formuladas a partir de situações cotidianas e metade das questões abordam assuntos que se iniciam já no Ensino Fundamental.
A resolução das questões não envolve cálculos nem a memorização de regras matemáticas, mas exigem habilidades importantes e necessárias para candidatos de qualquer área. Pela análise constatou-se o predomínio de duas habilidades: H5 (Identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis), em 8 questões; H2 (Compreender o conceito de função, associando-o a exemplos da vida cotidiana), em 4 questões. A maioria das questões envolve tabelas, análise de gráficos, inferências matemáticas, regra de três e porcentagem, e a maioria não é rotineira, por não estarem presentes nos livros didáticos ou nos materiais apostilados.
Com relação ao nível de funcionamento do conhecimento mobilizado, na classificação formulada por Aline Robert, todas as questões apresentam o nível mobilizável, pois os conhecimentos utilizados são bem identificados, mas necessitam de alguma adaptação ou reflexão antes de serem colocados em funcionamento.
Com relação às concepções da Álgebra apresentadas no capítulo 2, podemos observar nas questões do ENEM que as dimensões da Álgebra predominantes são a de Equação (as letras são vistas como incógnitas) e a Funcional (as letras são usadas para expressar relações entre grandezas).
Nas questões analisadas, não observamos a presença de assuntos do Ensino Médio, como por exemplo: Matrizes, Determinantes, Logaritmos, Equação da Circunferência e Equações Polinomiais.
eixos temáticos da Matemática, ou ainda, conexão com outras disciplinas), constatamos que, das 13 questões, somente 3 apresentam caráter interdisciplinar com eixos temáticos da matemática.
Dentre os avanços desse exame, podemos destacar, nas questões que envolvem Matemática, uma superação do modelo comum da maioria dos vestibulares: provas fundamentadas em um ensino enciclopedista, centrada em conteúdos fragmentados e descontextualizados, quase sempre associados ao privilégio da memória sobre o estabelecimento de relações entre idéias.
O ENEM procura valorizar a autonomia do estudante em ler informações e estabelecer relações, a partir de certos contextos e situações, sinalizando que o cidadão vive hoje em um mundo de constantes transformações, onde é importante possuir estratégias pessoais e coletivas para a solução de problemas, fundamentadas em conhecimentos básicos de todas as disciplinas ou áreas da educação básica. Reiteramos, que as habilidades avaliadas por esse exame são necessárias para o estudante dar prosseguimento aos seus estudos, além de contribuírem para a formação do cidadão.
No entanto, há ainda muitas polêmicas a respeito do ENEM. Conforme artigo intitulado ENEM, na Revista do Professor de Matemática, n° 50, os professores Antônio Luiz Pereira, doutor em Matemática e professor associado do IME-USP, e Deborah Raphael, doutora em Matemática e docente do IME-USP, um primeiro inconveniente é a discriminação deficiente do exame nas faixas de desempenho mais altas. Por exemplo, entre os 1535 candidatos chamados para a segunda fase do vestibular da FUVEST, na carreira de Medicina e Ciências Médicas, o número de pontos obtidos no ENEM varia (de um total de 63 pontos) de 49 a 63, e a média é de 56,55 pontos. Outro problema é que muitos tópicos não avaliados no exame são tradicionalmente considerados pré-requisitos nos cursos superiores; excluir tais tópicos num exame de ingresso pode acabar criando a necessidade de incluí-los na grade curricular do Ensino Superior. Os professores discutem também algumas questões das provas de 2001 e 2002 apontando falhas conceituais e falsas contextualizações.
Na revista Psicologia: Teoria e Pesquisa, v. 17, no artigo intitulado Competências e Habilidades Cognitivas: diferentes definições dos mesmos construtos, os autores Ricardo Primi et al questionaram alguns conceitos adotados pela equipe organizadora do ENEM, referentes à definição das estruturas cognitivas constituintes da inteligência. Afirmam que a concepção estrutural da inteligência nas competências e habilidades sugeridas, que a comissão responsável por aquele exame afirma representar “as possibilidades totais da cognição humana na fase de desenvolvimento próprio aos participantes do ENEM” (INEP, 1999, p. 9), não possui a abrangência que essa comissão lhe atribui. Ressaltam que o problema da definição das estruturas cognitivas constituintes da inteligência tem sido a grande questão nos últimos 100 anos de inúmeros pesquisadores de pelo menos três abordagens metodológicas distintas.
Consideradas essas colocações, ainda assim pode-se dizer que o ENEM nos proporciona uma sinalização importantíssima sobre o Ensino Médio, pois, já que suas provas procuram analisar conteúdos básicos que todo aluno deve saber, torna- se um alerta a todos os estudantes que pretendem ingressar numa faculdade.
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
5.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresentaremos nossas conclusões a respeito do estudo realizado e apresentaremos algumas recomendações, no sentido de ressaltar a necessidade de ampliação das pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem de Álgebra na Educação Básica e da necessidade de investir na formação inicial e continuada de professores, visando a introdução de inovações curriculares que oportunizem um ensino mais adequado às novas demandas sociais.
5.2 UMA COMPARAÇÃO ENTRE AS PROPOSTAS PARA O ENSINO DE ÁLGEBRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA E AS SINALIZAÇÕES DO VESTIBULAR E DO ENEM: COERÊNCIAS E INCOERÊNCIAS
Um dos pontos de convergência que identificamos refere-se à colocação de House (1994), no sentido de que a Álgebra ocupa um lugar de destaque nos currículos de Matemática da Educação Básica. De fato, tanto nos currículos oficiais, como nos programas de vestibular e também nas questões desses vestibulares, a presença da Álgebra fica bastante evidente.
Nos vestibulares analisados, a incidência de questões de Álgebra nos três últimos anos foram em média de 43% para a FUVEST - 1ª fase, 36% para VUNESP - Conhecimentos Gerais, 33% para a UNICAMP - 1ª fase, 42% para a UNICAMP - 2ª fase e 61% para o ENEM.
As questões de Álgebra dos vestibulares analisados e do ENEM, dos três últimos anos (2001, 2002, 2003), o número de questões de Álgebra vem aumentando, sendo que no ENEM é ainda mais acentuado, pois muitas das questões usam ferramentas algébricas em questões que envolvem também conhecimentos sobre medidas e de geometria.
Outro ponto de convergência refere-se ao fato de que, conforme destaca House, embora sejam feitas modificações periódicas nas propostas curriculares (e acrescentaríamos nos exames vestibulares), muitas vezes o que se faz é um rearranjo dos mesmos conteúdos. Isso fica bastante evidente, por exemplo, no documento PCN+, em que é proposto um currículo organizado a partir das competências e habilidades que se pretende que o aluno desenvolva, ao apresentar o quadro de conteúdos, não há indicação de grandes mudanças: noção de função; funções analíticas e não-analíticas; análise gráfica; seqüências numéricas; função exponencial ou logarítmica; trigonometria do triângulo retângulo; funções seno, cosseno e tangente; trigonometria do triângulo qualquer e da primeira volta; taxas de variação de grandezas.
Assim, ao que parece, as duas forças identificadas por House (1994) como atuantes na definição dos conteúdos, sobre o ensino e as aplicações da Álgebra — as tecnologias da informação e as forças sociais — ainda não se fazem notar nas sinalizações que analisamos.
Como já foi mencionado, House destaca que, com o advento das tecnologias da informação, outras áreas como as das ciências sociais e biológicas tornaram-se altamente dependentes dos processos matemáticos. Nessas áreas, os conceitos e processos algébricos, como manipulação de variáveis e avaliação de tendências, são de importância fundamental. No entanto, verificamos que embora sejam preconizadas as abordagens interdisciplinares, elas ainda se revelam muito tímidas. Na tabela abaixo, podemos observar que a maioria das questões dos vestibulares não apresenta caráter interdisciplinar. As questões que apresentam caráter interdisciplinar, na sua maioria, apresentam articulação entre eixos temáticos da Matemática.
Tabela 7 – Interdisciplinaridade Com eixos temáticos
da Matemática (%)
Com outras disciplinas
(%)
N’ão tem caráter interdisciplinar (%) FUVEST - 1ª Fase 23 00 077 VUNESP - C. Gerais 23 08 069 UNICAMP - 1ª Fase 00 00 100 UNICAMP - 2ª Fase 20 07 073 ENEM 23 00 077
Também em termos de contextualização com situações do cotidiano, à exceção da prova do ENEM, as demais apresentam suas questões de forma a não contemplar essa conexão.
Tabela 8 – Contextualizações Contexto com o cotidiano
(%) Contexto matemático(%) FUVEST - 1ª Fase 005 95 VUNESP - C. Gerais 000 100 UNICAMP - 1ª Fase 000 100 UNICAMP - 2ª Fase 000 100 ENEM 062 038
Ainda, com relação ao que denomina forças sociais, House (1994) observa que o impacto das tecnologias sobre praticamente todas as fases da atividade humana criou novas demandas por cidadãos que tenham facilidade para o raciocínio quantitativo e os processos matemáticos. Ele destaca ainda, em função das tecnologias, os algoritmos terão seu papel diminuído e ao mesmo tempo realçado — diminuído em termos de memorização para obter respostas e, realçado, no que se refere a aprender, por exemplo, a planejar e criar algoritmos para execução pelas pessoas e pelo computador.
de apresentação do ENEM, a preocupação de colocar o foco do processo de ensino e aprendizagem, no desenvolvimento de competências e habilidades, mais do que na reprodução de algoritmos e na memorização de fórmulas e regras.
No entanto, nos vestibulares analisados, pudemos verificar que as questões, na sua grande maioria, exigem a habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis. A habilidade identificada como H1 — Reconhecer e utilizar a linguagem algébrica nas ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações- problemas, construindo modelos descritivos de fenômenos e fazendo conexões dentro e fora da Matemática — praticamente não foi contemplada nas questões, revelando uma incoerência entre o discurso e a prática.
Na tabela abaixo, consolidada a partir das análises que realizamos das questões dos exames analisados, mostramos a incidência das habilidades requeridas, destacando que algumas questões apresentam mais de uma habilidade.
Tabela 9 - Habilidades Requeridas (H) Número de Questões H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 FUVEST - 1ª Fase 22 0 0 10 1 19 2 0 VUNESP - C. Gerais 13 1 3 00 1 11 4 0 UNICAMP - 1ª Fase 05 0 2 00 1 04 1 0 UNICAMP - 2ª Fase 15 0 4 00 2 13 3 0 ENEM 13 0 4 00 3 08 3 0
H1: Reconhecer e utilizar a linguagem algébrica nas ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e fazendo conexões dentro e fora da Matemática.
H2: Compreender o conceito de função, associando-o a exemplos da vida cotidiana. H3: Associar diferentes funções a seus gráficos correspondentes.
H4: Ler e interpretar diferentes linguagens e representações envolvendo variações de grandezas. H5: Identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis. H6: Utilizar e interpretar modelos para resolução de situações-problema que envolvam medições,
em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos.
H7: Compreender o conhecimento científico e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo histórico e social, reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais.
5.3 OS CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS PRIORIZADOS PELOS EXAMES VESTIBULARES E PELO ENEM
Uma primeira observação que pode ser feita refere-se ao fato de que nos exames analisados, parte dos conteúdos envolvidos nas questões são trabalhados desde o Ensino Fundamental, como mostra a tabela abaixo:
Tabela 10 – Conteúdos do Ensino Fundamental e Ensino Médio Ensino Fundamental (%) Ensino Médio(%) FUVEST - 1ª Fase 18 82 VUNESP - C. Gerais 23 77 UNICAMP - 1ª Fase 60 40 UNICAMP - 2ª Fase 20 80 ENEM 38 62
Com relação aos conteúdos abordados nas questões, pode-se concluir que os conteúdos de Álgebra abordados, bem como a característica das questões, não mudaram nesses anos a ponto de se notar alterações significativas. Observa-se, quanto aos conteúdos, que a FUVEST - 1ª fase, VUNESP - Conhecimentos Gerais e UNICAMP - 2ª fase abordam mais os conteúdos do Ensino Médio, o mesmo não ocorrendo com a UNICAMP - 1ª fase e o ENEM, que apresentam aproximadamente metade das questões, abordando conteúdos do Ensino Fundamental.
A consolidação apresentada na tabela abaixo mostra a incidência dos assuntos envolvidos nas questões. Observa-se que 22% das questões referem-se ao tema “funções”, 15% das questões envolvem “equações” e 11% incluem a resolução de sistemas. É interessante destacar que “porcentagem” e “regra de três” também têm grande destaque com presença de 18%. Progressões aritméticas e geométricas não chegam a ter um peso considerável e temas como inequações, matrizes, números complexos são pouco representados nessas provas.
Tabela 11 - Incidência de Assuntos
Assuntos FUVEST VUNESP UNICAMP
1ª e 2ª Fase ENEM Total Aritmética 01 00 02 03 06 Determinantes 00 02 01 00 03 Equação da circunferência 01 00 00 00 01 Equação do 1° grau 00 00 03 00 03 Equação do 2° grau 02 00 02 00 04 Equação exponencial 00 00 01 00 01 Equação polinomial 01 00 01 00 02 Expressão algébrica 00 01 00 00 01 Função do 1° grau 01 00 01 01 03 Função do 2° grau 02 00 01 00 03 Função exponencial 01 02 01 00 04 Função logarítmica 00 00 01 00 01 Função modular 01 00 00 00 01 Função polinomial 01 00 00 00 01 Função racional 01 00 00 00 01 Função trigonométrica 01 01 00 00 02 Inequação logarítmica 01 00 00 00 01 Inequação produto 00 00 01 00 01 Interpretação gráfica 00 00 01 01 02 Interpretação gráfica de uma
equação no plano cartesiano 01 00 00 00 01 Matrizes 00 01 00 00 01 Números complexos 00 01 01 00 02 Ponto médio de um segmento
no sistema cartesiano 01 00 00 00 01
Porcentagem 00 00 05 05 10
Progressão aritmética 01 01 01 00 03
Progressão geométrica 02 00 00 00 02
Propriedade dos logaritmos 01 00 00 00 01
Regra de três simples 00 00 00 03 03 Seqüências 00 01 00 00 01 Sistema linear de duas
equações a duas incógnitas 02 03 00 00 05 Sistema linear de três
equações a três incógnitas 00 00 01 00 01 Sistema não linear de duas
equações a duas incógnitas 03 00 01 00 04
Total 25 13 25 13 76
Obs.: O número de itens (76) é superior ao número de questões analisadas (68), pois algumas delas envolviam
Consideramos que a priorização conferida aos assuntos reforçam uma forma de abordagem desses conteúdos, caracterizada pelo “algebrismo”, de caráter austero, formal e estéril aos olhos dos alunos, conforme a descrição apresentada por Fiorentini, Miguel e Miorim (1992).
Concordando com esses autores, consideramos que nossa análise das sinalizações para o ensino de Álgebra, relativamente aos conteúdos priorizados, evidencia a necessidade de realização de estudos que procurem explicitar a especificidade da Álgebra e o papel por ela desempenhado na história do pensamento humano, na história do pensamento científico e matemático, como base para refletir, também, os principais argumentos e justificativas que pedagogos e pesquisadores em educação Matemática, de âmbito mundial, têm apresentado com relação ao ensino da Álgebra.
Quanto à concepção (dimensão) da Álgebra envolvida nas questões dos vestibulares analisados e nas do ENEM, as duas dimensões mais freqüentes são a dimensão de Equação (as letras são usadas como incógnitas) e a dimensão Funcional (as letras são usadas como variáveis para expressar relações). Tomando- se como 100% o total de incidência (81) das quatro concepções de Álgebra, a concepção de Equação corresponde 54% e a concepção Funcional corresponde a 38%. Os percentuais de incidência estão indicados na tabela abaixo:
Tabela 12 - Concepções de Álgebra e Diferentes Usos de Variáveis Concepção de Álgebra Uso das Variáveis FUVEST
1ª Fase VUNESP C. Gerais UNICAMP 1ª e 2ª Fase ENEM Total
Aritmética generalizada Generalizadoras de modelos
(traduzir, generalizar) 01 00 00 00 01 Meio de resolver certos
problemas (Equação) Incógnitas, constantes (resolver, simplificar) 14 05 15 10 44 Estudo de relações (Funcional) Argumentos, parâmetros (relacionar, gráficos) 10 10 07 04 31 Estrutura Sinais arbitrários no papel
(manipular, justificar) 04 01 00 00 05 Obs.: Algumas questões envolveram mais de uma dimensão da Álgebra.
5.4 O DESEMPENHO EM ÁLGEBRA REVELADO POR ALUNOS DO ENSINO MÉDIO, COM BASE NOS PERCENTUAIS DE ACERTOS DAS QUESTÕES DOS EXAMES ANALISADOS
Buscando levantar dados sobre o desempenho dos alunos em Álgebra, nos vestibulares analisados e no ENEM, obtivemos o percentual de alunos que acertaram cada uma das questões nas provas e as notas médias das questões dissertativas da UNICAMP, 2ª Fase. Os percentuais de acerto das provas do ENEM de 2003 ainda não foram disponibilizados. Consolidamos esses dados na tabela abaixo.
Tabela 13 - Indicações de Desempenho dos Alunos
Porcentagem (%) Notas 2001 2002 2003 2001 2002 2003 FUVEST - 1ª Fase 34,64 27,91 29,27 – VUNESP - C. Gerais 70,46 57,72 51,22 – UNICAMP - 1ª Fase 23,81 17,16 26,05 – UNICAMP - 2ª Fase – – – 2,64 1,86 1,32 ENEM 24,00 34,50 * –
* ENEM 2003 - Informação não disponível.
Podemos constatar que o desempenho nas provas da VUNESP é o melhor, atingindo a média de 59,8% de acertos, no período de 2001 a 2003. Já nas provas da FUVEST essa média é bem inferior, ficando em torno de 30,6%. A situação mais grave é identificada na UNICAMP com média de 22,3% na primeira fase e média de 1,94 na segunda fase. O desempenho no ENEM também é bastante insatisfatório, com média de 29,2% de acertos.
Uma possível justificativa para o desempenho geral dos alunos, provavelmente esteja menos ligada aos tipos de conteúdos abordados e mais ao
nível de funcionamento do conhecimento mobilizado, proposto por Aline Robert. A prova da VUNESP, por exemplo, é que tem maior percentual de questões de nível técnico (23%), seguida pela FUVEST (14%). Já nas provas da UNICAMP, não foram identificadas questões desse nível. As questões de nível técnico são aquelas em que é suficiente a aplicação imediata de uma propriedade, uma fórmula, um teorema. A incidência dessas questões é relativamente pequena nas provas, a não ser no exame da VUNESP, sendo mesmo assim inferior a 25% da prova, como podemos observar na tabela abaixo:
Tabela 14 - Nível do Conhecimento Mobilizado Técnico (%) Mobilizável (%) Disponível (%) FUVEST - 1ª Fase 14 077 9 VUNESP - C. Gerais 23 077 0 UNICAMP - 1ª Fase 00 100 0 UNICAMP - 2ª Fase 00 100 0 ENEM 00 100 0
No entanto, é muito provável que ainda, tanto no ensino fundamental, como no ensino médio, a prática mais comum ainda seja a de apresentar um assunto e propor uma série de exercícios em que esse assunto é utilizado, de tal forma que os alunos fiquem bastante familiarizados com esse tipo de atividade.
Assim sendo, as condições dos alunos para resolver questões que colocam em jogo os níveis “mobilizável” e “disponível” são, certamente, bastante reduzidas, mesmo as de nível mobilizável em que os conhecimentos a serem utilizados estão bem identificados, bastando apenas uma adaptação ou reflexão para a resolução da questão.
Apesar disso, o desempenho dos alunos nas questões de nível técnico também não é significativamente melhor que nas demais, o que pode estar relacionado ao “desconhecimento” de boa parte dos temas tratados.
Na análise das questões dos vestibulares e do ENEM, não utilizamos como critério, a identificação dos aspectos “processual” e “estrutural”, conforme a proposição de Kieran (1992), por entender que eles se referem ao processo de ensino que ocorre em sala de aula e não especificamente à caracterização de uma questão num processo de avaliação.
Mesmo assim, observamos que, em se tratando de provas com questões de múltipla escolha, muitas delas poderiam ser resolvidas de forma “processual”, em que operações aritméticas são realizadas sobre números para produzir números, em que situações aparentemente algébricas, os objetos que são trabalhados não são as expressões algébricas, mas suas instanciações numéricas.
Kieran comenta que a maioria dos livros didáticos de Álgebra apresenta uma fachada de abordagens processuais em sua introdução a objetos algébricos fornecendo alguns poucos exercícios envolvendo substituição em expressões algébricas e várias técnicas aritméticas para resolver equações algébricas — técnicas que permitem aos estudantes, em um sentido, evitar o simbolismo algébrico. Contudo, declara a autora, essa simulação desaparece rapidamente quando expressões devem ser simplificadas e equações resolvidas por métodos formais. Concordamos com Kieran e consideramos que a pouca ênfase conferida a chamada abordagem processual é um entrave à resolução de algumas questões de Álgebra pelos alunos.
De fato, a maior parte das questões envolvem processos de caráter “estrutural”, uma vez que as operações levadas a efeito, não sobre números, mas sobre expressões algébricas.
5.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
No início deste capítulo, fizemos menção às recomendações que nosso trabalho nos permite formular. Para tanto, tomaremos como referência, em especial, os trabalhos de Kieran (1992).
Em primeiro lugar, ressalto a necessidade de ampliação das pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem de Álgebra, em nosso país, em especial, no que se refere ao Ensino Médio, ainda bastante raras, o que pode ser uma das causas da dificuldade de promover transformações nas práticas docentes. Faltam pesquisas sobre a aprendizagem dos alunos, mas também sobre concepções, crenças e atitudes dos professores, frente ao ensino de Álgebra. Em seus trabalhos, Kieran (1992) aponta que o volume de pesquisas realizadas com os professores de Álgebra é mínimo. Resultados desses poucos estudos sugerem que suas concepções são estruturais e que essa é a abordagem que eles favorecem em seu ensino. Esse seria um interessante tema de pesquisa a ser aprofundado. Outra questão de pesquisa importante refere-se às transposições didáticas veiculadas pelos livros didáticos, geralmente bastante uniformes, quando se trata do ensino médio. Kieran (1992) relata que, os estudantes sentem dificuldade com a Álgebra que é ensinada por seus professores e os professores ensinam a Álgebra que é apresentada nos livros didáticos. Então, o maior fator contribuindo para a dificuldade em Álgebra poderia ser atribuído, por falta de outra razão, ao conteúdo da Álgebra como disposta na maioria dos livros didáticos. Sabemos que atualmente, a maioria dos