Vamos agora introduzir um conceito muito importante para investigac¸˜ao sobre pro- priedades de suavidade para problemas de fronteira livre. Em toda essa subsec¸˜ao, 𝐸 in- dicar´a um conjunto de per´ımetro localmente finito emℝ𝑁, i.e. ,𝜒
𝐸 ∈ 𝐵𝑉loc(ℝ𝑁).
Definic¸˜ao A.4. Um ponto𝑥 ∈ ℝ𝑁 ´e dito pertencer a fronteira livre de𝐸, 𝑥 ∈ ∂red𝐸, se
(i) ∥∂𝐸∥(𝐵𝑟(𝑥)) > 0 para todo 𝑟 > 0,
(ii) lim 𝑟→0 ∫ ∂𝐵𝑟(𝑥) 𝜈𝐸(𝑦)𝑑∥∂𝐸∥(𝑦) = 𝜈𝐸(𝑦), e (iii) ∣𝜈𝐸(𝑥)∣ = 1.
Note que, como∥∂𝐸∥ ´e uma medida de Radon em ℝ𝑁, segue do Teorema de Diferencia- c¸˜ao de medida de Lebesgue-Besicovitch que∥∂𝐸∥(ℝ𝑁 ∖ ∂red𝐸) = 0 (Veja [19]).
Exemplo 4. Seja𝐸 dom´ınio limitado de classe 𝐶1. Ent˜ao, pelo Teorema 2.2.9 e (2.6) de
[19], temos
𝐷𝜒𝐸 = 𝜈𝑑ℋ𝑁 −1 para todo 𝑥 ∈ ∂𝐸,
onde 𝜈 ´e a normal exterior de ∂𝐸. Em particular, 𝜈𝐸 = 𝜈 e ∂red𝐸 = ∂𝐸. Se 𝐸 for
dom´ınio limitado Lipschitz, ainda temos 𝐷𝜒𝐸 = 𝜈𝑑ℋ𝑁 −1 para ℋ𝑁 −1-q.t.p𝑥 ∈ ∂𝐸, e
ℋ𝑁 −1(∂𝐸 ∖ ∂
O pr´oximo lema ´e uma vers˜ao preliminar do teorema da divergˆencia: Lema A.1. Seja𝜑 ∈ 𝐶1
0(ℝ𝑁;ℝ𝑀). Ent˜ao, para quase todo 𝑟 > 0,
∫ 𝐸∩𝐵𝑟(𝑥) div𝜑 𝑑𝑦 = ∫ 𝐵𝑟(𝑥) 𝜑 ⋅ 𝜈𝐸𝑑∥∂𝐸∥ + ∫ 𝐸∩∂𝐵𝑟(𝑥) 𝜑 ⋅ 𝜈𝑑ℋ𝑁 −1
onde𝜈 denota o vetor normal exterior a ∂𝐵𝑟(𝑥).
Demonstrac¸˜ao. Para simplificar a notac¸˜ao, assuma𝑥 = 0. Seja 𝜂𝜀func¸˜ao linear por partes
satisfazendo:
𝜂𝜀≡ 1 em [0, 𝑟], 𝜂𝜀 ≡ 0 em [𝑟 + 𝜀, ∞)
e denoteℎ𝜀:= 𝜂𝜀(∣𝑥∣). De (A.2.2) e do teorema da divergˆencia cl´assico, obtemos
∫ 𝐸 div(ℎ𝜀𝜑)𝑑𝑦 = ∫ ℝ𝑁 ℎ𝜀𝜑𝜈𝐸𝑑∥∂𝐸∥ = ∫ 𝐸 ℎ𝜀div𝜑𝑑𝑦 + ∫ 𝐸 𝐷ℎ𝜀⋅ 𝜑𝑑𝑦. (A.3.1)
Note que𝐷ℎ𝜀≡ 0 em 0 < ∣𝑦∣ < 𝑟 e em 𝑟 + 𝜀 < ∣𝑦∣, enquanto
𝐷ℎ𝜀(𝑦) = −
1 𝜀
𝑦
∣𝑦∣ em 𝐴 := {𝑦 : 𝑟 < ∣𝑦∣ < 𝑟 + 𝜀}. Portanto, (A.3.1) torna-se
∫ ℝ𝑁 ℎ𝜀𝜑𝜈𝐸𝑑∥∂𝐸∥ = ∫ 𝐸 ℎ𝜀div𝜑𝑑𝑦 − 1 𝜀 ∫ 𝐸∩𝐴𝜑 ⋅ 𝑦 ∣𝑦∣𝑑𝑦. (A.3.2) Fazendo𝜀 → 0 em (A.3.2), levando em conta que para toda 𝜉 ∈ 𝐿1,
∂𝑟 (∫ 𝐵𝑟 𝜉𝑑𝑥 ) = ∫ ∂𝐵𝑟 𝜉𝑑ℋ𝑁 −1, para quase todo𝑟 > 0, conclu´ımos a prova do lema.
O pr´oximo lema aborda o comportamento com relac¸˜ao `a densidade de 𝐸 pr´oximo `a fronteira reduzida.
Lema A.2 (Veja [19]-Lema 2.3.4). Existem constantes positivas𝑐 e 𝐶, dependendo so-
mente da dimens˜ao e𝐸, tais que para todo 𝑥 ∈ ∂red𝐸,
(1) lim inf 𝑟→0 ∣𝐵𝑟(𝑥) ∩ 𝐸∣ 𝑟𝑁 > 𝑐, (2) lim inf 𝑟→0 ∣𝐵𝑟(𝑥) ∖ 𝐸∣ 𝑟𝑁 > 𝑐, (3) lim inf 𝑟→0 ∥∂𝐸∥(𝐵𝑟(𝑥)) 𝑟𝑁 −1 > 𝑐, (4) lim sup 𝑟→0 ∥∂𝐸∥(𝐵𝑟(𝑥)) 𝑟𝑁 −1 ≤ 𝐶, (5) lim sup 𝑟→0 ∥∂(𝐸 ∩ 𝐵𝑟(𝑥))∥(ℝ𝑁) 𝑟𝑁 −1 ≤ 𝐶.
Demonstrac¸˜ao. Inicialmente tomando o supremo sobre todas 𝜑 ∈ 𝐶01(ℝ𝑁;ℝ𝑁), satis-
fazendo∣𝜑∣ ≤ 1 no Lema A.1, conclu´ımos para q.t. 𝑟 > 0, que
∥∂(𝐸 ∩ 𝐵𝑟(𝑥))∥(ℝ𝑁) ≤ ∥∂𝐸∥(𝐵𝑟(𝑥)) + ℋ𝑁 −1(𝐸 ∩ ∂𝐵𝑟(𝑥)). (A.3.3)
Agora, tomando𝜑 ≡ 𝜈𝐸(𝑥) em 𝐵𝑟(𝑥) no Lema A.1 obtemos
∫ 𝐵𝑟(𝑥) 𝜈𝐸(𝑥) ⋅ 𝜈𝐸𝑑∥∂𝐸∥ = − ∫ 𝐸∩∂𝐵𝑟(𝑥) 𝜈𝐸(𝑥) ⋅ 𝜈𝑑ℋ𝑁 −1. (A.3.4) Como𝑥 ∈ ∂red𝐸, lim 𝑟→0 ∫ ∂𝐵𝑟(𝑥) 𝜈𝐸(𝑥) ⋅ 𝜈𝑑∥∂𝐸∥(𝑦) = ∣𝜈𝐸(𝑥)∣2 = 1.
Portanto, segue de (A.3.3) que, para quase todo𝑟 > 0 suficientemente pequeno 1
2∥∂𝐸∥(𝐵𝑟(𝑥)) ≤ ℋ
𝑁 −1(𝐸 ∩ 𝐵
𝑟(𝑥)). (A.3.5)
Combinando (A.3.3) e (A.3.5), obtemos
∥∂(𝐸 ∩ 𝐵𝑟(𝑥))∥(ℝ𝑁) ≤ 3ℋ𝑁 −1(𝐸 ∩ 𝐵𝑟(𝑥)). (A.3.6)
Defina𝑔(𝑟) := ∣𝐸 ∩ 𝐵𝑟(𝑥)∣. Para q.t. 𝑟 > 0,
Combinando agora a desigualdade isoperim´etrica, Teorema A.4, e (A.3.6), deduzimos que, para q.t. 𝑟 > 0 suficientemente pequeno,
𝑔(𝑟)1−𝑁1 ≤ 𝐶𝑔′(𝑟).
Isto nos diz que
1
𝐶 ≤ 𝑔(𝑟)
1−𝑁
𝑁 𝑔′(𝑟) = 𝑛(𝑔1/𝑁(𝑟))′.
A desigualdade acima implica imediatamente que, para q.t. 𝑟 > 0 suficientemente pe- queno
∣𝐸 ∩ 𝐵𝑟(𝑥)∣ = 𝑔(𝑟) ≥ 𝑐𝑟𝑁.
Isto prova (1). Como
∥∂𝐸∥ = ∥∂(ℝ𝑁 ∖ 𝐸)∥
e𝜈𝐸 = −𝜈ℝ𝑁∖𝐸, (2) segue de (1). A afirmac¸˜ao (3) segue agora de (1), (2) e da desigualdade
isoperim´etrica (a segunda desigualdadedo TeoremaA.4). O item (4) segue de (A.3.5) e (5) ´e obtido combinando (4) e (A.3.3).
Agora voltamos nossa atenc¸˜ao para uma t´ecnica fundamental no que diz respeito a “blow-up” em torno de pontos da fronteira livre.
Definic¸˜ao A.5. Seja𝑥 ∈ ∂red𝐸. Definimos o plano tangente no sentido da teoria geom´etrica
da medida para𝐸 em 𝑥 como
𝐻(𝑥) := {𝑦 ∈ ℝ𝑁∣ 𝜈𝐸(𝑥) ⋅ (𝑦 − 𝑥) = 0}.
Definimos tamb´em os semi-espac¸os no sentido da teoria geom´etrica da medida como
𝐻+(𝑥) := {𝑦 ∈ ℝ𝑁∣ 𝜈
𝐸(𝑥) ⋅ (𝑦 − 𝑥) ≥ 0}
𝐻−(𝑥) := {𝑦 ∈ ℝ𝑁∣ 𝜈𝐸(𝑥) ⋅ (𝑦 − 𝑥) ≤ 0}
e para𝑟 > 0, chamamos
𝐸𝑟 := {𝑦 ∈ ℝ𝑁∣ 𝑟(𝑦 − 𝑥) + 𝑥 ∈ 𝐸}.
O pr´oximo resultado diz que, para𝑟 suficientemente pequeno, 𝐸 ∩ 𝐵𝑟(𝑥) est´a se apro-
ximando do conjunto𝐻−(𝑥) ∩ 𝐵
Teorema A.6 (Veja [19]). Seja 𝑥 ∈ ∂red𝐸. Ent˜ao 𝜒𝐸𝑟 → 𝜒𝐻−(𝑥) in 𝐿
1
loc(ℝ𝑁), quando
𝑟 → 0.
Demonstrac¸˜ao. Para simplificar as notac¸˜oes, vamos supor que 𝑥 = 0 e 𝜈 = 𝑒𝑁. Fixe
𝑅 > 0 e seja 𝐷𝑟 := 𝐸𝑟 ∩ 𝐵𝑅, e 𝑔𝑟(𝑥) := 𝑟𝑦. Dado qualquer 𝜑 ∈ 𝐶01(ℝ𝑁;ℝ𝑁), com
∣𝜑∣ ≤ 1, usando o teorema da mudanc¸a de vari´avel temos, ∫ 𝐷𝑟 div𝜑(𝑍)𝑑𝑍 = 1 𝑟𝑁 −1 ∫ 𝐸∩𝐵𝑟𝑅 div(𝜑 ∘ 𝑔𝑟(𝑦))𝑑𝑦 = 1 𝑟𝑁 −1 ∫ ℝ𝑁(𝜑 ∘ 𝑔𝑟) ⋅ 𝜈𝐸∩𝐵𝑟𝑅𝑑∥∂(𝐸 ∩ 𝐵𝑟𝑅)∥ ≤ 𝐶 < ∞,
do Lema A.2, item (5). Portanto, ∥∂𝐷𝑟∥(ℝ𝑁) ≤ 𝐶 < ∞, para 0 < 𝑟 ≤ 1, i.e., 𝐷𝑟 ´e
um conjunto de per´ımetro finito. Certamente,∥𝜒𝐷𝑟∥ < 𝜔𝑁𝑅
𝑁, pois𝐷
𝑟 ⊂ 𝐵𝑅. Portanto,
∥𝜒𝐷𝑟∥𝐵𝑉 < 𝐶 e, portanto, pelo Teorema A.3, a menos de subsequencia, 𝜒𝐸𝑟 → 𝑓 em
𝐿1
loc(ℝ𝑁), para alguma 𝑓 ∈ 𝐵𝑉loc(ℝ𝑁). Passando a uma subsequˆencia, se necess´ario,
podemos assumir que𝜒𝐸𝑟 → 𝑓 q.t.p, portanto, para algum conjunto de per´ımetro local-
mente finito𝐹 , 𝑓 = 𝜒𝐹 q.t.p. O objetivo agora ´e provar que𝐹 = 𝐻−(0). Sejam ∥∂𝐹 ∥ e
𝜈𝐹 como em (A.2.1). Para toda𝜑 ∈ 𝐶01(ℝ𝑁;ℝ𝑁),
∫ ℝ𝑁𝜑 ⋅ 𝜈𝐸𝑟𝑑∥∂𝐸𝑟∥ = ∫ 𝐸𝑟 div𝜑 𝑑𝑥 → ∫ 𝐹 div𝜑 𝑑𝑥 = ∫ ℝ𝑁𝜑 ⋅ 𝜈𝐹𝑑∥∂𝐹 ∥.
Isto mostra que 𝜈𝐸𝑟∥∂𝐸𝑟∥ → 𝜈𝐹∥∂𝐹 ∥ no sentido de medida. Sabemos que para quase
todo𝑅 > 0, ∥∂𝐹 ∥(∂𝐵𝑅) = 0. Assim, para quase todo 𝑅 > 0,
∫ 𝐵𝑅 𝜈𝐸𝑟𝑑∥∂𝐸𝑟∥ → ∫ 𝐵𝑅 𝜈𝐹𝑑∥∂𝐹 ∥. (A.3.7)
Contudo, para toda𝜑 ∈ 𝐶01(ℝ𝑁;ℝ𝑁), podemos escrever
∫ ℝ𝑁𝜑 ⋅ 𝜈 𝐸𝑟𝑑∥∂𝐸𝑟∥ = 1 𝑟𝑁 −1 ∫ ℝ𝑁(𝜑 ∘ 𝑔 𝑟) ⋅ 𝜈𝐸𝑑∥∂𝐸∥.
Segue que∥∂𝐸𝑟∥(𝐵𝑅) = 𝑟𝑁 −11 ∥∂𝐸∥(𝐵𝑟𝑅) e, portanto,
∫ 𝐵𝑅 𝜈𝐸𝑟𝑑∥∂𝐸𝑟∥ = 1 𝑟𝑁 −1 ∫ 𝐵𝑟𝑅 𝜈𝐸𝑑∥∂𝐸∥.
Dividindo a express˜ao acima por𝑅𝑁 e fazendo𝑟 → 0, obtemos, pois 0 ∈ ∂
red𝐸, que lim 𝑟→0 ∫ 𝐵𝑅 𝜈𝐸𝑟𝑑∥∂𝐸𝑟∥ = 𝑒𝑁.
Para𝑅 > 0 de modo que ∥∂𝐹 ∥(∂𝐵𝑅) = 0, temos, do Teorema A.1, ∥∂𝐹 ∥(∂𝐵𝑅) ≤ lim inf 𝑟→0 ∥∂𝐸𝑟∥(𝐵𝑅) = lim𝑟→0 ∫ 𝐵𝑅 𝑒𝑁𝜈𝐸𝑟𝑑∥∂𝐸𝑟∥ = ∫ 𝐵𝑅 𝑒𝑁𝜈𝐹𝑑∥∂𝐹 ∥,
por (A.3.7). Como∣𝜈𝐹∣ = 1, ∥∂𝐹 ∥ q.s., da desigualdade acima, conclu´ımos que
𝜈𝐹 ≡ 𝑒𝑁, ∥∂𝐹 ∥ q.s.
Em particular, para toda𝜑 ∈ 𝐶01(ℝ𝑁;ℝ𝑁),
∫ 𝐹 div𝜑𝑑𝑥 = ∫ ℝ𝑁𝜑 ⋅ 𝑒 𝑁𝑑∥∂𝐹 ∥.
Agora, seja𝜂𝜀func¸˜ao mollifier, e defina𝑓𝜀 := 𝜂𝜀★ 𝜒𝐹. Ent˜ao
∫ ℝ𝑁 𝑓𝜀div𝜑𝑑𝑥 = ∫ 𝐹 div(𝜂𝜀★ 𝜑)𝑑𝑥 = ∫ ℝ𝑁 𝜂𝜀★ (𝜑 ⋅ 𝑒𝑁)𝑑∥∂𝐹 ∥.
Al´em disso, aplicando o Teorema da Divergˆencia, ∫ ℝ𝑁 𝑓𝜀div𝜑𝑑𝑥 = − ∫ ℝ𝑁 𝐷𝑓𝜀⋅ 𝜑𝑑𝑥.
A conclus˜ao ´e que∂𝑗𝑓𝜀 = 0, para 𝑗 = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑁 − 1 e ∂𝑁𝑓𝜀 ≤ 0. Portanto, quando
𝜀 → 0, a menos de um conjunto ℋ𝑁 negligente,
𝐹 = {𝑌 ∈ ℝ𝑁 : 𝑌𝑁 ≤ 𝛼}, para algum n´umero real𝛼.
Finalmente, devemos mostrar que𝛼 = 0. Isto ´e consequˆencia da propriedade de densidade listada no Lema (A.2). De fato, assuma que𝛼 > 0, ent˜ao, como 𝜒𝐸𝑟 → 𝜒𝐹 em𝐿1loc(ℝ𝑁),
ter´ıamos
𝜔𝑁𝛼𝑁 = ∣𝐹 ∩ 𝐵𝛼∣ = lim
𝑟→0∣𝐸𝑟∩ 𝐵𝛼∣ = lim𝑟→0
∣𝐵𝛼𝑟∩ 𝐸∣
𝑟𝑁 .
Mas o item (2) no Lema (A.2) nos levaria a
𝜔𝑁𝛼𝑁𝑟𝑁 = ∣𝐵𝛼𝑟∖ 𝐸∣ + ∣𝐵𝛼𝑟∩ 𝐸∣ ≥ 𝑐𝑟𝑁𝛼𝑁 + 𝜔𝑁𝛼𝑁.
Fazendo𝑟 → 0, obtemos uma contradic¸˜ao. Similarmente, se 𝛼 for negativo, o item (1) do mesmo lema nos leva a uma contradic¸˜ao.
Note que, da prova do Teorema A.6, obtemos ∥∂𝐸∥(𝐵𝑟) 𝑟𝑁 −1 = ∥∂𝐸𝑟∥(𝐵1). Como∥∂𝐻−(0)∥(∂𝐵1) = ℋ𝑁 −1(𝐵 1∩ 𝐻(0)) = 0, deduzimos que lim 𝑟→0 ∥∂𝐸∥(𝐵𝑟) 𝑟𝑁 −1 = ∥∂𝐻−(0)∥(𝐵1) = ℋ𝑁 −1(𝐵1∩ 𝐻(0)) = 𝛼(𝑁 − 1). Isto ´e, lim 𝑟→0 ∥∂𝐸∥(𝐵𝑟) 𝛼(𝑁 − 1)𝑟𝑁 −1 = 1. (A.3.8)
A pr´oxima etapa ´e mostrar que a fronteira reduzida,∂red𝐸, de um conjunto de per´ımetro
localmente finito𝐸 ´e uma hipersuperf´ıcie de casse 𝐶1, a menos de um conjunto ∥∂𝐸∥
negligente. O pr´oximo teorema fornece uma descric¸˜ao completa da estrutura da fronteira reduzida, mas primeiro mostraremos um interessante lema:
Lema A.3. Dado um conjunto de per´ımetro localmente finito 𝐸, existe uma constante 𝐶, dependendo somente de 𝐸 e dimens˜ao 𝑁 , tal que, para qualquer conjunto de Borel ℬ⊂ ∂red𝐸, vale
ℋ𝑁 −1(ℬ) ≤ 𝐶∥∂𝐸∥(ℬ).
Demonstrac¸˜ao. Fixe𝜖, 𝛿 > 0. Como ∥∂𝐸∥ ´e uma medida de Radon
∥∂𝐸∥(𝑈) ≤ ∥∂𝐸∥(𝐵) + 𝜖,
para algum conjunto aberto𝑈 ⊂ 𝐵. Do Lema A.2, item (3), se 𝑥 ∈ ∂red𝐸,
lim
𝑟→0
∥∂𝐸∥(𝐵𝑟(𝑥))
𝑟𝑁 −1 > 𝑐, (A.3.9)
onde𝑐 s´o depende de 𝑁 e 𝐸. Defina
Λ := { 𝐵𝑟(𝑥) : 𝑥 ∈ ℬ, 𝐵𝑟(𝑥) ⊂ 𝑈, 𝑟 < 𝛿 8 e ∥∂𝐸∥(𝐵𝑟(𝑥)) > 𝑐𝑟 𝑁 −1 } .
Segue do Teorema da convergˆencia de Vitali que existe uma fam´ılia de bolas disjuntas {𝐵𝑟𝑗(𝑥)}∞𝑗=1 ⊂ Λ, satisfazendo ℬ ⊂
∪∞
𝑗=1𝐵5𝑟𝑗(𝑥𝑗). Como diam𝐵5𝑟𝑗(𝑥) ≤ 𝛿, temos
ℋ𝛿𝑁 −1(ℬ) ≤ 𝛼(𝑁 − 1) ∞ ∑ 𝑗=1 (5𝑟𝑗)𝑁 −1 = 𝐶 ∞ ∑ 𝑗=1 (𝑟𝑗)𝑁 −1.
Assim, tendo em vista (A.3.9), podemos escrever ℋ𝑁 −1𝛿 (ℬ) ≤ 𝐶 ∞ ∑ 𝑗=1 ∥∂𝐸∥(𝐵𝑟𝑗(𝑥𝑗)) ≤ 𝐶∥∂𝐸∥(𝑈) ≤ 𝐶{∥∂𝐸∥(ℬ) + 𝜖}.
Fazendo𝜖 → 0 e depois 𝛿 → 0, obtemos o resultado desejado.
Teorema A.7. Seja𝐸 conjunto de per´ımetro localmente finito emℝ𝑁. Ent˜ao
∂red𝐸 = (∞ ∪ 𝑗=1 𝐶𝑗 ) ∪ 𝑁,
onde cada 𝐶𝑗 ´e subconjunto compacto de uma hipersuperf´ıcie 𝑆𝑗 de classe 𝐶1 e com
as notac¸˜oes anteriores, ∥∂𝐸∥(𝑁) = 0. Al´em disso, 𝜈𝐸∣𝑆𝑗 ´e normal ao conjunto 𝑆𝑗 e
∥∂𝐸∥ = ℋ𝑁 −1⌊∂
red𝐸, i.e., para todo abeto 𝐴,
Per(𝐸, 𝐴) := ∥∂𝐸∥(𝐴) = ℋ𝑁 −1(∂red𝐸 ∩ 𝐴).
Demonstrac¸˜ao. Com as notac¸˜oes introduzidas, segue do Teorema ?? que para todo𝑥 ∈
∂red𝐸, lim 𝑟→0 ∣𝐵𝑟(𝑥) ∩ 𝐸 ∩ 𝐻+(𝑥)∣ 𝑟𝑁 = lim𝑟→0 ∣(𝐵𝑟(𝑥) ∖ 𝐸) ∩ 𝐻−(𝑥)∣ 𝑟𝑁 = 0. (A.3.10)
Pelo Teorema de Egorov, podemos achar conjuntos∥∂∥-mensur´aveis disjuntos {𝐹𝑖}∞𝑖=1 ⊂ ∂red𝐸,
tais que,
(i) ∥∂𝐸∥(𝐹𝑖) < ∞, ∥∂𝐸∥ (∂red𝐸 ∖∪∞𝑖=1𝐹𝑖) = 0,
(ii) a convergˆencia em (A.3.10) ´e uniforme sobre𝐹𝑖, para cada𝑖 = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ .
Agora, para cada𝑖, pelo Teorema de Lusin, existem conjuntos compactos disjuntos {𝐸𝑖𝜆}∞𝜆=1 ⊂ 𝐹𝑖, tal que ∥∂𝐸∥ ( 𝐹𝑖∖ ∞ ∪ 𝜆=1 𝐸𝑖𝜆 ) = 0 e 𝜈 𝐸𝜆 𝑖 ´e cont´ınua.
Por reindexac¸˜ao dos conjuntos, podemos dizer que{𝐸𝑖𝜆}∞𝑖,𝜆=1 = {𝐶𝑗}∞𝑗=1. Pelas informac¸˜oes
(a) ∂red𝐸 + ( ∪∞ 𝑗=1𝐶𝑗 ) ∪ 𝑁, ∥∂𝐸∥(𝑁) = 0,
(b) a convergˆencia em (A.3.10) ´e uniforme em𝐶𝑗, e𝜈
𝐶𝑗
´e cont´ınua .
Nossa estrat´egia agora ´e construir func¸˜oes𝐶1, 𝑓
𝑗 : ℝ𝑁 → ℝ, tais que 𝑓𝑗 = 0 em 𝐶𝑗 e
∇𝑓𝑗 = 𝜈𝐸 em𝐶𝑗. uma vez conseguidas essas func¸˜oes, a fam´ılia de hipersuperf´ıcies
𝑆𝑗 := {𝑥 ∈ ℝ𝑁 : 𝑓𝑗(𝑥) = 0, ∣∇𝑓𝑗(𝑥)∣ > 1/2}
satisfaz as condic¸˜oes do Teorema. Em vista do teorema de extens˜ao de Whitney (veja por exemplo [26], p´agina 225), tudo que precisamos fazer ´e verificar que
𝜌𝑗(𝛿) := sup{ ∣𝜈𝐸(𝑥) ⋅ (𝑦 − 𝑥)∣
∣𝑦 − 𝑥∣ : 0 < ∣𝑦 − 𝑥∣ ≤ 𝛿, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶𝑗 }
→ 0, (A.3.11) quando𝛿 → 0. Para este fim, fixe 𝑗 e um 0 < 𝜖 < 1. De (A.3.10) e das informac¸˜oes em (𝑎) e (𝑏), existe 0 < 𝛿 < 1, tal que para 𝑧 ∈ 𝐶𝑗 e𝑟 < 2𝛿
∣𝐸 ∩ 𝐵𝑟(𝑧) ∩ 𝐻+(𝑧)∣ < 𝜖𝑁 2𝑁 +2𝜔𝑁𝑟 𝑁 e ∣𝐸 ∩ 𝐵𝑟(𝑧) ∩ 𝐻−(𝑧)∣ < 𝜔𝑁 ( 1 2− 𝜖𝑁 2𝑁 +2 ) 𝑟𝑁. (A.3.12) Agora, sejam𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶𝑗e𝜅 := ∣𝑥−𝑦∣ ≤ 𝛿. Suponha inicialmente que 𝜈𝐸(𝑥)⋅(𝑦−𝑥) ≤ 𝜖𝜅.
Como𝜖 < 1,
𝐵𝜖𝑘(𝑦) ⊂ 𝐻+(𝑥) ∩ 𝐵2𝜅(𝑥). (A.3.13)
De fato, para todo𝑧 = 𝑦 + 𝑧′, com∣𝑧′∣ ≤ 𝜖𝜅, 𝜈
𝐸(𝑥) ⋅ (𝑧 − 𝑥) > 𝜖𝜅 − ∣𝑧′∣ ≥ 0. Contudo, a
primeira desigualdade em (A.3.12), com𝑧 = 𝑥,
∣𝐸 ∩ 𝐵2𝜅(𝑥) ∩ 𝐻+(𝑥)∣ ≤
𝜖𝑁𝜔 𝑁
4 𝜅
𝑁. (A.3.14)
Por outro lado, pela segunda desigualdade de (A.3.12) com𝑧 = 𝑦, temos
∣𝐸 ∩ 𝐵𝜖𝜅(𝑦) ∩ 𝐻−(𝑦)∣ > 𝜔𝑁𝜖𝑁𝜅𝑁 ( 1 2− 𝜖𝑁 2𝑁 +2 ) > 𝜖 𝑁𝜔 𝑁 4 𝜅 𝑁. (A.3.15)
Combinando (A.3.13), (A.3.14) e (A.3.15), chegamos a uma contradic¸˜ao. O caso onde 𝜈𝐸(𝑥) ⋅ (𝑦 − 𝑥) ≤ −𝜖∣𝑥 − 𝑦∣ ´e similar.
Estas observac¸˜oes mostram que ∥∂𝐸∥ = ℋ𝑁 −1⌊∂red𝐸. Para qualquer conjunto de
Borel ℬ⊂ ∂red𝐸, temos, de acordo com o Lema A.3,
Portanto, a menos de um conjunto ℋ𝑛−1 inegligente, podemos supor ℬ⊂ ∪∞
𝑗=1𝐶𝑗. Seja
ℬ𝑗 := ℬ ∩ 𝐶𝑗 ⊂ 𝑆𝑗 e𝜇𝑗 := ℋ𝑁 −1⌊𝑆𝑗, i.e.,𝜇𝑗(𝐴) = ℋ𝑁 −1(𝐴 ∩ 𝑆𝑗), para todo conjunto
de Borel𝐴. Como 𝑆𝑗 ´e uma superf´ıcie𝐶1, dada qualquer bola𝐵𝑟(𝑥) centrada em 𝑥 ∈ ℬ𝑗,
temos
lim
𝑟→0
𝜇𝑗(𝐵𝑟(𝑥))
𝛼(𝑁 − 1)𝑟𝑁 −1 = 1.
Combinando a condic¸˜ao acima com (A.3.8), achamos que
lim
𝑟→0
𝜇𝑗(𝐵𝑟(𝑥))
∥∂𝐸∥(𝐵𝑟(𝑥))
= 1,
e como cada𝜇 e ∥∂𝐸∥ s˜ao medidas de Radon, o Teorema da diferenciac¸˜ao para medidas de Radon implica que∥∂𝐸∥ = ℋ𝑁 −1⌊∂red𝐸.
Vamos finalizar enunciando um resultado sobre a validade do Teorema da Divergˆencia para conjuntos de per´ımetro localmente finito. Para isso, precisamos considerar um con- junto maior que a fronteira reduzida: o qual ´e chamado fronteira no sentido da teoria geom´etrica da medida∂★𝐸
Definic¸˜ao A.6. Um ponto 𝑥 ´e dito pertencer a ∂★𝐸, a fronteira no sentido da teoria
geom´etrica da medida, de𝐸, quando
lim 𝑟→0 ∣𝐵𝑟(𝑥) ∩ 𝐸∣ 𝑟𝑁 > 0 e 𝑟→0lim ∣𝐵𝑟(𝑥) ∖ 𝐸∣ 𝑟𝑁 > 0.
Uma outra maneira de ver ´e a seguinte:𝑥 ∈ ∂★𝐸 se ambos 𝐸 e 𝐸𝑐 possuem densidade
positiva em torno de 𝑥. Como veremos, esta ´e uma informac¸˜ao importante quando se estudam problemas de fronteira livre. O pr´oximo lema relaciona a fronteira reduzida com a fronteira no sentido da medida te´orica.
Lema A.4. Seja𝐸 conjunto de per´ımetro localmente finito. Ent˜ao ∂red𝐸 ⊂ ∂★𝐸 e
ℋ𝑁 −1(∂★𝐸 ∖ ∂red𝐸) = 0.
Demonstrac¸˜ao. O fato de que ∂red𝐸 ⊂ ∂★𝐸 segue imediatamente de Lema A.2. Vamos
provar que ℋ𝑁 −1(∂★𝐸 ∖ ∂red𝐸) = 0. Seja 0 < 𝛼 < 1
𝛼 := lim
𝑟→0
∣𝐵𝑟(𝑥) ∩ 𝐸∣
𝜔𝑁
Certamente,lim𝑟→0∣𝐵𝑟(𝑥)∖𝐸∣
𝜔𝑁𝑟𝑁 = 1 − 𝛼. Portanto
min {∣𝐵𝑟(𝑥) ∩ 𝐸∣, ∣𝐵𝑟(𝑥) ∖ 𝐸∣} = min{𝛼, (1 − 𝛼)}𝜔𝑁𝑟𝑁 + 𝑜(1).
Combinando a express˜ao acima com a desigualdade isoperim´etrica e a segunda desigual- dade do Teorema A.4, obtemos
∥∂𝐸∥(𝐵𝑟(𝑥))
𝑟𝑁 −1 ≥ 𝑐{min{𝛼, 1 − 𝛼}𝜔𝑁𝑟 𝑁
+ 𝑜(1)}1/𝑁. Portanto, conclu´ımoslim sup
𝑟→0
∥∂𝐸∥(𝐵𝑟(𝑥))
𝑟𝑁 −1 > 0. Finalmente, lembrando que
∥∂𝐸∥(ℝ𝑁 ∖ ∂red𝐸) = 0,
basta aplicar um argumento de cobertura para concluir que ℋ𝑁 −1(∂★𝐸 ∖ ∂red𝐸) = 0.
Lembre de (A.2.2) que se𝐸 possui per´ımetro localmente finito e 𝜑 ∈ 𝐶01(ℝ𝑁;ℝ𝑁),
∫ 𝐸 div𝜑(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ ℝ𝑁𝜑(𝑥) ⋅ 𝜈 𝐸(𝑥)𝑑∥∂𝐸∥(𝑥). (A.3.16)
Entretanto,∥∂𝐸∥(ℝ𝑁 ∖ ∂red𝐸) = 0 e do Teorema A.7,
∥∂𝐸∥ = ℋ𝑁 −1⌊∂ red𝐸.
Contudo, do Lema A.4, ℋ𝑁 −1(∂★𝐸 ∖ ∂red𝐸) = 0. Conclu´ımos, portanto, que
∥∂𝐸∥ = ℋ𝑁 −1⌊∂★𝐸.
Em particular, ℋ𝑁 −1(∂★∩ 𝐾) < ∞ para todo compacto 𝐾 ⊂ ℝ𝑁. Assim, (A.3.16) pode
ser reescrito em termos do Teorema da Divergˆencia: ∫ 𝐸 div𝜑(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ ∂★𝐸 𝜑(𝑥) ⋅ 𝜈𝐸(𝑥)𝑑ℋ𝑁 −1(𝑥),
Provamos assim que o Teorema da Divergˆencia ´e v´alido para conjuntos de per´ımetro finito. Mais precisamente:
Teorema A.8. Seja𝐸 conjunto localmente de per´ımetro finito. Ent˜ao, para ℋ𝑁 −1-q.t.p.
𝑥 ∈ ∂★𝐸, existe uma ´unico “vetor normal no sentido da medida te´orica”, 𝜈𝐸(𝑥), tal que
∫ 𝐸 div𝜑(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ ∂★𝐸 𝜑(𝑥) ⋅ 𝜈𝐸(𝑥)𝑑ℋ𝑁 −1(𝑥), para toda𝜑 ∈ 𝐶01(ℝ𝑁;ℝ𝑁).
Apˆendice B
Direc¸˜oes futuras
Este apˆendice ´e devotado ao estudo do problema de fronteira livre de duas fases (isto ´e, quando𝜑 muda de sinal) e o caso parab´olico. A similaridade de problemas de fronteira livre el´ıpticos e sua vers˜ao parab´olica nos permitem fazer algumas adaptac¸˜oes.
B.1
Problema el´ıptico de duas fases
Nesta sec¸˜ao, estamos interessados em discutir algumas ideias com relac¸˜ao ao problema de perturbac¸˜ao singular
{ 𝐹 (𝐷2𝑢, 𝑥) = 𝜁
𝜀(𝑢) emΩ
𝑢 = 𝜑 em∂Ω, (B.1.1)
em que𝜑 muda de sinal e, portanto, se trata de um problema de duas fases. Como vimos neste trabalho, a maior dificuldade em estudar o problema de fronteira livre para equac¸˜oes totalmente n˜ao-lineares ´e a falta de caracterizac¸˜ao variacional. Inspirado por este trabalho, gostar´ıamos de estender esses resultados para problemas de duas fases para equac¸˜oes total- mente n˜ao-lineares. Iniciaremos nossa jornada observando alguns pontos principais deste projeto. A primeira observac¸˜ao ´e o fato de que a existˆencia de soluc¸˜oes minimais inde- pende do sinal da func¸˜ao𝜑 na fronteira ∂Ω e, portanto, o Teorema 2.1 continua v´alido para tais problemas. Ent˜ao, com certeza, a primeira dificuldade diz respeito ao Teorema 2.3, o qual fornece regularidade Lipschitz para as soluc¸˜oes. A priori, quando as soluc¸˜oes 𝑢𝜀
de (B.1.1) mudam de sinal, em geral, ´e necess´ario uma f´ormula de monotonicidade para equac¸˜oes totalmente n˜ao-lineares, como em [1]. Em um recente trabalho, E. Teixeira e M. Montenegro em [20] provaram regularidade Lipschitz sem a utilizac¸˜ao da f´ormula de monotonicidade. Eles obtiveram o seguinte resultado:
Teorema B.1. Seja Ω ⊂ ℝ𝑁 dom´ınio limitado, 𝐺 func¸˜ao positiva de classe 𝐶1, 𝐹 uni-
formemente el´ıptico com estimativa a priori𝐶1,1 e𝑢
𝜀fam´ılia de soluc¸˜oes para
𝐹 (𝐷2𝑢) = 𝐺(𝑥)𝜁𝜀(𝑢) em Ω.
Suponha que exista1 < 𝜆𝜀 < 𝐶 tal que {𝑢𝜀 = 𝜆𝜀𝜀} ´e localmente superf´ıcie de classe
𝐶1,𝛼, com norma 𝐶1,𝛼 uniformemente limitada. Ent˜ao, dado subdom´ınioΩ′ ⋐ Ω, existe
constante𝐾 dependendo da dimens˜ao, elipticidade, 𝜁 e 𝐺, mas independe de 𝜀, tal que max
𝑥∈Ω′ ∣∇𝑢𝜀(𝑥)∣ ≤ 𝐾.
A estrat´egia para demonstrar o teorema consiste em analisar o comportamento do gra- diente em duas regi˜oes. Inicialmente na regi˜aoΩ′
𝜀 := {𝑦 ∈ Ω′ : ∣𝑢𝜀(𝑦)∣ > 𝜀}, 𝑢𝜀 satisfaz
uma EDP homogˆenea e, portanto, temos um controle sobre o gradiente. A parte compli- cada surge quando analisamos o gradiente sobre a ´area de transic¸˜ao
Γ𝜀 := {𝑦 ∈ Ω′ : ∣𝑢𝜀(𝑦)∣ ≤ 𝜀}.
Acredito que seja poss´ıvel provar o mesmo resultado retirando a hip´otese de regularidade sobre as superf´ıcies de n´ıvel{𝑢𝜀 = 𝜆𝜀𝜀}. O resultado esperado ´e o seguinte:
Teorema B.2 (Em progresso). Seja𝑢𝜀 uma fam´ılia de soluc¸˜oes para a equac¸˜ao (B.1.1)
num dom´ınio Ω ⊂ ℝ𝑁 tal que ∥𝑢𝜀∥𝐿∞(Ω) ≤ 𝒜, para algum 𝒜 > 0. Sejam 𝐾 ⊂ Ω
conjunto compacto e 𝜏 > 0 tal que 𝐵𝜏(𝑥0) ⊂ Ω, para todo 𝑥0 ∈ 𝐾. Ent˜ao, existe
constante𝐿 = 𝐿(𝜏, 𝒜) tal que
∣∇𝑢𝜀(𝑥)∣ ≤ 𝐿 para 𝑥 ∈ 𝐾.
Em seguida, com regularidade Lipschitz obtemos os mesmos resultados deste trabalho, a qual listamos abaixo para problema de duas fases.
∙ A fam´ılia 𝑢𝜀 ´e uniformemente fortemente n˜ao-degenerada, ou seja,sup𝐵𝑟𝑢𝜀 ≥ 𝑐𝑟.
Tal degenerescˆencia ´e ´otima.
∙ A menos de subsequˆencia, 𝑢𝜀 converge localmente uniforme para uma func¸˜ao no
espac¸o𝑢0 ∈ 𝐶loc0,1(Ω) que satisfaz 𝐹 (𝐷2𝑢0, 𝑥) = 0 em Ω+ := {𝑢0 > 0} e em Ω− :=
(Ω ∖ Ω0)∘ no sentido da viscosidade. Al´em disso, 𝑢+0(𝑥) ≤ 𝐶dist(𝑥, ∂{𝑢0 ≤ 0}),
para todo𝑥 ∈ Ω′ comdist(𝑥, {𝑢0 ≤ 0}) ≤ 14dist(Ω′,ℝ𝑁 ∖ Ω).
∙ A medida de Hausdorff ℋ𝑁 −1(∂{𝑢
0 > 0} ∩ 𝐵) ∼ 𝑟𝑁 −1.
Uma informac¸˜ao fundamental na elaborac¸˜ao desse futuro projeto ´e a condic¸˜ao de fron- teira livre. O resultado esperado para a condic¸˜ao de fronteira livre ´e a seguinte:
Teorema B.3 (Duas Fases). Seja𝑢𝜀fam´ılia de soluc¸˜oes minimais para (B.1.1) num dom´ınio
Ω ⊂ ℝ𝑁 tal que 𝑢
𝜀 → 𝑢0 uniformemente em subconjuntos compactos de Ω, quando
𝜀 → 0. Sejam 𝑥0 ∈ Ω ∩ ∂{𝑢0 > 0} e 𝜂 vetor normal a Ω ∩ ∂{𝑢0 > 0} no sentido da
medida te´orica. Suponha, al´em disso, que𝑢− ´e n˜ao-degenerada em 𝑥
0. Ent˜ao existem
operador el´ıptico𝐹★e constantes𝛼, 𝛾 > 0 tais que
𝑢0(𝑥) = 𝛼⟨𝑥 − 𝑥0, 𝜂⟩+− 𝛾⟨𝑥 − 𝑥0, 𝜂⟩−+ 𝑜(∣𝑥 − 𝑥0∣) (B.1.2) com 𝛼2 − 𝛾2 = 2T 𝐹★(𝑥 0, 𝜂 ⊗ 𝜂) .
Vale a pena observar que, supondo𝐹 invariante por rotac¸˜oes, o processo de homogeneizac¸˜ao descrito neste trabalho continua v´alido para problemas de duas fases. Por exemplo, o Teo- rema 5.1 independe do sinal da soluc¸˜ao𝑢𝜀. Esperamos ainda poder verificar a condic¸˜ao
de fronteira livre em um sentido fraco, que n˜ao exija regularidade da fronteira livre. Uma vez verificada tal condic¸˜ao, j´a sabemos como empregar ferramentas da teoria geom´etrica da medida para provarmos que, de fato, a fronteira livre ser´a de classe𝐶1,𝛾 e, portanto, a
condic¸˜ao (B.1.2) ´e satisfeita no sentido cl´assico. O projeto ´e fact´ıvel, por´em ser´a necess´ario bastante esforc¸o a fim de obter uma descric¸˜ao completa da condic¸˜ao de fronteira livre. Um entendimento da condic¸˜ao de fronteira livre que possa aparecer neste processo teria um im- pacto sobre o desenvolvimento de novas t´ecnicas para estudar problemas de regularidade da fronteira livre ainda n˜ao acess´ıveis atrav´es da teoria atual.