Constru¸ c˜ ao e ergodicidade de µ para R Z d

A principal diferen¸ca da an´_{alise do processo R}Zd _{com rela¸c˜}_{ao `}_{a an´}_{alise para R}Z _{e para}

RZ×{−1,0,1} está na forma como se estuda a convergência do processo para o volume infinito. Não foi construido uma única medida limite para o processo como feito para a reta no Corol´_{ario 2, item 4, para o processo em R}Z_{. Constroem-se duas medidas P (t, η,}

·

_{) e P (t, η,}

·

_),

como ser´a definido nas equa¸c˜oes (5.5) e (5.6): a primeira constru´ıda como limite das caixas impares e a outra das caixas pares.

Fazendo A ⊂ Zd_{, A finito, pode-se construir a ´}_algebra Cη ₌ S

A⊆Z A finitoC

A de forma

equivalente `aquela feita na se¸c˜ao 3.1. Desta forma, podem-se definir as medidas P (t, η,

·

) e P (t, η,

·

) de forma que, ∀ t ∈ [0, ∞) e Γ ∈Cη+t_:

P (t, η, Γ) = lim

n→∞PΛ2n(t, η, Γ) (5.5)

P (t, η, Γ) = lim

n→∞PΛ2n+1(t, η, Γ). (5.6)

Com o uso da propriedade antiferromagnética do processo descrita na se¸cão 2.8, tem-se que as inequa¸cões para Pn(t, η,

·

) ∈P(Xn), dadas pelo Teorema 16, também são válidas para

PΛn(t, η,

·

) ∈ P(Yn) . Assim, é consequência direta das defini¸cões de P (t, η,

·

) e P (t, η,

·

)

que:

PΛ2n−1(t, η, f ) 6 P (t, η, f ) 6 P (t, η, f ) 6 PΛ2m(t, η, f ). (5.7)

Para mostrar que existem processos de Markov em R, cujas probabilidades de transi¸c˜ao s˜ao P (t, η,

·

) e P (t, η,

·

), inicialmente mostra-se que P (t, η,

·

) e P (t, η,

·

) são fun¸cões de transi¸cão homogêneas no tempo, como feito na Proposi¸cão 6, para que se possa, como feito no Teorema 17, usar o Teorema 4.

Desta forma, ter´ıamos todos os elementos para provar o seguinte teorema:

Teorema 21. Existem processos de Markov em RZd _{cujas probabilidades de transi¸}_c˜_{ao s˜}_ao

P (t, η,

·

) e P (t, η,

·

Uma vez definida estas medidas, estamos interessados em estudar se existe uma fam´ılia de configura¸c˜oes iniciais para a qual estas medidas limites P (t, η,

·

) e P (t, η,

·

) sejam iguais. Em (18), ´e mostrado que para o conjunto

Y = {η : ∃A > 0 ∃ a ∈ (0, 1) : η(i) ≤ A|i|a_{, ∀ i ∈ Z}d\ {0}}, (5.8) se η ∈ Y os limites das equa¸c˜oes (5.5) e (5.6) s˜ao, de fato, iguais.

Para tanto, novamente, usa-se o processo acoplado, como descrito na Proposi¸c˜ao 4, de forma que a marginal α. α0 ´e tal que α0(i) = 0 se i ∈ Λm e α0(i) = 1 se |i| = m + 1 e αs(i)

vai de zero para um com taxa

1 2d

|j−i|=1

αs(j)(η(j) + t). (5.9)

lim

m→∞P (αt(i)) = 1 para algum i ∈ B) = 0, (5.10)

onde B ´_{e um conjunto finito de Z}d.

Ent˜_{ao associa-se para a marginal α cada aresta ` =< i, j >, tal que i, j ∈ Z}d, uma vari´avel aleat´oria exponencial independente t(`) com taxa

η(i) + η(j) + 2t

2d . (5.11)

Mostra-se, utilizando percola¸cão de primeira passagem, que para uma configura¸cão inicial em Y , dado pela equa¸cão (5.8), a probabilidade de haver um caminho aberto que ligue a fronteira à origem com tempo de passagem menor do que t tende a zero conforme m vai a infinito. Dai decorre a equa¸cão (5.10) para B = {0}, o caso geral sendo análogo.

Assim como feito na se¸cão 2.7, é poss´ıvel mostrar a convergência das medidas {PΛ2n+1(t, η,

·

)}t>0 e {PΛ2n(t, η,

·

)}t>0 para, respectivamente µ e µ quando t → ∞ se c > 0.

Desta forma, podemos definir as medidas limites com rela¸cão ao volume das caixas finitas µ e µ com rela¸cão às medidas invariantes µn(

·

) da seguinte maneira:

µ = lim

n→∞µ2n, (5.12)

µ = lim

n→∞µ2n+1. (5.13)

Estamos interessados em provar a Proposi¸c˜ao 10 que diz que estas duas estas medidas s˜ao iguais µ = µ, ou seja, que

µ(Γ) = µ(Γ) ∀ Γ ∈B(RZd₎ _q.c.. _(5.14)

Para isso, vamos estudar µ e µ atrav´es de operadores de shift. O operador τx, x ∈ Zd´e o

operador de shift x nas configura¸c˜oes da seguinte forma: τxη(y) = η(x + y), η ∈ X. Tamb´em

ser´a denotado por τx o operador no espa¸co das fun¸c˜oes f cil´ındricas com dom´ınio em Y ,

limitadas, cont´ınuas e n˜ao decrescente em rela¸c˜ao a ≺, tal que τxf (η) = f (ηx). O operador

τ−x em P(X) ´e tal que τ−xµ(A) = µ(τxA) para todo A ⊂ RZ

Lema 8. S˜ao v´alidas as seguintes propriedades:

1. µ ≺ µ.

2. Se x ´e par, ent˜ao µ = τxµ, µ = τxµ.

4. A distribui¸c˜ao condicional de η(x) dado Fx, a σ-´algebra gerada pela coordenadas

η(z), z 6= x, sob a qual as medidas µ e µ s˜ao medidas exponenciais com taxa

c + 1 2d

y:|y−x|=1

η(y). (5.15)

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão do item 1 é consequência direta da defini¸cão de µ, µ e do item 1 do Teorema 16.

Antes de demonstrar propriamente os itens 2 e 3 vale a pena fazer o seguinte coment´ario: Suponha que temos um par de configura¸c˜oes η, η0 _{∈ R}Zk _{com k > d e η ≺ η}0_{. Isso significa}

que η(y) < η0(y) se y = (y1, . . . , yk), yi ∈ Z for tal que

j=1|yj| ´e par e η(y) < η0(y) se y for

tal que Pd

j=1|yj| for ´ımpar. Note que se x for ´ımpar τxη0 ≺ τxη, pois se

j=1|xj| ´e ´ımpar

isso significa quePd

j=1|xj+ yj| ´e ´ımpar quando

j=1|xj| ´e par e

j=1|xj+ yj| ´e par quando

j=1|xj| ´e ´ımpar.

Analogamente para 3, se η ≺ η0 para x par (´ımpar) sePd

j=1|yj| ´e par, ent˜ao

j=1|xj+yj|

também é par (´ımpar). Ao longo desta demonstra¸cão iremos chamarPd

j=1|yj| sinteticamente

de |y|.

Com isso, temos que se f é crescente com rela¸cão ≺, τxf é decrescente com rela¸cão a ≺

se x é ´ımpar e τxf é crescente com rela¸cão a ≺ se x é par.

Tendo em vista este comentário, vemos que o item 2 desta proposi¸cão é na verdade uma consequência do item 3. Note que se x é par, exceto pelo caso trivial, pode ser escrito como a soma de dois ´ımpares x1, x2 (i.e. x = x1+ x2). Assim se 3 é verdade teremos que:

τyµ = τx1τx2µ = τx1µ = µ (5.16)

τyµ = τx1τx2µ = τx1µ = µ. (5.17)

Portanto, vamos demonstrar o item 3. Para simplificar a demonstra¸cão, vamos considerar o caso em que e1, . . . , ed são as bases canônicas de Zd. Desta forma, podemos considerar o

caso ´ımpar dos mais simples, no qual x = e1, tal que ˜Λm = {x : |x − y| 6 m}, ou seja, as

coordenadas que distam menos do que m + 1 da origem em Zd_{inclui as que distam m + 3 para}

as componentes em Z1_{. Note que com isso, temos que se τ}

−xη ∈ X_Λ˜_n, ent˜ao τxτ−xη = η ∈ XΛ.

Iremos come¸car estudando o caso em que a caixa Λn ´e tal que n ´e par. Para

tanto, inicialmente suponha um m ´ımpar, estamos interessados em comparar P_Λ˜_m(t, η, f )

e PΛm−1(t, η, f ). Para estudar o que ocorre quando aumentamos a caixa de Λm−1 para ˜Λm

ηΛm−1(x), quando |x| = m − 1. Com isso, pode-se usar o processo em conjunto descrito pelo

acoplamento de Vasershtein apresentado no Lema 3 de forma que, neste caso, ((ηΛm−1(x)s)s6t

só renovará quando (η_Λ˜_m(x)s)s6t renovar, tal que |x| = m − 1. Portanto, pela dinâmica do

acoplamento ´e tal que

((ηΛm−1(x)s)s6t > (ηΛ˜m(x)s)s6t |x| = m − 1. (5.18)

Al´_{em disso, pelo fato dos outros s´ıtios {x : |x| 6 m−2} terem a mesma taxa de renova¸cão} inicial, a dinâmica do acoplamento faz com que os pares de s´ıtios nas mariginais sejam de forma que, para todo instante t, o s´ıtio com taxa de renova¸cão mais baixa irá renovar sempre em conjunto com aquele de taxa mais alta, da forma descrita no Lema 3 tem-se que

(η_Λ˜_m)s)s6t≺ ((ηΛm−1)s)s6t

Λk k 6 m − 1. (5.19)

Assim, para uma fun¸c˜ao f cil´ındrica que s´o dependa das coordenadas em Λk, P_Λ˜_m(t, η, f ) 6

PΛm−1(t, η, f ).

Fazendo m = n + 1, teremos que

P_Λ˜_n+1(t, η, f ) 6 PΛn(t, η, f ). (5.20)

Usando argumento similar para P_Λ˜_m(t, η, f ) e PΛm+1(t, η, f ), temos que para o processo

acoplado pelo acoplamento de Vasershtein com marginais P_Λ˜_m(t, η,

·

) e PΛm+1(t, η,

·

), os s´ıtios

{x : |x| = m}, ηΛm+1(x) no instante inicial ter˜ao taxas de renova¸c˜ao maiores do que ηΛ˜m(x) e

os demais s´ıtios ter˜ao taxas iguais. Com isso, pela dinˆamica do acoplamento de Vasershtein temos que

ηΛm+1(x) 6 ηΛ˜m(x) ∀ x : |x| = m (5.21)

((ηΛm+1)s)s>t > ((ηΛ˜m)s)s>t ∀ x : |x| = m. (5.22)

Então, para m = n − 1, f uma fun¸cão cil´ındrica que só depende das coordenadas em Λk,

pode-se escrever:

P_Λ˜_n−1(t, η, f ) > PΛn(t, η, f ). (5.23)

P_Λ˜_n+1(t, η, f ) 6 PΛn(t, η, f ) 6 PΛ˜n−1(t, η, f ). (5.24)

Uma vez que estas medidas são ergódicas, pelo Teorema 15, e que o processo preserva a ordem ≺, podemos reescrever a equa¸cão (5.24) como:

µ_Λ˜_n+1(f ) 6 µΛn(f ) 6 µΛ˜n−1(f ). (5.25)

Pelo comentário feito no in´ıcio desta demonstra¸cão, τxf é decrescente com rela¸cão a ≺,

de forma que da equa¸c˜ao (5.25) tem-se que:

µ_Λ˜_n+1(τxf ) > µΛn(τxf ) > µΛ˜n−1(τxf ). (5.26)

Pela constru¸c˜ao de ˜Λn, temos que µ_Λ˜_n(τxf ) = µΛn(f ), de forma que da equa¸c˜ao (5.26),

pode-se dizer que:

µΛn+1(f ) > µΛn(τxf ) > µΛn−1(f ). (5.27)

Pela defini¸c˜ao de µ e µ, ao tomar o limite de Λn−1 e Λn+1 quando n → ∞, usando a

equa¸c˜ao (5.27), temos que:

µ(f ) > µ(τxf ) > µ(f ). (5.28)

Aplicando o mesmo argumento para quando m ´e ´ımpar, usando o acoplamento de Vasershtein apresentado no Lema 3, o equivalente da euq¸c˜ao (5.24) seria

P_Λ˜_n+1(t, η, f ) > PΛn(t, η, f ) > PΛ˜n−1(t, η, f ), (5.29)

que leva a

µ_Λ˜_n+1(τxf ) 6 µΛn(τxf ) 6 µΛ˜n−1(τxf ) (5.30)

e por sua vez a

µ(f ) 6 µ(τxf ) 6 µ(f ). (5.31)

Desta forma, mostramos o item 2 desta proposi¸c˜ao.

Como feito na demonstra¸cão do Teorema 18, é consequência do Teorema 15 e do Lema 4 que:

PΛ2n(t, η, f )µΛ2n(dη) = µΛ2n(f ) e

PΛ2n−1(t, η, f )µΛ2n−1(dη) = µΛ2n−1(f ).

(5.32) Aplicando as defini¸cões de µ e µ das equa¸cões (5.12) e (5.13) vemos que uma vez que para 2n − 1 suficientemente grande pode-se construir um acoplamento de Vasershtein de modo que a configura¸cão dos vizinhos de z não se alteram para nenhum dos dois processos, e assim nos dois casos a distribui¸cão condicional de η(x) dado Fx as medidas µ e µ são medidas

exponenciais com taxa

c + 1 2d X y:|y−x|=1 η(y). (5.33) Proposi¸c˜ao 10. µ(Γ) = µ(Γ) ∀ Γ ∈B(RZd₎ _q.c. _(5.34)

Demonstra¸c˜ao. Note que podemos escrever a esperan¸ca conjunta µ(η(0)η(e1)) como

µ(η(0)η(e1)) = µ(η(0))µ(η(e1))|Fe1) = µ(η(0)) c + _2d1 P y:|y−e1|=1η(y) (5.35) ou µ(η(0)η(e1)) = µ(η(e1))µ(η(0))|F0) = µ(η(e1)) c + _2d1 P y:|y−e1|=1η(y) (5.36)

Do item 2 do Lema 10 temos que τe1µ = µ, de forma que τe1µ(η(e1)) = µ(η(e1)). Pela

defini¸c˜ao do operador τe1 temos que τe1µ(η(e1)) = µ(η(2e1)). Substituindo esta igualdade na

equa¸c˜ao (5.36) temos que:

µ(η(0)η(e1)) =

µ(η(2e1))

c + _2d1 P

y:|y−e1|=1η(y)

. (5.37)

Vamos definir o objeto A(η) como sendo A(η) = _2d1 P

y:|y−e1|=1η(y). Com isso, pelas

equa¸c˜oes (5.35) e (5.37) tem-se que:

µ η(0) c + A(η) = µ η(2e1) c + A(η) . (5.38)

Note que o mesmo argumento pode ser constru´ıdo para y1 = e1+ ei e a(y1) = e1− ei ∀ i =

1, . . . , d. τ−eiµ(η(yi)) = µ(η(yi)). Pela defini¸c˜ao do operador τ−ei temos que τe1µ(η(yi)) =

µ η(yi) c + A(η) = µ η(a(yi)) c + A(η) (5.39) e, portanto, µ Pd i=1η(yi) c + A(η) ! = µ A(η) c + A(η) = µ Pd i=1η(a(yi)) c + A(η) ! = µ A(η)) c + A(η) . (5.40)

Considere agora que a medida ˜_{µ seja uma medida em R}Zd + × RZ

+ constru´ıda de forma

análoga à feita na demonstra¸cão do Lema 4 - lembrando que neste caso as medidas µ e µ são invariantes, o espa¸co tem dimensão d e seu volume não é finito - de forma que

˜µ(B × RZd +) = µ(B) ˜µ(RZd + × B) = µ(B) ˜µ η, η0₎ η ≺ η0 = 1.

Assim como no Lema 4, como a fun¸cão η → _c+A(η)A(η)) é crescente com rela¸cão à ≺, é consequência da terceira condi¸cão acima listada que

˜ µ η, η0) A(η)) c + A(η) 6 A(η0)) c + A(η0₎ = 1. (5.41)

Entretanto, da equa¸c˜ao (5.40) temos a igualdade garantida com probabilidade um. Ou seja,

˜ µ η, η0) A(η)) c + A(η) = A(η0)) c + A(η0₎ = 1. (5.42) Desta forma, ˜ µ η, η0)A(η) = A(η0) = 1. (5.43) Mais uma vez usando o item 2 do Lema 8, com probabilidade um teremos que

µ(η(0)) = 1

2dµ(A) = 1

2dµ(A) = µ(η(0)). (5.44) Pelo item 3 do Lema 8 ´_{e poss´ıvel repetir este procedimento para qualquer s´ıtio x ∈ Z}d_{, de}

modo que para o acoplamento de Vasershtein constru´ıdo nesta demonstra¸c˜ao, teremos que com probabilidade um µ(η(x)) = µ(η(x)) e, portanto, podemos dizer que µ = µ.

Uma vez que µ = µ, podemos definir µ ∈ P(RZd_{) como µ = µ = µ.} _{Como que}

mostramos que µ ´e, de fato, invariante, poderemos nos preocupar com a ergodicidade do processo a volume infinito com dimens˜ao d.

Lema 9. µ = µ = µ ´e invariante para P (t, η,

·

) e P (t, η,

·

Demonstra¸c˜ao. Assim como no caso para a reta, estamos interessados em mostrar que

P (t, η, f )µ(dη) = µ(f ) = Z

P (t, η, f )µ(dη) (5.45)

para f fun¸c˜ao cont´ınua, cil´ındrica, limitada e crescente com rela¸c˜ao a ≺.

Sendo f cil´ındrica, pode-se tomar Λ2n suficientemente grande de modo que o suporte de

f esteja em Y2n. Pela propriedade antiferromagn´etica e pela defini¸c˜ao de µ e µ temos que

µ2n+1 ≺ µ ≺ µ ≺ µ2n. Al´em disso, usando o mesmo argumento do Lema 4 , ´e poss´ıvel ver

que : Z P (t, η, f )µ(dη) 6 Z PΛ2n(t, η, f )µ(dη) 6 Z PΛ2n(t, η, f )µΛ2n(dη) = µΛ2n(f ) (5.46) e Z P (t, η, f )µ(dη) > Z P (t, η, f )µ(dη) > Z PΛ2n+1(t, η, f )µ(dη) > Z > PΛ2n+1(t, η, f )µΛ2n+1(dη) = µΛ2n+1(f ) (5.47)

Assim, ao fazermos o limite 2n → ∞, temos a convergˆencia fraca de µΛ2n para µ e de

µΛ2n+1 tamb´em para µ. Com isso, garantimos a invariˆancia de µ.

Desta forma, agora temos elementos para demonstrar a ergodicidade dos processos com probabilidades de transi¸c˜ao P (t, η,

·

) e P (t, η, f ).

Teorema 22. Os processos com probabilidades de transi¸c˜ao P (t, η,

·

) e P (t, η, f ) são ergódicos e µ é a única medida invariante para os dois processos.

Demonstra¸cão. Assim como na demonstra¸cã do Lema 9, seja f fun¸cão cont´ınua, cil´ındrica, limitada e crescente com rela¸cão a ≺ e pode-se tomar Λ2n suficientemente grande tal que o

suporte de f esteja em Λ2n. Assim, para t > 0 e η ∈ Kξ0

Uma vez que sabemos que PΛn(t, η,

·

) ´e erg´odico e tem como medida limite µ, podemos

aplicar o limite t → ∞ na equa¸c˜ao (5.48):

µΛ2n+1(f ) 6 lim inf

t→∞ P (t, η, f ) 6 lim sup_t→∞ 6 P (t, η, f ) 6 µΛ2n(f ) (5.49)

Como consequˆencia do item 4 do Lema 8 e do Teorema 5.49, provamos o seguinte teorema:

Teorema 23. Se c > 0, então o processo é ergódico. Sua única medida invariante µ é a lei de um processo de Markov em RZd

+ , obtido como o limite da medida de Gibbs µn em RZ

d_Λ n

+ ,

Cap´ıtulo 6

Simula¸c˜oes

Uma vez que sabemos que o processo de Renova¸cão de Spitzer possui uma única medida invariante para a qual o processo converge, pelo Teorema 18, uma das principais questões que podem ser levantadas sobre este processo diz respeito a como a constante de estabiliza¸cão c afeta a média do processo de renova¸cão. Como já foi visto, o teorema supracitado necessita que a constante c seja estritamente positiva e quanto c = 0 o processo não é ergódico. Tendo vista isto, é natural nos perguntarmos como diferentes valores de c irão afetar o comportamento do processo. Desta forma, estamos interessados, neste cap´ıtulo em estudar a seguinte fun¸cão:

ρ(c) = Z

η(i)dµ _{i ∈ Z.} (6.1) Sabemos como consequência do item 1 do Lema 7 (se¸cão 3.2) que esta fun¸cão é finita e menor ou igual a 1_c, uma vez que para cada valor estritamento positivo de c cada componente do processo é estocasticamente dominada por um processo do Poisson com taxa c. Entretanto, infelizmente, não conseguimos encontrar um método anal´ıtico para estudar ρ, de forma que o ponto central deste cap´ıtulo será o de propor um método de simula¸cão para estimá-la, o que será feito nas se¸cões de 6.1 a 6.3. .

E importante ressaltar que o processo é invariante por transla¸cão. Com isso, pode-se escrevr a equa¸cão (6.1) desta forma, com ρ(c) não dependendo do s´ıtio i.

Algumas questões são centrais no problema de simular este processo: A primeira delas diz respeito à forma como se faz a discretiza¸cão deste processo. Qualquer simula¸cão de processos cont´ınuos deve ser uma discretiza¸cão do processo original.

Sendo assim, iremos simular um processo que é, de fato, um autômato celular, portanto, as renova¸cões ocorrem ou não em momentos predeterminados. O que se pode fazer é tentar construir este autômato celular de forma que ele se assemelhe o máximo poss´ıvel, guardadando

as principais caracteristicas, com o processo de Renova¸c˜ao de Spitzer na reta.

Inicialmente iremos propor um amostrador para a aproxima¸cão discreta somente no caso a volume finito. Nesta aproxima¸cão define-se uma nova variável, ∆t, que é responsável pela discretiza¸cão. Na se¸cão 6.2 será apresentada uma metodologia na qual se minimizam os impactos desta discretiza¸cão e se pode fazer uma simula¸cão apropriada para o processo de renova¸cão de Spitzer.

Na se¸cão 6.3 iremoa propor uma metodologia, a qual efetivamente foi adotada nas simula¸cões, para que a influência da escolha do tamanho da simula¸cões não altere as estimativas sobre a equa¸cão 6.1.

O código desenvolvido neste trabalho e utilizado nesta simula¸cão pode ser encontrado no apêndice I.

6.1 Amostrador

Para uma configura¸c˜ao inicial ηt, como j´a mencionado no cap´ıtulo 2, o gerador do processo

de Renova¸cão de Spitzer é dado pela equa¸cão (2.11).

O método que propomos se baseia em não tomar o limite, mas sim atribuir um valor arbitrariamente pequeno para ∆t. Na se¸cão 6.2 propomos uma metodologia para determinar este valor.

Com isso, para f ∈ C(Xn) e ∆t > 0, tem-se que o gerador do autˆomato celular ´e:

Eηtf (ηt+∆t) = [f (ηt+ ∆t) − f (ηt)][1 − ϕ(ηt)∆t] + ϕ(ηt)∆t[f (0) − f (ηt)], (6.2)

onde Eηt(

·

) representa a esperan¸ca do processo condicionado `a configura¸c˜ao ηt no instante t.

A taxa com que a configura¸cão de um s´ıtio k ∈ [−n, n] vai a zero, renova, no instante t + ∆t depende da configura¸cão do processo no instante t. De forma análoga ao que foi proposto por (19), simula-se o processo de forma que a taxa com que a configura¸cão do processo no s´ıtio k no instante t + ∆t vai zero, dado que no instante t a configura¸cão do processo multidimensional era ηt∈ R

[−m,n] + ´e ϕk(ηt) = ηt(k−1)+ηt(k+1) 2 + c .

Utilizando a linguagem R é poss´ıvel amostrar de uma distribui¸cão exponencial. Neste caso, o que propomos é que para cada s´ıtio k se amostre uma variável aleatória com distribui¸cão exponencial com parâmetro ηt(k−1)+ηt(k+1)

2 + c. Se o valor amostrado for menor

que ∆t, atribui-se o valor 0 a ηt+∆t(k), caso contr´ario ηt+∆t(k) = ηt(k) + ∆t.

A cada itera¸c˜ao se repete o processo para todos os s´ıtios do processo a volume finito. Desta forma, ao se simular um processo com espa¸cos de estado Xn devem-se amostrar 2n + 1

No documento Modelo de Spitzer para Processos de Renovação (páginas 70-82)