Regularidade Lipschitz - Teoria de regularidade para equações elípticas totalmente não lineares

Nosso objetivo nesta seção é provar que, se𝑢𝜀 são soluções do problema (𝐸𝜀), então

𝐷𝑢𝜀 são uniformemente limitados em 𝜀. Veremos que essa é a regularidade ótima que

podemos esperar (uniforme no parâmetro 𝜀). Nossa estratégia é inspirada por um argumento devido a Caffarelli. Inicialmente, vamos mostrar que a fam´ılia de soluções minimais são uniformemente limitadas.

Lema 2.1. Seja𝑢𝜀qualquer solução (no sentido da viscosidade) da Equação(𝐸𝜀). Então

0 ≤ 𝑢𝜀 ≤ ∥𝜑∥∞emΩ.

Demonstrac¸˜ao. Observe inicialmente que𝛽𝜀 ≥ 0. Defina ˜𝑢𝜀 := 𝑢𝜀 − ∥𝜑∥∞. Note que

𝑢𝜀≤ 0 em ∂Ω e

𝐹 (𝐷2𝑢˜𝜀, 𝐷˜𝑢𝜀, 𝑥) = 𝐹 (𝐷2𝑢𝜀, 𝐷𝑢𝜀, 𝑥) ≥ 0.

A estimativa por cima segue imediatamente aplicando a estimativa ABP (Alexandroff- Bakelman-Pucci) adaptada para soluções de viscosidade (veja, [3] ou [7]). Vamos provar agora a não-negatividade de𝑢𝜀. Suponha, por contradição, que a região

𝐴𝜀 := {𝑥 ∈ Ω : 𝑢𝜀(𝑥) < 0}

´e n˜ao vazia. Como𝛽𝜀possui suporte em[0, 𝜀],

𝐹 (𝐷2𝑢𝜀, 𝐷𝑢𝜀, 𝑥) = 0 em 𝐴𝜀,

no sentido da viscosidade. Contudo, como𝑢𝜀≥ 0 em ∂Ω, temos 𝑢𝜀 ≥ 0 em ∂𝐴𝜀, portanto,

aplicando novamente a estimativa Alexandroff-Bakelman-Pucci adaptada para soluções de viscosidade, conclu´ımos𝑢𝜀≥ 0 em 𝐴𝜀, levando a uma contradição.

Vamos agora mostrar que as soluções do problema(𝐸𝜀) são localmente uniformemente

Lipschitz, isto é, as soluções𝑢𝜀são localmente Lipschitz e a constante Lipschitz independe

de𝜀. Uma observação importante é que a mesma técnica mostra que, no caso de problemas de duas fases (veja [12]-[13]) podemos deduzir limitação do gradiente para a parte não- negativa da solução, se já sabemos que a parte não-positiva da solução é Lipschitz.

Observação 2.1. Em [14], L. Caffarelli aplica as fórmulas de monotonicidade para de-

duzir limitação do gradiente para a solução do problema de perturbação singular de duas fases para o Laplaciano; veja também [8]. Na ausência da fórmula de monotonicidade, não somos capazes de provar um resultado semelhante ao que está em [14]. É evidente que uma nova técnica deverá ser desenvolvida para lidar com a mudança de sinal da solução 𝑢𝜀 no caso de problemas de perturbação singular para operadores totalmente

n˜ao-lineares. Este problema continua em aberto e ´e muito tentador para o desenvolvi- mento da teoria.

Lema 2.2 (Renormalização Lipschitz). Seja_{𝑢 ∈ 𝐶(𝐵}𝑟(𝑥0)) solução de viscosidade de

𝐹 (𝐷2𝑢, 𝐷𝑢, 𝑥) = 𝛽𝜀(𝑢). (2.2.1)

Defina𝑤 : 𝐵𝑟/𝜀(0) → ℝ, como

𝑤(𝑦) := 1

𝜀𝑢(𝑥0+ 𝜀𝑦).

Então,_{𝑤 ∈ 𝐶(𝐵}𝑟/𝜀(0)) é solução de viscosidade de

𝐹𝜀(𝐷2𝑤, 𝐷𝑤, 𝑥) = 𝛽(𝑤),

onde os operadores 𝐹𝜀(𝑀, 𝑝, 𝑥) := 𝜀𝐹

(₁

𝜀𝑀, 𝑝, 𝑥) s˜ao uniformemente el´ıpticos com as

mesmas constantes de elipticidade de 𝐹 . Além disso, se 𝑢 é diferenciável em 0, então ∇𝑤(0) = ∇𝑢(𝑥0).

Demonstrac¸˜ao. De fato, seja 𝑃 (𝑦) um paraboloide tocando 𝑤, em algum ponto 𝑧0, por

baixo. Defina ˜ 𝑃 (𝑥) := 𝜀𝑃 ( 𝑥 − 𝑥0 𝜀 ) .

Então, ˜𝑃 toca 𝑢 por baixo em 𝑥1 := 𝑥0+ 𝜀𝑧0. Como𝑢 é uma solução de viscosidade de

(2.2.1), temos que

𝐹 (𝐷2_{𝑃 (𝑥}_˜

1), 𝐷 ˜𝑃 (𝑥1), 𝑥1

)

≤ 𝛽𝜀(𝑢𝜀(𝑥1)). (2.2.2)

Al´em disso, c´alculos diretos nos mostram que

∂𝑖𝑃 (𝑥˜ 1) = ∂𝑖𝑃 (𝑧0) ∂𝑖𝑗𝑃 (𝑥˜ 1) = 1 𝜀∂𝑖𝑗𝑃 (𝑧0) 𝜁𝜀(𝑢𝜀(𝑥1)) = 1_𝜀𝜁(𝑣(𝑧0)). (2.2.3)

𝜀𝐹( 1 𝜀𝐷 2_{𝑃 (𝑧} 0), 𝐷𝑃 (𝑧0), 𝑥0+ 𝜀𝑧0 ) ≤ 𝛽(𝑣(𝑧0)).

Tomando agora um paraboloide tocando 𝑤 por cima e argumentando de forma similar, conclu´ımos que𝑤 é uma solução de viscosidade de

𝜀𝐹( 1 𝜀𝐷 2_{𝑤, 𝐷𝑤, 𝑥} 0+ 𝜀𝑥 ) = 𝛽(𝑤) em 𝐵𝑟/𝜀. (2.2.4)

Se definirmos, como acima,

𝐹𝜀(𝑀, 𝑝, 𝑥) := 𝜀𝐹

( 1

𝜀𝑀, 𝑝, 𝑥 )

temos que 𝐹𝜀 ´e uniformemente el´ıptico com mesma constante de elipticidade de 𝐹 . De

fato, 𝐹𝜀(𝑀 + 𝑃, 𝑝, 𝑥) = 𝜀𝐹 ( 1 𝜀𝑀 + 1 𝜀𝑃, 𝑝, 𝑥 ) ≤ 𝜀 [ 𝐹 ( 1 𝜀𝑀, 𝑝, 𝑥 ) + Λ ( 𝑃 𝜀 )+ − 𝜆 ( 𝑃 𝜀 )− ] = 𝐹𝜀(𝑀, 𝑝, 𝑥) + Λ∥𝑃+∥ − 𝜆∥𝑃−∥. ´

E interessante observar que a renormalização acima não altera as constantes de elipticidade de𝐹 . Isto significa que esta renormalização não afeta as constantes que aparecem nas estimativas, bem como nas desigualdades de Harnack. A fam´ılia de operadores 𝐹𝜀

pode ser considerada como um s´o operador𝐹 . Lema 2.3. Seja_{𝑤 ∈ 𝐶}1,𝛼_(𝐵

1(0)) soluc¸˜ao de viscosidade de

𝐹 (𝐷2_{𝑤, 𝐷𝑤, 𝑥) = 𝑔(𝑥),} _∥𝑔∥ 𝐿∞_(𝐵

1(0)) ≤ 𝐷.

Se_{𝑤(0) ≤ 1, ent˜ao existe uma constante universal 𝐶}0 > 0 tal que:

∣∇𝑤(0)∣ ≤ 𝐶0.

Demonstração. De fato, da estimativa 𝐶1,𝛼 _{de Caffarelli para soluções de viscosidade}

(veja Cap´ıtulo 1 ou [3]), existe constante𝐶, dependendo somente de 𝜆, Λ e da dimens˜ao 𝑁 , tal que

∣∇𝑤(0)∣ ≤ 𝐶{∥𝑤∥𝐿∞_(𝐵

1/2)+ ∥𝑔∥𝐿𝑛(𝐵1/2)

}

Usando a desigualdade de Harnack (veja, por exemplo, [7] ou cap´ıtulo 1) existe uma constante universal ¯𝐶 tal que

∥𝑣∥𝐿∞_(𝐵

1/2)≤ ¯𝐶. (2.2.6)

Combinando (2.2.5) e (2.2.6), temos finalmente a seguinte estimativa:

∣∇𝑤(0)∣ ≤ 𝐶0.

Agora, podemos afirmar e provar um lema interessante por si só, que pode ser aplicado em muitas situações

Lema 2.4. Seja_{0 ∈ ∂Ω, e 𝑣 ∈ 𝐶}1,𝛼_{(Ω ∩ 𝐵}1(0)) solução de viscosidade não-negativa de

𝐹 (𝐷2𝑣, 𝐷𝑣, 𝑥) = 0 em _{Ω ∩ 𝐵}1(0).

Suponha também que em_{Υ = ∂Ω ∩ 𝐵}1(0), 𝑣 = 0 e ∣∇𝑣∣ é limitada. Então, existe uma

constante universal𝐶 > 0 tal que:

(1) _∥𝑣∥𝐿∞_(𝐵 1/2(0)∩Ω) ≤ 𝐶dist(𝑥, ∂Ω) sup Υ ∣∇𝑣∣; (2) _{∥∇𝑣∥}𝐿∞_(𝐵 1/2(0)∩Ω)≤ 𝐶 sup Υ ∣∇𝑣∣.

Demonstração. Vamos começar provando (1). Considere𝑥0 ∈ 𝐵1/2(0) ∩ Ω. Considere

os n´umerosℎ := dist(𝑥0, ∂Ω), 𝐴 := sup

Υ ∣∇𝑣∣, 𝑣(𝑥0) = 𝜏 ℎ. Vamos mostrar que 𝜏 ≤ 𝐶 𝐴,

para alguma constante universal𝐶 > 0. Considere a renormalizando de 𝑣 com relação à distânciaℎ, isto é,

𝑤(𝑦) := 1

ℎ𝑢𝜀(𝑥0+ ℎ𝑦). Então,𝑤(0) = 𝜏 e do Lema 2.2, 𝑤 é solução de viscosidade de

𝐹ℎ(𝐷2𝑤, 𝐷𝑤, 𝑥) = 0 em 𝐵1(0).

Comoℎ = dist(𝑥0, ∂Ω), existe 𝑦1 ∈ ∂𝐵1(0), tal que 𝑤(𝑦1) = 0. Al´em disso, como

∇𝑤(𝑦) = ∇𝑣(𝑥0+ ℎ𝑦), 𝑦 ∈ 𝐵1(0),

temos que_{∣∇𝑤(𝑦}1)∣ ≤ 𝐴. Agora, pela desigualdade de Harnack em 𝐵1/2(0), existe uma

constante universal𝑐 > 0 tal que:

1 1/2 z w Y Figura 2.2: Barreira

A ideia agora é construir uma barreira tocando𝑤 por baixo em 𝑦1. Seja 𝑧 solução do

seguinte problema: ⎧ ⎨ ⎩ 𝐹ℎ(𝐷2𝑧, 𝐷𝑧, 𝑦) = 0 em 𝑅 = 𝐵1∖ 𝐵1/2 𝑧 ∂𝐵1 = 0, 𝑧 ∂𝐵1/2 = 1. (2.2.7)

Tal solução pode ser obtida usando o método de Perron de Ishii discutido no Cap´ıtulo 1. Temos que,_{𝑧 ≥ 0, 𝑧 ∈ 𝐶}1,𝛼( ¯𝑅). Definindo agora

𝑍ℎ(𝑦) = 𝑐𝜏 𝑧(𝑦), 𝑦 ∈ ¯𝑅,

ent˜ao

𝑍ℎ = 0 ≤ 𝑤 em ∂𝐵1(0) em 𝑍ℎ ≤ 𝑐𝜏 ≤ 𝑤 em ∂𝐵1/2(0).

Isto diz que,

𝐹ℎ(𝐷2𝑤, 𝐷𝑤, 𝑦) = 𝐹ℎ(𝐷2𝑍ℎ, 𝐷𝑍ℎ, 𝑦) em 𝑅, e 𝑤 ≥ 𝑍ℎ em ∂𝑅,

pelo princ´ıpio do máximo para soluções de viscosidade,

𝑤 ≥ 𝑍ℎ em 𝑅 e 𝑤(𝑦1) = 𝑍ℎ(𝑦1).

Em particular,

∂𝜈𝑤(𝑦1) ≥ ∂𝜈𝑍ℎ(𝑦1),

onde𝜈 ´e a normal unit´aria interior a 𝐵1(0) em 𝑦1. Aplicando o Lema de Hopf, se tomarmos

𝛿ℎ := inf ∂𝐵1(0)

∂𝜈𝑧,

A função𝑧 é 𝐶1,𝛼_{até a fronteira, donde conclu´ımos que}

inf

0≤ℎ≤1/2𝛿ℎ ≥ 𝛿 > 0,

onde𝛿 independe de ℎ. Ent˜ao

𝐴 ≥ ∣∇𝑤(𝑦1)∣ ≥ ∂𝜈𝑤(𝑦1) ≥ 𝑐𝜏𝛿,

provando a primeira parte do Lema. A segunda parte segue da estimativa𝐶1,𝛼_{e aplicando}

a desigualdade de Harnack, ∣∇𝑤(0)∣ ≤ ¯𝐶 1 dist(𝑥0, ∂Ω)∥𝑢∥𝐿 ∞_(𝐵 1/2(0)) ≤ ¯ 𝐶𝐶 dist(𝑥0, ∂Ω)𝑤(0) ≤ ¯ 𝐶𝐶𝐴.

Vamos agora provar a regularidade Lipschitz das soluções de (𝐸𝜀). Antes, é conve-

niente introduzirmos algumas notações que serão úteis para simplificar as demonstrações dos teoremas no decorrer do trabalho

Ω𝛼 := {𝑥 ∈ Ω 0 ≤ 𝑢_𝜖(𝑥) ≤ 𝛼} . Ω+ 𝛼 := {𝑥 ∈ Ω 𝑢_𝜖(𝑥) > 𝛼} . 𝑑𝛼(𝑥) := dist(𝑥, Ω𝛼).

Daqui por diante, vamos considerarΩ′ ⋐Ω, Δ = dist(Ω′, ∂Ω).

Teorema 2.3 (Regularidade Lipschitz). Dado um subconjuntoΩ′ ⋐Ω, existe uma constan-

te_{𝐶 dependendo de ∥𝜑∥}_∞,_∥𝛽∥_∞,Ω′_{, dimens˜ao, elipticidade e da norma}_𝐶𝜇_de_{𝐹 (𝑀, 𝑝, ⋅),}

mas independente de_{𝜀, tal que, qualquer fam´ılia de soluc¸˜oes de viscosidade, {𝑢}𝜀}𝜀>0, da

Equação(𝐸𝜀) é 𝐶-Lipschitz cont´ınua em Ω′, isto é

sup

𝑥∈Ω′∣∇𝑢𝜀(𝑥)∣ ≤ 𝐶.

Em particular, a fam´ılia_{𝑢𝜀}𝜀>0 ´e localmente uniformemente Lipschitz.

Demonstrac¸˜ao. Seja 𝑥0 ∈ Ω′ e considere 𝜀 < Δ = dist(Ω′, ∂Ω). A prova se baseia na

obtenção de estimativas pontuais do gradiente dependendo de onde𝑥0 está localizado.

(A) Caso 1:𝑥0 ∈ Ω𝜀.

Como𝐵𝜀(𝑥0) ⊂ Ω podemos considerar a renormalizac¸˜ao Lipschitz 𝑤 = 𝑤𝜀de 𝑢𝜀

nesta bola,

𝑤(𝑦) = 1

Pelo Lema 2.2,_{∇𝑤(0) = ∇𝑢}𝜀(𝑥0), e 𝑤 é uma solução de viscosidade de

𝐹𝜀(𝐷2𝑤, 𝐷𝑤, 𝑥) = 𝛽(𝑤) em 𝐵1(0).

Segue agora do Lema 2.3 que

∣∇𝑤(0)∣ ≤ 𝐶0

onde𝐶0 ´e universal.

(B) Caso 2:𝑥0 ∈ Ω+𝜀 e𝑑𝜀(𝑥0) < Δ₃.

Da hip´otese, temos que 3𝑑𝜀(𝑥0) < dist(𝑥0, ∂Ω). Seja 𝑦0 ∈ ∂Ω𝜀 satisfazendo as

seguintes condic¸˜oes:𝑑𝜀(𝑥0) = ∣𝑥0− 𝑦0∣ e 𝑑 = dist(𝑦0, ∂Ω). Agora, vamos definir a

renormalização Lipschitz de𝑢𝜀emΩ+𝜀 ∩ 𝐵𝑑(𝑥0), isto é,

𝑤(𝑦) = 𝑢𝜀(𝑦0+ 𝑑𝑦) − 𝜀 𝑑 , 𝑦 ∈ 𝐵1(0) ∩ 𝐷𝜀, onde𝐷𝜀= 𝑇−1(Ω+𝜀), 𝑇 (𝑦) = 𝑦0+ 𝑑𝑦. {u <e}e Ge:= {u =e}e We:= {u >e}e Lue under control ueis harmonic in W e X0 h ue(X )= lh 0

Figura 2.3: Limitac¸˜ao do Gradiente

Como_{𝑤 = 0 e ∣∇𝑤∣ ´e limitada ao longo de 𝐵}1(0) ∩ ∂𝐷𝜀, usando o Caso 1, e o fato

de que

𝐹𝑑(𝐷2𝑤, 𝐷𝑤, 𝑥) = 0 em 𝐵1(0) ∩ 𝐷𝜀

conclu´ımos, usando o Lema 2.4, que ∥∇𝑤∥𝐿∞_(𝐵

A estimativa acima, traduzida em termos de𝑢𝜀, ´e equivalente a:

∥∇𝑢𝜀∥𝐿∞_(𝐵

𝑑/2(𝑦0)∩Ω+𝜀) ≤ 𝐶.

Para concluir este caso, ´e suficiente mostrar que,𝑥0 ∈ 𝐵𝑑/2(𝑦0). De fato,

2∣𝑥0− 𝑦0∣ = 2𝑑𝜀(𝑥0) < dist(𝑥0, ∂Ω) − 𝑑𝜀(𝑥0) ≤ dist(𝑦0, ∂Ω) = 𝑑. (C) Caso 3:𝑥0 ∈ Ω+𝜀 e𝑑𝜀(𝑥0) ≥ Δ₃. Temos 𝐹 (𝐷2𝑢, 𝐷𝑢, 𝑥) = 0 em Ω+_𝜀 e Ω′′= Ω′_{∩ {𝑥 ∈ Ω : 𝑑}𝜀(𝑥) ≥ Δ 3} ⋐ Ω + 𝜀, com dist(Ω′′, ∂Ω+𝜀) ≥ Δ 3. Ent˜ao usando estimativa𝐶1,𝛼_{, existe constante universal}_{𝐶 > 0 tal que:}

∥∇𝑢𝜀∥𝐿∞_(Ω′′₎ ≤ 𝐶

onde𝐶 = 𝐶(Δ/3), concluindo assim a prova do Teorema.

Observação 2.2. Vale a pena destacar que a prova da regularidade Lipschitz é válida

para qualquer solução do problema(𝐸𝜀) (não necessariamente soluções minimais).

Observação 2.3. Como_∣∇𝑢𝜀∣ é localmente limitada por uma constante que independe de

𝜀, temos que o conjunto {𝑢𝜀} ´e equicont´ınuo e totalmente limitado. Portanto, pelo teorema

de Ascoli-Arzelá, existe uma função𝑢0 ∈ Liploc(Ω), tal que, a menos de subsequencia,

𝑢𝜀→ 𝑢0uniformemente em subconjuntos compactos deΩ, quando 𝜀 → 0. Nosso objetivo

é mostrar que𝑢0 é a solução do nosso problema de fronteira livre citado na introdução do

Cap´ıtulo 3

Crescimento linear e

n˜ao-degenerescˆencia

Neste cap´ıtulo, iremos destacar algumas propriedade geométricas importantes dos con- juntos de n´ıvel_{𝑢𝜀 = 𝜆𝜀}, das soluções minimais do problema

(𝐸𝜀){ 𝐹 (𝐷 2_𝑢

𝜖, 𝐷𝑢𝜀, 𝑥) = 𝛽𝜖(𝑢𝜖) em Ω

𝑢𝜖 = 𝜑 em ∂Ω.

A primeira informação geométrica importante que queremos é a não-degenerescência uniforme, a qual permite uma compreensão mais profunda da regularidade da fronteira livre. O método da menor supersolução possui uma propriedade bastante interessante, ele nos permite provar que soluções minimais𝑢𝜀de (𝐸𝜀) possuem uma taxa de crescimento

linear e uniforme ao longo das 𝜀-superf´ıcies de n´ıvel. Versões variacionais dessa propriedade estão em conexão com vários trabalhos recentes, por exemplo, em um recente ar- tigo (veja [37]), E. Teixeira e D. Moreira provaram que solução para equações da forma di- vergente (abordagem variacional) ℒ[𝑢] = div(𝐴(𝑥)𝐷𝑢) possuem a propriedade de crescimento linear. Neste cap´ıtulo generalizamos este resultado para operadores totalmente não- lineares e, portanto, uma abordagem não-variacional.

3.1 Crescimento linear

Nesta seção, discutiremos alguns aspectos geométricos das soluções minimais para o problema(𝐸𝜀). Provaremos que soluções minimais deste problema possuem crescimento

linear ao longo das superf´ıcies de n´ıvel𝜀. Devido à limitação do gradiente, provada no cap´ıtulo anterior, o crescimento linear é a taxa ideal de crescimento uniforme no parâmetro 𝜀.

Em geral, essas propriedades não são válidas para qualquer tipo de solução da equação (𝐸𝜀). De fato, para equações variacionais, essas propriedades são válidas para mini-

mizantes do funcional de Euler-Lagrange (veja [21]). A abordagem utilizada nesta seção é puramente não-variacional e pode ser usadas para lidar com classes mais gerais de problemas de EDPs el´ıpticas singulares da forma variacional ou não variacional.

Para simplificar a afirmação dos resultados, usaremos as notações do cap´ıtulo anterior. Dado um número positivo𝛼, denote

𝐵★ 𝛼 := 𝐵𝛿𝜀(𝑥𝜀), onde 𝑢𝜀(𝑥𝜀) = 𝛼 e 𝛿𝜀 = 1 2dist(𝑥𝜀, ∂Ω) Ω𝛼 := {𝑥 ∈ Ω 0 ≤ 𝑢_𝜖(𝑥) ≤ 𝛼} . Ω+ 𝛼 := {𝑥 ∈ Ω 𝑢_𝜖(𝑥) > 𝛼} . 𝑑𝛼(𝑥) := dist(𝑥, Ω𝛼).

Nossa estratégia para provar o crescimento linear é baseada no princ´ıpio de comparação. De fato, a ideia da prova é construir uma supersolução no sentido da viscosidade para a equação (𝐸𝜀), cujos valores num disco r´ıgido interno são menores que seus valores na

fronteira. Depois, vamos provar que, se compararmos essa função com a nossa solução (m´ınima), obtemos um crescimento linear limitando por baixo𝑢𝜀 em termos da distância

do ponto a𝜀-superf´ıcie de n´ıvel ∂Ω+ 𝜀 ∩ Ω.

Proposição 3.1. Suponha que _{0 ∈ Ω. Dado 0 < 𝜂 < dist(0, ∂Ω), existem uma função}

sim´etrica radialΘ𝜖 ∈ 𝐶1,1(Ω) e constantes universais 0 < 𝜅2 e0 < 𝜅1 < 1 tais que

i) Θ𝜀 ≡ 𝜀₄ em𝐵𝜅1𝜂

ii) Θ𝜀 ≥ 𝜅2𝜂 em Ω ∖ 𝐵𝜂

iii) Para_{𝜀 ≪ 1, Θ}𝜀 é uma supersolução no sentido da viscosidade para

𝐹 (𝐷2𝑢, 𝐷𝑢, 𝑥) = 𝛽𝜀(𝑢) em Ω.

Demonstração. Vamos inicialmente estudar o caso𝜀 = 1. A supersolução simétrica radial (no sentido da viscosidade)Θ𝜀 será constru´ıda, baseado num argumento de reescalona-

mento, a partir deΘ1. Observe inicialmente que existe constante𝜏0 > 0 tal que

𝜁(𝑡) ≥ 𝜏0 para𝑡 ∈ [1/4, 3/4], (3.1.1)

portanto, daqui em diante, vamos denotar a seguinte constante universal

𝐴0 :=

𝜏0

Começaremos nossa construção escolhendo um número_{𝐿 ≥} √8 2𝐴0. Considere a constante universal 𝛼 := max { 1, (𝑁 − 1)Λ 𝜆 − 1 } (3.1.3) e defina ¯ Θ(𝑟) = ⎧ ⎨ ⎩ 1 4, para 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝐿 𝐺(𝑟) = 𝐴0(𝑟 − 𝐿)2+ 1₄, para 𝐿 ≤ 𝑟 ≤ 𝐿 + √_2𝐴1 ₀ 𝜙(𝑟) := 𝑀1− 𝑀2𝑟−𝛼, para 𝑟 ≥ 𝐿 + √_2𝐴1 0. (3.1.4)

As constantes positivas𝑀1e𝑀2s˜ao escolhidas de tal modo que

𝜙 ( 𝐿 +_√1 2𝐴0 ) = 3 4 e 𝜙𝑟 ( 𝐿 + _√1 2𝐴0 ) =√2𝐴0.

De fato, podemos escolher

𝜙(𝑟) = 3 4+ √ 2𝐴0 𝛼 ( 𝐿 + _√1 2𝐴0 ) − √ 2𝐴0 𝛼 ( 𝐿 + _√1 2𝐴0 )𝛼+1 𝑟−𝛼 := 𝐾𝐿− 𝑓(𝑟).

Observe que para todo𝜅 > 0 satisfazendo

𝜅−𝛼 < 1 2 ( 8 9 )𝛼+1 , vale _√ 2𝐴0 𝛼 ( 9 8 )𝛼+1 𝜅−𝛼_{𝐿 ≤} 1 2 √ 2𝐴0 𝛼 ( 𝐿 +_√1 2𝐴0 ) Em termos de𝐾𝐿e𝑓 (𝑟), temos 𝑓 (𝜅3𝐿) ≤ 1 2𝐾𝐿, para 𝜅 −𝛼 3 = 1 4 ( 8 9 )𝛼+1 < 1.

Em particular, como𝜙 ´e crescente

𝜙(𝑟) > 1 2𝐾𝐿 ≥ 𝜅4𝐿 para_{𝑟 ≥ 𝜅}3𝐿, onde 𝜅4 = √ 2𝐴0 2𝛼𝐿 .

Definimos, então, a seguinte função simétrica

Θ(𝑥) := ¯_{Θ(∣𝑥∣).}

Podemos calcular a hessiana de _{Θ dentro da faixa 𝐿 ≤ ∣𝑥∣ ≤ 𝐿 +} √1

2𝐴0 e estimar em

termos da ordem da matriz da seguinte forma:

0 ≤ 𝐷𝑖𝑗Θ(𝑥) = 2𝐴0 ( 1 − 𝐿 ∣𝑥∣ ) 𝛿𝑖𝑗 + 2𝐴0𝐿 𝑥𝑖𝑥𝑗 ∣𝑥∣3 ≤ 4𝐴0𝛿𝑖𝑗.

Lembre-se que dentro da faixa_{𝐿 ≤ ∣𝑥∣ ≤ 𝐿 +}√1

2𝐴0, temos 1 4 ≤ Θ(𝑥) ≤ 3 4. Portanto, pela elipticidade e (3.1.1), estimamos 𝐹 (𝐷2_{Θ, 𝐷Θ, 𝑥) ≤ 4𝑁𝐴}0 = 𝜏0 ≤ 𝛽(Θ(𝑥)).

Isto é,_{Θ é supersolução na faixa 𝐿 ≤ ∣𝑥∣ ≤ 𝐿 +} √1

2𝐴0. Vamos, agora, nos concentrar na

regi˜ao_{∣𝑥∣ ≥ 𝐿 +} √1

2𝐴0. Nos pontos da forma𝑥 = (∣𝑥∣, 0, . . . , 0), obtemos

𝐷𝑖𝑗Θ(𝑥) = 0 se𝑖 ∕= 𝑗

𝐷11Θ(𝑥) = −𝑀2𝛼(1 + 𝛼)∣𝑥∣−𝛼−2

𝐷𝑖𝑖Θ(𝑥) = 𝑀2𝛼∣𝑥∣−𝛼−2 para𝑖 > 1.

Por simetria rotacional e definic¸˜ao de_{𝛼, temos, para ∣𝑥∣ ≥ 𝐿 +}√1

2𝐴0, que 𝐹 (𝐷2_{Θ, 𝐷Θ, 𝑥) ≤ 𝔐}+ ( 𝐷2𝜙, 𝜆 𝑁, Λ ) = 𝑀2𝛼 [ Λ(𝑁 − 1) − _𝑁𝜆(𝛼 + 1) ] ∣𝑥∣−𝛼−2 ≤ 0 ≤ 𝛽(Θ),

devido à nossa escolha conveniente do expoente 𝛼 em (3.1.3). Agora, note que, pela renormalização do operador, 𝐹 (𝐷2_{Θ, 𝐷Θ, 𝑥) = 0 ≤ 𝛽(Θ) para 0 ≤ ∣𝑥∣ ≤ 𝐿. Verifi-}

camos, assim, queΘ é uma supersolução da equação totalmente não-linear 𝐹 (𝐷2𝜓, 𝐷𝜓, 𝑥) = 𝛽(𝜓).

Além disso, por construção,Θ(𝑥) := ¯_{Θ(∣𝑥∣) ∈ 𝐶}1,1_{(Ω). Note que as constantes acima são}

el´ıptica totalmente n˜ao-linear 𝐺(𝐷2_{𝜓, 𝐷𝜓, 𝑥) = 𝛽(𝜓), quando 𝐺 possui a mesma con-}

stante de elipticidade de𝐹 .

Para fornecer a supersoluc¸˜ao desejada para qualquer 𝜀 pequeno, argumentamos da seguinte forma: dado𝜂 > 0, para 𝜀 < _𝜅𝜂

3𝐿, achamos, como acima, uma func¸˜aoΘ, a qual

satisfaz, para q.t.p. _{𝑥 ∈ 𝐵}𝜂, a desigualdade diferencial

𝜀𝐹 (𝜀−1𝐷2_{Θ(𝑥), 𝐷Θ, 𝑥) ≤ 𝛽(Θ(𝑥)).}

Vale a pena observar que o operador escalonado𝐹𝜀(𝑀, 𝑝, 𝑥) := 𝜀𝐹 (𝜀−1𝑀, 𝑝, 𝑥) possui a

mesma constante de elipticidade de𝐹 . Defina

Θ𝜀(𝑥) :=

𝜀Θ (𝜀𝑥) .

AssimΘ𝜀 ∈ 𝐶1,1(ℝ𝑁) e ela é uma supersolução para a equação 𝐹 (𝐷2𝜓, 𝐷Ψ, 𝑥) = 𝛽𝜀(𝜓).

As condições desejadas𝑖) e 𝑖𝑖) estão satisfeitas tomando 𝜅1 = _𝜅1₃ e𝜅2 = 𝜅_𝜅4₃. A prova está

completa.

Finalmente, usando a construção da função simétrica radial e a existência de soluções minimais de(𝐸𝜀), obtemos

Teorema 3.1 (Crescimento Linear). Seja _{𝑢𝜀} fam´ılia de soluc¸˜oes minimais de (𝐸𝜀).

Dado 𝐶1 > 1, existe uma constante universal 𝑐2 > 0, dependendo de 𝐶1, tal que, se

𝑥0 ∈ 𝐵𝜀★ e𝑢𝜀(𝑥0) ≥ 𝐶1𝜀, ent˜ao

𝑢𝜀(𝑥0) ≥ 𝑐2𝑑𝜀(𝑥0).

Free Bo undary

Distance to the Free Boundary

Demonstrac¸˜ao. Suponha, sem perda de generalidade, que𝑥0 = 0. Vamos denotar

𝑑𝜀(0) = dist(0, {𝑢𝜀≤ 𝜀}) =: 2𝛾.

Em𝐵2𝛾,𝑢𝜀satisfaz𝐹 (𝐷2𝑢𝜀, 𝐷𝑢𝜀, 𝑥) = 0 portanto, pela desigualdade de Harnack, temos

𝑢𝜀 ≤ 𝐶𝑢𝜀(0) in 𝐵𝛾,

para alguma constante universal 𝐶. Seja Θ𝜀 a supersoluc¸˜ao, no sentido da viscosidade,

dada pela Proposic¸˜ao 3.1 em𝐵𝛾. Portanto

a) Θ𝜀 = 1₄𝜀 < 𝑢𝜀(0) em 𝐵𝜅1𝛾,

b) Θ𝜀 ≥ 𝜅2𝛾 em Ω ∖ 𝐵𝛾,

c) Para𝜀 suficientemente pequeno, Θ𝜀 é uma supersolução de viscosidade para

𝐹 (𝐷2𝑢, 𝐷𝑢, 𝑥) = 𝛽𝜀(𝑢) em Ω.

Afirmac¸˜ao 1. Existe um ponto_{𝑧 ∈ ∂𝐵}𝛾 tal que

Θ𝜀(𝑧) < 𝑢𝜀(𝑧).

De fato, suponha queΘ𝜀 ≥ 𝑢𝜀em∂𝐵𝛾. Defina a seguinte func¸˜ao

𝑤𝜀={ min{𝑢𝜀, Θ𝜀}, em 𝐵𝛾

𝑢𝜀, em Ω ∖ 𝐵𝛾.

Ent˜ao, por b) e c),𝑤¯𝜀∈ 𝒮. Al´em disso por a), temos que

𝑤𝜀 ≡ Θ𝜀 ≡

𝜀

4 < 𝜀 < 𝑢𝜀 em 𝐵𝜅1𝛾,

e𝐵𝜅1𝛾 ⊂ 𝐵𝛾, uma contradição, pois𝑢𝜀 é solução minimal para a Equação(𝐸𝜀). Portanto,

para algum_{𝑧 ∈ ∂𝐵}𝛾,

𝜅𝛾 ≤ Θ𝜀(𝑧) < 𝑢𝜀(𝑧) ≤ 𝐶𝑢𝜀(0),

e a prova est´a completa.

Uma consequência imediata do teorema 3.1 é o seguinte corolário.

Color´ario 3.1 (Crescimento linear ao longo das superf´ıcies de n´ıvel). Dado um sub-

dom´ınio Ω′ ⋐ Ω, existe constante universal 𝐶 = 𝐶(Ω′), independente de 𝜀, tal que,

se𝑥0 ∈ Ω′∩ {𝑢𝜀≥ 𝐶1𝜀}, 𝑑𝜀(𝑥0) ≤ Δ₄,

𝑐2𝑑𝜀(𝑥0) ≤ 𝑢𝜀(𝑥0) ≤ 𝐶𝑑𝜀(𝑥0).

Demonstrac¸˜ao. A primeira desigualdade segue do teorema 3.1, apenas observando que

se 𝑑𝜀(𝑥0) < Δ₃, ent˜ao 𝑥0 ∈ 𝐵𝜀★, como no caso 2 do teorema 2.3. Aplicando o mesmo

No documento Teoria de regularidade para equações elípticas totalmente não lineares com potenciais singulares e problemas de fronteira livre assintóticos (páginas 37-51)