CAPÍTULO 3: O PROGRAMA KENSLABS
3.1 FUNDAMENTO TEÓRICO
3.1.5 Contato Placa – Subleito
Um importante fator que afeta o projeto de pavimentos de concreto é a condição de contato entre placa e fundação. Ambas as análises de Westergaard para fundações líquidas e de
Pickett para fundações tipo sólido elástico (Pickett et al, 1951) são baseadas na suposição de que a placa e a fundação estão em contato pleno. A suposição é válida quando não existem vazios entre placa e fundação. O peso da placa impõe naturalmente uma pré-compressão na fundação, que mantém a placa e a fundação em contato pleno. No entanto, isto não é verdade quando a placa está sujeita à variação da temperatura, que ocasiona um empenamento, ou devido aos efeitos do bombeamento, que resultam na separação entre placa e fundação.
O KENSLABS considera três tipos de contato: pleno, parcial sem vazios iniciais e parcial com vazios iniciais, sendo o programa particularmente utilizado para avaliar a evolução do efeito das condições de contato nas tensões e deflexões.
Contato Pleno
Na Figura 3.9 é representada a fundação líquida ou fundação Winkler, consistindo em uma série de molas, cada uma representando um ponto nodal na análise de elementos finitos.
Quando a placa é localizada sobre a fundação, o peso da placa vai causar a pré-compressão das molas, como apresentado na Figura 3.9b. Como a placa tem espessura uniforme, cada mola se deforma na mesma quantidade e tensões serão induzidas na placa. A quantidade de pré-compressão pode ser determinada diretamente dividindo o peso da placa por unidade de área pelo módulo de reação do subleito.
Figura 3.9: Representação da analogia das molas para contato pleno (Huang e Wang, 1974 apud Huang, 2004)
Quando a temperatura no topo da placa é mais fria que na base, como é usual durante a noite, parte da placa vai fletir para cima, como mostrado na Figura 3.9c. No entanto, a placa e a mola permanecem em contato, porque a deflexão para cima é muito menor que a pré-compressão. A deflexão da placa devido ao empenamento pode ser determinada pela subtração da pré-compressão devido ao peso da placa da deflexão devido ao peso e empenamento combinados, como indicado pela área hachurada na Figura 3.9c. O resultado é exatamente o mesmo quando se considera o empenamento individualmente. O mesmo resultado é verdadeiro quando a carga é aplicada em uma placa empenada, como mostrado na Figura 3.9d. Assim, quando a placa e o subleito estão em contato pleno, o princípio da superposição é aplicado. As tensões e deflexões devido ao empenamento e carregamento podem ser determinadas separadamente, cada uma independentemente da outra, desconsiderando o peso da placa. Este princípio forma a base da análise de Westergaard.
A maior diferença no procedimento entre contato pleno e parcial é que, no caso de contato pleno, não é necessário considerar o peso da placa, enquanto que, no caso de contato parcial, o peso da placa deve ser considerado. O último caso envolve duas etapas. Primeiro, os vazios e pré-compressões do subleito devido ao peso da placa ou devido ao peso da placa e do empenamento combinados são determinados. Estes vazios e pré-compressões são usadas para determinar as tensões e deflexões devido às cargas.
Deve-se notar que o contato pleno é um caso especial de contato parcial. Cada problema em contato parcial é analisado primeiro através da consideração de que a placa e o subleito estão em contato pleno. Se for observado que, na realidade, eles estão em pleno contato, não serão necessárias iterações. Se alguns pontos estiverem sem contato, a força de reação nestes pontos será igual a zero. O processo é repetido até que as mesmas condições de contato sejam obtidas.
Contato Parcial sem Vazios Iniciais
Este caso se aplica aos novos pavimentos não submetidos à quantidade significativa de tráfego e onde não há bombeamento ou deformação plástica do subleito. Cada mola na fundação Winkler está em boas condições e, se a placa for removida, será retomada à mesma cota, sem vazios iniciais, como mostra a Figura 3.10a. Sob o peso da placa, cada mola é
submetida a uma pré-compressão, como mostrado na Figura 3.10b. Se a placa for empenada para cima, vazios se formarão nas molas exteriores, como indicado pela s positiva na Figura 3.10c, e pré-compressões se formarão nas molas interiores, indicadas pela s negativa. Se a placa for empenada para baixo, todas as molas estarão sob pré-compressão semelhante à Figura 3.10b, exceto que as pré-compressões não serão iguais. Para molas muito rígidas, o vazio também pode se formar nas molas interiores.
Figura 3.10: Representação de contato parcial sem vazios iniciais (Huang e Wang, 1974 apud Huang, 2004)
Os deslocamentos devido ao peso da placa e empenamento combinados podem ser determinados pela Equação 3.29, e os deslocamentos do subleito são expressos por:
−
= 0 0 '
i
i w
c
δ (3.33a)
= 0 0 0
δ' (3.33b)
Note-se que δi´ na Equação 3.33a é o mesmo que na Equação 3.29c para contato pleno e será usado para início da iteração. Após cada iteração, uma verificação é feita em cada nó para descobrir se existe algum contato. Se a deflexão w encontrada for menor do que o
quando wi < ci
quando wi > ci
empenamento inicial c, então a placa não está em contato com o subleito, e o deslocamento do subleito será igual a zero, como indicado pela Equação 3.33b. Na verdade, após cada iteração, um novo conjunto de equações simultâneas é estabelecido. O processo se repete até que as equações equivalentes sejam obtidas. Na maioria dos casos, isso pode ser conseguido através de cinco ou seis iterações. Após as deflexões devido ao peso e o empenamento serem determinadas, os vazios e as pré-compressões poderão ser calculados para utilização posterior no cálculo das tensões e deflexões devido às cargas individualmente.
Para determinar as tensões e deflexões devido às cargas individualmente, os vazios e pré-compressões mostrados nas Figuras 3.10b ou 3.10c, dependendo da existência de empenamento, devem ser determinados primeiro. Usando esses vazios e pré-compressões como s, as deflexões devido às cargas isoladas, como mostrada na Figura 3.10d, podem ser determinadas a partir da Equação 3.29, exceto para os deslocamentos do subleito, que são expressos como:
= 0 0 0
δ' quando wi < si (3.34a)
−
= 0 0 '
i
i w
s
δ quando wi > si e si > 0 (3.34b)
−
= 0 0 '
wi
δ quando wi > si e si < 0 (3.34c)
Na verificação de w com s, a deflexão para baixo é considerada positiva e a deflexão para cima negativa; assim, o vazio é considerado positivo e a pré-compressão negativa. Em primeiro lugar, assume-se que a placa e o subleito estão em contato pleno, e determinam-se as deflexões da placa devido à carga aplicada. Em segundo lugar, verificam-se as deflexões com s e forma-se um novo conjunto de equações baseadas nas Equações 3.34. Repete-se o processo até que as mesmas equações sejam obtidas.
Quando a placa e o subleito estão em contato parcial, o princípio da sobreposição já não se aplica. Para se determinar as tensões e as deflexões devido a uma carga aplicada, a forma da deformada da placa imediatamente antes da aplicação da carga deve ser primeiro calculada.
Esta forma de deformação depende fortemente da condição de empenamento, então, as tensões e deflexões devido às cargas são sensivelmente afetadas pelo empenamento. Este fato foi comprovado nos testes rodoviários de Maryland (HRB, 1952) e da AASHO (HRB, 1962) apud Huang (2004).
Contato Parcial com Vazios Iniciais
Este caso se aplica a pavimentos que tenham sido submetidos a uma intensidade alta de tráfego. Devido ao bombeamento ou a deformação plástica do subleito, algumas molas na representação como fundação Winkler tornam-se defeituosas e, se a placa for removida, não irá retornar à cota original. Assim, os primeiros vazios são formados, como indicado pelas duas molas exteriores da Figura 3.11a. Estes vazios s devem ser assumidos antes da análise ser realizada. Os deslocamentos devido ao peso da placa, como mostra a Figura 3.11b, podem ser determinados a partir da Equação 3.29, exceto os deslocamentos do subleito, que são expressos como:
−
= 0 0 '
i i i
w s
δ quando wi > si (3.35a)
= 0 0 0 'i
δ quando wi < si (3.35b)
Em primeiro lugar, assume-se que a placa e o subleito estejam em contato pleno e determinam-se as deflexões verticais da placa pela Equação 3.29a. Em seguida, marca-se a deflexão em cada nó contra o deslocamento s. Se a deflexão for menor do que a diferença, como demonstrado pela mola mais a esquerda da Figura 3.11b, então se utiliza a Equação 3.35b; se a deflexão for superior ao deslocamento, como mostrado pelas outras molas na Figura 3.11b, então se utiliza a Equação 3.35a. Repete-se o processo até que as mesmas
equações sejam obtidas. Após obter as deflexões, os vazios e pré-compressões poderão ser calculados e utilizados mais tarde, para calcular as tensões e deflexões devido à carga, se não existirem empenamentos.
Figura 3.11: Representação de contato parcial com vazios iniciais (Huang e Wang, 1974 apud Huang, 2004)
Pode-se ver que, se as molas tiverem o mesmo comprimento, como mostra a Figura 3.10, o peso da placa resultará em uma pré-compressão uniforme e nenhuma tensão na placa ocorrerá.
Na Figura 3.11c é mostrado o efeito combinado do peso e do empenamento quando a placa for empenada para baixo. O caso do empenamento para cima é semelhante à Figura 3.11c exceto que os vazios são medidos a partir do topo das molas defeituosas. O procedimento para determinar as deflexões é semelhante ao que envolve o peso da placa sozinha, com a exceção de que o empenamento inicial da placa, conforme indicado pela Equação 3.32, é adicionado ao vazio mostrado na Figura 3.11a para formar o vazio total e pré-compressão s para ser utilizado na Equação 3.35. Como o vazio é positivo ou zero e os empenamentos iniciais podem ser positivos ou negativos, dependendo se a placa for ondulada para cima ou para baixo, s pode ser positivo ou negativo. Após a obtenção das deflexões da placa, os vazios e pré-compressões, como mostrado na Figura 3.11c, podem ser determinados. Estes vazios e pré-compressões serão utilizadas para calcular as tensões e deflexões devido à carga sozinha, como mostrado na Figura 3.11d.
Modificações para fundações sólidas e em camadas.
O procedimento de fundações líquidas, descrito anteriormente, tem de ser modificado quando ele é aplicado a fundações sólidas ou em camadas. O verdadeiro critério para decidir a condição de contato é o de saber se existe alguma tensão entre a placa e a fundação. Em fundações líquidas, a tensão de tração é indicada se a placa se mover para cima em relação à fundação e de compressão se a placa se mover para baixo. Pela simples comparação de deflexões, como indicado pelas Equações. 3.33 e 3.34, as condições de contato podem ser observadas. Nas fundações sólidas ou em camadas, a tração ou compressão em um determinado nó é regida não apenas pela deflexão do próprio nó, mas também pela deflexão de todos os outros nós. Se a condição de contato é puramente baseada na deflexão em um nó, existe a possibilidade de que a tensão possa se desenvolver devido a deflexões em outros nós.
Portanto, quando a placa e a fundação são tratadas como estando em contato com um dado nó, deve ser baseada no fato de que a força de reação atual está em compressão ou em tração, em vez de deflexões.
Primeiro, a placa e a fundação são assumidas em contato pleno e as forças de reação em cada nó são determinadas. Se a força reativa está em tração e a tração é maior do que a pré-compressão (note que o termo pré-pré-compressão usado para fundações sólidas ou em camadas indica uma força, ao passo que na fundação líquida indica um deslocamento), o nó não está em contato e a sua força reativa é igual a zero na próxima iteração. Quando não há força reativa em um determinado nó, o nó deve ser eliminado da matriz de flexibilidade e uma nova matriz de rigidez da fundação é formada. O processo é repetido até que as mesmas condições de contato sejam obtidas.