Controle pontual de soluc¸˜oes minimais

Para a prova do teorema principal do trabalho, necessitamos de alguns resultados que conectam a quest˜ao da homogeneizac¸˜ao com o nosso problema de fronteira livre quando 𝜀 → 0. Heuristicamente, o operador governado sente a oscilac¸˜ao pr´oximo `a fronteira livre e passa por um processo de homogeneizac¸˜ao. O pr´oximo resultado foi o ponto chave para o desenvolvimento dessa conex˜ao. Necessitamos de um fino controle assint´otico pontual de soluc¸˜oes minimais sobre pontos da fronteira livre.

Lema 5.1. Sejam𝑢𝜀uma fam´ılia de soluc¸˜oes minimais para a equac¸˜ao(𝐸𝜀), 𝑢0seu limite

uniforme e𝑥0 um ponto da fronteira livre, isto ´e,𝑥0 ∈ ∂{𝑢0 > 0} ∩ Ω. Ent˜ao

𝛽𝜀(𝑢𝜀(𝑥0)) → +∞, (5.1.6)

quando_{𝜀 → 0. Mais precisamente, temos o seguinte controle pontual: existem constantes} universais0 < 𝜏1 ≤ 𝜏2 < 1 de modo que

𝜏1 ≤

𝑢𝜀(𝑥0)

𝜀 ≤ 𝜏2,

para_{𝜀 ≪ 1.}

Demonstrac¸˜ao. Vamos inicialmente verificar que

lim inf

𝜀→0

𝑢𝜀(𝑥0)

𝜀 ≥ 𝜏1 > 0. (5.1.7) Para isto, suponha por contradic¸˜ao que, 𝑢𝜀(𝑥0)

𝜀 = o(1), quando 𝜀 → 0. Defina 𝑣𝜀: 𝐵1 → ℝ

como

𝑣𝜀(𝑌 ) :=

1

𝜀𝑢𝜀(𝜀𝑌 + 𝑥0). Por hip´otese de contradic¸˜ao

𝑣𝜀(0) = o(1). (5.1.8)

Pela n˜ao-degenerescˆencia, para todo𝑟 > 0, vale sup

𝐵𝑟

𝑣𝜀≥ 𝑐𝑟,

para uma constante universal𝑐 > 0. Em particular,

Por definic¸˜ao de𝑣𝜀, verificamos que

𝐹𝜀(𝐷2𝑣𝜀, 𝑌 ) = 𝛽(𝑣𝜀),

onde𝐹𝜀(𝑀, 𝑌 ) := 𝜀𝐹 (𝜀−1𝑀, 𝑥0+ 𝜀𝑌 ). Pela desigualdade de Harnack,

𝑣𝜀(𝑌 ) ≤ 𝐶, in𝐵1/2.

Agora a teoria de regularidade𝑊2,𝑝_{de Caffarelli assegura que, a menos de subsequˆencia,}

𝑣𝜀 → 𝑉 na topologia 𝐶1,𝛼, para todo𝛼 < 1. Em particular, de (5.1.9) temos

∣∇𝑉 (0)∣ = ∣∇𝑣𝜀(0)∣ + o(1) > 0. (5.1.10)

Contudo,_{𝑉 ≥ 0 em 𝐵}1 e de (5.1.8),𝑉 (0) = 0, isto ´e, 0 ´e um ponto de m´ınimo interior

para𝑉 , portanto

∇𝑉 (0) = 0,

o que contradiz a n˜ao-degenerescˆencia declarada em (5.1.10).

Vamos agora voltar nossa atenc¸˜ao para a estimativa por cima. Inicialmente, vamos verificar que, para qualquer ponto da fronteira livre𝜉, vale

𝑢𝜀(𝜉) ≤ 𝜀, (5.1.11)

para_{𝜀 ≪ 1. Vamos provar que para todo 𝛿 > 0 fixado,} inf

𝐵𝛿(𝜉)

𝑢𝜀< 𝜀. (5.1.12)

A estimativa (5.1.11) segue de (5.1.12) e da continuidade uniforme de 𝑢𝜀. Para mostrar

(5.1.12) vamos assumir por contradic¸˜ao que𝑢𝜀 ≥ 𝜀 em 𝐵𝛿(𝜉). Se assim for, ter´ıamos

𝐹 (𝐷2𝑢𝜀, 𝑥) = 0 in𝐵𝛿(𝜉).

Pela n˜ao-degenerescˆencia, existiria um ponto𝑌𝜀 ∈ 𝐵𝛿/4(𝑥0) tal que

𝑢𝜀(𝑌𝜀) ≥ 𝑐𝛿.

Pela convergˆencia uniforme𝑢𝜀 → 𝑢0(note𝑢0(𝜉) = 0) e desigualdade de Harnack,

o(1) = 𝑢𝜀(𝜉) ≥ 𝑐′𝛿,

Agora, vamos considerar novamente a sequˆencia blow-up𝑣𝜀: 𝐵1 → ℝ como

𝑣𝜀(𝑌 ) :=

1

𝜀𝑢𝜀(𝜀𝑌 + 𝑥0). Como argumentado antes,𝑣𝜀 → 𝑉 na topologia 𝐶1,𝛼, e

𝐹★(𝐷2𝑉, 𝑥) = 𝛽(𝑉 ), in𝐵1. (5.1.13)

Pela regularidade Lipschitz e (5.1.11), obtemos que𝑢𝜀(𝜀𝑌 + 𝑥0) ≤ O(𝜀). Se aplicarmos

os mesmos argumentos acima para os pontos𝜀𝑌 + 𝑥0, conclu´ımos que

𝑉 (𝑌 ) ≤ 1, in𝐵1. (5.1.14)

Se𝑉 (0) = 1, 𝑉 atingiria seu ponto m´aximo no interior. Como 𝑉 satisfaz (5.1.13), conclui- se do princ´ıpio do m´aximo que

𝑉 ≡ 1, e, novamente, contradiz a n˜ao-degenerescˆencia, como

0 < 𝑐 ≤ ∣∇𝑣𝜀(0)∣ = ∣∇𝑉 (0)∣ + o(1).

Isto finaliza a prova. Portanto, devemos ter_{𝑉 (0) < 1 e para 𝜀 ≪ 1,} 𝑢𝜀(𝑥0)

𝜀 ≤ 𝜏2 < 1.

Estamos agora em condic¸˜oes de estabelecer o principal resultado acerca da condic¸˜ao de fronteira livre. Como veremos na pr´oxima sec¸˜ao, uma tal condic¸˜ao de fronteira livre dever´a ser forte suficiente para assegurar suavidade da fronteira livre. Antes faremos uma observac¸˜ao ´util para o desenvolvimento do trabalho.

Observac¸˜ao 5.3 (Regularidade). Seja 𝐹 (𝑀, 𝑥) satisfazendo as condic¸˜oes (𝐻1), (𝐻2) e (𝐻3). Ent˜ao, 𝐹 (𝐷2_𝑢

0, 𝑥) = 0 em Ω0 no sentido cl´assico. De fato, seja 𝑦0 ∈ Ω0 satis-

fazendo𝑢0(𝑦0) = 𝛿 > 0. Como 𝑢0 ´e cont´ınua,𝑢0 ≥ 𝛿₂ ≥ 𝜀 em 𝐵 = 𝐵𝜌(𝑦0) ⋐ Ω0. Desta

forma,

𝐹 (𝐷2𝑢𝜀, 𝑥) = 0 em 𝐵.

Pela regularidade𝐶2,𝛼_{de Caffarelli,∥𝑢}

𝜀∥𝐶2,𝛼_(𝐵) ≤ 𝐶, onde 𝐶 independe de 𝜀. Segue da´ı,

que, a menos de subsequˆencia,𝐷2_𝑢

𝜀 → 𝐷2𝑢0 uniformemente em𝐵 e, portanto,

𝐹 (𝐷2𝑢0, 𝑥) = 0 em 𝐵.

Lema 5.2. Suponha𝐹 satisfazendo (𝐻1), (𝐻2), (𝐻3) e (5.1.5). Seja 𝑎𝜀

𝑖𝑗 uma fam´ılia de

matrizes uniformenete el´ıpticas

𝑎𝜀𝑖𝑗(𝑥) :=

∫ 1

0

𝐹𝑖𝑗(𝑡𝐷2𝑢𝜀(𝑥), 𝑥)𝑑𝑡,

onde 𝑢𝜀 s˜ao soluc¸˜oes minimais para a equac¸˜ao (𝐸𝜀). Ent˜ao a matriz 𝑎𝜀𝑖𝑗(𝑥) converge,

pontualmente, para uma matriz uniformemente el´ıptica𝑏𝑖𝑗(𝑥), com

𝑏𝑖𝑗(𝑥) = ⎧ ⎨ ⎩ ∫ 1 0 𝐹𝑖𝑗(𝑡𝐷2𝑢0(𝑥), 𝑥)𝑑𝑡 se 𝑥 ∈ Ω0 𝐹★ 𝑖𝑗(𝑥) se 𝑥 ∈ 𝔉(𝑢0),

ondeΩ0 = {𝑢0 > 0} e 𝔉(𝑢0) ´e a fronteira livre. Al´em disso, a convergˆencia em Ω0 vale

na topologia𝐶1 loc.

Demonstrac¸˜ao. Seja 𝑦0 um ponto arbitr´ario no conjunto de positividade Ω0, digamos

𝑢0(𝑦0) = 𝛿 > 0. Pela continuidade Lipschitz, existe um 𝜌 > 0 pequeno tal que para

𝜀 ≪ 1, inf 𝐵𝜌(𝑦0) 𝑢𝜀 > 𝛿 3 ≫ 𝜀. Em particular, 𝐹 (𝐷2𝑢𝜀, 𝑥) = 0 em𝐵𝜌(𝑦0).

Como𝐹 satisfaz (𝐻1), (𝐻2) e (𝐻3), por estimativa a priori 𝐶2,𝛼_{, podemos assegurar, da}

teoria cl´assica de regularidade de Schauder, que𝐷3_𝑢

𝜀converge uniformemente para𝐷3𝑢0

em𝐵𝜌(𝑦0) e, portanto, 𝑎𝜀_𝑖𝑗(𝑥) := ∫ 1 0 𝐹𝑖𝑗(𝑡𝐷2𝑢𝜀(𝑥), 𝑥)𝑑𝑡 → ∫ 1 0 𝐹𝑖𝑗(𝑡𝐷2𝑢0(𝑥), 𝑥)𝑑𝑡 localmente na topologia𝐶1_(Ω 0).

Vejamos agora o que ocorre com a convergˆencia ao longo da fronteira livre. Para isto, seja 𝑥0 um ponto arbitr´ario da fronteira livre. Do Lema 5.1 e elipticidade, temos a

estimativa 𝐷2𝑢_𝜀(𝑥₀) ≥ [𝐷 2_𝑢 𝜀(𝑥0) ]+ ≥ 1 Λ𝐹 (𝑥0, 𝐷 2_𝑢 𝜀(𝑥0)) ∼ 𝛽𝜀(𝑢𝜀(𝑥0)) → +∞. (5.1.15)

Portanto, para todo _{0 < 𝑡 ≤ 1, ∥𝑡𝐷}2𝑢𝜀(𝑥0)∥ → +∞. Usando a hip´otese (5.1.5) e o

teorema da convergˆencia dominada, obtemos

𝑎𝜀 𝑖𝑗(𝑥) := ∫ 1 0 𝐹𝑖𝑗(𝑡𝐷2𝑢𝜀(𝑥), 𝑥)𝑑𝑡 → ∫ 1 0 𝐹★ 𝑖𝑗(𝑥)𝑑𝑡 = 𝐹𝑖𝑗★(𝑥).

Observac¸˜ao 5.4. Como vimos, operadores convexos ou cˆoncavos satisfazem a condic¸˜ao (5.1.5). Portanto, tais operadores constituem uma classe de exemplos para a teoria a ser

desenvolvida.

Para justificar ainda mais nossa abordagem, ressaltamos que se𝑢𝜀resolve

𝐹 (𝐷2𝑢𝜀, 𝑥) = 𝛽𝜀(𝑢𝜀),

ent˜ao podemos escrever

𝛽𝜀(𝑢𝜀) = 𝐹 (𝐷2𝑢𝜀, 𝑥) = ∫ 1 0 𝑑 𝑑𝑡𝐹 (𝑡𝐷 2_𝑢 𝜀(𝑥), 𝑥)𝑑𝑡 = 𝑎𝜀𝑖𝑗(𝑥)𝐷𝑖𝑗𝑢𝜀 =: L𝜀𝑢𝜀. (5.1.16)

isto ´e, uma soluc¸˜ao para𝐹 (𝑥, 𝐷2_𝑢

𝜀) = 𝛽𝜀(𝑢𝜀) satisfaz L𝜀𝑢𝜀 = 𝛽𝜀(𝑢𝜀). Em geral, as ma-

trizes𝑎𝑖𝑗 s˜ao meramente limitadas, mensur´aveis e el´ıpticas, nenhuma suavidade adicional

dos coeficientes pode ser assegurada em 𝜀. Contudo, usando as hip´oteses (𝐻1), (𝐻2), (𝐻3) e a teoria de regularidade (veja [7]), obtemos mais regularidade nos coeficientes. O sucesso da teoria que aqui apresentamos baseia-se no fato de que, ao longo da fronteira livre, as matrizes𝑎𝜀

𝑖𝑗 se aproximam de um operador el´ıptico H¨older cont´ınuo. Lembramos

que queremos utilizar a condic¸˜ao de fronteira livre no sentido da viscosidade de Caffarelli para dar uma interpretac¸˜ao de soluc¸˜ao fraca para nosso problema de fronteira livre. A grande vantagem dessa teoria baseia-se em seu car´ater n˜ao-variacional, portanto, ´e apro- priado para os nossos prop´ositos. Lembre-se que o principal resultado deste trabalho ´e mostrar que o limite uniforme𝑢0 das soluc¸˜oes minimais𝑢𝜀possui o seguinte desenvolvi-

mento assint´otico: 𝑢0(𝑥) = √ 2T 𝐹★_{(𝜈 ⊗ 𝜈, 𝑥} 0)⟨𝑥 − 𝑥0, 𝜈⟩ + + o(∣𝑥 − 𝑥0∣),

pr´oximo a um ponto da fronteira livre𝑥0 ∈ 𝔉(𝑢0). Aqui 𝜈 ´e a normal unit´aria a ∂𝐵𝜌(𝑦0)

apontando para dentro de Ω0 := {𝑢0 > 0}, e 𝐵𝜌(𝑦0) ⊂ Ω0, 𝐵𝜌(𝑦0) ∩ 𝔉(𝑢0) = {𝑥0}.

De acordo com a teoria de viscosidade de Caffarelli (veja Sec¸˜ao 6.1), tal desenvolvimento assint´otico s´o precisa ser verificado para pontos regulares da fronteira livre, isto ´e, pontos na fronteira livre que pode tocar a bola por dentro deΩ0. O operador𝐹★ ´e dado pelo limite

assint´otico

𝐹★(𝑀, 𝑥) := lim

𝜀→0𝜀𝐹 (𝜀

−1_{𝑀, 𝑥).}

Agora observe que, por linearizac¸˜ao,𝐹★_{(𝜈 ⊗ 𝜈, 𝑥}

0)(𝑥) = tr(𝑏𝑖𝑗(𝑥0)𝜈𝑖𝜈𝑗), onde a matriz 𝑏𝑖𝑗

Para finalizarmos nossos coment´arios, notemos que em qualquer parte𝐶1_{da fronteira} livre, temos 𝐹★_{(𝜈 ⊗ 𝜈, 𝑥}0) = 𝐹★( ∇𝑢0 ∣∇𝑢0∣⊗ ∇𝑢0 ∣∇𝑢0∣ , 𝑥0 ) = 1 ∣∇𝑢0∣2 𝐹★_(∇𝑢0⊗ ∇𝑢0, 𝑥0)

Portanto, ao longo de uma parte suave da fronteira livre, teremos 𝐹★_(∇𝑢0⊗ ∇𝑢0, 𝑥0) = ∣∇𝑢0∣2⟨B(𝑥0)𝜈, 𝜈⟩.

e o problema de fronteira livre (5.0.2) pode ser representado como ⎧ ⎨ ⎩ 𝐹 (𝐷2_𝑢 0, 𝑥) = 0 em {𝑢0 > 0} ∩ Ω 𝑢0 = 𝜑 em ∂Ω ∣∇𝑢0∣2 = _{⟨B(𝑧)𝜈,𝜈⟩}2T em ∂{𝑢0 > 0} ∩ Ω. (5.1.17)