O estudo da reta real na 8a série tem
alguns objetivos muito bem definidos. Inicial-mente, ele justifica-se pelo fato de que todo o conhecimento numérico do aluno, estabelecido ao longo das séries anteriores, e organi-zado com a Situação de Aprendizagem 1 da
8a série, pode ser utilizado agora para ampliar o significado do plano cartesiano. O estudo dos gráficos, que consiste em problema importante no contexto da Matemática, já vem sendo rea-lizado desde a 5a série do Ensino Fundamental, porém sempre deixando de lado discussões relacionadas ao “preenchimento” do plano.
Por exemplo: ao dizer em uma 6a série que
os pontos (1,1), (1,4) e (5,1) são vértices de um triângulo retângulo no plano cartesiano, identificar/determinar frações contínuas, e calcular aproximações racionais obtidas por frações contínuas.
Identificado um interesse sobre o assunto por parte dos alunos, outra possibilidade de avaliação pode ser um trabalho de pesquisa em que os alunos tenham que se aprofundar no assunto estudado.
apenas iniciamos uma discussão que pode e deve ser retomada na 8a série com mais rigor e precisão por meio de discussão da reta real.
A retomada do tema em questão pode ser feita com o seguinte problema:
Construa no plano cartesiano o triângu-lo de vértices (1,1), (1,4) e (5,1). Em seguida, indique alguns pontos ao longo do períme-tro desse triângulo em que ao menos uma de suas coordenadas não seja inteira.
Fazendo a representação do triângulo no plano poderemos investigar a questão com maior clareza: 0 x A B C 1 1 5 4 y
Os segmentos AB, AC e BC são formados por infinitos pontos, contudo, na 6a série não se discutia especificamente quais são as coor-denadas desses pontos. Se tal discussão fosse conduzida naquela ocasião, certamente preen-cheríamos os segmentos apenas com pontos de coordenadas racionais, já que os números ir-racionais ainda não haviam sido apresentados. O par ordenado
143 143
3
2, 1 seria um exemplo de
ponto pertencente ao segmento AC, com coor-denada x não inteira, e o par
143 143
1, 7
3 um
exemplo de ponto pertencente ao segmento AB, com coordenada y não inteira.
Se, por opção do professor, o mesmo problema fosse tratado na 7a série, após a apresentação de alguns números irracionais, poderíamos “preencher” os mesmos segmen-tos com ponsegmen-tos como
(
2 1,)
, que pertence a AC, e 1 6(
,)
, que pertence a AB. Após o trabalho feito com o teorema de tales na 7a série, também poderíamos encontrar pontos pertencentes a BC com ambas as coordenadas não racionais. Por exemplo, determinaremos a seguir a ordenada do ponto(
6 , y)
perten-cente ao segmento BC. 0 x A E D B C 1 1 5 4 y yAnalisando a figura, sabemos que BE = 4 – y e ED= 6 1– . Segue, portanto, que:
BE BA = ED AC → 4 3 6 1 4 –y – = → → y =19 3 6 4 – ∉ Q. 6
Portanto, o ponto D tem as seguintes
coordena-das não racionais:
143 143
6 19 3 6, –4 .
Retomando a discussão com os alunos sobre o número π, iniciada na 6a série, é possível indi-car que outro exemplo de ponto pertencente ao segmento AC, com abscissa não racional, seria o par ordenado (π,1).
Essa discussão deve servir para que o pro-fessor problematize a necessidade de amplia-ção das ideias relacionadas sobre os eixos do plano cartesiano que, a rigor, são eixos de nú-meros reais, apesar de não ter sido definido dessa maneira até a 7a série. Poderíamos dizer que na 6a série a reta real estava preenchida apenas com os racionais, na 7a série foram in-corporados a ela alguns números irracionais (caso o professor tenha optado por iniciar a discussão sobre irracionais nessa série), e na 8a série ela será completamente preenchida com os demais irracionais.
Antes de prosseguirmos a proposta de tra-balho com a reta real, falaremos brevemente sobre a divisão dos números irracionais entre
algébricos e transcendentes. Normalmente
não se comenta esse assunto no Ensino Fundamental; porém, não encontramos gran-des obstáculos para que ele seja abordado, es-pecialmente se houver interesse do professor em tratar o assunto sobre o ponto de vista da história da Matemática.
Dizemos que um número real é algébrico quando ele é solução de uma equação algé brica com coeficientes inteiros.
Equação algébrica Grau da equação Solução da equação
2x + 8 = 0 1 – 4 – 6x + 4 = 0 1 23 x2 = 3 2 ± 3 x2 + x – 2 = 0 2 1 ou –2 x3 + x2 – 2x – 2 = 0 3 – 2 , 2 ou –1 Vejamos alguns exemplos de equações al-gébricas com coeficientes inteiros, bem como o respectivo grau da equação:
usando a definição de números algébricos e a tabela, podemos dizer que os números – 4,
2
3, – 3 , 3 , 1, –2, – 2 , 2 e –1 são classifi-cados como algébricos.
observações:
1. uma equação do tipo 2x –1 0= não
serviria para classificar o número 2
2 como algébrico porque, apesar da
equa-ção ser algébrica, ela não possui todos seus coeficientes inteiros (o coeficiente de x é o número irracional 2 ). Para
mostrar que 2
2 é um número algébrico
(e ele é!), teríamos que apresentar, por exemplo, a equação 2x2 – 1 = 0.
2. equações do tipo , x + x + 11 + 2 = 0
x +2x+ =2 0 , sen x = 1
2 não são algé-bricas. Equações algébricas são do tipo a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an = 0, com a0 ≠ 0, a0, a1, ..., an – 1, an sendo seus coefi-cientes, e n o seu grau.
3. um mesmo número algébrico pode ser
identificado por mais de uma equação algébrica com coeficientes inteiros, mas basta apresentar uma única equação para que ele seja classificado como algé-brico. Alguns exemplos de equações que permitem classificar o número 2 como algébrico são: x2 – 2 = 0, 5x2 – 10 = 0, x3 + x2 – 2x – 2 = 0, etc.
O primeiro motivo de estabelecermos essa classificação é o de justificar para o aluno a diferença entre números irracionais como 2 e o π. Enquanto 2 é um número irracional algébrico, não há uma equação algébrica com coeficientes inteiros que tenha como solução o número π, o que o caracteriza como irracio-nal não algébrico (irracioirracio-nal transcendente: quando um número real não é algébrico dize-mos que ele é transcendente). todo número racional é algébrico, mas nem todo nú mero irracio nal é algébrico.
Existem inúmeros exemplos de irracionais transcendentes, porém, até o final do Ensino Fundamental o aluno terá contato com ape-nas alguns poucos deles. Pode-se demonstrar matematicamente que são irracionais trans-cendentes números como π, log 2 e 2 2
.
Dizemos que a reta real é o conjunto que reúne os números racionais e irracionais ou, de outra forma, o conjunto que reúne os números algébricos e os números transcendentes. Por fim, afirmaremos que todo número racional é algé-brico, nem todo número irracional é algébrico e que todo número transcendente é irracional.