Modelo de Spitzer para Processos de Renovação

(1)

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Modelo de Spitzer para processos de

renova¸

c˜

ao interagentes

Eduardo Ferioli Gomes

Rio de Janeiro 2014

(2)

Eduardo Ferioli Gomes

Modelo de Spitzer para processos de renova¸c˜ao interagentes

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Estat´ıstica.

Orientadora:

Maria Eul´alia Vares

Departamento de M´etodos Estat´ısticos Instituto de Matem´atica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

(3)

G633m Gomes, Eduardo Ferioli

Modelo de Spitzer para processos de renovação interagentes/ Eduardo Ferioli Gomes. -- Rio de Janeiro, 2014.

118 f. : il.; 30 cm.

Orientador: Maria Eulália Vares

Dissertação (mestrado) – UFRJ / Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Estatística,2014. Referências: f. 117-118

1. Processos estocásticos - Tese. 2. Teoria ergótica

I. Vares,Maria Eulália (Orient.). II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Estatística. III. Título.

CDD 519.2

(4)

(5)

`

A minha m˜ae. Que esta seja a disserta¸c˜ao que ela sempre mereceu.

(6)

Agradecimentos

Inicialmente gostaria de agradecer aos meus pais, que sempre me apoiaram e me deram todo o suporte necessário aos meus estudos. Sem o total apoio deles, principalmente emocional, ao longo de meus anos de estudo na gradua¸cão e na pós-gradua¸cão eu certamente não teria chegado aqui. Tenho a obriga¸cão moral de dedicar a minha mãe esta disserta¸cão, uma vez que há mais de vinte anos ela teve de abrir mão de sua educa¸cão para que meu bem-estar não fosse prejudicado.

Devo agradecer especialmente ao meu pai, pelas diversas vezes que tentou ler meu péssimo português. Se este texto possui alguma coesão deve-se grande parte a ele.

Um pouco menos emotivo é meu agradecimento aos meus colegas, em particular ao Bonde da Probabilidade, não somente pelas discussões matemáticas, como também pelo hora do cafezinho (nem sempre no diminutivo na verdade).

Gostaria também de agradecer a minha orientadora pela imensa paciência com minha base matemática extremamente fraca e pela disponibilidade que ela sempre teve para me orientar

Gostaria de agradecer à CAPES e à comissão organizadora da XVII Escola Brasileira de Probabilidade pelo apoio financeiro.

(7)

Resumo

Processos de Renova¸cão são clássicos em teoria de processos estocásticos e servem para modelar fenômenos ligados às falhas de componentes. Processos de renova¸cão multidimensionais são aqueles nos quais há intera¸cão entre os componentes: as taxas de renova¸cão dependem das idades dos componentes do processo.

Este trabalho apresenta os métodos de constru¸cão presentes na literatura para processos de renova¸cão finitos e infinitos-dimensionais e os respectivos estudos sobre ergodicidade. Além disso, propõe uma constru¸cão espacialmente não homogênea para um subespa¸co apropriado e propõe um método de simula¸cão para a estima¸cão da idade média das componentes.

(8)

Abstract

Renewal processes are traditional on the theory of stochastic process and are used to model lifetimes of components. Multidimensional renewal process are those with interaction, so that failure rates depends on the ages of different components.

The aim of this study is to present the methods used in the literature for finite and infinite dimensional renewal processes as well as the study about their ergodicity. Besides that we present a spatial non-homogeneous construction for a suitable subspace and another method to simulate that process and estimate the average age of components.

(9)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Processo de renova¸c˜ao e seu gerador 4

1.1 Processo de renova¸cão . . . 4 1.2 Teorema da renova¸cão . . . 6 1.2.1 Distribui¸cão limite . . . 8 1.3 Processo de Markov . . . 10 1.4 Semigrupo de Feller . . . 13 1.5 Gerador de um semigrupo . . . 16

1.6 Teorema de Hille-Yosida e perturba¸c˜ao . . . 18

1.6.1 Perturba¸c˜ao . . . 19

1.7 Processos estacion´arios e Teorema de Orey . . . 19

1.7.1 Teorema de Orey . . . 20

2 Processo de renova¸c˜ao multidimensional 22 2.1 Modelo finito dimensional de Spitzer . . . 22

2.2 Descri¸c˜ao atrav´es do gerador . . . 22

2.3 Medida invariante para o processo de Spitzer . . . 23

2.4 Teorema da Renova¸c˜ao de Spitzer . . . 25

2.4.1 Infinitos componentes interagindo . . . 26

2.5 Aproxima¸c˜ao finito dimensional . . . 27

2.6 Constru¸c˜ao do Processo de Spitzer . . . 29

2.7 Ergodicidade do processo finito dimensional . . . 33

2.8 Ordem parcial e compara¸c˜ao de medidas . . . 34

3 Constru¸c˜ao e ergodicidade do processo infinito dimensional 39 3.1 Constru¸c˜ao do processo infinito dimensional . . . 39

3.2 Ergodicidade do Processo infinito dimensional . . . 45

4 Processo de renova¸cão não-homogêneo 50 4.1 Processo a volume finito . . . 50

4.2 Medida invariante . . . 54

(10)

5 Processo de renova¸c˜_{ao em R}Zd ₅₈

5.1 Constru¸c˜_{ao do processo em R}Zd _{. . . .} ₅₈

5.2 Constru¸c˜_{ao e ergodicidade de µ para R}Zd _{. . . .} ₅₉

6 Simula¸c˜oes 69 6.1 Amostrador . . . 70

6.2 Ajuste para ∆t . . . 71

6.3 Definindo o tamanho do processo . . . 72

6.4 Médias simuladas . . . 75 A Fecho e core 80 B Demonstra¸cão do Teorema 12 82 C Demonstra¸cão do Teorema 13 85 D Demonstra¸cão do Lema 1 88 E Demonstra¸cão do Teorema 15 90 F Demonstra¸cão do Lema 3 96 G Demonstra¸cão da Proposi¸cão 4 100 H Demonstra¸cão do Lema 7 109 I Código da simula¸cão em R 112

(11)

Lista de Figuras

1.1 Processo de Renova¸c˜ao na reta. . . 5

4.1 Caixa finita para processo em trˆes retas . . . 51

6.1 Exemplo de Simula¸c˜oes satisfat´orias. . . 72

6.2 Efeito da constante c sobre tamanho da simula¸c˜ao. . . 74

6.3 Efeito da constante c sobre a m´edia de ηt(0). . . 75

6.4 Efeito da constante c sobre a m´edia de ηt(+1). . . 76

(12)

Introdu¸

c˜

ao

Um processo de renova¸cão tipicamente é usado para modelar a taxa de falha de determinadas componentes, ou seja em cada instante em que há uma renova¸cão pode-se pensar que é uma falha em uma das componentes do processo, com necessidade de substitui¸cão. Tendo em vista esta aplica¸cão, parece natural querer descrever um processo no qual a taxa de falha dependa da idade de outras componentes.

O processo de Renova¸cão de Spitzer foi introduzido por (19) em 1986 com o objetivo de formular um processo de renova¸cão multidimensional, no qual há intera¸cão entre as componentes do processo através da idade dos mesmos. O autor mostra que se o vetor das taxas de renova¸c˜_{ao do processo, ϕ(η), onde η ∈ R}n

+ representa uma configura¸c˜ao para as

idades das componentes do processo, é o gradiente de um potencial, ψ(η), então é poss´ıvel encontrar uma medida candidata a invariante para ele. Este teorema será enunciado nesta disserta¸cão como Teorema 12, e sugere a possibilidade de mostrar a ergodicidade para este processo de Renova¸cão utilizando teoria de semigrupos.

Em 1992, Andjel e Vares (1) estudam um caso particular no qual a taxa de renova¸cão de cada componente do processo com configura¸cão de idades η é dada pela idade média de seus vizinhos somados de uma constante de estabiliza¸cão c > 0, de forma que a taxa de renova¸cão para o processo em R[−n,n]+ , com fronteira zero, seria o gradiente do seguinte potencial:

ψn(η) = c n X −n η(i) +1 2 n−1 X i=−n η(i)η(i − 1). (1)

Os autores mostraram que a medida candidata levantada por Spitzer, de fato, é invariante. Para tanto foi feita a aproxima¸cão deste processo por um processo de Feller e mostram sua ergodicidade. Eles também constru´ıram e mostraram a ergodicidade para o caso limite deste processo no qual o volume da caixa [−n, n] vai a infinito.

Para mostrar a convergência das medidas invariantes a volume finito, para uma medida em volume infinito foi adotada uma ordem parcial ≺ que é preservada pela dinâmica do processo, como em um processo de antiferromagneto. Essa propriedade, informalmente falando, significa dizer que quanto maior a idade de uma componente no s´ıtio i no instante t,

(13)

ηt(i), menor tende a ser a idade m´edia dos seus vizinhos naquele mesmo instante, ηt(i − 1) e

ηt(i + 1). Com isso, ´e poss´ıvel construir um processo acoplado de forma que se suas marginais

tˆem configura¸c˜oes iniciais η, η0 _{∈ R}Z

+ tal que se η ≺ η0, ent˜ao ηt ≺ ηt0 ∀t > 0. Desta forma, foi

poss´ıvel mostrar que para uma classe de fun¸c˜oes f crescentes com rela¸c˜ao a ordem parcial ≺,

Z

f dµn →

Z

f dµ (2)

onde µn ´e a invariante para a caixa [−n, n] e µ ´e a medida invariante em volume infinito,

tomado quando n vai a infinito.

A dinâmica do processo não está bem-definida para qualquer configura¸c˜_{ao inicial η ∈ R}Z +,

mas foi poss´ıvel encontrar uma classe de configura¸c˜_{oes iniciais X ⊂ R}Z

+ de modo que a

probabilidade de que haja influência do infinito chegando a um conjunto finito de s´ıtios em um tempo finito converge a zero. Desta forma, impondo também a condi¸cão de que f seja cil´ındrica, é poss´ıvel mostrar a convergência na equa¸cão (2).

Desta forma, o cap´ıtulo 1 tem como objetivo apresentar de forma breve os principais elementos teóricos usados nos cap´ıtulos 2 e 3, além de uma pequena introdu¸cão sobre processos de renova¸cão.

Nos cap´ıtulos 2 e 3 serão apresentados de forma detalhada os argumentos que acabamos de levantar para os casos, respectivamente, finito e infinito dimensional. Desta forma, há uma sequência lógica na qual inicialmente apresentamos o processo de renova¸cão clássico, unidimensional, e o representamos usando teoria de semigrupos para que possamos, no cap´ıtulo 2, mostrar como se comporta o processo quando há um número finito de componentes interagindo e, no cap´ıtulo 3, quando há infinitos destes interagindo.

Andjel e Vares, em (1) também mostraram que para c = 0 o processo não é ergódico. No cap´ıtulo 4 introduziremos um modelo não homogêneo no qual teremos um processo com espa¸co de estados em RZ×{−1,0,1}

+ , de forma que a taxa de renova¸c˜ao da componente no s´ıtio

i ser´a dada por:

ϕi(η) = c(i) + 1 4 X |j−i|=1 j∈∆n η(j). (3) c(x1, x2) = ( c1 se x2 = {−1, 1} c2 se x2 = 0. (4) c1 > 0, c2 > 0.

(14)

c2 = 0. Gostar´ıamos de entender se a dinˆamica do processo nas retas −1 e 1 estabilizariam

o processo a ponto de se ter uma medida erg´odica para o processo.

Em 1995, Sidoravicius e Vares (18) mostraram como estender o processo homogˆeneo para o caso em que o processo tem espa¸co de estados em RZd

+. No cap´ıtulo 5 mostraremos as

principais dificuldades em promover esta extens˜ao.

Outra questão teórica levantada diz respeito exatamente ao parâmetro c. Sidoravicius e Vares, em (18) mostraram que, na linguagem de Mecânica Estat´ıstica, não há transi¸cão de fase, ou seja, independente do volume o comportamento assintótico do sistema é o mesmo, desde que c > 0. Nada se sabe sobre o caso c = 0 neste caso multidimensional.

Desta forma, uma das principais questões que podemos levantar é sobre a forma como diferentes valores de c > 0 afetam a idade média do processo a volume infinito. Como o processo é invariante por transla¸cão, isso significa dizer que existe ρ(c) tal que

Z

η(0)dµ = ρ(c). (5)

Finalmente, no cap´ıtulo 6 será proposto um método de simula¸cão para estimar a fun¸cão da equa¸cão (5). Nela proporemos um método a tempo discreto de um autômato celular desenvolvido com o objetivo que tivesse uma dinâmica a mais parecida poss´ıvel com o processo de renova¸cão de Spitzer a volume finito e come¸caremos a estimar a forma de ρ(c).

(15)

Cap´ıtulo 1

Processo de renova¸

c˜

ao e seu gerador

Este cap´ıtulo está dividido em três partes. A primeira, que engloba as se¸cões 1.1 e 1.2, tem como objetivo explicar o que é um processo de renova¸cão. Desta forma, ao longo da disserta¸cão come¸caremos com um processo de renova¸cão unidimensional, da forma clássica, para depois passar a tratar do processo com intera¸cões multidimensional, no cap´ıtulo 2, e do processo infinito dimensional, no cap´ıtulo 3.

A segunda parte, que engloba as se¸cões de 1.4 a 1.6, mostrará a rela¸cão entre processos de Markov, semigrupos de Feller e seus geradores, além de servir como referência comentada para grande parte dos teoremas de análise funcional que serão utilizados ao longo da disserta¸cão. A terceira parte é composta pela se¸cão 1.7. Esta se¸cão 1.7 servirá de referências comentadas, tentando deixar claro os conceitos relevantes relacionados à invariância de medidas para processos estocásticos e sua poss´ıvel ergodicidade. A ergodicidade do processo de renova¸cão de Spitzer será estudada no cap´ıtulo 2.

1.1 Processo de renova¸

c˜

ao

Processos de Renova¸cão são uma importante fam´ılia de processos estocásticos. Nesta se¸cão iremos construir um processo de renova¸cão unidimensional de forma clássica, para que nas próximas se possa pensar no caso multidimensional.

Seja (Ti)_i∈Numa sequência de variáveis aleatórias positivas, independentes e identicamente

distribu´ıdas. Denotamos F (x) := P(Ti 6 x) e m := E(Ti). Definimos o passeio aleat´orio

Sk =Pk_i=1Ti i, k ∈ N e a sequˆencia S = (S0, S1, S2, S3, . . .) como a sequˆencia dos tempos de

renova¸c˜ao e definimos S0 = 0.

Ao projetar uma realiza¸c˜ao do processo sobre a semi-reta R+ tem-se o processo como se

(16)

S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8

Figura 1.1: Processo de Renova¸c˜ao na reta.

Desta forma podemos definir as vari´aveis (N (t))_t>0como o processo de contagem associado a este processo de renova¸c˜ao1 _{da seguinte forma:}

N (t) := sup{n : Sn 6 t}. (1.1)

Assim, N (t) é o número de renova¸cões ocorridas até o instante t. Como consequência imediata da equa¸cão (1.1) chega-se à rela¸cão: SN (t) 6 t < SN (t)+1, onde SN (t) é o instante

da última de renova¸cão anterior ao tempo t, Sk tal que k = sup{n : Sn6 t}. Outra variável

aleatória que se pode extrair do processo de renova¸cão é a idade do processo no instante t, ηt, descrita abaixo:

ηt= t − max{Sk: k > 0, Sk 6 t} t > 0, (1.2)

que pode ser escrita de forma mais sint´etica como: ηt= t − SN (t). Ao processo (ηt)t>0 iremos

nos referir doravante como processo de idade.

Desta forma, ηt representa o tempo decorrido desde a ´ultima renova¸c˜ao.

O processo de idade é Markoviano, isto é, a distribui¸cão de ηt+s condicionada à

configura¸c˜ao do processo no instante t, ηt = η coincide , exceto por um conjunto de medida

zero, com a distribui¸cão de ηt+s condicionada a trajetória do processo até o instante t,

{ηu : u 6 t}. Ou seja, P(ηt+s > u|ηv : v 6 t) = P(ηt+s > u|ηt) q.c..

Até este ponto está bem definido o processo de renova¸cão. Falta, no entanto, conhecer o teorema para a medida limite da idade do processo que Spitzer (19) usa como motiva¸cão para procurar uma medida estacionária. Vale ressaltar que nesta disserta¸cão um dos pontos centrais é conhecer esta medida limite para distintos casos multidimensionais.

Como será visto na se¸cão 1.2.1, estamos preocupados em entender a distribui¸cão limite para ηt, quando t → ∞ ou seja, estamos preocupados em estudar a distribui¸cão de limt→∞ηt.

Sendo assim, não procisamos nos preocupar com qual ponto da reta o processo come¸ca, isto é, em que ponto está definido T0.

A idade do processo de renova¸cão, unidimensional, tem uma dinâmica na qual há um crescimento determin´ıstico e vai a zero, renova, com uma taxa ϕ(

·

). Assim, a taxa de

1_{Alguns autores, como (14), analisam o processo de renova¸}_c˜_{ao fundamentalmente atrav´}_{es desta vari´}_avel. Para os fins desta disserta¸c˜ao ´e melhor analisar o processo como um todo.

(17)

renova¸cão do processo com idade η é definida através da probabilidade de renova¸cão do processo:

ϕ(x)dx := P(renova¸cão no intervalo (x, x + dx)|η = x) (1.3) Se ϕ(η) = λ, então, o processo de renova¸cão é um processo de Poisson no plano com taxa λ. Conhecendo a distribui¸cão das variáveis aleatórias (Ti)i>1 é poss´ıvel calcular a taxa do

processo. Se F é a fun¸cão de distribui¸cão acumulada das variáveis aleatórias i.i.d. (Ti)i>1, a

probabilidade de renova¸c˜ao pode ser calculada como:

ϕ(x) = lim dx→0 P(x 6 Ti 6 x + dx|Ti> x) dx = limdx→0 P(x 6 Ti 6 x + dx) dx 1 P (Ti > x) = f (x) 1 − F (x). (1.4)

Assim, temos que:

ϕ(x) = − d

dxlog [1 − F (x)] (1.5)

Na se¸cão 1.2 será demostrada a proposi¸cão acima, Teorema 3. Uma vez que se conhe¸ca a distribui¸cão limite para o caso unidimensional, será poss´ıvel pensar em formas de estender para os casos multidimensionais, nos quais a taxa de renova¸cão de uma componente do processo depende da idade de outras componentes.

Entretanto, para isso será utilizada uma constru¸cão baseada em semigrupos, dentro das constru¸cões t´ıpicas de sistemas de part´ıculas. Assim, será descrito o processo de renova¸cão através de seu gerador na se¸cão 2.2.

1.2 Teorema da renova¸

c˜

ao

Nesta se¸cão iremos enunciar o teorema da renova¸cão. Este teorema será utilizado na demonstra¸cão do teorema sobre a distribui¸cão limite para o processo de idade que será enunciado e demonstrado na subse¸cão 1.2.1. Apesar deste teorema não ser utilizado na espinha dorsal da bibliografia desta disserta¸cão, ele é a formula¸cão clássica unidimensional dos principais teoremas sobre o comportamento limite dos processos multidimensionais, como apontado por Spitzer em (19).

Não iremos demonstrar o Teorema da Renova¸cão, Teorema 1, pois sua demonstra¸cão é realmente extensa e pode ser encontrada em diversas referências como, por exemplo, em (7) na página 3642. Antes de enunciar o teorema propriamente dito é preciso apresentar a fun¸cão

2_{A prova deste ´}_{e para o caso n˜}_{ao aritim´}_{etico, o que de fato usamos. A prova para o caso aritim´}_{etico, se} interessar ao leitor, pode ser encontrada em (8).

(18)

de renova¸cão da qual trata o teorema. Para a variável aleatória N (t) definida em 1.1 define-se a fun¸cão de renova¸cão M (t):

Defini¸cão 1. (Fun¸cão de Renova¸cão): Define-se a fun¸cão de renova¸cão M (t) para um processo de renova¸cão com contagem N (t) como sendo:

M (t) = E[N(t)].

Usando o fato que N (t) > k ⇐⇒ Sk 6 t, pode-se calcular a fun¸c˜ao de renova¸c˜ao M (t)

como: M (t) = E[N (t)] = ∞ X k=1 P[N (t) > k] = ∞ X k=1 P[Sk 6 t] = ∞ X k=1 Fk(t) (1.6)

Achar a distribui¸c˜ao de Fk(t) ´e teoricamente simples. Basta lembrar do teorema da

convolu¸c˜ao3_{que diz que para duas vari´}_{aveis aleat´}_{orias independentes X e Y com distribui¸c˜}_oes

F e G, respectivamente, a convolu¸c˜ao de F com G, que escrevemos como F ∗ G, ´e dada por P(X + Y 6 t) =R G(t − x)dF(x).

Portanto, ao escrever Fk(t) como (Fk−1∗ F )(t) estamos calculando Fk(t) = P(Sk 6 t) =

P(Sk−1+ Tk 6 t) = (Fk−1∗ F )(t), como quer´ıamos na equa¸c˜ao (1.6).

Algumas propriedades de M merecem ser mencionadas: M (t) é não decrescente com rela¸cão a t. Como as variáveis aleatórias são positivas i.i.d., tem-se que M (t) < ∞ para todo t finito, mas limt→∞M (t) = ∞.

Portanto, a partir da fun¸cão de renova¸c˜_{ao M pode-se definir uma medida M. Ela é} definida nos borelianos da reta, B(R), de forma que pode ser constru´ıda a partir da fun¸cão M como M(−∞, t] := M(t) e definimos que M((−∞, t] = 0 ∀t 6 0. As propriedades de M supracitadas garantem que M seja localmente finita e σ-finita.

Uma vez que podemos pensar em M tanto como a fun¸cão de renova¸cão quanto através da medida M, podemos enunciar o Teorema da Renova¸cão sem quaisquer problemas. O teorema está definido para dois casos, quando F é aritmética ou não. Dizemos que uma fun¸cão F é aritmética se para todo > 0 existe λ tal que F (a+λx+)−F (a+λx−) > 0 exclusivamente para x ∈ Z, λ > 0, a ∈ R. Se λ for o maior valor para o qual vale a rela¸cão, diz-se que λ é span de F .

Teorema 1. (Teorema da renova¸cão de Blackwell): Seja F a fun¸cão de distribui¸cão de uma variável aleatória positiva com esperan¸ca µ. Seja M (t) =P∞

k=1Fk(t) a fun¸c˜ao de renova¸c˜ao 3_{Pode ser encontrado em (7) como o teorema V.4.2.}

(19)

associada a F. Para h > 0 segue que: 1) Se F é não aritimética, então

lim

t→∞[M (t + h) − M (t)] =

h µ.

2) Se F é aritmética vale o mesmo que em (1), desde que h seja múltiplo do span λ.

A demonstra¸c˜ao deste teorema (Teorema 1) pode ser encontrada em (7) como o Teorema 4.5, na p´agina 184.

Para provar o Teorema 3, que d´a a forma assint´otica de ηt quando t → ∞, ainda falta

enunciar o Teorema 2 (da Fun¸cão de Renova¸cão). Sua demonstra¸cão pode ser encontrada em (11), como a demonstra¸cão do Teorema 5.4.1, na página 185.

Teorema 2. (da fun¸c˜ao de renova¸c˜ao). Seja a(

·

) uma fun¸cão limitada. Existe uma única fun¸cão A(

·

) limitada em intervalos finitos que satisfaz:

A(t) = a(t) + Z t

0

A(t − y)dF (y) ∀ t > 0. Esta fun¸c˜ao ´e: A(t) = a(t) + Z t 0 a(t − y)d ∞ X k=1 Fk(y) ∀ t > 0.

1.2.1 Distribui¸

c˜

ao limite

Um dos objetivos centrais desta disserta¸cão é tentar entender o comportamento limite do processo de idade quando existem infinitos componentes interagindo - tudo será definido claramente mais a frente - usando teoria de semigrupos, como feito em (1) e (18). Desta forma, é interessante demonstrar como se poderia estudar a distribui¸cão da idade ηt quando

t vai a infinito, sem usar teoria de semigrupos. O Teorema 3 para esta medida é clássico na literatura. A seguir é apresentado seu enunciado para o caso não aritimético4 e a sua demonstra¸cão:

Teorema 3. A distribui¸c˜ao de ηt, Ht, dada por Ht(x) := P(ηt 6 x), converge fracamente

para H, dada por:

H(x) = ( ₁ µ Rx 0 [1 − F (z)]d(z) se m < ∞ 0 se m = ∞, (1.7) onde m = E(Ti).

(20)

Demonstra¸c˜ao. Usando a lei de probabilidades totais pode-se escrever: P(ηt6 x) = Z ∞ 0 P(ηt6 x|T1 = s)dF (s) =1[0,x](t)[1 − F (t)] + Z t 0 P(ηt−s 6 x)dF (s).

Usando o Teorema 2 podemos identificar a(t) = 1[0,x](t)[1 − F (t)] e A(t) = P(ηt−s 6 x).

Desta forma: P(ηt6 x) = 1[0,x](t)[1 − F (t)] + Z t 0 P(ηt−s 6 x)dF (s) = 1[0,x](t)[1 − F (t)] + Z t 0 1[0,x](t)(1 − F (t − s))dM (s).

Fazendo z=t-s dentro da integral

= 1[0,x](t)[1 − F (t)] − Z t 0 1[0,x](t)(1 − F (z))dM (t − z). Aplicando o limite: lim t→∞P(ηt 6 x) = limt→∞1[0,x](t)[1 − F (t)] − limt→∞ Z t 0 1[0,x](t)[1 − F (z)])dM (t − z) = − lim t→∞ Z t 0 1[0,x](t)[1 − F (z)] dM (t − z) d(t − z) d(t − z). Aplicando o Teorema 1: = −1 mt→∞lim Z t 0 1[0,x](t)[1 − F (z)]d(t − z) = 1 m Z x 0 [1 − F (z)]dz.

Como H é absolutamente cont´ınua com rela¸cão à medida de Lebesgue, podemos escrever sua densidade como sendo _m1[1 − F (x)], como feito em (19) em sua equa¸cão 2.

Uma vez que conhecemos a teoria clássica para a medida limite para a idade de um processo de renova¸cão, podemos nos preocupar em reescrever o processo de Renova¸cão através da teoria de semigrupos, o que será feito somente no cap´ıtulo 2 na se¸cão 2.2.

Antes disso, é necessário caracterizar processos de Markov de acordo com o seu semigrupo, o que será feito na se¸cão 1.3 para que na se¸cão 1.4 seja mostrada a rela¸cão entre semigrupo de Feller e processo de Markov. Desta forma, será poss´ıvel falar em uma teoria de semigrupos para processos de Renova¸cão e, no cap´ıtulo 2 prosseguir com o estudo do processo de renova¸cão de Spitzer devidamente embasado.

(21)

1.3 Processo de Markov

Na se¸cão 1.1 definimos um processo estocástico tal que os ´ındices das variáveis aleatórias T1, T2, T3, . . . i ∈ N eram discretos e apesar de já termos tratado na se¸cões 1.1, 1.2 e 1.2.1 de

processos estocásticos a tempo cont´ınuo, é importante estudar de forma mais precisa estes processos para que possamos fazer as constru¸cões necessárias ao longo desta disserta¸cão.

Por considerarmos muitos componentes em intera¸c˜ao, trataremos de processos estoc´_{asticos a valores em um adequado subconjunto boreliano de R}S _{(S ⊂ Z}d_{) denotado}

por X, que consideraremos munido da topologia produto.

Por variável aleatória η com valores em X entende-se uma fun¸cão mensurável de um dado espa¸co de probabilidade (Ω,F , P ) em (X, B(X)), ou seja, uma fun¸cão η : Ω → X tal que para todo Γ ∈B(X), {ω : η(ω) ∈ Γ} ∈ F .

Desta forma, definimos um processo estoc´astico (ηt)t≥0 a valores em X como uma

fam´ılia de variáveis aleatórias definidas em um mesmo espa¸co (Ω,F , P ). Neste contexto t é usualmente interpretado como tempo. Um processo estocástico pode, então, ser pensado como uma fun¸cão definida em [0, ∞) × Ω com valores em X, tal que para todo t ∈ [0, ∞) e para todo Γ ∈B(X) tem-se {ω : ηt(ω) ∈ Γ} ∈F .

Se ademais esta fun¸cão for conjuntamente mensurável - i.e. B([0, ∞)) ⊗ F )-mensurável - diremos que o processo é mensurável. Neste caso pode-se pensar na fun¸cão mensurável que a cada ω ∈ Ω associa toda a evolu¸cão temporal do processo para esta realiza¸cão ω no espa¸co amostral, i.e. ω → (ηt(ω), t > 0), por isto chamada de trajetória. Os processos

utilizados nesta disserta¸cão podem ser sempre constru´ıdos com trajetórias cont´ınuas à direita e com limites pela esquerda. Neste caso, pode-se tomar Ω = D([0, ∞), X) como o espa¸co de Skorohod (ver (6), se¸cão 3.5) e ηt(ω) = ω(t).

Define-se Ft = σ(ηs : s 6 t) como a σ-´algebra gerada pelo processo at´e o instante t. Ou

seja, a menor σ-álgebra de subconjuntos de Ω em rela¸cão à qual ηs é uma variável aleatória,

para todo s 6 t. Vale ressaltar que Ft ´e uma filtra¸c˜ao, i.e., Ft⊂Ft+s ∀ t, s ∈ [0, ∞).

Desta forma, a medida5_:

P(ηt+s ∈

·

|Ft) t, s ∈ [0, ∞), (1.8)

é a lei da variável aleatória ηt+s, que toma valores em X, condicionada ao processo até o

instante t, (ηs)s6t.

Dizemos que um processo estoc´astico (ηt)t>0 ´e um processo de Markov se:

5_{Boas referˆ}_{encias, em portuguˆ}_{es, sobre Teoria da Medida no n´ıvel que iremos tratar nesta disserta¸}_c˜_{ao s˜}_ao (4), (9) e (10). Outras referências úteis são os livros de análise de Walter Rudin, (16) e (15) que devem ser o suficiente para o leitor menos experiente entender não somente o conteúdo dos livros de medida, como também de análise funcional que serão usados nesta disserta¸cão.

(22)

P{ηt+s ∈

·

|Ft} = P{ηt+s ∈

·

|ηt}, ∀ s, t > 0, q. c.. (1.9)

Com isso, podemos definir a probabilidade de transi¸c˜ao de um processo de Markov homogˆeneo da seguinte forma:

P (s, η, Γ) := P{ηt+s ∈ Γ| ηt= η}, ∀ t, s > 0, Γ ∈ B(X) (1.10)

a menos de um conjunto de medida zero. Um processo de Markov não homogêneo no tempo é tal que a probabilidade de transi¸cão também depende do instante t do qual se parte da configura¸cão inicial ηt. Ao longo desta disserta¸cão iremos tratar de processos de Markov

homogêneos no tempo, de forma que quando estivermos tratarmos de processos de Markov,se não for dito o contrário, deve-se assumir que o processo é homogêneo no tempo.

Para definir o espa¸co C(X), vamos introduzir uma nota¸c˜ao. Vamos dizer que limη→∞f (η) = 0 se para qualquer s´ıtio i ∈ Z (ou [−n, n]) se tiver que limη(i)→∞f (η) = 0.

Informalmente isso significa dizer que se alguma das componentes vai a infinito, ent˜ao f vai a zero.

Desta forma, podemos definir trˆes espa¸cos : Cb(X) = {f : X → R\ cont´ınua, limitada} e

C(X) o subespa¸co de Cb(X) tal que se f ∈ C(X), ent˜ao limη→∞f (η) = 0. O terceiro espa¸co

ser´a C1

c(X) como o conjunto das fun¸c˜oes continuamente diferenci´aveis com suporte compacto

em X .

Uma vez definidas as classes de fun¸cões f em que estamos interessados, pode-se introduzir o conceito de fun¸cão de transi¸cão. Se a configura¸cão inicial de um processo tem distribui¸cão Delta de Dirac na configura¸cão η, δη, tem-se que:

E[f (ηt)|η0 = η] = Z X f (y)P{ηt ∈ dy|η} = Z X f (y)P (t, η, dy) (1.11)

Pode-se escrever E[f (ηt)|η0 = η] de forma sucinta como P (t, η, f ) ou Eη[f (ηt)|].

Uma vez que estamos tratando de processos de Markov homogêneos no tempo, iremos definir fun¸cões de transi¸cão homogêneas no tempo.

Defini¸cão 2. Uma fun¸cão P (t, η, Γ) definida em [0, ∞) × X × B(X) é uma fun¸cão de transi¸cão homogênea no tempo se:

1. P (t, η,

·

) ∈P(X), (t, η) ∈ [0, ∞) × X. 2. P (0, η,

·

) = δη(

·

), η ∈ X.

(23)

4. P (s + t, η, Γ) = R P (s, y, Γ)P (t, η, dy), _{s, t > 0, x ∈ X, Γ ∈ B(X).}

ondeP(X) é o conjunto das medidas de probabilidade em B(X) e B([0, ∞)×X) é o conjunto das fun¸cões reais, B([0, ∞)) ⊗ B(X) mensuráveis limitadas.

A propriedade do item 4 da Defini¸cão 2 é conhecida como equa¸cão de Chapman-Kolmogorov.

A probabilidade P (ηt1 ∈ Γ1, ηt2 ∈ Γ2, . . . , ηtn ∈ Γn|η) Γi ∈B(X), i = {1, · · · n}, 0 6 t1 6

· · · 6 tn< ∞, que determina a proje¸c˜ao finito dimensional de um processo de Markov (ηt)t>0

sobre os instantes t1, . . . , tn, ´e calculada da seguinte forma:

P (ηt1 ∈ Γ1, ηt2 ∈ Γ2, . . . , ηtn ∈ Γn|η) = = Z Γ1 . . . Z Γn−1 P (tn− tn−1, yn−1, Γn)P (tn−1− tn−2, yn−2, dyn−1) . . . P (t1, y0, dy1). (1.12)

A Defini¸c˜ao 2 ´e importante devido ao seguinte teorema:

Teorema 4. Seja P (t, η, Γ) uma fun¸cão de transi¸cão homogênea no tempo (ver Defini¸cão 2). Então existe um processo de Markov (ηt)t>0 em X cujas proje¸cões finito dimensional nos

pontos 0 < t1 < · · · < tn< ∞ ficam unicamente determinada pela equa¸c˜ao (1.12), ∀n > 1.

A demonstra¸c˜ao do Teorema 4 pode ser encontrada em (6) (Teorema 4.1.1) uma vez que X ⊂ RZd _{seja completo e separ´}_{avel. Os espa¸cos de estados X que ser˜}_{ao utilizados}

nesta disserta¸c˜ao s˜_{ao fechados em R}Zd_{, e portanto completos. Como R}

+ possui uma base

enumerável de abertos e o produto cartesiano de espa¸cos separáveis é separável, podemos, portanto, dizer que RZd _´_{e separ´}_avel.

Para uma proje¸c˜ao em particular, como a de (1.12), com tn− tn−1= ∆t ∀ n, definimos

o objeto P?, onde P? = P₁? e P_i?´e tal que P_m−n? f (ηtm) = E [f (ηtm)|Fn) para toda f ∈ C(X).

Desta forma, P? representa a matriz de transi¸c˜ao para a cadeia de Markov originada da proje¸c˜ao de (ηt)t>0 em 0 6 t1 6 · · · 6 tn< ∞ i = {1, · · · n}.

Ao longo desta disserta¸cão estaremos interessados em trabalhar com a hipótese de que a distribui¸cão da “condi¸cão inicial”não seja conhecida, ou seja, não tenha distribui¸cão δη.

Por exemplo, poderemos estar interessados em saber se determinado processo tem medida invariante ν. Neste caso, teria de ser verdade que:

ν(Γ) = Z

(24)

1.4 Semigrupo de Feller

Além da forma clássica de se construir processos de Markov, descrita na se¸cão anterior é poss´ıvel fazê-lo através dos geradores de semigrupos. Da equa¸cão (1.11), vemos que um dos objetos que estamos interessados em estudar ´_{e E}η[f (ηt)] e uma forma de se analisar

este objeto ´e exatamente atrav´es de um semigrupo em f . Assim, estamos interessados em construir um semigrupo de forma que:

P (t, η, f ) = S(t)f (η). (1.14)

Com o intuito de deixar clara a nomenclatura, vamos definir semigrupos e algumas classes de semigrupos que serão necessários para este trabalho, particularmente definindo semigrupo de Feller. Além disso, vamos enunciar o Teorema 7, que estabelece a rela¸cão entre semigrupos de Feller e processos de Markov.

Uma vez definidos os espa¸cos Cb(X), C(X) e Cc1(X), precisamos definir uma norma

nestes espa¸cos: ||f || = sup_η∈X|f (η)| . Al´em disso, precisamos tamb´em definir uma norma para operadores lineares. Definimos a norma do operador linear T , agindo sobre um espa¸co funcional E, como:

|||T ||| = sup

f ∈E ||f ||61

||T f ||. (1.15)

Assim, temos que um operador ´e limitado quando esta norma ´e finita. Vale notar que neste caso |||T ||| = sup f ∈E f 6=0 ||T f || ||f || . (1.16)

Nos casos que iremos estudar, podemos ter E igual a C(X), C_c1(X) ou Cb(X), dependendo

do dom´ınio do operador em questão. Caso o leitor julgue necessário, uma boa referência sobre análise funcional é (2).

Uma forma de se definir um operador integral é através do seu núcleo, como se pode ver na seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 3. Um operador linear T : E → E, onde E é um espa¸co de fun¸cões em X, é dito um operador integral se existe uma fun¸cão K (B(X) × B(X))-mensurável e duas medidas µ e υ em B(X), tal que para toda f ∈ E, s → K(s, t)f(s) é µ integrável em υ-q.t.p t ∈ X e

(25)

t →R |K(s, t)f (s)|dµ(s) ∈ E e T f (t) =

Z

X

K(s, t)f (s)dµ(s) υ-q.t.p. . (1.17)

Com estes elementos podemos definir operadores compactos:

Defini¸c˜ao 4. Um operador linear T : Cb(X) → Cb(X) ´e dito compacto se para todo conjunto

B aberto em Cb(X) tivermos que T B ⊂ Cb(X) seja relativamente compacto (ie, T B ´e

compacto).

Neste ponto, tomando µ e υ como a medida de Lebesgue, ´e interessante ressaltar o seguinte teorema:

Teorema 5. Se o n´ucleo de um operador integral for tal que

Z X Z X |K(x, y)|2 dxdy 6 ∞, (1.18)

então se diz que ele é um núcleo de uma transformada de Hilbert-Schmidt. Neste caso, o operador integral T é compacto.

Este teorema pode ser encontrado em (13) como o teorema 8.83. Iremos denotar por `2_{([0, ∞), dλ) o conjunto das fun¸c˜}_{oes de [0, ∞) quadrado-integr´}_{aveis com rela¸c˜}_{ao a medida}

de Lebesgue λ, para poder enunciar o seguinte teorema sobre operadores integrais que ser´a ´

util para esta disserta¸c˜ao:

Teorema 6. Suponha que T com dom´ınio em `2([0, ∞), λ) seja um operador integral com n´ucleo K, (B(X) × B(X)) mensur´avel satisfazendo:

1. Alguma potˆencia de T ´e compacta,

2. K(s, t) > 0 (µ × µ)-q.t.p..

Ent˜ao, o raio espectral do operador T , r(T ) > 0 e ρ = r(T ) ´e um autovalor de T com uma ´

unica autofun¸c˜ao normalizada ψ tal que ψ(s) > 0, ∀s ∈B(X).

Este teorema pode ser encontrado como Teorema 6.6 em (17), considerando que o item 2 daquele teorema ´e garantido pelo fato que K(s, t) > 0 (µ × µ)-q.t.p..

Uma autofun¸cão ψ é dita fun¸cão normalizada, seR

Xψ

2_{dλ = 1. Desta forma, se r(T ) > 0,}

podemos garantir que existe um autovalor ρ = r(T ) e uma autofun¸c˜ao normaliz´avel associada a este autovalor.

(26)

Al´em disso, para toda f ∈ `2_{([0, ∞), λ) existe M < ∞ tal que} R∞

0 f

2_{dλ = M , em}

particular se f ´e autofun¸c˜ao. Assim, fazendo ψ = √f M: hψ, ψiλ = Z ∞ 0 ψ(x)ψ(x)d(x) = Z ∞ 0 f (x) √ M f (x) √ Md(x) = 1 M Z ∞ 0 f2(x)d(x) = 1. (1.19)

Desta forma, se T ´e um operador integral, como na Defini¸c˜ao 3, podemos escrever:

T ψ(x) = Z

K(x, y)ψ(y)dy = ρψ(x) x q.t.p λ. (1.20)

A seguir ser´a vista a defini¸c˜ao formal de um semigrupo:

Defini¸c˜ao 5. Uma fam´ılia de operadores lineares {S(t)}t>0 em Cb(X) ´e dito semigrupo se:

1) S(0) = I

2) S(s + t) = S(s)S(t) _{∀ s, t > 0.}

Vale ressaltar defini¸c˜oes importantes para a disserta¸c˜ao sobre semigrupos:

Se ∀ f ∈ Cb(X), tivermos limt→0S(t)f = f , dizemos que {S(t)}t>0 ´e fortemente

cont´ınuo.

Dizemos que um semigrupo {S(t)}t>0 ´e positivo se S(t) ´e um operador positivo para

todo t ∈ [0, ∞). Um operador S(t) ´_{e dito positivo se ∀f > 0 ⇒ S(t)f > 0.}

Dizemos que um semigrupo ´e de contra¸c˜ao se, para todo t em [0, ∞), tem-se que |||T (t)||| 6 1.

Al´em destes, iremos agora definir semigrupo conservativo:

Defini¸cão 6. Um semigrupo (S(t))_t>0 em Cb(X) é dito conservativo se, para toda sequência

fn → 1 em Cb(X), implicar que S(t)fn → 1 ∀t ∈ [0, ∞) e S(t)1 = 1, onde 1 ´e a fun¸c˜ao

constante igual a um.

Outras defini¸cões e teoremas que tratam de Fecho e Core e que serão utilizados podem ser encontrados no Apêndice A desta disserta¸cão. Entretanto, as defini¸cões que já apresentadas até o momento no corpo da dissert¸cão são suficientes para introduzir o conceito de semigrupo de Feller:

Defini¸cão 7. Um semigrupo positivo conservativo fortemente cont´ınuo e de contra¸cão em C(X) é dito um semigrupo de Feller.

Desta forma, podemos enunciar um importante teorema, que relaciona semigrupos de Feller e processos de Markov:

(27)

Teorema 7. Seja {S(t)}_t>0 um semigrupo de Feller em C(X). Então, existe um processo de Markov (η)_t>0 com respeito à filtra¸cão Ft+ =

T

>0Ft+ que corresponde a {S(t)}t>0 com

trajetórias cont´ınuas à direita com limite à esquerda em Ω.

A demonstra¸c˜ao deste teorema pode ser encontrada em Ethier e Kurtz (6) como Teorema 4.2.7.

A fun¸cão de probabilidade de transi¸cão do processo de Markov que corresponde a (S(t))_t>0 com dom´ınio em C(X) é tal que satisfaz a seguinte rela¸cão:

S(t)f (η) = Z

X

f (y)P (t, η, dy) (1.21)

para f ∈ C(X), η ∈ X.

Um fato importante sobre os processos de Markov, resultante do Teorema 7, ´e o dado pela Proposi¸c˜ao 1 a seguir. Definimos tamb´_{em (η + t) de forma que (η + t)(i) = η(i) + t ∀i ∈ Z} se X = RZ

+ e analogamente para X = R [−n,n]

+ .

Assim, precisamos definir o espa¸co m´etrico (Xn, d). Se η, η0 ∈ Xn = R [−n,n]

+ , podemos

definir a distˆancia neste espa¸co como sendo d(η, η0) = P

i∈[−n,n] 1

2i|η(i)−η

0_{(i)|. Analogamente,}

podemos definir a m´_{etrica produto para X ⊂ R}Z

+ como d(η, η 0_{) =} P i∈Z 1 2i|η(i) − η 0_{(i)| para} η, η0 _{∈ X ⊂ R}Z +(Ver (12, p. 147)).

Proposi¸c˜ao 1. Seja X um espa¸_{co de Borel em R}Z _{e seja {S(t)}}

t>0 um semigrupo de Feller

em C(X). Seja P (t, η, Γ) fun¸c˜ao de transic˜ao para {S(t)}t>0 e suponha que para todo η ∈ X,

> 0 e

lim

t→0t −1

P (t, η, B(η, )c) = 0. (1.22)

Então o processo de Markov associado a esta fun¸cão de transi¸cão ´_{e tal que P(η}t ∈ X) =

1 ∀t ∈ [0, ∞).

Esta proposi¸c˜ao pode ser encontrada como Proposi¸c˜ao 4.2.9 de (6).

Muitas vezes, no entanto, é mais conveniente come¸car estudando o gerador de um processo estocástico do que efetivamente seu semigrupo, como será feito na se¸cão 1.5.

1.5 Gerador de um semigrupo

Inicialmente iremos definir o gerador de um semigrupo em C(X).

Defini¸c˜ao 8. O gerador infinitesimal de um semigrupo {S(t)}_t>0 em C(X) ´e o operador L definido por:

Lf = lim

t→0

1

(28)

´

E interessante notar que este limite não está necessariamente definido para qualquer f ∈ C(X). Denotamos por D(L) o dom´ınio do gerador, no qual está definido o limite da equa¸cão (8).

Pela Defini¸c˜ao 8, podemos ver que:

Proposi¸cão 2. Se L é semigrupo de S(t) e f ∈D(L), então S(t)f = exp tLf.

Antes de verificar, ´e importante qualificar o que significa exp tLf . Usualmente define-se exp tLf da forma mais intuitiva:

exp tLf := ∞ X k=0 (tL)k k! f. (1.24)

Entretanto, esta defini¸cão não faz sentido quando L é não limitada. Com isso, definimos exp tLf da seguinte maneira:

exp tLf := lim n→∞ I − t nL −n f. (1.25)

onde I ´e o operador identidade.

Portanto, para verificarmos a Proposi¸cão 2, primeiramente note que _dtd [S(t)] = LS(t), pois: d dt[S(t)] f = lims→0 1 s{S(t + s)f − S(t)f } = S(t) lims→0 1 s{S(s)f − f } = S(t)L. (1.26) Assim, a solu¸cão da equacão diferencial é tal que:

d

dt [S(t)] = d

dt[exp Lt] = L exp tLf. (1.27) Assim como foi feito com o semigrupo, estamos interessados em definir um gerador conservativo:

Defini¸c˜ao 9. Um gerador L ´e dito conservativo se ∀fn ∈D(L), tal que fn → 1 limitada e

pontualmente6_{, ent˜}_{ao lim}

n→∞Lfn(η) = 0 ∀ η ∈ X.

Vale ressaltar que se L é o gerador de um semigrupo (S(t))_t>0 fortemente cont´ınuo e (S(t))_t>0 é conservativo, então L é conservativo. Se (S(t))_t>0 é conservativo e (fn)n>0 ∈

C(X) é uma sequência tal que fn → 1 limitada e pontualmente, então limn→∞S(t)fn = 6_Convergˆ_{encia pontual e limitada significa que as fun¸}_c˜_{oes f}

n ∈D(L) são tais que supn||fn||sup< ∞ e a convergência é pontual

(29)

1. Desta forma, aplicando a defini¸c˜ao de gerador, temos que limt→0limk→∞ S(t)fk −fk t = limt→0limk→∞S(t)fk −limk→∞fk t = 0 (Ver Defini¸c˜ao 6).

Para poder enunciar o Teorema 8, o Teorema de Hille-Yosida, que ser´a importante para estudar semigrupos de Feller, precisaremos definir um operador dissipativo. Entretanto, antes disto vale definir o princ´ıpio do m´aximo relativo. Se

∀f ∈D(L), sup

η∈X

f (η) = f (˜_{η) > 0,} (1.28) implica que Lf (˜_{η) 6 0, ent˜ao se diz que L satisfaz o princ´ıpio do m´aximo relativo.}

Vale dizer que, um operador linear L em C(X) ´e dito dissipativo se existe λ > 0 tal que ||λf − Lf || > λ||f|| ∀f ∈ D(L). Entretanto, iremos utilizar a seguinte proposi¸c˜ao sobre operadores lineares dissipativos:

Proposi¸c˜ao 3. Um operador linear L em C1

c(X), com X ⊂ RZ, satisfazendo o princ´ıpio do

m´aximo relativo ´e dissipativo.

Esta proposi¸cão é importante para que se possa enunciar o Teorema de Hille-Yosida em termos do princ´ıpio do máximo relativo e não, como em sua forma clássica, para operadores dissipativos.

1.6 Teorema de Hille-Yosida e perturba¸

c˜

ao

O teorema de Hille-Yosida é um teorema fundamental para o estudo de semigrupos de Feller. Através dele é poss´ıvel relacionar uma classe de geradores aos seus semigrupos de Feller. Com isso, uma vez conhecido o gerador de um semigrupo de Feller, pelo Teorema 7, é poss´ıvel relacioná-lo a um processo de Markov. Nesta se¸cão iremos enunciar este teorema. Para que se possa entender o enunciado deste teorema, é necessário conhecer quatro conceitos: o de gerador fechado, o de fecho, o de gerador fechável e o de core. Caso o leitor não esteja familiarizado com estes conceitos, eles estão definidos no apêndice A.

Com isso, pode-se enunciar a seguinte vers˜ao do teorema de Hille-Yosida:

Teorema 8. (Hille-Yosida) Seja X ⊂ RZ_{. O fecho L de um operador linear L em C}1 c(X)

gera um semigrupo (S(t))_t>0 fortemente cont´ınuo, positivo e de contra¸c˜ao em C(X) se e somente se:

D(L) ´e denso em C(X).

(30)

R(λ − L) ´e denso em C(X) para algum λ > 0.

A demonstra¸cão do teorema acima pode ser encontrada em (6) (ver demonstra¸cão do teorema 2.2 na página 165).

1.6.1 Perturba¸

c˜

ao

Uma parte importante do processo de renova¸cão é que ele pode ser visto como um processo de crescimento determin´ıstico e que renova com uma taxa, que pode depender da configura¸cão de outros processos. Neste caso, chamaremos esses processos interagentes de processo de renova¸cão multidimensional, como descrito por Spitzer em (19). Desta forma, podemos estar interessados em construir o gerador do processo de renova¸cão como a agrega¸cão de um gerador que representa o crescimento determin´ıstico e outro responsável pelas renova¸cões. Para que possamos fazer isso, será necessário usar o seguinte teorema:

Teorema 9. Seja A um operador linear em C1

c(X) tal que A gera um semigrupo fortemente

cont´ınuo de contra¸c˜ao em C(X). Seja B um operador linear dissipativo em C(X) tal que D(B) ⊃ D(A). Se

kBf k 6 αkAfk + βkfk f ∈ D(A), (1.29) onde 0 6 α 6 1 e β > 0, ent˜ao A + B gera um semigrupo fortemente cont´ınuo de contra¸c˜ao em C1

c(X). Ademais A + B = A + B.

A demonstra¸c˜ao deste teorema pode ser encontrada em (6), como Teorema 1.7.1.

1.7 Processos estacion´

arios e Teorema de Orey

Evidentemente, para que fa¸ca sentido estudar a medida limite de um processo é importante que este limite seja estacionário, de forma que nesta se¸cão será definido de forma rigorosa o que este conceito significa. Além disso, o Teorema de Orey nos dirá as condi¸cões para que um processo de Markov convirja para sua única medida invariante. Assim, vamos come¸car definindo uma medida estacionária:

Defini¸cão 10. Uma medida de probabilidade µ em X é dita estacionária para um processo com semigrupo S(t) se µS(t) = µ para todo f ∈ Cb(X) ∀t > 0, ou seja,

Z

S(t)f dµ = Z

(31)

Assim como na se¸cão 1.5 mostramos a correspondência que existe entre um semigrupo e seu gerador, é natural perguntar se é poss´ıvel identificar se um gerador é o gerador de um semigrupo estacionário. O seguinte teorema traz a resposta afirmativa para semigrupos de Feller:

Teorema 10. Seja L o gerador de um semigrupo de Feller (S(t))_t> com D ⊂ C(X), D core para L. Uma medida de probabilidade µ ´e estacion´aria para este processo se e somente se

Z

Lf dµ = 0 ∀f ∈ D. (1.31) Demonstra¸cão. Se µ é estacionária, então seja f ∈D(L). Então,

Z Lf dµ = Z lim t→0 S(t)f − f t dµ = limt→0 R S(t)f dµ − R f dµ t = limt→0 R f dµ − R f dµ t = 0. (1.32)

Como D ´e core para L, podemos tomar D =D(L). Como S(t) ´e um semigrupo fortemente cont´ınuo temos que:

Z (S(t)f − f )dµ = Z Z t 0 LS(s)f ds dµ = Z t 0 Z LS(s)f dµ ds, (1.33) com a ´ultima igualdade garantida pelo teorema de Fubini.

Como S(t)f ∈ D(L), ent˜ao R LS(s)fdµ = 0. Assim, pela equa¸c˜ao (1.33), podemos garantir que:

Z

(S(t)f − f )dµ = 0. (1.34)

1.7.1 Teorema de Orey

Vamos denotar por {ηti}i=1,2,3... uma proje¸c˜ao de um processo estoc´astico (ηt)t>0. Com

isso, podemos definir um processo de Markov Harris-recorrente da seguinte maneira:

Defini¸c˜ao 11. A cadeia {ηti}i=1,2,3... ´e dita Harris recorrente se existe uma medida positiva,

σ-finita e invariante m para este processo tal que para todo A ⊂ B(X) tal que m(A) > 0 implica que: P ∞ X i=0 1(A)ηti = ∞ ! = 1, (1.35)

(32)

para qualquer configura¸c˜ao inicial η.

Tendo visto que processos de renova¸cão são Harris-recorrentes e aperiódicos, é útil enunciaremos o Teorema de Orey:

Teorema 11. (Orey) Seja {ηti}i=1,2,3... uma cadeia de Markov Harris-recorrente e aperi´odica

com distribui¸cão invariante µ com µ(X) = 1. Então, para qualquer medida de probabilidade υ B(X)-mensurável, temos que:

lim

n→∞||υP ?

(33)

Cap´ıtulo 2

Processo de renova¸

c˜

ao

multidimensional

2.1 Modelo finito dimensional de Spitzer

Neste cap´ıtulo vamos tratar do processo de renova¸c˜ao de Spitzer para o caso finito dimensional na reta.

Na primeira parte, da se¸cão 2.2 a 2.4, iremos mostrar como é poss´ıvel descrever um processo de renova¸cão multidimensional através de seu gerador e procurar uma medida invariante para o processo com o uso deste gerador, como feito por Spitzer em (19). Através destes elementos será poss´ıvel enunciar o teorema da renova¸cão de Spitzer, o que será feito na se¸cão 2.4.

Vale ressaltar que o processo descrito por Spitzer em (19) não é Feller. Desta forma, a segunda parte deste cap´ıtulo tem como objetivo mostrar como Andjel e Vares (1) encontraram uma forma de construir o processo de renova¸cão multidimensional de Spitzer como o limite de processos de Feller. Esta constru¸cão será mostrada na se¸cão 2.5.

Uma vez que mostramos a constru¸cão do processo de Feller que aproxima o processo de renova¸cão de Spitzer veremos, na se¸cão 2.6, que o limite desta aproxima¸cão gera um processo de Markov com o mesmo comportamento de um processo determinado por Ln. Na se¸cão 2.7

iremos mostrar que o processo de Markov construido na se¸cão 2.6 é ergódico.

2.2 Descri¸

c˜

ao atrav´

es do gerador

Nesta se¸cão vamos mostrar como Spitzer constrói o gerador do processo de renova¸cão através da descri¸cão de sua dinâmica. Para tanto, vamos olhar para a defini¸cão de gerador

(34)

de um processo e mostrar como podemos usar seu comportamento para derivá-lo. Esta descri¸cão é importante no intuito de passar do caso unidimensional para o multidimensional. Usando a rela¸cão dada pela equa¸cão (1.14) temos que:

Lf (η) = lim s↓0 S(s)f (η) − f (η) s = lims↓0 1 sEη[f (ηs) − f (η0)].

Desta forma, podemos escrever o modelo de renova¸cão de Spitzer a partir do caso geral acima. Como tomaremos o limite s → 0, se houver pelo menos uma renova¸cão no intervalo [0, s) teremos que ηs será aproximadamente zero - uma vez que se houver alguma renova¸cão

em [0, s) teremos ηs 6 s e, neste caso, ηs → 0 quando s → 0 - que ocorre com probabilidade

ϕ(η)s. Com probabilidade (1 − ϕ(η)s) não há nenhuma renova¸cão em [0, s). Assim temos que a aproxima¸cão linear para o gerador será tal que:

Eη[f (ηs)] ≈ (ϕ(η)s)(f (0)) + [1 − ϕ(η)s]f (η + s). (2.1)

Vale ressaltar que para que se possa falar em Eη, vamos sempre exigir que as vari´aveis

aleat´orias (Ti)_i∈Z, que formam o processo, como mostrado na se¸c˜ao 1.1 sejam independentes

e positivas, mas neste caso a taxa de renova¸cão não é mais constante, de forma que a não são mais identicamente distribu´ıdas. Com isso, tem-se que o gerador L1 para o processo de

renova¸c˜ao unidimensional da forma:

L1f (η) = lim s↓0 1 s[f (η + s) − f (η)][1 − ϕ(η)s] + lims↓0 1 sϕ(η)s[f (0) − f (η)], aplicando o limite s → 0 = ∂f (η) ∂η + ϕ(η) [f (0) − f (η)] . (2.2)

2.3 Medida invariante para o processo de Spitzer

Uma vez que conhecemos o gerador do processo de renova¸cão unidimensional dado pela equa¸cão (2.2) queremos conhecer a densidade da medida estacionária para o processo para diferentes fun¸cões de taxa ϕ. De fato, pelas condi¸cões do teorema 10, ter´ıamos que verificar que o semigrupo cujo gerador é L1 teria de ser Feller, o que não necessariamente é verdade,

para garantir a estacionaridade de determinada medida.

Sendo assim, podemos procurar medidas candidatas a estacionárias lembrando que uma medida µ em P(X) é estacionária somente se:

(35)

Z

Lf dµ = 0. (2.3)

Quando µ for uma medida absolutamente cont´ınua com rela¸cão à medida de Lebesgue podemos escrevê-la como

Z

X

Lf (η)h(η)dη = 0, (2.4) onde h ´e a densidade da medida µ.

Desta forma, assim como feito por Spitzer (19), temos que se a condi¸cão da equa¸cão (2.4) for satisfeita µ será uma medida candidata a medida invariante para o semigrupo cujo gerador é L.

Esta expressão leva ao corolário da renova¸cão de Spitzer1 _{unidimensional:}

Corolário 1. (Corolário da Renova¸cão de Spitzer):Seja um processo de renova¸cão com configura¸c˜_{ao η ∈ R}+ com taxa de renova¸cão ϕ(η) e se exp(−

Rη

0 ϕ(s)ds) for integr´avel em

R+. Ent˜ao a densidade h da medida µ tal que R L1f dµ = 0 ´e dada por:

h(η) = Z−1exp(−Rη

0 ϕ(s)ds) η ∈ R+.

onde Z−1 ´e uma constante de normaliza¸c˜ao.

Apesar de ser apenas um corolário, iremos colocar a demonstra¸cão abaixo no sentido de facilitar a explica¸cão do papel do potencial ψ na demonstra¸cão do Teorema 12. Um dos passos na demonstra¸c˜_{ao do caso com somente uma componente (η ∈ R}+) é a utiliza¸cão do teorema

fundamental do c´_{alculo. Quando estivermos no caso multidimensional finito (η ∈ R}n₊), vamos querer ter uma propriedade análoga - como será visto na subse¸cão 2.4 - que será o uso da restri¸cão que a taxa seja o gradiente de um potencial.

Demonstra¸c˜ao. Z L1f dµ = Z h(η)∂f ∂ηdη + Z h(η)ϕ(η) [f (0) − f (η)] dη. (2.5)

Fazendo a integra¸cão por partes do primeiro termo à direita na equa¸cão (2.5) chega-se a:

Z ∞ 0 h(η)∂f ∂ηdη = t→∞lim h(t)f (t) − h(0)f (0) − Z ∞ 0 f (η)∂h ∂ηdη. (2.6)

(36)

Como limt→∞h(t)f (t) = 0, pois f (t) ´e limitado por hip´otese, limt→∞h(t) = 0 por ser uma

densidade mon´otona n˜ao crescente, como ϕ(

·

_{) > 0 e usando a hip´otese que} ∂h_∂η = −ϕh chega-se a: Z ∞ 0 h(η)∂f ∂ηdη = −h(0)f (0) + Z ∞ 0 h(η)ϕ(η)f (0)dη. (2.7)

Para mostrar que R L1f dµ = 0 basta mostrar que h(0)f (0) =

R∞

0 f (0)h(η)ϕ(η)dη.

Novamente usando o fato que ∂h(η)_∂η = −ϕh temos que:

Z ∞ 0 f (0)h(η)ϕ(η)dη = − Z ∞ 0 f (0) [−ϕ(η)h(η)] dη = − lim t→∞h(t)f (0) + h(0)f (0) = h(0)f (0). (2.8) Assim, Z L1f dµ = −h(0)f (0) + Z ∞ 0 h(η)ϕ(η)f (0)dη = −h(0)f (0) + h(0)f (0) = 0.

Uma vez que conhecemos uma medida candidata à invariante para o processo de renova¸cão unidimensional, vamos definir um processo de renova¸cão multidimensional, no qual em cada coordenada a taxa de renova¸cão ϕi depende da idade de outros processos.

Em (19), Spitzer mostra uma forma para que a taxa do processo satisfa¸ca as condi¸cões do Teorema 10. De fato, a forma apresentada por ele mostrada não é necessariamente um processo de Feller. Entretanto, na se¸cão 2.5 tem-se que apesar destes processos não serem Feller, é poss´ıvel aproximá-los por processos Feller no caso particular que será apresentado na se¸cão 2.4.1, no qual ϕi é dada pela idade média dos vizinhos do processo i mais uma

constante c.

2.4 Teorema da Renova¸

c˜

ao de Spitzer

Nesta subse¸cão será discutido o Teorema da Renova¸cão de Spitzer.

Inicialmente, queremos deixar claro qual o processo com o qual estamos lidando. Ao inv´es do processo de renova¸c˜_{ao estar definido em R}+, ele est´a defindo em Rn+. Um processo

multidimensional neste contexto significa que a taxa com que um s´ıtio i ∈ {1, . . . , n} renova depende da configura¸cão do processo como um todo, naquele momento. Ou seja, a taxa de renova¸cão do processo no s´ıtio i com configura¸cão ηt no instante t será uma fun¸cão desta

(37)

configura¸c˜ao ηt(ie, depende da fun¸c˜ao ηt→ ϕi(ηt)). Seria poss´ıvel pensar em um processo no

qual a taxa de renova¸c˜ao no s´ıtio i no instante t, ϕi(ηt), dependa somente da idade do s´ıtio i no

instante t (ou seja, de ηt(i)). No entanto, isso n˜ao seria de fato um processo multidimensional

interessante, mas sim a agrega¸c˜ao de n processos unidimensionais independentes. Portanto queremos tratar de um processo no qual ϕi dependa de mais do que um s´ıtio. Um exemplo de

forma como isso pode acontecer é o da se¸cão 2.4.1, no qual a taxa ϕi(ηt) será dada pela média

da idade dos processos vizinhos mais uma constante c, de forma que ϕi(ηt) = c+ηt(i−1)+η₂ t(i+1).

Teorema 12. (Teorema da Renova¸cão de Spitzer): Se a taxa de renova¸cão ϕ é tal que

ϕ(η) = grad ψ(η) η ∈ Rn +,

se exp(−ψ) ´e integr´_{avel em R}n₊ e h a densidade da medida µ ´e tal que

h(η) = Z−1e−ψ(η) = Z−1exp(−Rηi

0 . . .

Rηn

0 ϕ(s1, . . . , sn)ds1. . . dsn) ηi ∈ R+,

Então R Lnf dµ = 0, para f fun¸cão escalar e onde Z−1 é uma constante de normaliza¸cão.

Note que, por ψ ser um potencial, para qualquer caminho γ : [a, b] → Ω teremos que R

X∇ψdx =

R

Xϕdx = ψ(γ(b)) − ψ(γ(a)). Como para o caso unidimensional, basta que f seja

cont´ınua e ψ uma primitiva para ϕ para que se tenhaR_abϕ(x)dx =R_ab ∂ψ(x)_x dx, então o que o que se busca utilizando o potencial é preservar no caso multidimensional esta caracter´ıstica da primitiva¸cão unidimensional. Por ser um potencial, há a garantia de que ϕi(η) esteja bem

definido e, de fato, Diψ(η) = ϕi(η), Di ´e o operador diferencial na i-´esima coordenada.

Spitzer em (19) faz a demonstra¸c˜ao para o caso n = 2, e mostra claramente os pontos principais da demonstra¸c˜_{ao. O argumento estende-se para qualquer n > 2 (Veja apˆendice} B).

2.4.1 Infinitos componentes interagindo

Spitzer (19) discute como um exemplo o seguinte caso particular de intera¸cão entre infinitos componentes, com fronteira zero ou peri´ıdica, no qual a taxa de renova¸cão da k-ésima componente é dada por:

ϕk(η) = c +

η(k − 1) + η(k + 1)

2 . (2.9)

Podemos notar que se houver finitos componentes interagindo,n, i.e. estivermos utilizando fronteira zero para o processo, de forma que a taxa ϕ(η) ser´a o gradiente para o seguinte potencial:

(38)

ψ(η) = c n X i=1 η(i) + 1 2 n−1 X i=1 η(i)η(i + 1). (2.10)

Assim, note que como ϕ é o gradiente do potencial ψ e, portanto, quando n é finito se enquadra nas hipóteses do Teorema 12. Entretanto, Spitzer quer estudar o caso infinito dimensional, fazendo com que n → ∞. Apesar de Spitzer (19) propor uma demonstra¸cão baseada na utiliza¸cão de fronteiras periódicas, esta não é a extensão feita por Andjel e Vares (1), que, como veremos na se¸cão 3.1, utiliza outra abordagem conhecida como fronteira zero.

2.5 Aproxima¸

c˜

ao finito dimensional

No teorema 10, é necessário que o semigrupo cujo gerador é L seja Feller para que para que a condi¸cão da equa¸cão (1.31) seja suficiente para dizer que µ seja estacionária.

Nesta se¸cão vamos mostrar como o método usado por Andjel e Vares (1) foi utilizado para fazer a aproxima¸cão do processo com gerador Ln - dado pela equa¸cão (2.11), que será

enunciada - por um processo de Feller com gerador Ln,k dado na equa¸c˜ao (2.16), ao qual se

pode aplicar o teorema de Hille-Yosida e o teorema 10 para garantir sua estacionariedade e depois passar ao processo limite, correspondente a Ln.

Neste caso, o gerador de um processo de renova¸c˜ao multidimensional com espa¸co de estados Xn= R [−n,n] + ´e dado por: Lnf (η) = n X i=−n ∂ ∂η(i)f (η) + n X i=−n ϕi(η)(f (ηi) − f (η)), (2.11)

onde η ´e uma configura¸c˜ao inicial η ∈ Xn⊂ R [−n,n]

+ , ϕi(η) ´e a taxa com a qual a componente

no s´ıtio i renova, para configura¸c˜ao η e

ηi = (

ηi(x) = η(x) se x 6= i

ηi(x) = 0 se i = x. (2.12)

Como neste caso estamos trabalhando com fronteira zero, definimos η(−n−1)−η(n+1) = 0. Se estiv´essemos tratando de um processo com fronteira peri´odica definir´ıamos η(−n − 1) = η(n) e η(n + 1) = η(−n).

O processo de Markov determinado por Ln em C(X) n˜ao define um semigrupo em C(X),

i.e. η → P (t, η, f ) não pertence a C(X) mesmo se f ∈ C(X). Ademais, para o semigrupo associado a Ln e definido em Cb(X) vemos, também facilmente, que não é fortemente

(39)

cont´ınuo, ou seja, para f ∈ Cb(X) n˜ao vale necessariamente a convergˆencia uniforme de

Eηf (ηt) → f (η) quando t → 0. Para isto, vamos olhar o seguinte exemplo, tomando n = 1:

Inicialmente note para um processo em X1 e uma sequˆencia de configura¸c˜oes iniciais ηk

de forma que ηk(−1) = ηk(1) = k e ηk(0) = 7. Al´em disso, podemos escolher f ∈ Cb(X) tal

que: f (η) =      η(0) se _{η(0) 6 4} (8 − η(0)) se 4 < η(0) < 8 0 se _{η(0) > 8.} (2.13)

Estamos interessados em mostrar que existe uma sequˆencia de instantes tk que converge

a zero tal que

lim

k→∞|Eηf (η k

tk) − f (η

k_{)| 6= 0.} _(2.14)

Para isso, ´e importante notarmos que os s´ıtios +1 e −1 tˆem como vizinhos somente o s´ıtio 0 de forma que:

ϕ−1(ηtkk) 6 c + ηk(0) + tk 2 e ϕ1(η k tk) 6 c + ηk(0) + tk 2 ∀t > 0. (2.15)

Como ηk_{(0) ´}_{e constante em k, a taxa de renova¸c˜}_{ao nos s´ıtios η}k_{(−1), η}k_{(1) e no seus}

limites quando k → ∞ é limitada de forma que as probabilidades de renova¸cão nos s´ıtios −1 e 1 até o instante tk convergem a zero quando tk vai a zero.

A probabilidade de ηk

·

renovar at´e o instante tk no s´ıtio 0, por sua vez, vai a um quando

k → ∞. Com isso, limk→∞Eηf (ηktk) = 0. Assim, teremos que como limk→∞f (η

k_{) = 1, assim}

limk→∞|Eηf (ηktk) − f (η

k_{)| > 0.}

Para que se possa posteriormente associar o gerador Ln a um processo de Markov, atrav´es

do Teorema 7, aproxima-se o processo governado por Ln por outro Ln,k, este sim o gerador

de um semigrupo de Feller. Dessa forma, para f ∈ C1

c(X) podemos definir o seguinte gerador:

Ln,kf (η) = n X i=−n ∂ ∂η(i)f (η) + gk n X i=−n η(i) ! _n X i=−n ϕi(η)(f (ηi) − f (η)), (2.16) tal que

(40)

g(k)(t) =      1 se _{t 6 k} 2 − _kt se k < t < 2k 0 se _{t > 2k,} (2.17)

no qual as renova¸c˜oes s˜ao controladas.

O teorema a seguir diz que o gerador Ln,k, no qual limitam-se as taxas de renova¸c˜oes, ´e,

de fato, o gerador de um semigrupo de Feller.

Teorema 13. O fecho de Ln,k em C(Xn) gera um semigrupo de Feller Sn,k(t) em C(Xn).

Ademais, existe um processo de Markov associado e sua fun¸cão de probabilidade de transi¸cão é Pn,k(t, η,

·

).

A demonstra¸cão deste Teorema pode ser encontrada no apêndice C. Vale notar que o processo de Markov com fun¸cão de transi¸cão Pn,k(t, η,

·

) n˜ao ´e o descrito por Spitzer. A

estratégia que será adotada é a de mostrar que quando k → ∞ teremos um processo de Markov que terá a mesma dinâmica do processo do gerador Ln descrito na equa¸cão (2.11).

Além disso, somente na demonstra¸cão do Teorema 13 serão usados os Teoremas 7 e 8, forma esta que poderia ser considerada a canônica de se relacionar um gerador, de um semigrupo de Feller, com um processo de Markov. Ocorre, no entanto, que somente o gerador Ln,ké o gerador de um semigrupo de Feller de forma que se pode usar os Teoremas de

Hille-Yosida e o 7 para construir sua fun¸cão de transi¸cão. Para construir o processo com fun¸cão de transi¸cão Pn(t, η,

·

) será feita uma aproxima¸cão pelo processo com fun¸cão de transi¸cão

Pn,k(t, η,

·

). Esse por sua vez servir´a para construir o processo com volume infinito e fun¸c˜ao

de transi¸c˜ao P (t, η,

·

). Assim somente Pn,k(t, η,

·

) ser´a constru´ıda utilizando o Teorema de

Hille-Yosida e o Teorema 7.

2.6 Constru¸

c˜

ao do Processo de Spitzer

Na se¸cão 2.5 vimos que o processo de Markov determinado por Ln não é Feller. Desta

forma, foi definido outro processo com gerador Ln,k que ´e Feller. Nesta se¸c˜ao, mostraremos

que ao fazer k tender a infinito teremos um processo de Markov com gerador Ln.

Assim sendo, inicialmente se construirá uma probabilidade de transi¸cão como o limite das probabilidades de transi¸cão geradas por semigrupos de Feller e, então, verificaremos, usando o Teorema 4, que esta fun¸cão de transi¸cão limite é, de fato, uma fun¸cão de transi¸cão para um processo de Markov.

(41)

A ideia por tr´as dos Lemas 1 e 2 ´e mostrar que o comportamento de quaisquer dois processos com geradores Ln,k e Ln,l para k e l suficientemente grandes coincidem de forma

que este ´e o comportamento do processo limite associado a ´e Ln.

Lema 1. Sejam η, ξ ∈ Xn. Ent˜ao, ´e poss´ıvel construir um processo de Markov ¯Pn,k(

·

,

·

,

·

)

tal que: ¯Pn,k(t, (η, ξ), Γ × Xn) = Pn,k(t, η, Γ) ∀t > 0, η, ξ ∈ Xn e Γ ∈B(Xn) ¯Pn,k(t, (η, ξ), Xn× Γ) = ¯ Pn,k(t, (η, ξ), Xn× Γ) = ( 1 se ξ + t ∈ Γ

0 caso contr´ario (2.18)

∀t > 0, η, ξ ∈ Xn e Γ ∈B(Xn).

Se A = {(η, ξ) : η 6 ξ}, ent˜ao ¯

Pn,k(t, (η, ξ), A) = 1 ∀ t > 0 η, ξ ∈ X, (2.19)

tal que η 6 ξ.

Será adotada a seguinte nomenclatura, análoga àquela adotada na demonstra¸cão do Teorema 13: ¯ Ln,k = A¯n+ ¯Bn,k (2.20) ¯ Anf = n X i=−n ∂f ∂η(i) + ∂f ∂ξ(i) (2.21) ¯ Bn,kf = gk n X i=−n η(i) ! _n X i=−n ϕi(η)(f (ηi, ξ) − f (η, ξ)), (2.22)

com a fun¸cão gk dada pela equa¸cão 2.18. A demonstra¸cão deste lema se encontra no apêndice

D. Dele decorre imediatamente que Pn,k(t, η, Kη+t) = 1.

Para que possamos mostrar a convergˆencia de Pn,k(t, η,

·

) para uma medida de

probabilidade quando k → ∞ e, assim, poder mostrar que esta medida limite é de fato uma fun¸cão de transi¸cão para um processo de Markov, será necessário provar o seguinte lema:

Lema 2. Pn,k(t, η, Γ) = Pn,l(t, η, Γ) para todo Γ ∈B(Xn) e para todo η e t tal que ||η + t|| 6

(42)

Antes de provar este lema, ´e importante lembrar que se uma sequˆencia de medidas de probabilidade νnemP(X) for r´ıgida, no sentido que para todo existe um conjunto compacto

K tal que νn(K) > 1 − ∀ n, ent˜ao ela ´e (sequencialmente) relativamente compacta:

qualquer subsequencia possui uma posterior subsequˆencia convergente a uma medida de probabilidade. (Ver teorema 25.10 de (3)).

Demonstra¸cão. Pelo Teorema 13, Sn,k(t)f (η) = Pn,k(t, η, f ), onde Pn,k(t, η, ·) é fun¸cão de

probabilidade de transi¸c˜ao de um processo de Markov.

Usando a linearidade da integral, o lema 1 e o fato que Sn,k ´e fortemente cont´ınuo e, por

isso, Sn,k(t)f − f = Rt 0Ln,kSn,kf ds, assim como Sn,k(t)f − Sn,l(t)f = Z t 0 [An+ Bn,k] Sn,k(s)f ds − Z t 0 [An+ Bn,l] Sn,lf ds, (2.23) chega-se a: Sn,k(t)f − Sn,l(t)f = Z t 0 Sn,k(s) [An+ Bn,k− An− Bn,l] Sn,lf ds (2.24)

Pelo Lema 1, o processo é tal que até o tempo t com probabilidade 1 ele estará em Kη+t.

Sendo assim, escolhendo k e l tais que ||η + t|| 6 min{k, l} não haverá restri¸cões em nenhum dos dois processos até o tempo t. Com isso Bn,k = Bn,l.

Desta forma, temos que:

Sn,k(t)f − Sn,l(t)f = Z t 0 Sn,k(s) [An+ Bn,k− An− Bn,l] Sn,lf ds = Z t 0 Sn,k(s) [An− An] Sn,lf ds. Assim: Sn,k(t)f = Sn,l(t)f. (2.25)

Além disso, como gk(||η + t||) = 1 e gl((||η + t||) = 1, então para os processos em questão,

at´e o instante t, os geradores Lm,k e Ll,k se comportam exatamente como o gerador Ln, da

equa¸c˜ao (2.11).

Agora, estamos preparados para demonstrar o Teorema 14 que tratar´a da medida limite de Pn,k(t, η, f ) quando k vai a infinito. Ou seja, queremos encontrar um processo cujo gerador

será o da equa¸cão (2.11) e mostrar que de fato ele é um processo de Markov.