São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 8a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-185-7
1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Fonseca, Rogério Ferreira da. VII. Spinelli, Walter. VIII. Título.
CDU: 373.3:51 S239c Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretária da Educação
Maria Helena Guimarães de Castro Secretária-Adjunta
Iara Gloria Areias Prado Chefe de Gabinete Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenadora de Ensino do Interior Aparecida Edna de Matos Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima
Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação
CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo
EXECUÇÃO
Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção
Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das
prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –,
enca-minhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009.
As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos
pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova
pro-posta em sala de aula no ano passado.
Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é
concre-tizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos.
O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área
de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação
para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas.
Esperamos que você aproveite e implemente as orientações
didático-peda-gógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou
dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem
a eficácia deste trabalho.
Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência,
certamen-te iremos vencê-lo!
Contamos com você.
Maria Helena Guimarães de Castro
S
uMário
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 10
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos e números 10
Situação de Aprendizagem 2 – Números Reais e as Frações Contínuas 22
Situação de Aprendizagem 3 – Aritmética, álgebra e geometria com a Reta Real 31
Situação de Aprendizagem 4 – Potências, notação científica e ordem de grandeza 42
Orientações para Recuperação 49
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para compreensão
do tema 50
S
ão Paulo Faz ESCola – uMa ProPoSta
CurriCular Para o EStado
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino
Fun-damental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e suges-tões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de sig-nificados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve-lando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Edu-cação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês.
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
F
iCHa do CadErno
Conjuntos numéricos: dos naturais aos irracionais
nome da disciplina:
Matemáticaárea:
MatemáticaEtapa da educação básica:
Ensino FundamentalSérie:
8aPeríodo letivo:
1o bimestre de 2009temas e conteúdos:
Conjuntos e diagramasConjuntos numéricos
Aproximações para os irracionais Reta real
Os temas escolhidos para compor o conteú-do disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os prin-cípios norteadores do presente currículo, des-tacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especial-mente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem correspon-der a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento do mesmo. A critério do professor, em cada situação especí-fica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contem-plar todas as oito unidades, uma vez que, jun-tas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unida-des contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levan- do em consideração seu interesse e o dos alunos
o
riEntação GEral SobrE oS CadErnoS
pelos temas apresentados, pode determinar ade-quadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o profes-sor para sua ação na sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, se-gundo seu interesse e o de sua classe. Natural-mente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contem-pladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Cader-no, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno ainda algumas consi-derações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre, em cada Situação de Apren-dizagem apresentada.
Conteúdos básicos do bimestre
importante da Matemática e, neste momento, apresentaremos propostas para que se possa estudá-los em articulação com outros eixos, como a geometria e a álgebra. Na 8a série os
alunos devem sistematizar o conhecimento adquirido ao longo do Ensino Fundamental, retomando as principais ideias associadas aos conjuntos numéricos.
O foco da Situação de aprendizagem 1 é a sistematização dos conjuntos numéricos, dos naturais aos irracionais. Optamos por tratar desse assunto a partir da exploração da ideia de conjunto, a qual desempenha um papel im-portante dentro do conhecimento matemático. Propomos a exploração de alguns problemas envolvendo conjuntos que podem ser resolvidos por meio de diagramas. A noção de inclusão, reunião, interseção, entre outras, aparece com naturalidade nas atividades propostas. Em se-guida, apresentamos a ampliação dos conjuntos numéricos, partindo dos naturais e chegando aos irracionais, enfatizando não apenas as caracte-rísticas de cada conjunto, mas a possibilidade de realização das quatro operações sem restrições. Problematizamos, também, a existência dos seg-mentos incomensuráveis, que deram origem ao conjunto dos números irracionais.
Na Situação de aprendizagem 2 retoma-mos a ideia da representação dos racionais e dos irracionais e daremos um passo além com a apresentação de uma nova forma de escrita dos números reais, que são as frações contínuas. A representação dos números reais como fra-ções contínuas permite o trabalho com a ideia de aproximação de uma forma mais natural e precisa do que aquela que poderíamos fazer por meio das representações decimais dos números.
Na Situação de aprendizagem 3 ampliamos a ideia dos conjuntos numéricos trabalhados na Situação de Aprendizagem 1, agora do ponto de vista do “preenchimento” da reta real. Essa situação constitui um momento importante de articulação entre os eixos da aritmética, da ál-gebra e da geometria, porque discutiremos nú-meros, suas representações e sua localização na reta real com o uso dos instrumentos clássicos de desenho, que são a régua e o compasso.
Por fim, na Situação de aprendizagem 4, trata-mos da notação científica e da ideia de ordem de grandeza. Retomando as propriedades das opera-ções com potências, que foram contempladas an-teriormente no Caderno da 7a série, introduzimos
formalmente a notação científica e apresentamos algumas atividades envolvendo a representação e as operações com números nesse formato. Em seguida, apresentamos uma das ideias mais im-portantes para o trabalho com números grandes ou pequenos e na comparação entre grandezas físicas: a ideia de ordem de grandeza.
Quadro Geral de conteúdos do 1
obimestre
da 8
aSérie do Ensino Fundamental
unidade 1 – Conjuntos e diagramas. unidade 2 – Resolução de problemas pormeio de diagramas.
unidade 3 – Classificação dos conjuntos
numéricos.
unidade 4 – Racionais: frações e
repre-sentação decimal.
unidade 5 – Irracionais e suas aproximações. unidade 6 – Representações na reta real. unidade 7 – Construções na reta real. unidade 8 – Notação científica e ordem
S
ituaçõES dE aPrEndizaGEM
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1
CONjuNtOS E NúMEROS
tempo previsto: 2 semanas e meia.
Conteúdos e temas: diagramas de Venn (Eüler); operações e relações entre conjuntos;
classifi-cação dos conjuntos numéricos.
Competências e habilidades: representar situações-problema por meio de diagramas; resolver
problemas envolvendo relações entre conjuntos; conhecer as principais relações entre os con-juntos: interseção, reunião, inclusão, complemento; reconhecer as características dos conjun-tos numéricos: naturais, inteiros, racionais e irracionais.
Estratégias: uso de diagramas para representar conjuntos e argumentos lógicos.
roteiro para aplicação da Situação
de aprendizagem 1
Ao longo do Ensino Fundamental, os alu-nos tiveram contato com diversos tipos de nú-meros: naturais, frações, decimais, negativos, etc. A 8a série é o momento ideal para se fazer
uma síntese desses números, retomando seus significados e organizando uma classificação. Antes de classificar os conjuntos numéricos, sugerimos que se trabalhe a noção de conjunto e seus elementos. A ênfase maior deve ser dada à resolução de problemas e à representação por diagramas, e menos à linguagem simbólica, que será desenvolvida ao longo do Ensino Médio.
A ideia de conjunto é uma das mais impor-tantes na Matemática. A chamada “Matemática
Moderna” pretendeu desenvolver o ensino da Matemática a partir da teoria dos conjuntos, o que acabou gerando uma exagerada valori-zação da linguagem simbólica em detrimento da constituição do pensamento matemático. Essa iniciativa acabou tornando o ensino da Matemática extremamente abstrato e distante da realidade do aluno, fazendo com que essa metodologia viesse a ser gradativamente subs-tituída por outra, mais contextualizada e volta-da para a construção do significado.
Problemas envolvendo conjuntos
Consideremos o seguinte problema:
primeira questão. Isso faz toda a diferença, e não é raro que alguns alunos optem por essa última interpretação, que acarreta a inconsis-tência de as partes serem maiores que o todo.
No caso desse problema, o fato de um aluno poder acertar a primeira e a segunda ques-tão da atividade implica existência de inter-seção dos dois conjuntos, isto é, eles não são mutuamente exclusivos. Contudo, em outras si-tuações, a exclusividade dos conjuntos é suben- tendida pelo próprio contexto. Por exemplo, em uma classe de 40 alunos com 25 homens e 15 mulheres, não há necessidade de se afirmar que 25 dos alunos são exclusivamente homens, pois não há interseção entre os conjuntos.
Dessa forma, o contexto do problema de-sempenha um papel central na interpretação do enunciado, pois nem sempre essa distinção é feita explicitamente. Sugerimos que o profes-sor apresente aos alunos diferentes situações para que eles identifiquem se os conjuntos são mutuamente exclusivos ou não.
Voltando ao problema inicial, os alunos po-dem concluir que, entre os 35 que acertaram a primeira questão, existem aqueles que acerta-ram somente a primeira questão e aqueles que acertaram as duas. Como essa informação foi fornecida pelo problema, conclui-se que 15 alu-nos acertaram somente a primeira questão.
uma atividade com duas questões foi aplicada em uma classe de 40 alunos. Os re-sultados apontaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a primeira questão e 25, a segunda. Calcule o percentual de alunos que acertou apenas uma questão.
Esse é um típico problema que envolve a ideia de interseção de conjuntos. Apresente o problema aos alunos e deixe que eles ten-tem resolvê-lo. Ao ler o enunciado, os alunos podem questionar a plausibilidade das infor-mações numéricas, uma vez que a soma das partes (20 + 35 + 25 = 80) parece ser maior que o todo (40). Como isso é possível?
A ideia é fazer com que os alunos perce-bam que as informações sobre os resultados obtidos não são excludentes, isto é, possuem elementos em comum. Assim, dos 35 alunos que acertaram a primeira questão estão con-templados, também, aqueles que acertaram a segunda questão. O mesmo ocorre em relação ao número de alunos que acertou a segunda questão. Levando em consideração esse fato, o problema adquire novo significado.
É importante comentar com os alunos a importância da interpretação do enunciado. Dependendo de como forem escritas, algumas informações podem ter certo grau de
ambigui-dade no seu significado. Afirmar que 35 alunos
acertaram a primeira questão é diferente de afirmar que 35 alunos acertaram “somente” a
Do mesmo modo, pode-se obter o número de alunos que acertaram somente a segunda questão fazendo a diferença entre 25 e 20, ou seja, 5.
Calculando-se as porcentagens para cada resultado, obtemos:
% de alunos que acertaram apenas a f
primeira questão: 15
40 = 0,375 ou 37,5%. % de alunos que acertaram apenas a f
segunda questão: 5
40 = 0,125 ou 12,5%. Assim, a porcentagem de alunos que acer-taram apenas uma questão foi de 50%.
Problemas desse tipo, envolvendo rela-ções entre conjuntos, podem ser resolvidos por meio de diagramas. Para os alunos da 8a série, os diagramas permitem uma
visuali-zação e organivisuali-zação dos dados do problema que podem ajudar a resolver problemas mais complexos. Assim, sugerimos que o professor apresente esse tipo de representação aos alu-nos e seu significado.
Conjuntos e diagramas
Os diagramas podem ser usados para representar conjuntos e suas relações. Atribui-se ao famoso matemático suíço Leonhard Eüler a ideia de usar diagramas para representar relações lógicas. O dia-grama de Eüler nada mais é do que uma região delimitada do plano, simbolizada por uma figura curva fechada, que re-presenta determinado conjunto. um con- junto A, constituído de todos os elementos
que possuem determinada propriedade a, é
representado assim:
A
x y
Nesse caso, o elemento x possui a propriedade a e, portanto, pertence ao conjunto a. já o ele-mento y, que está fora do diagrama, não possui a propriedade a e, portanto, não pertence a a.
A relação espacial entre as figuras (sobre-posição, separação, inclusão) indica também o tipo de relação existente entre os conjuntos (interseção, inclusão, exclusão). Consideremos o conjunto a formado pelos elementos que têm a propriedade a e o conjunto b formado pelos elementos que têm a propriedade b. Vejamos os principais casos e os símbolos associados:
1. inclusão: todo a é b. Se todo elemento de a pertence a b, então a é um subconjunto
de b. Dizemos que a está contido em b. Escrevemos a ⊂ b.
Exemplo: todo múltiplo de dez é um número par. Os múltiplos de dez formam um
subcon-junto do consubcon-junto dos números pares.
Pares
Múltiplos de 10
2. interseção: algum a é b. Se alguns
esses dois conjuntos. Os elementos da inter-seção possuem as propriedades de A e de B simultaneamente. Escrevemos A ∩ B.
Exemplo: os diagramas mostram que alguns números ímpares são primos, como, por exem-plo, 3, 5, 7, etc. O 9 é ímpar, mas não é primo.
Ímpares Primos
3. Reunião ou união: a ou b. O conjunto da
reunião entre A e B contém todos os ele-mentos de A e de B. Escrevemos A ∪ B.
Exemplo: a reunião dos múltiplos de dois e dos múltiplos de três. A interseção são os múl-tiplos de seis. M(2) M(3) Pares Primos Pares Animais Ímpares Minerais M(5) M(10)
4. Diferença: algum a não é b. Os
elemen-tos da diferença entre os conjunelemen-tos A e
B são aqueles que pertencem a A e não
pertencem a B. Escrevemos A – B. Exemplo: a figura representa os números pares que não são primos. Trata-se da diferença entre os conjuntos. Pares – Primos = {0, 4, 6, 8, 10, ...}.
5. Complementar: caso particular da
dife-rença entre dois conjuntos, quando um deles é subconjunto do outro. Contém os elementos de A que não pertencem ao subconjunto B.
CA B A
B = – A – B
Exemplo: o complementar dos múltiplos de 10 em relação aos múltiplos de 5 são 5, 15, 25, 35, 45, ...
6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou dijuntos: nenhum a é b. Se nenhum
ele-mento de um conjunto A pertence a outro conjunto B, então esses conjuntos são mu-tuamente exclusivos. A interseção entre os dois conjuntos é vazia. A ∩ B = ∅.
Exemplo: os números pares e os números ímpares são mutuamente exclusivos, pois não possuem elemento em comum.
Para representarmos as relações entre dois ou mais conjuntos, recorremos a mais diagra-mas. Por exemplo:
Os diagramas anteriores mostram que os mamíferos são um subconjunto dos animais, e que nenhum elemento do conjunto dos minerais pertence ao conjunto dos animais. Observando os diagramas, podemos obter as seguintes conclusões:
todo mamífero pertence ao reino dos f
animais.
nem todo animal é mamífero. f
nenhum mineral é animal. f
diagramas e lógica
Os diagramas de Eüler passaram a ser ampla-mente utilizados para representar conjuntos devido à sua facilidade de compreensão visual. Contudo, ficaram mais conhecidos como “Diagramas de Venn”, por causa da semelhança com o tipo de diagrama criado pelo filósofo britânico john Venn. Os diagramas também podem ser usados para re-presentar argumentações lógicas. Por exemplo:
todos os mineiros são brasileiros. f
Pedro é mineiro. f
logo, Pedro é brasileiro. f
Brasileiros
Mineiros Pedro
Essa estrutura de argumentação lógica é de-nominada silogismo e é composta de três pro-posições: duas premissas e uma conclusão. Para
que os alunos se apropriem do uso de diagramas na representação das argumentações lógicas, propomos a seguinte atividade.
atividade 1
Nas figuras abaixo, determine qual dos dia-gramas representa melhor os argumentos dados.
a) todas as pessoas nascidas em Curitiba
são paranaenses. (P)
joão nasceu em Curitiba. (C) Logo, joão é paranaense. (j)
i. ii. iii. C P j C P P C j j
Quadrilátero Cinco lados
O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O diagrama I está errado, pois não se afirma que todas as pirâmides são poliedros regulares. O diagrama III também está em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros regulares são pirâmides.
resolução de problemas por meio de
diagramas
Vejamos, agora, como os diagramas podem auxiliar a resolução de problemas envolvendo a relação entre as partes e o todo de determi-nados conjuntos. Retomaremos o problema inicial desta Situação de Aprendizagem.
i. i. ii. ii. iii. iii. Quadrado
b) Nenhum quadrilátero possui cinco lados.
um quadrado é um quadrilátero. Logo, nenhum quadrado possui cinco
lados. Quadriláteros tetraedros Pirâmides Poliedros regulares Poliedros regulares Poliedros regulares Quadrado tetraedros tetraedros Quadrado Cinco lados Pirâmides Pirâmides Quadrilátero Cinco lados
Apenas o diagrama II corresponde à argu-mentação dada. Tanto o diagrama I como o III contradizem a primeira premissa. c) Alguns tetraedros são regulares.
todos os tetraedros são pirâmides.
Logo, algumas pirâmides são regulares. uma atividade com duas questões foi
apli-cada em uma classe de 40 alunos. Os resultados apontaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a primeira ques-tão e 25, a segunda. Calcule o percentual de alunos que acertou apenas uma questão.
entre os conjuntos dos alunos que acertaram a primeira questão e a segunda. Para completar o diagrama com as informações numéricas do pro-blema, podemos iniciar registrando a interseção entre os dois conjuntos, ou seja, o número de alunos que acertaram as duas questões.
1o ∩ 2o
1a 2a
20
Em seguida, preenchemos as regiões que re-presentam o número de alunos que acertaram exclusivamente uma das questões. O número de alunos que acertou apenas a primeira questão é a diferença entre o número total de alunos que acertou a primeira questão e os que acertaram as duas questões (20), ou seja, 15. O mesmo ocorre em relação à segunda questão.
1o – 2o 1a 2a 1a 2a 20 20 15 15 5 2o – 1o
É importante comentar com os alunos que, nesse caso, a soma dos elementos representa-dos no diagrama (15 + 20 + 5) é igual ao total de alunos da classe, 40, o que significa que ne-nhum aluno errou as duas questões.
Com a leitura do diagrama preenchido, po-demos obter as respostas do problema, bas-tando calcular as porcentagens solicitadas, como já havia sido feito no início desta Situa-ção de Aprendizagem.
Sugerimos que o professor proponha mais alguns problemas para os alunos, para que eles se familiarizem com esse tipo de representação. A seguir, apresentamos um exemplo de um pro-blema envolvendo mais de dois subconjuntos.
atividade 2
uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de televisão, 1 200 famílias foram entrevista-das e os resultados obtidos foram os seguin-tes: 370 famílias assistem ao programa A, 300 ao programa B e 360 ao programa C. Desse total, 100 famílias assistem aos programas A e B, 60 aos programas B e C, 30 aos programas A e C e 20 famílias assistem aos 3 programas. Com base nesses dados, determine:
a) quantas famílias não assistem a nenhum
dos 3 programas?
b) quantas pessoas assistem ao programa
A e não assistem ao programa C?
c) qual o programa de maior fidelidade,
A B C 20 A B C 20 80 10 40 A B C 20 80 10 260 160 290 40 A B C t 20 80 10 260 160 290 340 40 Representando as informações dadas no
dia-grama, temos o seguinte:
Representação da interseção entre os 3
con-juntos: A ∩ B ∩ C
Representação da interseção dos conjuntos,
dois a dois: A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C.
O problema informa que 100 famílias as-sistem aos programas A e B. Desse total, sabemos que 20 famílias assistem aos três programas; portanto, o número de famílias que só assistem aos programas A e B é a di-ferença entre 100 e 20, ou seja, 80. O mesmo vale para as outras interseções.
Representação do número de pessoas que assistem exclusivamente a cada um dos pro-gramas. No caso do programa A, esse núme-ro será a diferença entre o total de pessoas que assiste ao programa A (370) e a soma
das interseções A ∩ B, A ∩ C e A ∩ B ∩ C.
A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260
O mesmo deve ser feito para os programas B e C, como mostra a figura abaixo:
Com base nos diagramas preenchidos, de-vemos verificar se a soma das partes cor- responde ao total de entrevistados.
Soma das partes:
Preenchidos os diagramas, podemos responder às perguntas do problema:
a) 340 pessoas não assistem a nenhum dos 3 programas.
b) 340 pessoas assistem ao programa A e não assistem ao programa C: 260 + 80 = 340. A B C t 20 80 10 260 160 290 340 40
c) O programa com maior fidelidade é o C, com 290 espectadores, contra 260 do A e 160 do B. A B C t 20 80 10 260 160 290 340 40
os conjuntos numéricos
Os números constituem um dos eixos centrais da Matemática. Aparentemente, a ideia de núme-ro pode parecer simples e natural. Se pensarmos em termos de contagem de objetos, os números chamados naturais são suficientes para expres-sar resultados e efetuar determinadas operações.
Contudo, ao longo da história, as transformações socioculturais da humanidade criaram diferen-tes necessidades de representação, implicando criação de outras formas de representação nu-mérica: frações, decimais, números negativos, irracionais e imaginários. Cada tipo de número criado pelo homem ampliou não só a capacidade de representação, mas também as possibilidades de solução para diferentes problemas.
Ao longo do Ensino Fundamental, os alunos tiveram contato com muitas formas de represen-tação numérica. Com os números naturais, pu-deram representar quantidades inteiras, registrar contagens, ordenar objetos e conjuntos, realizar operações, etc. Os números racionais aparecem em seguida, primeiro na forma de fração e, de-pois, como número decimal. As frações surgem para representar quantidades não inteiras, o re-sultado de medidas, a relação entre a parte e o todo de um determinado objeto ou conjunto.
Os números negativos são estudados na 6a
sé-rie, rompendo com a ideia de que os números só podem representar quantidades ou medidas. Fi-nalmente, na 8a série surgem os números
irracio-nais, que representam as medidas de segmentos incomensuráveis, uma vez que ela não pode ser representada na forma de uma fração entre dois inteiros.
Conjuntos numéricos e operações: dos
naturais aos racionais.
No conjunto dos números naturais, sempre podemos realizar as duas operações fundamen-tais: a adição e a multiplicação. Ou seja, qual-quer que sejam a e b pertencentes ao conjunto dos naturais, o resultado de a + b e de a . b será também um natural. Dizemos, então, que o conjunto dos naturais é fechado para a adição e a multiplicação.
Contudo, o mesmo não ocorre em relação às operações inversas. No domínio dos naturais, nem sempre é possível realizar a subtração ou a divisão entre dois números. Por exemplo, o resultado 2 – 5 ou 5 ÷ 2 não é um número natu-ral. A subtração a – b só pode ser realizada no conjunto dos números naturais se a for maior ou igual a b.
A introdução dos números negativos per-mitiu a ampliação do campo numérico para incluir a operação de subtração sem restri-ções. No conjunto dos números inteiros, além da adição e multiplicação, qualquer subtração realizada resulta em um número inteiro. Con-tudo, no domínio dos inteiros, a divisão b ÷ a só pode resultar em um inteiro se a for um fator de b.
Assim, de forma análoga ao que aconteceu com a subtração, a criação dos números fracionários, na forma b
a (a e b inteiros, com a ≠ 0) removeu os obstáculos para a operação de divisão, com exceção da divisão por zero. Esse domínio ampliado gerou o conjunto dos números racionais, que é fechado para a adição, multiplicação, subtração e divisão.
Assim, a ampliação do campo numérico dos naturais para os racionais possibilitou a criação de um conjunto onde os resultados das quatro operações aritméticas básicas podem ser obtidos sem restrições.
dos racionais aos irracionais
Como vimos, os números racionais permitem expressar o resultado de um processo de medida. Se compararmos a magnitude de dois segmen-tos a e b, podemos obter como resultado um número inteiro, se a for um fator de b, ou seja,
b = r . a. Se isso não ocorrer, então podemos
di-vidir a unidade a em n segmentos iguais, cada
um de comprimento a
n, de forma que ele caiba
um número inteiro m de vezes no segmento b. Neste caso, teríamos que b = m
n . a.
Quando for possível expressar a medida de um segmento com base em outro por meio de uma fração ou um número inteiro, dizemos que
os segmentos são comensuráveis. Em termos
mentar aos números racionais e que foi deno-minado irracional. Entre os números irracionais encontram-se as raízes não exatas, como 3 , 5 , 12, 55 , etc. e números como PI (π) ou
Fi (φ), chamados transcendentais ou trans cen dentes (o conceito de número transcendental será tratado na Situação de Aprendizagem 3). De um modo geral, todos os irracionais possuem uma representação decimal infinita e não periódica.
A reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais deu origem ao conjunto dos números reais. Os números reais pos-suem uma propriedade importante, que será am-plamente utilizada daqui para a frente. Para cada número real, é possível associar um único ponto de uma reta numerada. Assim, a reta real constitui um modelo para a representação de todos os nú-meros reais, sejam eles racionais ou irracionais. A representação de alguns irracionais será apre-sentada nas Situações de Aprendizagem a seguir. É importante comentar com os alunos que, diferentemente do conjunto dos racionais, os irracionais não são fechados em relação às operações de adição e multiplicação. Por
exemplo, embora 3+ 5 seja irracional, o
resultado de 3+
(
– 3)
é zero, que éracio-nal. Do mesmo modo, 3 . 3= 9 3= , que
também é racional. O conjunto dos irracionais também não é fechado pela subtração e pela divisão.
representação dos conjuntos por meio
de diagramas
Podemos representar os conjuntos numéricos por meio de diagramas. Como vimos anterior-mente, podemos ampliar os conjuntos numéricos Considerando um quadrado de lado unitário,
podemos obter a medida da diagonal aplicando o Teorema de Pitágoras: d2 = 12 + 12 d2 = 2 d 1 1
Ora, se d for comensurável em relação ao lado 1, então devem existir dois inteiros a e b, tal que a b = d. Logo, 143 a b 1432 = 2, ou seja, a 2 b2 = 2.
Podemos escrever que a2 = 2 . b2.
Decompondo o número a em fatores primos, tais fatores obviamente irão aparecer aos pares já que a2
= a . a. O mesmo acontece com o número b. Se a igualdade acima fosse verdadeira, teríamos a . a = 2 . b . b, ou seja, teríamos uma quantidade ímpar
de fatores do lado direito, já que temos 2 . b . b, e
uma quantidade par de fatores do lado esquerdo da igualdade, a . a. Sabemos que isso não é possível, pois todo número inteiro diferente de 0 e de 1 pos- pos-sui uma única decomposição em fatores primos.
Consequentemente, não existe nenhuma fração
a
b, com a e b inteiros que, elevada ao quadrado,
resulte em dois. Esse resultado, que nada mais é do que a 2 , não é um número racional. Assim, retomando a perspectiva da preservação das ope-rações, o conjunto dos números racionais não é fechado para a radiciação.
comple-dos naturais aos racionais introduzindo novos ti-pos de números (frações, negativos) de modo a permitir a realização das quatro operações bási-cas sem restrições. Essa ampliação pode ser re-presentada pelos seguintes diagramas:
Conjunto dos Naturais (IN)
Fechado para as operações de adição f e multiplicação. 0, 1, 2, 3, ... 1 , IN –1, –2, –3, ... 1 , , – IN z
Ampliação dos Naturais para os Inteiros (z) Introdução dos negativos.
f
Fechado para adição, multiplicação f
e subtração.
Ampliação dos Inteiros para os Racionais (Q) Introdução das frações, não inteiros. f
Fechado para adição, multiplicação, f subtração e divisão. 1 , , – , IN z Q 1 2, – 34,
para os números reais (IR), representado pelo diagrama a seguir. Note que, nesse caso, os irracionais são o conjunto complementar aos racionais em relação aos reais.
Com base neste diagrama, podemos escrever as seguintes relações entre os conjuntos numéricos:
IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR IR = Q ∪ Ir A seguir, propomos uma atividade para aprofundar o conhecimento sobre as relações entre os conjuntos numéricos:
atividade 3
Classifique em verdadeira ou falsa as ex pressões matemáticas a seguir. Re-escreva as expressões falsas tornando-as verdadeiras.
a) IN ⊂ Z
Verdadeira. Os naturais são um subconjunto dos inteiros, pois todo número natural tam-bém é inteiro.
b) IN ∪ Z = Q
Falsa. A reunião dos naturais com os inteiros é
o próprio conjunto dos inteiros. N ∪ Z = Z
c) IR – Ir = Q
Verdadeira. Os racionais são o complemen-tar dos irracionais em relação aos reais. d) Z ∩ Q = Q
Falsa. A interseção entre inteiros e racionais são
o próprio conjunto dos inteiros. Z ∩ Q = Z
A introdução dos números irracionais (Ir) permitiu a ampliação do campo dos racionais
e) Q ∩ Ir = Q
Falsa. Não há interseção entre racionais e irracionais, pois são conjuntos mutuamente
exclusivos. Q ∩ Ir = ∅
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, es-pera-se que os alunos conheçam as principais ca-racterísticas associadas aos conjuntos numéricos, desde os números naturais até os reais e que saibam usar diagramas para representar situações-proble-ma envolvendo relações entre as partes e o todo de um conjunto. Além disso, o aluno deve conhecer o significado das principais relações entre conjuntos: reunião, interseção, pertinência, inclusão e diferen-ça. Embora o foco na 8a série não seja aformali-zação da linguagem simbólica matemática, o que será feito no Ensino Médio, o aluno deve conhecer o significado dos principais símbolos ligados às operações entre conjuntos: ∩, ∪, ⊂.
Além das atividades propostas nesta Situação de Aprendizagem, o professor poderá sugerir problemas
e exercícios complementares que estão presentes na maioria dos livros didáticos. Em relação aos proble-mas envolvendo conjuntos, é importante orientar os alunos em relação a alguns aspectos, tais como:
cuidado na leitura do enunciado
f –
ambiguidade x contexto. organização das informações. f
registro das operações. f
representação por meio de diagramas. f
tais aspectos devem ser considerados pelo professor nas atividades de avaliação.
Em relação aos conjuntos numéricos, desta-camos dois aspectos importantes. O primeiro é a ampliação dos conjuntos numéricos dos naturais aos racionais com apoio nas quatro operações básicas. E o segundo, é a passagem dos racionais para os irracionais, compondo o conjunto dos números reais. Esses dois aspectos devem ser bem trabalhados, pois constituirão uma base para o prosseguimento dos estudos no Ensino Médio, principalmente no que se refere às funções.
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2
NúMEROS REAIS E AS FRAçõES CONtÍNuAS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: operações com frações; dízimas periódicas e decimais finitos; números
racionais e irracionais.
Competências e habilidades: observar regularidades numéricas e fazer generalizações;
rela-cionar a reformulação de enunciados relativos à caracterização dos números racionais com a busca do rigor lógico e conceitual em sua definição; confrontar ideias de precisão, exatidão e aproximação na representação de números racionais.
Estratégias: retomar ideias do conhecimento numérico do aluno, tanto do ponto de vista
roteiro para aplicação da Situação
de aprendizagem 2
números racionais e sua escrita decimal
Conforme vimos em uma Situação de Aprendizagem da 7a série, a representação deci-mal de um número racional ou é finita, como no
caso de 4
5 = 0,8, ou infinita e periódica, como no caso de 7
6 = 1,1666... . A seguir apresenta-remos novos contornos a essa questão com a retomada da discussão da fração geratriz de uma dízima periódica.
Recuperando o processo de determinação da geratriz de uma dízima, sugerimos que a dis-cussão seja iniciada com o seguinte problema:
Qual é a fração geratriz da dízima 0,7999...?
De acordo com o processo descrito na 7a série, escrevemos x = 0,7999... e iniciamos a
busca de duas igualdades equivalentes a essa, e que tenham exatamente o mesmo período, como veremos a seguir:
x = 0,7999... (1) 10x = 7,999... (2) 100x = 79,999... (3) (3) – (2): 100x – 10x = 79,999... –7,999... 90x = 72 x = 72 90, ou seja, x = 4 5 . 10 . 10 . 10 . 10
Observe que necessitamos de duas multipli-cações por 10 para encontrar duas igualdades com o mesmo período, que são as igual-dades indicadas por (2) e (3). Dependendo do período da dízima investigada, o processo pode exigir mais do que duas multiplicações por 10;
porém, o processo descrito é geral uma vez que, por ele, sempre será possível encontrar duas igualdades com números de mesmo período.
O passo seguinte consiste em subtrairmos, membro a membro, as igualdades de mesmo período que, no caso do exemplo, são (2) e (3). tal subtração tem por objetivo encontrar uma igualdade equivalente em que apareça um nú-mero inteiro no segundo membro. Com base nela, basta agora encontrar o valor de x, que será a fração geratriz de 0,7999... .
A conclusão importante que decorre desse problema que acabamos de resolver é que tanto a dízima periódica 0,7999... quanto o decimal finito 0,8 são representações decimais da mesma fração 4
5. trabalhando com outros exemplos
o professor poderá elaborar atividades em que os alunos percebam que, pelo processo descrito, todo decimal finito poderá ser convertido em uma dízima periódica cujo período será ou 0,999..., ou 0,0999..., ou 0,00999..., etc. Isso se justifica pois, como veremos a seguir, podemos representar qualquer número racional como soma de infinitas frações decimais.
Se por um lado o uso da notação decimal nos permite escrever todo e qualquer número racional como uma soma de infinitas frações, há um processo que nos permite escrever todo e qualquer número racional com um número finito de frações, como veremos a seguir.
Frações Contínuas
A fração 4
5 situa-se entre os inteiros 0 e 1. Dessa forma, podemos escrever 4
5 como 0 + 1 x, sendo que x > 1. Se 4 5 = 0 + 1 x, então x = 5 4, o que nos permite escrever, portanto, 4
5 0
1 5 4 = + , que chamaremos de igualdade (1). Repeti-remos o raciocínio que acabamos de fazer, agora para a fração 5
4. Sabemos que
5 4 é um número entre 1 e 2 e que, portanto, pode ser escrito como 1 + 1 y, com y > 1. Se 5 4 = 1 + 1 y, então y = 4. Segue, portanto, que 5
4 = 1 + 1 4 , que chamaremos de igualdade (2). Substituindo (2) em (1) teremos 4 5 0 1 1 1 4 = + + , que será a
igualdade (3). Repetindo mais uma vez o mesmo processo para a fração 1
4, teremos: 1 4 = 0 +
1 w , com w > 1, o que implica dizer que w = 4 e que, portanto, 1
4 = 0 + 1
4. Note que essa última
Isso porque tanto o cálculo quanto a compara-ção entre frações decimais são mais simples do que entre frações ordinárias.
A partir da discussão desencadeada com a questão inicial sobre a fração geratriz, pode-mos reformular a afirmação feita no primeiro parágrafo para o seguinte enunciado:
“todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica”.
Se todo número racional pode ser escri-to como uma dízima periódica, sempre será possível representar um racional como soma de infinitas frações. No caso dos racionais
4 5 e
7
6, essas somas seriam: 4 5 = 0,8 = 0,7999... = 7 10 + 9 100 + 9 1 000 + 9 10 000 + ... 7 6 = 1,1666... = 1 + 1 10 + 6 100 + 6 1 000 + 6 10 000
Deve ficar claro para o professor que a discus-são feita até o momento tem como objetivos:
1. retomar a discussão de fração geratriz
iniciada na 7a série;
2. reformular definições à luz de maior
ri-gor e generalidade;
3. recuperar ideias relacionadas com a
etapa dos cálculos não implicou uma repre-sentação diferente para a fração 1
4 o que, em última análise, quer dizer que o processo está encerrado. Na prática isso sempre ocor-rerá quando x, y, w... for um número inteiro.
No caso do exemplo analisado, x = 5
4, o que nos fez calcular y, que por sua vez é igual a
4 ∈ z, encerrando assim o processo em y.
Decorre do processo que acabamos de fazer a seguinte igualdade, que chamamos “desen-volvimento do 4 5 em fração contínua”: 4 5 0 1 1 1 4 = + +
Pode-se demonstrar que todo número ra-cional pode ser escrito como fração contínua por meio de um desenvolvimento finito, como ocorreu no exemplo que acabamos de analisar.
Vamos mostrar agora que o racional 7
6, cuja representação decimal era explicitamente uma dízima periódica, também pode ser escrito com fração contínua por meio de um número finito de passos. O raciocínio será o mesmo que foi utilizado para o 4
5: (1) 7
6 está entre 1 e 2, portanto, 7 6 = 1 + 1 x, com x > 1 (2) De 7 6 = 1 + 1 x decorre que x = 6, ou seja, 7 6 = 1 + 1 6
(3) Como x = 6 ∈ z, o processo está encer-, o processo está encer-rado e a fração contínua do desenvo-vimento de 7 6 é 7 6 = 1 + 1 6.
atividade 1
Com relação ao número racional 16
7, per-gunta-se:
a) utilizando o algoritmo da divisão para
fazer 16 ÷ 7 encontraremos um decimal finito ou uma dízima periódica?
Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fazer a conta 16 ÷ 7 irá encon-trar como resultado 2,2857142. Como não identificamos facilmente nessa divisão um período que se repete, é possível que o aluno responda que o resultado é um decimal finito. Nesse caso, é desejável que se retome a dis-cussão feita na Situação de Aprendizagem “As dízimas periódicas são previsíveis...”, do
Caderno do 1o bimestre da 7a série. Naquele
momento foi discutido que, ao realizarmos a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível, o resultado só será dízima periódica se ao menos um dos fatores do denominador da fração for diferente de 2 e diferente de 5. Como o denominador da
fração 16
7 apresenta fator primo 7, sabemos
seja, 30 13 2 1 13 4 = + . (5) 13
4 está entre 3 e 4, portanto,
13 4 = 3 + 1 y, com y > 1. (6) De 13 4 = 3 + 1 y decorre que y = 4, ou seja, 13 4 = 3 + 14 .
(7) Como y = 4 ∈ Z, o processo está
encer-rado e a fração contínua procurada é 30 13= 2 + 1 3 +1 4 .
Em resumo, alguns dos objetivos específi-cos que o professor poderá levar em conside-ração se decidir por abordar frações contínuas para representar números racionais são:
1. as frações contínuas descrevem um
pro-cesso finito (utilizando frações) para a representação de todo e qualquer núme-ro racional. Sem as frações contínuas, e restritos apenas à representação decimal dos números racionais, uma dízima pe-riódica só poderá ser representada com a soma infinita de frações.
2. as frações contínuas são trabalhadas em
um ambiente onde se faz necessária a retomada de operações e representação de frações, o que é positivo dentro da ótica de currículo em espiral.
3. o estudo das frações contínuas abre uma
interessante perspectiva de interpreta-ção e análise dos números irracionais, como veremos a seguir.
b) Escreva 16
7 como fração contínua.
Faremos agora o desenvolvimento de 16
7 como
fração contínua:
(1) 16
7 está entre 2 e 3, portanto,
16 7 = 2 + 1 x, com x > 1. (2) De 16 7 = 2 + 1 x decorre que x = 7 2, ou seja, 16 7 = 2 + 1 7 2 . (3) 7
2 está entre 3 e 4, portanto,
7 2 = 3 + 1 y, com y > 1. (4) De 7 2 = 3 + 1 y decorre que y = 2, ou seja, 7 2 = 3 + 12 .
(5) Como y = 2 ∈ Z, o processo está
encer-rado e a fração contínua procurada é 16
7 = 2 +
1
3 +1
2
Faremos mais um exercício para reforçar a ideia do processo.
atividade 2
Escreva 30
13 como fração contínua.
(1) 30
13 está entre 2 e 3, portanto,
Frações contínuas e os números irracionais
uma forma muito utilizada de nos referir-mos aos números irracionais é a de que são os números cuja representação decimal tem infinitas casas não periódicas depois da vír-gula. Nesse caso, ao observarmos no visor de uma calculadora de oito dígitos o resultado 1,4142135 de 2 sabemos, de antemão, que o número indicado é apenas uma aproximação de 2 , dado que 2 é um número irracio-nal. Se fosse possível ter uma calculadora que calculasse 2 com infinitas casas, o fato de se tratar de um número irracional nos dá ga-rantias de que as casas depois da vírgula não seriam periódicas.
Se nos referirmos aos números irracio-nais dessa maneira – e tendo discutido an-tes a representação dos racionais por frações contínuas – surge quase que naturalmente a pergunta, se existe um processo para a repre-sentação dos irracionais com frações contí-nuas. Veremos a seguir que além de existir tal processo, surpreendentemente ele nos condu-zirá a um tipo de representação periódica e, portanto, previsível.
A seguir aplicaremos o mesmo processo que foi utilizado para a obtenção de frações contínuas de números racionais para o caso do número irracional 2 .
1. 2 está entre 1 e 2, portanto, 2 1= + 1x, com x > 1. 2. De 2 1= + 1 x decorre que: 2 1– = 1 x x= 1 2 1– x= 1 2 1– . 2 1 2 1 + + x= +1 2 temos, portanto, 2 1 1 1 2 = + + 3. 1+ 2 é um número entre 2 e 3, portanto, 1+ 2 2= + 1 y, y > 1. 4. De 1+ 2 2= +1 y decorre que y= +1 2 e, portanto, temos: 1 2 2 1 1 2 + = + +
5. Substituindo no resultado do passo 2
o resultado obtido no passo anterior teremos: 2 1 1 2 1 1 2 = + + +
6. Note que x = y = 1+ 2 . Se fôssemos continuar o processo, partiríamos de y
e encontraríamos w= +1 2 . Na
se-quência, partiríamos de w= +1 2 e
encontraríamos z= +1 2 , e assim su-cessivamente em um processo infinito. Segue, portanto, que a fração contínua que representa 2 será:
O processo descrito nos fornece uma “fábrica” de aproximações racionais para 2 , bastando para isso parar em algum ponto da sequência infinita indicada na fração contínua. 1a aproximação: 2 1 2a aproximação: 2 3 2 1 5 = , 2 1 1 2 1 2 2 7 5 + + ,ou seja, 4a aproximação: 2 17 12 1 4167 , 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + ... 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + ... 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + ... 2 1 1 2 + , ou seja, 2 3 2 3a aproximação: 2 7 5 1 4 = , 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + ... 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + ... 2 1 1 2 1 2 1 2 2 17 12 + + + ,ou seja, 5a aproximação: 2 41 29 1 4138 , 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 41 29 + + + + ,ou seja,
aproximação de 2 Erro em relação ao valor de 2 aproximação por 1a 1 1 = 1 ≈ 0,4142 Falta 2a 3 2 = 1,5 ≈ 0,0858 Excesso 3a 7 5 = 1,4 ≈ 0,0142 Falta 4a 17 12 ≈ 1,4167 ≈ 0,0024 Excesso 5a 41 29 ≈ 1,4138 ≈ 0,0004 Falta
O processo de determinação das frações con-tínuas dos números racionais e do número ir- racional 2 sinaliza para os seguintes fatos, que podem ser matematicamente demonstrados:
1. todo número racional pode ser
repre-sentado por uma fração contínua por meio de um número finito de passos.
2. os números do tipo n (onde n é
natu-ral não quadrado perfeito) têm desen-volvimento com infinitos passos, e os passos são periódicos.
3. todo número real pode ser representado
por uma fração contínua.
O segundo resultado enunciado é curioso porque, contrariamente às aproximações de 2 quando expresso por decimais (aproximações que envolvem infinitas frações não periódicas),
ao expressarmos 2 por uma fração contínua
sua representação será periódica.
Apenas como curiosidade, apresentamos a seguir a representação com fração contínua de dois importantes números irracionais, a razão
áurea 1 5 2 + e π: 1 5 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + = + + + +... e falta e por excesso de 2 . A tabela a seguir
resume essa informação:
π = 3 1 7 1 15 1 1 1 292 1 1 1 1 1 1 1 2 1 + + + + + + + + + ...
atividade 3
Determine a fração contínua que represen-ta o número 24 .
1) 24 está entre 4 e 5, portanto,
x= 1 24 4– x= + + 1 24 4 24 4 24 4 – x=4+ 24 8 Temos, portanto, 24 4 1 4 24 8 = + + 3) 4 24 8 +
é um número entre 1 e 2,
por-tanto, 4 24 8 1 1 + = + y, y > 1. 4) De 4 24 8 1 1 + = + y decorre que y= +4 24 e, portanto, temos: 4 24 8 1 1 4 24 + = + +
Substituindo o resultado do passo 4 no resul-tado do passo 2, temos:
24 4 1 1 1 4 24 = + + +
5) Como y= +4 24 é um número entre
8 e 9, temos 4+ 24 8= + 1
w, com w > 1.
6) De 4+ 24 8= + 1
w decorre que
w= 4+ 24
8 . Como w repetiu o valor de x,
a partir de agora o processo começa a se repetir novamente. Segue, portanto, que a
Finalizada esta breve apresentação so-bre o assunto, queremos ressaltar, mais uma vez, que o tratamento dado nessa Situação de Aprendizagem aos números racionais e ir- racionais por meio de frações contínuas consis-te em uma alconsis-ternativa à abordagem tradicional conduzida por boa parte dos programas cur-riculares e livros didáticos. Deve ficar claro que a decisão sobre incorporar ou não essa aborda-gem (ou parte dela) caberá ao professor.
Considerações sobre a avaliação
uma vez que o professor se decida por tra-balhar com as frações contínuas no seu curso sobre números reais, recomendamos que apro-veite também a oportunidade para explorar o uso da calculadora em sala de aula. utilizar a calculadora para calcular a representação de-cimal de números racionais e para encontrar aproximações de raízes pode ser uma interes-sante porta de entrada para a expansão do co-nhecimento numérico de um aluno de 8a série.
Deve-se observar que nas séries anteriores já haviam aparecido representantes numéricos de todos os conjuntos; porém, entendemos que a 8a série seja o ambiente para organizar
fração contínua que representa 24 será:
as informações numéricas, bem como con-ceder novos contornos à discussão feita sem grande aprofundamento sobre números racio-nais e irracioracio-nais na 7a série.
As avaliações sobre o tema tratado nesta Situação de Aprendizagem podem ser feitas por meio de listas de exercícios em que se peça para o aluno determinar frações geratrizes,
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3
ARItMÉtICA, áLGEBRA E GEOMEtRIA COM A REtA REAL
tempo previsto: 2 semanas e meia.
Conteúdos e temas: construções geométricas com régua e compasso; números reais; reta real;
teorema de tales, teorema de Pitágoras; relações métricas no triângulo retângulo.
Competências e habilidades: estabelecer classificações dos números reais de acordo com
crité-rios pré-estabelecidos; investigar a localização de números racionais e irracionais na reta real por meio da utilização de régua sem escala e compasso; argumentar proposições e raciocinar de forma indutiva e dedutiva para resolver problemas geométricos.
Estratégias: retomar conhecimentos de desenho geométrico; estabelecer relação entre
conhe-cimento aritmético, algébrico e geométrico por meio de problemas de localização dos núme-ros na reta real.
roteiro para aplicação da Situação
de aprendizagem 3
a reta real
O estudo da reta real na 8a série tem
alguns objetivos muito bem definidos. Inicial-mente, ele justifica-se pelo fato de que todo o conhecimento numérico do aluno, estabelecido ao longo das séries anteriores, e organi-zado com a Situação de Aprendizagem 1 da
8a série, pode ser utilizado agora para ampliar
o significado do plano cartesiano. O estudo dos gráficos, que consiste em problema importante no contexto da Matemática, já vem sendo rea-lizado desde a 5a série do Ensino Fundamental,
porém sempre deixando de lado discussões relacionadas ao “preenchimento” do plano.
Por exemplo: ao dizer em uma 6a série que
os pontos (1,1), (1,4) e (5,1) são vértices de um triângulo retângulo no plano cartesiano, identificar/determinar frações contínuas, e calcular aproximações racionais obtidas por frações contínuas.
apenas iniciamos uma discussão que pode e deve ser retomada na 8a série com mais rigor
e precisão por meio de discussão da reta real. A retomada do tema em questão pode ser feita com o seguinte problema:
Construa no plano cartesiano o triângu-lo de vértices (1,1), (1,4) e (5,1). Em seguida, indique alguns pontos ao longo do períme-tro desse triângulo em que ao menos uma de suas coordenadas não seja inteira.
Fazendo a representação do triângulo no plano poderemos investigar a questão com maior clareza: 0 x A B C 1 1 5 4 y
Os segmentos AB, AC e BC são formados por infinitos pontos, contudo, na 6a série não
se discutia especificamente quais são as coor-denadas desses pontos. Se tal discussão fosse conduzida naquela ocasião, certamente preen-cheríamos os segmentos apenas com pontos de coordenadas racionais, já que os números ir-racionais ainda não haviam sido apresentados. O par ordenado
143 143
3
2, 1 seria um exemplo de
ponto pertencente ao segmento AC, com coor-denada x não inteira, e o par
143 143
1, 7
3 um
exemplo de ponto pertencente ao segmento AB, com coordenada y não inteira.
Se, por opção do professor, o mesmo problema fosse tratado na 7a série, após a
apresentação de alguns números irracionais, poderíamos “preencher” os mesmos segmen-tos com ponsegmen-tos como
(
2 1,)
, que pertence a AC, e 1 6(
,)
, que pertence a AB. Após o trabalho feito com o teorema de tales na 7a série, também poderíamos encontrar pontospertencentes a BC com ambas as coordenadas não racionais. Por exemplo, determinaremos a seguir a ordenada do ponto
(
6 , y)
perten-cente ao segmento BC. 0 x A E D B C 1 1 5 4 y yAnalisando a figura, sabemos que BE = 4 – y e ED= 6 1– . Segue, portanto, que:
Portanto, o ponto D tem as seguintes
coordena-das não racionais:
143 143
6 19 3 6, –4 .
Retomando a discussão com os alunos sobre o número π, iniciada na 6a série, é possível
indi-car que outro exemplo de ponto pertencente ao segmento AC, com abscissa não racional, seria o par ordenado (π,1).
Essa discussão deve servir para que o pro-fessor problematize a necessidade de amplia-ção das ideias relacionadas sobre os eixos do plano cartesiano que, a rigor, são eixos de nú-meros reais, apesar de não ter sido definido dessa maneira até a 7a série. Poderíamos dizer
que na 6a série a reta real estava preenchida
apenas com os racionais, na 7a série foram
in-corporados a ela alguns números irracionais (caso o professor tenha optado por iniciar a discussão sobre irracionais nessa série), e na 8a série ela será completamente preenchida
com os demais irracionais.
Antes de prosseguirmos a proposta de tra-balho com a reta real, falaremos brevemente sobre a divisão dos números irracionais entre
algébricos e transcendentes. Normalmente
não se comenta esse assunto no Ensino Fundamental; porém, não encontramos gran-des obstáculos para que ele seja abordado, es-pecialmente se houver interesse do professor em tratar o assunto sobre o ponto de vista da história da Matemática.
Dizemos que um número real é algébrico quando ele é solução de uma equação algé brica com coeficientes inteiros.
Equação algébrica Grau da equação Solução da equação
2x + 8 = 0 1 – 4 – 6x + 4 = 0 1 23 x2 = 3 2 ± 3 x2 + x – 2 = 0 2 1 ou –2 x3 + x2 – 2x – 2 = 0 3 – 2 , 2 ou –1 Vejamos alguns exemplos de equações al-gébricas com coeficientes inteiros, bem como o respectivo grau da equação:
usando a definição de números algébricos e a tabela, podemos dizer que os números – 4,
2
3, – 3 , 3 , 1, –2, – 2 , 2 e –1 são classifi-cados como algébricos.
observações:
1. uma equação do tipo 2x –1 0= não
serviria para classificar o número 2
2 como algébrico porque, apesar da
equa-ção ser algébrica, ela não possui todos seus coeficientes inteiros (o coeficiente de x é o número irracional 2 ). Para
mostrar que 2
2 é um número algébrico
