CAPÍTULO 3: O PROGRAMA KENSLABS
3.1 FUNDAMENTO TEÓRICO
3.1.3 Procedimentos Gerais
I
= Md
σ (3.13)
onde d é a distância da linha neutra para o topo ou a base de cada camada e I é o momento de inércia de cada camada.
Pode-se observar que, se o concreto asfáltico não for aderido à placa de concreto, será muito pequeno o efeito da redução da tensão de tração na flexão na placa de concreto. Esta conclusão é também baseada na suposição de que o momento total permanece o mesmo após o recapeamento. No entanto, o momento total deve de fato crescer após o recapeamento, então, o verdadeiro efeito pode ser até menor.
Para cada elemento, as forças e deslocamentos são relacionados através de:
[ ]
=
l k j i e p
l k j i
K F
F F F
δ δ δ δ
(3.14a)
onde [kp]e é a matriz de rigidez do elemento de uma prato com dimensões de 12 × 12. Em qualquer nó:
=
yi xi wi i
F F F F
θ
θ
=
yi xi i i
w
θ θ
δ (3.14b)
A matriz de rigidez da placa é obtida pela superposição da matriz de rigidez de todos os elementos. Combinando as matrizes de rigidez da placa, fundação e junta e substituindo a força nodal fictícia pela estática equivalente dos carregamentos de eixos aplicados externamente, um sistema de equações simultâneas é obtido permitindo calcular os deslocamentos nodais desconhecidos:
[ ]
K{ } { }
δ = F (3.15)onde [k] é a matriz de rigidez total, {δ} são os deslocamentos nodais, e {F} são as forças nodais aplicadas externamente. A matriz de rigidez total é simétrica, então apenas a metade superior da matriz precisa ser considerada. Os momentos nodais e tensões podem então ser calculados a partir dos deslocamentos nodais através da utilização da matriz de tensões tabulada por Zienkiewicz and Cheung (1967). Como as tensões em um dado nó calculadas pelas médias de um elemento são diferentes das outras obtidas dos elementos vizinhos, as tensões em todos os elementos adjacentes são calculadas e os seus valores médios são obtidos.
Rigidez das juntas
A rigidez das juntas é representada pela constante de cisalhamento da mola Cw e pela constante de momento da mola Cθ , definidos como:
Cw = Força de cisalhamento por comprimento unitário da junta (3.16) Diferença de deflexões entre duas placas
Cθ = Momento por comprimento unitário da junta (3.17)
Diferença de rotações entre duas placas
Existe um consenso geral de que cargas são transferidas através de juntas, principalmente pelo cisalhamento, com Cθ=0. Ball e Childs (1975) relataram que alguns momentos podem ser transferidos através das juntas que permanecerem fechadas, mas a transferência de momento através de juntas com aberturas visíveis é desprezível.
Na Figura 3.5 é mostrada a transferência de cisalhamento através da junta pelo intertravamento dos agregados, como indicado pela mola com constante Cw. Após o carregamento, a placa esquerda deflete em um valor w1 e a mola empurra a placa da direita para baixo de uma distância wr. A diferença na deflexão wd é igual a w1-wr.
No método de elementos finitos, as forças de cisalhamento são concentradas nos nós ao longo da junta. Da Equação 3.16:
d w
w LC w
F = (3.18)
onde Fw é a força nodal aplicada em ambas as placas através da mola, e L é a média dos espaçamentos nodais na junta. As forças Fw podem então ser substituídas na Equação 3.15 para resolver os deslocamentos nodais.
Figura 3.5: Transferência de carga através da junta por intertravamento de agregados (Huang, 1993 apud Silva, 2001)
Quando barras de aço são usadas para transmitir cisalhamento, assume-se que elas são concentradas nos nós. Se o espaçamento entre as barras é sb, o número de barras em cada nó é L/sb. A força Fw é dividida pelo número de barras necessárias para obtenção da força Pt em cada barra:
L F
Pt = Sb w (3.19)
Um procedimento simples para incluir o efeito das barras de aço na análise de elementos finitos foi apresentado por Huang e Chou (1978). Na Figura 3.6 é mostrada a transferência de cisalhamento através da junta pelas barras de aço.
A diferença de deflexão wd é causada pela deformação cisalhante do aço ∆S e a deformação do concreto sob a barra de aço y0:
2y0
S
wd =∆ + (3.20)
Figura 3.6: Representação da transferência de cisalhamento através das juntas pelas barras de aço (Huang, 2004)
A deformação cisalhante da barra de aço pode ser determinada aproximadamente por:
GA z S = Pt
∆ (3.21)
onde Pt é a força de cisalhamento em uma barra de aço, z é a largura da junta, A é a área do aço, e G é o módulo de cisalhamento do aço, que pode ser determinado por:
G = Ed
2(1 + v d) (3.22)
A deformação do concreto sob a barra de aço pode ser determinada pela fórmula:
( )
d d t
I E
z y0 P 3
4 2 β
β
= + (3.23)
Substituindo as Equações 3.21 e 3.23 na Equação 3.20, tem-se:
t d d
d P
I E
z GA
w z
+
+
= 3
2 2 β
β (3.24)
Substituindo a Equação 3.19 na Equação 3.24 e comparando com Equação 3.18, tem-se:
+
+
=
d d b
w
I E
z GA
S z C
2 3
2 1
β β
(3.25)
A Equação 3.25 indica que, dado o espaçamento e o diâmetro do aço e a largura da junta, a constante de cisalhamento da mola pode ser determinada. A análise é baseada na suposição de que não há degraus entre a mola (ou aço) e o concreto. Se o degrau wg existe, então a Equação 3.18 deve ser escrita como:
(
d g)
w
w LC w w
F = − (3.26)
Portanto, o termo LCwWg, deve ser subtraído do vetor força {F} na Equação 3.15. Como Fw=0 quando Wd < Wg, a Equação 3.26 é valida apenas quando Wd > Wg. Como wd varia ao longo da junta e não se sabe quanto wd é maior que wg, o método da tentativa – e - erro tem que ser usado se existirem degraus.
Múltiplas Placas
Na Figura 3.7 está mostrado um sistema de quatro placas com transferência de carregamento através das juntas. Para simplificar, apenas um limitado número de elementos finitos é indicado na figura. A Placa 1 é dividida em quatro elementos retangulares, a placa 2 e 3, em dois elementos cada e a placa 4 é considerada como um elemento. As placas são numeradas consecutivamente de baixo para cima e da esquerda para a direita. Começando pela Placa 1, os nós são também numerados de baixo para cima e da esquerda para a direita até a próxima placa.
A matriz de rigidez da placa é a matriz de bandas, porque as forças em um nó são afetadas pelo deslocamento em outro nó apenas quando os dois nós são localizados no mesmo elemento. Para o sistema mostrado na Figura 3.9, a máxima diferença entre dois números nodais no mesmo elemento é 4 e cada nó tem três graus de liberdade, então a mínima largura da meia banda requerida é (4 + 1) × 3 = 15. Se as placas são assentadas em uma fundação líquida sem transferência de carregamento nas juntas, uma largura de meia banda igual a 15 é suficiente. O uso de uma largura e meia banda menor é altamente desejável, porque reduz o tempo de processamento e de memória para resolver as equações simultâneas. Se há transferência de cisalhamento através da junta, a máxima diferença entre os dois nós em lados opostos da junta é 9 então a mínima largura de meia banda requerida é (9 + 1) × 3 = 30. Se as placas estão colocadas em uma fundação sólida ou em camada, a matriz de rigidez é completamente preenchida e tem-se uma largura de meia banda de 75.
Figura 3.7: Sistema de quatro placas adotado no programa KENSLABS (Huang, 2004)
O procedimento para cálculo da matriz de rigidez de fundação sólida ou em camadas foi descrito previamente para uma placa simples. Para múltiplas placas, é necessário distribuir a rigidez sobre os nós localizados em um mesmo ponto.
A rigidez de uma junta é representada pela constante de cisalhamento da mola e pela constante de momento da mola, como descrito anteriormente. Considerando os nós 7 e 16 da Figura 3.7 como exemplo, o cisalhamento e o momento transferidos através da junta podem ser expressos por:
( )
ww w w C
F 7 = 16 − 7 (3.27a)
( )
θθ θ θ C
Fy7 = y16 − y7 (3.27b)
( )
ww w w C
F 16 = 7 − 16 (3.27c)
( )
θθ θ θ C
Fy16 = y7 − y16 (3.27d)
onde Fw é a força de cisalhamento através da junta, w é a deflexão vertical, Fθy é o momento sobre o eixo y, e θy é a rotação sobre o eixo y. Estas forças e momentos podem ser colocados em um vetor de força no lado direito da Equação 3.15 e as deflexões verticais e rotações são então transferidas da esquerda para formar a matriz de rigidez da junta.
Equações simultâneas
A Equação 3.15 pode ser resolvida pelo método de eliminação de Gauss. Para o sistema mostrado na Figura 3.7, o número total de Equações é 75. Se a fundação é líquida, a largura da meia banda é 30, ao invés de 15, devido à presença de juntas, então a dimensão da matriz de rigidez é 75 × 30 = 2250. Se a fundação é sólida ou em camadas, a largura da meia banda é 75, então a dimensão da matriz de rigidez é 75 × 75 = 5625. Na prática, o número de nós é muito maior do que 25. A versão anterior para DOS do KENSLABS tinha memória máxima de 600k. Então, a dimensão da matriz de rigidez era limitada a 70,000 (equivalente a 280k de memória). A versão corrente para Windows, não tem esta limitação e a dimensão da matriz de
rigidez pode ser acrescida para 1.600.000 (equivalente a 6,4MB de memória). Com o máximo permitido de 420 nós, a dimensão da matriz de rigidez para fundação sólida e em camadas é 420 × 3 × 420 × 3 = 1.587.600. No entanto, na análise do caso de contato parcial, apenas metade da dimensão pode ser usada para armazenar a nova matriz, enquanto a outra metade será utilizada para armazenar a matriz anterior. Se a insuficiência de memória for um problema, o método iterativo pode ser usado. Neste método, uma largura arbitrária de meia banda pode ser adotada. Qualquer entrada na matriz de rigidez do lado de fora da meia banda é armazenada e movida para o lado direito da Equação 3.15:
[ ]
K1{ } { }
δ = F −[ ]
K2{ }
δa (3.28)Onde [K1] é a matriz de rigidez dentro da meia banda adotada, [K2] é a matriz de rigidez fora da meia banda, e {δa} é o deslocamento assumido fora da meia banda. Como a matriz de rigidez fora da meia banda consiste, principalmente, da matriz da fundação, oito - nonos de entradas são de zeros, que não necessitam ser armazenados, então o armazenamento requerido para [K2] é muito pequeno.
A Equação 3.28 pode ser calculada pelo método da iteração. Primeiro, assume-se um grupo de deslocamentos {δa} e um novo grupo de deslocamento {δ} é calculado. Usando {δ} como
{δa}, o processo é repetido até o deslocamento convergir para a tolerância especificada. Este procedimento iterativo pode ser aplicado para todos os três tipos de fundação. A solução converge rapidamente se uma grande largura de meia banda é adotada. Se a largura da meia banda é igual ao número de equações, nenhuma iteração será necessária. No entanto, se a largura da meia banda é muito pequena, a solução pode divergir, então uma grande largura de meia banda deve ser usada. No KENSLABS, a maior largura possível da meia banda dentro das dimensões permitidas será selecionada automaticamente para a matriz de rigidez.
O uso do método de iteração mostrado com uma meia banda menor requer não apenas menos memória, como também menor tempo de processamento. Para computadores com insuficiência de memória, um programa separado utilizando apenas 100,000 como a dimensão da matriz de rigidez está disponível. Sugere-se que o KENSLABS com memória
menor seja utilizado primeiro. Se a mensagem de erro sobre insuficiência de memória aparecer, então o KENSLABS com maior memória poderá ser usado.