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Construção dos racionais não inteiros

Os procedimentos para localização dos racionais na reta real podem variar muito e é importante que o professor dê liberdade para que os alunos pensem sobre suas estra-tégias próprias de localização antes que seja generalizado algum método padrão.

Sugeri-mos que se comece com a localização de 1

2,

passando em seguida para 0,25 = 1

4, e depois para 1

3. Apresentamos a seguir exemplos de

procedimentos que permitem as construções desses números.

Construção do 1

2

1. Marcamos com o compasso o número 1. 2. traçamos a mediatriz do segmento que

liga os números 0 e 1.

3. O ponto de cruzamento entre a mediatriz

e a reta real é o número 1 2. 0 1 sen 10o 0,25 0 1 3 2 – 1 – 2 – 3 – 6 2,3666... log 2 π 1 2 – 4 7 1 3 2 3 2 3 2 4 IR – Q Q z IN –3 –2 –1 0 1 2 3 IR IR 1u

Construção do 0,25 = 1

4

1. traçamos 1

2 (conforme já foi descrito).

2. traçamos a mediatriz do segmento que

liga os números 0 e 1 2.

3. O ponto de cruzamento entre a

triz e a reta real é o número 1 4.

Com as duas construções que acabamos de fazer, deve ficar claro para o aluno que pode-mos construir com régua sem escala e compasso qualquer número da sequência 1

2, 1 4, 1 8, 1 16, ... . De forma geral, torna-se simples a constru-ção de qualquer número racional cujo deno-minador seja uma potência de 2. Por exemplo, se quisermos construir o racional – 7

8, basta traçar a mediatriz do segmento de extremos

em 0 e 1

4, o que fará o racional 1

8. Como

7

8 = (–1) . 7 . 1

8, com a ajuda do compasso,

“capturamos” e “transportamos” a medida 1

8 sete vezes à esquerda do zero.

Construção do 1

3

É interessante notar que muitos alunos ten-tam localizar 1

3 na reta real repetindo o proce-dimento da mediatriz, o que torna o problema muito difícil. Recomendamos, nesse caso, que o professor permita que os alunos discutam em pequenos grupos o problema da localização de

1

3 na reta real. É provável que apareçam soluções criativas e diferentes entre os grupos. Apresenta-mos a seguir uma solução do problema que tem a vantagem de se constituir num método geral para a representação de qualquer racional do tipo 1

q, com q ∈ z*.

1. Marcamos D e E nos pontos

correspon-dentes aos números reais 0 e 1 da reta.

2. traçamos uma reta qualquer (diferente

da reta real) passando por D, que cha-maremos reta t.

3. Na reta t, com a ajuda do compasso

marcamos três segmentos de mesmo com primento a partir do ponto D (na fi-gura são os segmentos DA, AB e BC). O comprimento desses segmentos não pre-cisa ser igual à unidade de medida 1u.

4. Ligamos C com E formando o

triân-gulo DCE. 0 1 1 IR 4 1 2 0 D A B 1 E IR

Procedimento do traçado de s:

1. A partir de um ponto P de EC, abrimos o compasso até B e traçamos uma semi-circunferência de diâmetro XZ.

2. transportamos com o compasso o

seg-mento XB na semicircunferência para

a posição indicada na figura por ZQ

(XQ e ZQ são congruentes).

3. Ligando os pontos B e Q determinamos

a reta s, que será paralela à EC.

4. A interseção de s com a reta real ocor

rerá em 2

3. Para traçar 1

3, basta trans-portar com o compasso o segmento

de extremos em 2

3 e 1 para a esquerda Se conseguirmos traçar, com régua e com-passo, retas paralelas à reta que passa por E e C de forma que elas passem pelos pontos B e A, o teorema de tales (trabalhado na 7a série) nos dará garantias que a interseção dessas retas com a reta real ocorrerá nos números 1

3 e 2

3. O proce-dimento do traçado da paralela a uma reta por um ponto fora dela é bem conhecido do desenho geométrico, e será ilustrado a seguir com a reta s, paralela à EC passando por B.

de 2

3 (note que o segmento

transpor-tado tem medida igual a 1 3 u).

O procedimento descrito permite a genera-lização da construção com régua sem escala e compasso de qualquer racional 1

q, com q ∈ z*

e, consequentemente, de qualquer fração p

q, com p ∈ z e q ∈ z*.

Construção de 2 e 3

uma vez que já conhecemos um procedi-mento para localizar todos os racionais na reta real com régua e compasso, nossa ta-refa agora será investigar a localização dos números irracionais.

Começando com 2, sua construção pode ser feita da seguinte forma:

1. traçamos uma perpendicular à reta real

passando pelo zero.

2. Marcamos 1u na reta traçada (P), e

também na reta real (Q).

3. Ligando P e Q temos um segmento de

me-dida 2u (pelo teorema de Pitágoras).

4. transportamos com o compasso o

seg-mento de extremos P e Q para a reta real e determinamos 2u sobre ela.

0 D Q z X s t P A B C 1 E 2 3 IR 0 1 1 P Q 2 2 IR

opte por discuti-lo neste momento do curso (1o

bimestre), deverá ter trabalhado antes as rela-ções métricas no triângulo retângulo. Haven-do interesse e motivação por parte Haven-dos alunos na representação das raízes do tipo pn

com p ≠ 1 sendo uma potência de 2, o professor po-derá dar início à discussão sobre semelhança de triângulos já no 1o bimestre do ano.

Construção de

4

2

No estudo de relações métricas do triângulo retângulo discutimos e demonstramos, por seme-lhança de triângulos, a seguinte relação:

Se utilizarmos agora um triângulo retân-gulo de catetos 1u e 2u, sua hipotenusa será

3u, o que indica que 3 também é cons-trutível. Repetindo esse processo podemos construir qualquer número irracional do tipo

n , com n natural e não quadrado perfeito. Frequentemente encontramos nos livros de Matemática essa construção associada à es-piral ilustrada na figura a seguir:

ƅŊ2 ƅŊŊ17 ƅŊŊ16 ƅŊŊ15 ƅŊŊ14 ƅŊŊ13 ƅŊŊ12 ƅŊŊ11 ƅŊŊ10 ƅŊ9 ƅŊ8 ƅŊ7 ƅŊ6 ƅŊ5 ƅŊ4 ƅŊ3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

Dispositivo de Teodoro, de Cirene.

O procedimento descrito generaliza a cons-trução das raízes quadradas, mas nada nos diz sobre raízes com outros índices que não 2. A se-guir descreveremos um procedimento geral para a construção com régua e compasso das raízes da forma p n

, sendo n natural não quadrado perfei-to, e p uma potência de 2 diferente de 1, ou seja, o método permitirá construir, por exemplo, 2 ,

2

4 , 82 , 162

, ...

Vale lembrar que o método que apresenta-remos será demonstrado por semelhança de tri-ângulos, que é um tema da grade de Matemáti-ca do 3o bimestre da 8a série. Caso o professor

B C A a n m h b c h2 = m . n

Utilizando esse resultado para n = 1 e m = 2, teremos h= 2. Se aplicarmos o resultado para n = 1 e m= 2, obteremos h = 24 . Fazendo agora n = 1 e m= 24 , encontraremos h= 28 . Por esse processo, fica claro que podemos obter qualquer raiz do tipo pn

em que p é igual a 2, 4, 8, 16,..., e n natural. Resta-nos investigar qual deve ser o procedimento, com régua e compasso, para a construção de h. Ilustraremos tal procedi-mento para h= 24 .

1. traçamos com régua e compasso os

números reais 1 e 1+ 2 (os

procedi-mentos de construção de 2 já foram discutidos anteriormente, o que não

deve trazer dificuldades para represen-tar 1+ 2 na reta real).

2. traçamos a mediatriz t do segmento de

extremos em 0 e 1+ 2 para

determi-nar M, ponto médio desse segmento.

3. traçamos uma semicircunferência de

centro M e raio 1 2

2 +

.

marcamos com P sua interseção com a semicircunferência.

5. O segmento de extremos em P e no

nú-mero 1 tem comprimento 24 , porque

é a altura de um triângulo retângulo de projeções ortogonais dos catetos sobre a base medindo 1 e 2 .

Este ângulo é reto porque é um ângulo inscrito de um ângulo central de 180°

O procedimento descrito permite que se cons-trua qualquer raiz do tipo pn

, em que p é igual a 2, 4, 8, 16, ..., e n natural.

Refletiremos agora sobre a construção com régua e compasso dos demais números irracio-nais, como por exemplo 32 e π.

1 h 2 h2=1 2. h= 24 2 1+ 2 0 1 1 M t IR 2 1+ 2 0 1 1 M t IR t 2 1+ 2 0 1 1 M P IR

4. traçamos uma perpendicular à reta real

Os números algébricos de grau 1 são os números racionais, e os demais são as raízes do tipo pn

, em que p é igual a 2, 4, 8, 16, ..., e n natural. Segundo esse resultado, que está matematicamente demons-trado, números irracionais algébricos como 32, e números transcendentes como π, não são constru-tíveis com régua sem escala e compasso. Tal fato

não deve ser interpretado como sendo a indicação

de que esses números não estejam na reta real. A discussão que acabamos de conduzir tem relevância histórica já que está relacionada a dois antigos problemas clássicos investigados pelos gregos antigos: o problema da duplicação do cubo e o problema da quadratura da circunferência.

Os enunciados desses problemas são:

Problema da duplicação do cubo: construir

com régua sem escala e compasso a medida x do lado de um cubo que tenha o dobro do volu-me de um cubo de lado 1. 1 x x x 1 1 V = 1 V' = 2V V' = x3

Como V' = 2, segue que x= 23 e, portanto, o problema se resume na busca de um método

para a construção de 23 com régua e

com-passo.

Problema da quadratura da circunferên-cia: construir com régua sem escala e

com-passo um quadrado cuja área seja igual à de um círculo dado ou, de modo equivalente, construir um círculo de área igual à de um quadrado dado.

r

A = π . r2 x2 = π . r2

x

x

Admitindo-se um círculo de raio 1, o valor procurado de x é  .

Tanto o problema da duplicação do cubo quanto o da quadratura da circunferência não po-dem ser resolvidos. O primeiro porque 32

é um número algébrico de grau três e, como tal, não é construtível com régua e compasso. E o segun-do não é construtível porque π é transcendente e, portanto, não construtível. Note que avaliar a construtibilidade de  se resume a avaliar a construtibilidade de π porque  seria a altura h de um triângulo retângulo de projeções ortogo-nais dos catemos n = 1 e m = π.

Encerramos a discussão dessa Situação de Aprendizagem lembrando que o tema tratado per-mite que se retome o estudo do desenho geométri-co e que se faça uma aproximação entre os eixos da aritmética, da álgebra e da geometria. Sabemos

Os únicos números reais construtíveis com régua sem escala e compasso são os nú-meros algébricos de grau 1, 2, 4, 8, 16...

Apesar de não ser objetivo do curso da 8a série, o professor pode comentar com os alunos o se-guinte resultado matemático:

que a discussão conduzida não é usualmente feita no Ensino Fundamental, porém, não encontramos obstáculos para que o assunto seja tratado, a não ser por uma opção do professor, o que será res-peitado. Esperamos, contudo, que esta Situação de Aprendizagem contribua para que se agregue conhecimento aos tópicos similares que constam do seu planejamento anual da disciplina.

Considerações sobre a avaliação

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