Ordem parcial e compara¸ c˜ ao de medidas

Já que conseguimos mostrar a existência de um processo de Markov com fun¸cão de transi¸cão homogênea no tempo Pn(t, η,

·

), estamos agora tamb´em interessados em estudar

sua propriedade antiferromagn´etica.

Esta propriedade será estudada através de uma ordem parcial que será relevante no sentido de mostrar a convergência de medida a volume finito para outra a volume infinito.

A ordem relevante pode ser escrita da seguinte forma:

η ≺ η0 se η(x) 6 η

0_{(x) ∀x ∈ [−n, n]} _par

η(x) > η0(x) ∀x ∈ [−n, n] ´ımpar, (2.32) para todo η, η0 ∈ Xn.

Para duas medidas de probabilidade em Xn (ou X), dizemos que µ ≺ µ0 se

f dµ 6 Z

f dµ0, (2.33)

para toda fun¸c˜ao f em Xn (ou X, respectivamente) cont´ınua, limitada e n˜ao decrescentes

com rela¸c˜ao `a ordem parcial ≺.

Antes de demonstrar o Lema 4, que diz que se η, ξ ∈ Xntais que η ≺ ξ, ent˜ao, Pn(t, η,

·

) ≺

Pn(t, ξ,

·

), iremos demonstrar o Lema 3 de forma que aquele ser´a imediato:

Lema 3. Seja η, ξ ∈ Xn tal que η ≺ ξ. Então, é poss´ıvel construir uma fun¸cão de transi¸cão

homogˆenea ˜Pn,k(

·

) tal que:

˜ Pn,k(t, (η, ξ), {(γ1, γ2) : γ1 ≺ γ2}) = 1. (2.34) ˜ Pn,k(t, (η, ξ), Xn× Γ) = Pn,k(t, ξ, Γ). (2.35) ˜ Pn,k(t, (η, ξ), Γ × Xn) = Pn,k(t, η, Γ). (2.36)

A demonstra¸cão deste lema pode ser encontrado no apêndice F desta disserta¸cão. Com isso, pode-se enunciar o lema:

Lema 4. Seja η, ξ ∈ Xn tais que η ≺ ξ. Ent˜ao, Pn(t, η,

·

) ≺ Pn(t, ξ,

·

Demonstra¸c˜ao. Pela convergˆencia uniforme de Pn,k(t, η,

·

) para Pn(t, η,

·

) ∀ t > 0, η ∈ Xn

quando k → ∞, tem-se que as equa¸cões (2.34), (2.35) e (2.36) também valem quando k → ∞. Então,

Seja η, ξ ∈ Xn tal que η ≺ ξ. Então, é poss´ıvel construir uma fun¸cão de transi¸cão

homogˆenea ˜Pn(

·

) tal que:

˜ Pn(t, (η, ξ), {(γ1, γ2) : γ1 ≺ γ2}) = 1. (2.37) ˜ Pn(t, (η, ξ), Xn× Γ) = Pn(t, ξ, Γ). (2.38) ˜ Pn(t, (η, ξ), Γ × Xn) = Pn(t, η, Γ). (2.39)

Desta forma, garantimos que, com probabilidade um, o processo preserva a ordem ≺ para todo t > 0, i.e. ηt ≺ ξt ∀ t > 0. Assim, Pn(t, η,

·

) ≺ Pn(t, ξ,

·

) ∀ t > 0, η, ξ ∈ Xn: η ≺ ξ.

Com isso, pode-se enunciar o Teorema 16. Atrav´es dele, pode-se estudar como diferentes tamanhos de caixas alteram a esperan¸ca Eη[f (ηt)], para uma classe de fun¸c˜oes f cil´ındricas

conveniente.

Teorema 16. Seja f uma fun¸cão cont´ınua limitada e não decrescente com rela¸cão à ordem ≺. Se f é uma fun¸cão cil´ındrica cujo suporte depende somente das coordenadas [−k, k], 2n − 1 > k e 2m > k, então, para η ∈ X:

1. P2n−1(t, η, f ) 6 P2m(t, η, f ),

2. P2n−1(t, η, f ) 6 P2n+1(t, η, f ),

3. P2m(t, η, f ) > P2m+2(t, η, f ).

Demonstra¸c˜ao. Para qualquer configura¸c˜ao η ∈ X, vamos definir η(l) _{da seguinte forma:}

η(l)(i) = (

η(i) _{se − l 6 i 6 l}

0 caso contr´ario. (2.40)

Além disso, estamos interessados em construir uma medida de Gibbs com fronteira zero, de modo que os s´ıtios fora do intervalo −l 6 i 6 l têm sempre configura¸cões iguais a zero. Assim, η_t(l)_{(i) = 0 ∀i 6 −l, i > l.}

Inicialmente, vamos demonstrar o item 1 deste teorema, come¸cando pelo fato que η(2n−1)(x) = η(2n)(x) ∀x ∈ [−2n + 1, 2n − 1] e η(2n−1)(−2n) = η(2n−1)(2n) = 0, enquanto η(2n−1)_{(−2n + 1) > 0 e η}(2n−1)_{(2n − 1) > 0. Portanto, como 2n − 1 é ´ımpar, η}(2n−1)_{(x) >} η(2n)(x) se x é par - uma vez que eles são sempre iguais - e η(2n−1)_{(x) 6 η}(2n)(x) se x é ´ımpar - uma vez que são sempre iguais exceto para x = 2n − 1 e x = −2n + 1, como já foi observado. Lembramos que isto significa que η(2n−1) _{≺ η}(2n)_{. Com este fato em mente, basta aplicar o}

Lema 4 para garantir que P2n−1(t, η, f ) 6 P2n(t, η, f ).

As afirma¸cões 2 e 3 não são tão diretas. Na demonstra¸cão do Lema 3 foi visto que para quaisquer configura¸cões iniciais η, ξ ∈ Xn, é poss´ıvel construir um processo com o seguinte

˜ Ln,kf (η, ξ) = n X i=−n ∂f ∂η(i) + ∂f ∂ξ(i) + n X i=−n (min{ϕi(η), ϕi(ξ)})gk n X i=−n η(i) + n X i=−n ξ(i) ! (f (ηi, ξi) − f (η, ξ)) + n X i=−n ((ϕi(η) − ϕi(ξ))+)gk n X i=−n η(i) + n X i=−n ξ(i) ! (f (ηi, ξ) − f (η, ξ)) + n X i=−n ((ϕi(ξ) − ϕi(η))+)gk n X i=−n η(i) + n X i=−n ξ(i) ! (f (η, ξi) − f (η, ξ)),

cujas marginais s˜ao, de fato, Pn(t, η,

·

) e Pn(t, ξ,

·

). A demonstra¸c˜ao destes itens reside no

fato de que o processo com este gerador é tal que nenhum salto irá destruir a ordem ≺. Para demostrar o item 2 desta proposi¸cão há que se notar que ao aplicar o gerador a uma fun¸cão f ∈ C1

c(X2n), como f cil´ındrica de forma que n˜ao depende de nenhum s´ıtio

fora de [−k, k] com k 6 2n − 1, ent˜ao ao acoplar estes processos com as configura¸c˜oes iniciais η(2n−1) _{e η}(2n) _{teremos que |((ϕ}

i(η(2n−1)) − ϕi(η(2n+1)))| = 0 ∀i ∈ [−2n + 2, 2n − 2] e

|((ϕ(2n−1)_(η(2n−1)_{) − ϕ}

2n−1(η(2n+1)))| = η(2n)(2n) e |((ϕ−2n+1(η(2n−1)) − ϕ−2n+1(η(−2n+1)))| =

η(2n)(−2n).

Se durante um intervalo [0, t], com t > 0 o processo acoplado renovar somente de forma conjunta, i.e., se η(2n−1)(x)_s = η(2n+1)(x)_s _{0 6 s 6 t,} ∀x ∈ [−2n − 1, 2n + 1], ent˜ao,

η(2n−1)_t ≺ η(2n+1)

Entretanto, se f depender do s´ıtio −2n − 1 ou do s´ıtio 2n + 1, eventualmente a taxa mais alta deste(s) s´ıtio(s) far´a com que o s´ıtio η(2n+1)_{(2n − 1) renove somente se η}(2n−1)_{(2n − 1)}

ou η(2n+1)_{(−2n + 1) renove somente se η}(2n−1)_{(−2n + 1). Vale notar que tanto 2n − 1 quanto}

−2n + 1 s˜ao ´ımpares. Deste modo, assim como no Lema 3 se i ´e ´ımpar, η2n−1(i) 6 η2n+1(i)

e se i ´e par η(2n−1)_{(i) > η}(2n+1)_{(i). Se i ´}_{e ´ımpar (par) sua taxa de renova¸c˜}_{ao ´}_{e dada pela}

soma da idade de dois s´ıtios pares (´ımpares) mais uma constante c. Portanto, ((ϕi(η(2n−1)) −

ϕi(η(2n+1)))+) = 0 se i for par e ((ϕi(η(2n−1)) − ϕi(η(2n+1)))+) = (ϕi(η(2n−1)) − ϕi(η(2n+1))) se i

for ´ımpar e ((ϕi(η(2n+1)) − ϕi(η(2n−1)))+) = 0 se i for ´ımpar e ((ϕi(η(2n+1)) − ϕi(η(2n−1)))+) =

(ϕi(η(2n−1)) − ϕi(η(2n+1))) se i for par.

Novamente, vemos que se i ´e par, η(2n−1)_{(i) renova somente se η}(2n+1)_{(i) tamb´}_{em renova.}

Ou seja, para o processo de Markov ˜Pn,k(t, (η(2n−1), η(2n+1)),

·

) tem-se que:

η(2n−1)_t_{(i) > η}(2n+1)_t(i) para todo i par. (2.41) Analogamente, se i ´e ´ımpar, η(2n+1)_{(i) renova somente quando η}(2n−1)_{(i) tamb´}_{em renova.}

Exatamente como no Lema 3, teremos portanto que η(2n−1) _{≺ η}(2n+1)_{. Desta forma, nenhum}

salto pode destruir a ordem ≺.

A demonstra¸cão do item 3 deste teorema é análoga à do item 2. A parte delicada, como no item 2, é ver que |((ϕ2m(η2m+2) − ϕ2m(η(2m)))| = η(2m)(2m + 1) e |((ϕ−2m(η(2m+2)) −

ϕ−2m(η(2m)))| = η(2m)(−2m − 1). Como no item 2, o acoplamento de Vasershtein faz com que

os pares renovem sempre que os ´ımpares tamb´em renovam e s˜ao sempre estes que renovam com taxa residual, assim, que η(2m+2) _{≺ η}(2m)_.

E importante notar que este teorema será fundamental para estudar o comportamento do processo quando n → ∞. Uma vez que mostramos a ergodicidade do processo finito dimensional , pelo Teorema 15, precisamos mostrar que para alguma classe de fun¸cões f com dom´ınio em Xk e uma classe de configura¸cões iniciais em X, tal que fixado t, ∃n0 > k :

Cap´ıtulo 3

Constru¸c˜ao e ergodicidade do

processo infinito dimensional

Neste cap´ıtulo estamos interessados em construir um processo infinito dimensional como proposto por Spitzer em (19). Em seu trabalho original, ele propôs que se trabalhasse com o uso de uma fronteira periódica, ou seja, os s´ıtios η(−n) e η(n) se comportariam como se fossem vizinhos. Entretanto, neste cap´ıtulo será usada uma Medida de Gibbs com fronteira zero para construir o processo limite quando o volume n vai a infinito e mostrar sua ergodicidade.

3.1 Constru¸c˜ao do processo infinito dimensional

O objetivo desta se¸cão é o de mostrar como é poss´ıvel construir a fun¸cão de probabilidade de transi¸cão P (t, η, Γ) em [0, ∞) × X ×B(X) para X, um subconjunto conveniente de RZ_.

Desta forma, o primeiro passo ser´a o de escrever a densidade da caixa finita na reta em fun¸c˜ao de seu tamanho. Com isso, poderemos escrever a densidade de µn para que possamos tomar

o limite de µn quando o volume n vai a infinito.

Inicialmente, vamos tratar do fato que para que esta convergência seja uniforme, deve- se mostrar que o comportamento de um número finito de s´ıtios é o mesmo para caixas “suficientemente grandes”. Vamos formular isso de forma mais rigorosa a seguir, porém a ´

ultima afirma¸c˜ao implica que a partir de um determinado volume, a lei do processo em um n´umero finito de s´ıtios para um intervalo finito de tempo converge para a de um processo com volume infinito naquele intervalo de tempo.

N˜ao ´e verdade que para qualquer configura¸c˜_{ao inicial η ∈ X = R}Z_{valha este limite. Desta}

forma, grande parte do trabalho desta se¸cão será o de encontrar uma classe de configura¸cões ξ de forma que em Kξ= {η : η 6 ξ} valha o limite na equa¸cão (3.2) mostrada a seguir.

X cuja indicadora depende somente dos elementos de A. Essa ´algebra servir´a para construir as medidas P (t, η,

·

) definidas nos borelianos de X, onde X é definido pela equa¸cão (3.3) abaixo. Podemos, assim, enunciar a seguinte proposi¸cão:

Proposi¸c˜_{ao 4. Seja A ⊂ Z finito. Fixe t ∈ [0, ∞) e seja ξ ∈ X tal que}

∞ X i=1 1 ξ(i) + 1 = ∞ e −1 X i=−∞ 1 ξ(i) + 1 = ∞. (3.1) Ent˜ao, lim n→∞ m→∞ sup η∈Kξ sup Γ∈CA |Pm(t, η, Γ) − Pn(t, η, Γ)| = 0. (3.2)

A demonstra¸c˜ao deste teorema pode ser encontrada no apˆendice G. Desta forma, doravante vamos denotar por X o conjunto

X = ( ξ ∈ RZ + : ∞ X i=1 1 ξ(i) + 1 = ∞, −1 X i=−∞ 1 ξ(i) + 1 = ∞ ) . (3.3)

Uma vez que já mostramos que o limite da equa¸cão (3.2) é zero, nosso próximo passo é construir a medida P (t, η,

·

) para a qual Pn(t, η,

·

) converge e mostrar que de fato tal medida

é uma fun¸cão de transi¸cão (homogênea no tempo) de um processo de Markov. Desta forma, é necessário que se construa a σ-álgebra na qual se possa construir a medida P (t, η,

·

), o que será feito na Proposi¸cão 5 com o uso das seguintes defini¸cões:

Para η ∈ X e A ⊆ Z finito, seja Cη A= {Γ ∩ Kη : Γ ∈CA} e Cη ₌ [ A⊆Z A finito Cη A. (3.4)

Com estes elementos podemos enunciar a seguinte proposi¸c˜ao:

Corol´ario 2. Para todo t ∈ [0, ∞) e Γ ∈ Cη+t existe P (t, η, Γ) = lim

n→∞Pn(t, η, Γ) (3.5)

Demonstra¸cão. A existência de P (t, η, Γ) é consequência da Proposi¸cão 4. Como a convergência da proposi¸cão é uniforme para conjuntos limitados de t, em compactos de η e em Γ ∈ Kη+t, então a convergência é uniforma também para todo elemento Γ da álgebra

Portanto, como limn→∞Pn(t, η, Γ) converge uniformemente, pode-se denotar por P (t, η, Γ)

este limite.

Uma vez que mostramos a existˆencia do limite do Corol´ario 2, podemos construir a medida P (t, η,

·

) atrav´es da seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 5. Sendo t > 0 e η ∈ X fixados,

1. lim n supΓ∈C η+t A |P (t, η, Γ) − Pn(t, η, Γ)| = 0. (3.6) 2. P (t, η, Γ) = sup{P (t, η, K) : K ´e compacto, K ⊂ Γ, K ∈Cη+t} (3.7) para todo Γ ∈Cη+t.

3. A medida P (t, η,

·

) ´e σ-aditiva na ´algebra Cη+t de Kη+t.

4. Existe uma ´unica medida de probabilidade P (t, η,

·

) em B(X) que satisfaz o limite do Corol´ario 2.

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão do item 1 é consequência imediata do limite do Corolário 2, que por sua vez é consequência da equa¸cão (3.2) da proposi¸cão 4.

Para provar o item 2 desta proposi¸c˜ao, usamos o fato que Pn(t, η,

·

) ´e uma medida

de probabilidade em R[−n,n]_{, portanto, uma medida regular. Assim, para todo Γ ∈} _Cη+t_,

Pn(t, η, Γ) = sup{Pn(t, η, K) : K ´e compacto, K ⊂ Γ, K ∈Cη+t}.

Pela uniformidade do limite no corol´ario 2, vemos que vale o item 2 desta proposi¸c˜ao. Uma vez que, pelo item 2, sabemos que P (t, η,

·

) s˜ao regulares, sua σ-aditividade decorre imediatamente, provando o item 3 desta proposi¸c˜ao.

Para provar a proposi¸c˜ao do item 4, vale notar que se η ∈ X, ent˜ao η + t ∈ X, para qualquer t < ∞. Assim, temos que ηt 6 η + t e, logo, P (t, η, X) = 1. Desta forma, temos

que a medida P (t, η,

·

) est´a concentrada em X.

Portanto, pelo teorema de extensão de Caratheodory sabemos que existe uma única extensão de P (t, η,

·

) para a σ-´algebra B(X).

A seguir, estamos interessados em mostrar que a medida P (t, η,

·

) ∈P(X) é, de fato, uma medida de transi¸cão para uma cadeia de Markov. Isso será feito ao mostrar que a medida P (t, η,

·

) satisfaz às condi¸cões da Proposi¸cão 6, que será enunciada mais adiante, e desse modo, pelo Teorema 4, poderemos garantir que este é um processo de Markov. Entretanto,

antes deste procedimento, precisamos redefiniremos o objeto η(n)_{, para estudar P (t, η,}

·

₎

como o limite de uma medida emP(X).

Seja η ∈ X, ent˜ao define-se a transforma¸c˜ao η(n)_{∈ R}Z

+ como:

η(n)(i) = (

η(i) se − n 6 i 6 n,

0 caso contr´ario, (3.8)

permitindo que os s´ıtios i < −n, i > n cres¸cam. Assim, podemos enunciar o seguinte Lema 5:

Lema 5. Se ξ ∈ X, η(n) ∈ Kξ, n = 1, 2, 3.... e η(n) converge pontualmente para η quando

n → ∞, ent˜ao

lim

n→∞P (t, η (n)

, f ) = P (t, η, f ), (3.9)

para qualquer fun¸c˜ao limitada, cont´ınua e cil´ındrica. Portanto, P (t, η(n)_,

·

_{) converge}

fracamente para P (t, η,

·

Demonstra¸cão. Assim como feito na demonstra¸cão do Teorema 14, no item 5, temos que o máximo que a configura¸c˜_{ao η(i), i, i ∈ Z, pode crescer até o instante t é t, fazendo} com que a configura¸cão do processo no instante t perten¸ca a Kη+t. Assim, P (t, η, Kξ+t) =

Pn(t, η, Kξ+t) = 1 ∀n.

Como o crescimento de ηt(i) a partir de uma configura¸c˜ao inicial η(i) no s´ıtio i ´e limitado

e a configura¸cão do processo no instante t é menor ou igual η(i) + t _{∀ i ∈ Z para todo i ∈ Z,} até o momento t podemos assumir que as fun¸cões cil´ındricas f em questão vão a zero quando qualquer uma das configura¸cões η(i) for a mais infinito, uma vez que estas configura¸cões não serão atingidas de qualquer forma até o instante t.

Desta forma, a convergência de (3.9) é conseqûencia da convergência da Proposi¸cão 4:

lim

n→∞_η∈Ksup

|Pn(t, η, f ) − P (t, η, f )| = 0. (3.10)

A seguir vamos fazer a demonstra¸cão mais importante desta se¸cão. Nela iremos mostrar que P (t, η, f ) é, de fato, uma medida de transi¸cão homogênea no tempo, de acordo com a Defini¸cão 2. Com isso, será poss´ıvel aplicar o Teorema 4, para garantir que existe de fato um processo de Markov em X associado a P (t, η, f ).

Proposi¸c˜ao 6. A cole¸c˜ao de medidas de probabilidade P (t, η,

·

) indexadas por t ∈ [0, ∞) e η ∈ X satisfaz `as seguintes propriedades:

a. P (t, η, Kη+t) = 1, ∀η ∈ X, t ∈ [0, ∞) e P (t, η,

·

) ´e regular,

b. P (0, η,

·

) = δη(

·

) η ∈ X,

c. Para todo B ∈B(X), a fun¸cão (t, η) → P (t, η, B) é B([0, ∞)) ⊗ B(X) mensurável d. P (s + t, η, Γ) =R P (s, y, Γ)P (t, η, dy) s, t > 0, η ∈ Xn, Γ ∈B(Xn).

Demonstra¸c˜ao. Note que, pela Proposi¸c˜ao 5, tem-se que

Pn(t, η, Kη+t) = 1, ∀ η ∈ X, t ∈ [0, ∞). (3.11)

Aplicando o limite da defini¸c˜ao de P (t, η,

·

) temos que P (t, η, Kη+t) = lim

n→∞Pn(t, η, Kη+t) = 1, ∀η ∈ X, t ∈ [0, ∞), (3.12)

demonstrando, assim, o item a. desta proposi¸c˜ao, uma vez que j´a haviamos demonstrado a regularidade de P (t, η,

·

) na proposi¸c˜ao 5 para P (t, η,

·

) definida em Cη+t_{, como toda}

massa de probabilidade destas medidas se concentram em X, sua extens˜ao P (t, η,

·

) definida em B(X) também é regular. Para demonstrar o item b. basta aplicar o mesmo limite da defini¸cão de P (t, η,

·

) a Pn(0, η,

·

) = δη(

·

Para demonstrar o item c., inicialmente note que se B ∈C[−n,n], ent˜ao, pelo teorema 14,

∀m > n, (t, η) → Pm(t, η, B) é mensurável. Aplicando o limite da defini¸cão de P (t, η,

·

a fun¸cão (t, η) → P (t, η, B) é mensurável para todo B ∈ C , uma vez que B ∈ C implica que existe n ∈ N tal que B ∈ C[−n,n]. Ressaltamos que ao se impor m > n ao se fazer

limn→∞Pm(t, η, B), tamb´em estamos levando ao limite a restri¸c˜ao aC[−n,n], de forma que no

limite se garante a mensurabilidade de C . Vamos definir o seguinte objeto:

A = {B ∈ B(X) : (t, η) → P (t, η, B) é mensurável } (3.13) Pela defini¸cão de A , pode-se observar que C ⊂ A ⊂ B(X), já que, por defini¸cão, somente elementos de B(X) podem ser elementos de A .

O Teorema da Classe Monótona diz que se temos uma álgebra de conjuntos C e A é uma classe monótona que contém C, então a σ-álgebra gerada por C está contida em A .

Novamente, como C ⊂ A ⊂ B(X), como A é fechado para o limite de sequências monótonas e como a σ-álgebra gerada por C é B(X), decorre do Teorema da Classe Monótona que A = B(X).

Vamos demonstrar agora o item d. desta proposi¸c˜ao. Temos que:

Pn(t + s, η, f ) =

Pn(s, ξ, f )Pn(t, η, dξ). (3.14)

Pelo item 1 da Proposi¸c˜ao 5, decorre que Pn(t+s, η, Γ) converge a P (t+s, η, Γ) ∀ Γ ∈ Kη+t+s.

Assim segue que R f (y)Pn(t + s, η, dy) →R f (y)P (t + s, η, dy).

Desta forma, precisamos mostrar que:

lim n→∞| Z P (s, ξ, f )P (t, η, dξ) − Z Pn(s, ξ, f )P (t, η, dξ)| = 0. (3.15)

Inicialmente vale notar que:

| Z P (s, ξ, f )P (t, η, dξ) − Z Pn(s, ξ, f )Pn(t, η, dξ)| = = | Z P (s, ξ, f )P (t, η, dξ)− Z P (s, ξ, f )Pn(t, η, dξ)+ Z P (s, ξ, f )Pn(t, η, dξ)− Z Pn(s, ξ, f )Pn(t, η, dξ)| = = | Z [P (s, ξ, f ) − Pn(s, ξ, f )] Pn(t, η, dξ) + Z P (s, ξ, f ) [P (t, η, dξ) − Pn(t, η, dξ)] |.

Assim, podemos escrever:

Note que como a medida Pn(t, η,

·

) ´e uma medida de probabilidade, ent˜ao:

| Z

[P (s, ξ, f ) − Pn(s, ξ, f )] Pn(t, η, dξ)| 6 sup ξ∈Kη+t

|P (s, ξ, f ) − Pn(s, ξ, f )|. (3.17)

Sabemos que o limite limn→∞supξ∈Kη+t|P (s, ξ, f )−Pn(s, ξ, f )| = 0, devido `a convergˆencia

da Proposi¸c˜ao 4.

Portanto, para demonstrar que P (t, η,

·

) é de fato uma fun¸cão de transi¸cão de uma cadeia de Markov, falta mostrar que |R P (s, ξ, f ) [P (t, η, dξ) − Pn(t, η, dξ)] converge a zero quando

n vai a infinito.

Tendo em vista que as medidas Pn(t, η,

·

) e P (t, η,

·

) est˜ao concentradas em Kη+t, pelas

proposi¸c˜oes 6 item a. e 14, respectivamente, podemos usar o lema 5 para ver que a fun¸c˜ao

´e cont´ınua e limitada. Por outro lado, pela Proposi¸c˜ao 5, item 1, sabemos que as medidas Pn(t, η,

·

) convergem fracamente para P (t, η,

·

) quando n → ∞. Decorre que

R P (s, ξ, f )Pn(t, η, dξ) →R P (s, ξ, f )P (t, η, dξ).

Uma vez que as propriedades expressas na Proposi¸c˜ao 6 foram provadas, vemos que P (t, η,

·

) é uma fun¸cão de transi¸cão homogênea no tempo e como P (t, η,

·

) ´e uma medida regular, pelo item a. da proposi¸c˜ao, basta aplicar o Teorema 4 para provar o seguinte teorema:

Teorema 17. Existe um processo de Markov em X, cujas probabilidades de transi¸c˜ao s˜ao P (t, η,

·

Uma vez que foi constru´ıda a medida P (t, η,

·

), podemos obter o seguinte Lema:

Lema 6. Seja f uma fun¸cão cont´ınua limitada e não decrescente com rela¸cão a ≺. Se f depende somente das coordenadas [−k, k] e 2n − 1 > k e 2m > k, então, para η ∈ X:

P2n−1(t, η, f ) 6 P (t, η, f ) 6 P2n(t, η, f ). (3.19)

Demonstra¸c˜ao. Lembrando que P (t, η, f ) = limn→∞Pn(t, η, f ), e que:

P2k−1(t, η, f ) 6 P2k+1(t, η, f ) 6 P2k+3(t, η, f ) 6 · · · (3.20)

P2m(t, η, f ) > P2m+2(t, η, f ) > P2m+4(t, η, f ) > · · · (3.21)

tem-se que este lema segue imediatamente.

No documento Modelo de Spitzer para Processos de Renovação (páginas 45-56)