura 7.14 – Percentual médio de inviabilidade no atendimento à demanda, por intervalo, com a soma das variáveis Z e y , para cada caso e opção estudada – Estratégia 3usi.

Em relação à redução na inviabilidade no atendimento à demanda com as variáveis Z e

y, percebe-se que a utilização de uma FPHA mais detalhada surtiu mais efeito do que a adição de unidades artificiais, notadamente na estratégia 3usi.

Para a estratégia 3uni, curiosamente, a opção 4 (FPHA detalhada + unidades)

apresentou resultados piores do que apenas aprimorar a FPHA (opção 2). Este fenômeno pode ser entendido pelo fato de que a opção 4 eleva bastante o número de variáveis no problema dual, causando maiores dificuldades na sua resolução. Como todos os casos foram interrompidos pelo número máximo de iterações (igual em todos os casos), conclui-se que, para a opção 4, o processo de maximização da função dual ainda estava em um estágio menos avançado em relação à opção 2.

Observadas as boas propriedades oferecidas pela introdução dos artifícios estudados nesta seção, em relação ao grau de inviabilidade da pseudo-solução primal, é importante se estudar o “custo” destes artifícios, em termos de acréscimo no tempo computacional para se resolver cada caso. Esta questão é avaliada na seção 7.6.2.