Teichm¨uller
Nesta se¸c˜ao iremos construir as coordenadas de Fenchel-Nielsen para o espa¸co de Teichm¨uller de uma superf´ıcie de Riemann compacta de genero g ≥ 2. Nosso objetivo ´e mostrar que esse espa¸co de Teichm¨uller est´a em bije¸c˜ao com o espa¸co Euclidiano R6g−6.
Entretanto, antes de apresentarmos a constru¸c˜ao formal dessas coordenadas, vamos fazer um esbo¸co da constru¸c˜ao que ser´a detalhada nas pr´oximas p´aginas.
Esbo¸co:
Seja S uma superf´ıcie de Riemann compacta, sem bordo, de gˆenero g ≥ 2, com estrutura hiperb´olica X . Considere em S um conjunto de curvas fechadas simples disjuntas que “cortam” a superf´ıcie S em uma uni˜ao de cal¸cas. Se S tem gˆenero g, precisamos de 3g − 3 tais curvas, que dividem S em 2g − 2 cal¸cas. Na se¸c˜ao anterior, apresentamos um teorema que afirma que cada uma dessas curvas ´e livremente homot´opica a uma geod´esica simples fechada. Podemos ent˜ao, de agora em diante, deixar as curvas originais de lado e trabalhar somente com as geod´esicas. Desse modo, a superf´ıcie original S fica dividida,
por essas 3g − 3 geod´esicas em 2g − 2 cal¸cas. Observe que as curvas de fronteira de cada uma dessas cal¸cas s˜ao agora geod´esicas. Essa constru¸c˜ao d´a `a superf´ıcie 3g − 3 invariantes: os comprimentos l1, l2, . . . , l3g−3 dessas geod´esicas. Na se¸c˜ao anterior,
demonstramos que a estrutura hiperb´olica de uma cal¸ca ´e unicamente determinada pelos comprimentos de suas curvas de fronteira. Entretanto, somente esses comprimentos n˜ao definem a estrutura anal´ıtica da superf´ıcie S: temos que decidir como colar uma cal¸ca na outra para reconstruir a superf´ıcie original.
Note que existem pontos privilegiados na fronteira de cada uma das cal¸cas: pontos inicial e final de geod´esicas perpendiculares comuns a duas curvas da fronteira de uma cal¸ca. A posi¸c˜ao relativa de tais pontos nos diz como colar as cal¸cas, determinando assim a forma de S. Essa posi¸c˜ao relativa, em cada uma das 3g − 3 geod´esicas, nos d´a mais 3g − 3 invariantes: θ1, θ2, . . . , θ3g−3.
Como no caso do toro, se rodarmos uma curva de fronteira de uma cal¸ca por um ˆangulo de 2π antes de colar com uma curva de fronteira de uma outra cal¸ca, teremos uma estrutura hiperb´olica equivalente para a superf´ıcie S, mas um ponto diferente do espa¸co de Teichm¨uller. Essa opera¸c˜ao ´e chamada Dehn twist. Assim, os parˆametros (θ1, θ2, ..., θ3g−3)
usados para dizer como s˜ao coladas as cal¸cas, est˜ao em R, e n˜ao em S1.
Dessas observa¸c˜oes poderemos demonstrar que a seguinte aplica¸c˜ao ´e uma bije¸c˜ao: Φ : (R+)3g−3× R3g−3 −→ Teich (S)
(l1, . . . , l3g−3; θ1, . . . , θ3g−3) 7→ (S, X )
Aqui, Φ(l1, . . . , l3g−3; θ1, . . . , θ3g−3) representa a classe de equivalˆencia, no espa¸co de
Teichm¨uller, da superf´ıcie de Riemann S com estrutura hiperb´olica X , que tem parˆametros
l1, l2, . . . , l3g−3 e θ1, θ2, . . . , θ3g−3 descritos acima.
Vamos mostrar agora, passo a passo, a constru¸c˜ao das coordenadas de Fenchel- Nielsen para o Espa¸co de Teichm¨uller.
Para isso, precisaremos de mais alguns resultados gerais.
Nas constru¸c˜oes a seguir precisaremos colar duas superf´ıcies de Riemann pelos seus bordos, supondo que suas curvas de fronteira possuem o mesmo comprimento. Sempre que fizermos isso, estaremos nos referindo ao seguinte resultado.
Lema 4.2.1 Sejam S1, S2 superf´ıcies com a m´etrica hiperb´olica e sejam c1 e c2 as curvas
da fronteira (bordo) respectivamente que s˜ao geod´esicas segundo essa m´etrica, e suponha l(c1) = l(c2). Ent˜ao, podemos obter uma nova superf´ıcie colando S1 e S2 via identifica¸c˜ao
de c1 e c2 de acordo com o parˆametro comprimento de arco comum, escolhendo arbitra-
riamente o ponto inicial. Mais ainda, S carrega a m´etrica hiperb´olica a qual se restringe `a m´etrica hiperb´olica de S1 e S2.
S1 S2
S c1 c2
Figura 4.12: Colagem de superf´ıcies com as curvas de fronteira de mesmo comprimento (hiperb´olico)
Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao desse lema segue de uma aplica¸c˜ao do Teorema de Combina¸c˜ao de Maskit. Veja livro [7], se¸c˜ao VIII.C, p´agina 177. ¥
Lema 4.2.2 Uma superf´ıcie de Riemann compacta S, sem bordo, de gˆenero g ≥ 2 pode
ser dividida em 2g − 2 cal¸cas cortando-a atrav´es de 3g − 3 curvas simples e fechadas.
Demonstra¸c˜ao:
A superf´ıcie S ´e homeomorfa a uma esfera com g al¸cas. Para o caso do bitoro (g = 2) a figura 4.13 mostra uma decomposi¸c˜ao de S em 2 = 2g − 2 cal¸cas utilizando 3 = 3g − 3 curvas.
A demonstra¸c˜ao segue agora por indu¸c˜ao finita sobre o gˆenero g. Suponhamos que a superf´ıcie tenha gˆenero g = k e que a f´ormula 2g − 2 seja v´alida. Temos que provar que a f´ormula vale tamb´em para k + 1, ou seja a quantidade de cal¸cas ´e dada por 2(k + 1) − 2. Mas para cada “buraco” a mais na superf´ıcie, temos duas cal¸cas a mais resultantes da decomposi¸c˜ao. Sendo assim, 2(k + 1) − 2 = 2k + 2 − 2 = (2k − 2) + 2, e temos que a f´ormula ´e v´alida para uma superf´ıcie de gˆenero g = k + 1.
A quantidade de curvas ´e dada pelo n´umero de cal¸cas multiplicado por trˆes (j´a que cada cal¸ca possui trˆes cruvas da fronteira), dividido por dois (pois contamos cada curva duas vezes) (2g − 2) · 3 2 = 6g − 6 2 = 3g − 3 ¥ δ1 δ2 δ3 S1 S2
δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6 S1 S2 S3 S4
Figura 4.14: Decomposi¸c˜ao de um Tritoro em Cal¸cas
PARTE 1:
Deste momento, at´e o final desse cap´ıtulo, seja S uma superf´ıcie de Riemann com- pacta, orientada, sem bordo e de gˆenero g ≥ 2. Pelo lema 4.2.2, podemos cortar S ao longo de 3g − 3 curvas simples fechadas, para obtermos 2g − 2 cal¸cas. Sejam α1, α2, . . . , α3g−3
curvas simples fechadas que decomp˜oem S em uma uni˜ao de cal¸cas. Nesse cap´ıtulo tamb´em estaremos fixando as classes de homotopia livre dessas curvas.
Agora, seja X uma estrutura hiperb´olica qualquer em S que induz a mesma orienta¸c˜ao j´a fixada em S. Pelo teorema 4.1.2 vemos que cada curva fechada α1, α2, . . . , α3g−3 ´e
livremente homot´opica a uma ´unica geod´esica δ1, δ2, . . . , δ3g−3. Desse modo tamb´em
podemos cortar S ao longo dessas geod´esicas para obtermos cal¸cas S1, S2, . . . , S2g−2,
cujas curvas de fronteira s˜ao agora geod´esicas. Evidentemente, os comprimentos
l1, l2 , . . . , l3g−3 das geod´esicas δ1, δ2, . . . , δ3g−3 n˜ao dependem da escolha do
representante (S, X ) em Teich (S). Desse modo, fica bem definida a aplica¸c˜ao Teich (S) → (R+)3g−3
(S, X ) 7→ (l1, l2, ..., l3g−3)
sendo li = comprimento da curva δi, i = 1, 2, ..., 3g − 3 .
PARTE 2:
Em S, escolhemos outras 3g − 3 curvas fechadas simples ε1, ..., ε3g−3 como indicado
e ´e disjunta de δσ, σ 6= λ. ε1 ε2 ε3 ε1 ε2 ε 3 Figura 4.15: Curvas ε1, ..., ε3g−3
Tamb´em, em cada cal¸ca Sν, contida na superf´ıcie S, com curvas da fronteira c1, c2, c3,
escolhemos curvas c0
i de forma que cada c0i tenha pontos finais em ci, n˜ao tenha auto-
interse¸c˜ao e divida Sν em duas subregi˜oes, cada uma dessas contendo uma das curvas de
fronteira de Sν. c0 1 c1 Sν w1 w0 1 c2 c0 2 Sν c0 3 c3 Sν Figura 4.16: Curvas c0 i Orientamos tamb´em c0
i de forma que ci+1, onde o ´ındice ´e tomado mod(3g − 3), est´a
na subregi˜ao esquerda. Por um argumento similar da demonstra¸c˜ao do Lema 4.1.3, c0 i
´e homot´opica a um ´unico arco de geod´esica encontrando ci ortogonalmente. A partir
desse momento, supomos que esse ´e o caso, isto ´e, assumimos que c0
i ´e essa geod´esica.
Denotamos os pontos inicial e final de c0
c0 1 c1 c2 c3 c2 c0 2 c1 c3 c0 3 c3 c1 c2
Figura 4.17: Um outro esbo¸co para as curvas c0 i
Finalmente, como no Lema 4.1.3, consideramos tamb´em o menor arco de geod´esica
cij de ci a cj com pontos inicial zi em ci e ponto final zj0 em cj.
Figura 4.18: curvas ci e cij c1 c2 c3 c12 c23 c31 z1 z20 z2 z03 z3 z10 Como as curvas c0
i, cij s˜ao ´unicas, elas dependem continuamente dos comprimentos
l1, l2, l3 das curvas de fronteira c1, c2, c3.
Observa¸c˜ao Sempre que for necess´ario, no que segue estaremos acrescentando mais um ´ındice nas nota¸c˜oes das curvas introduzidas nessa se¸c˜ao para dizer de qual cal¸ca estamos
tratando. Por exemplo, a nota¸c˜ao cij,ν indica a curva cij da cal¸ca Sν.
PARTE 3:
Nosso objetivo ´e demonstrar que o espa¸co de Teichm¨uller da superf´ıcie S, de gˆenero
g ≥ 2, ´e homeomorfo ao espa¸co Euclidiano R6g−6, sendo que cada classe de equivalˆencia de
por 3g−3 parˆametros angulares θ1, θ2, . . . , θ3g−3. Para come¸car a definir essas coordenadas
vamos construir, e fixar, a superf´ıcie de Riemann M0 = Φ(l1, ..., l3g−3; 0, ..., 0) que ter´a
todos os parˆametros angulares nulos. A constru¸c˜ao dessa superf´ıcie M0 est´a detalhada a
seguir.
Sejam dados n´umeros reais positivos l1, l2, . . . , l3g−3. Construa 2g − 2 cal¸cas
S1, S2, ..., S2g−2 obedecendo o seguinte: para cada ν = 1, 2, ..., 2g − 2, sejam c1,ν, c2,ν, c3,ν
as curvas de fronteira da cal¸ca Sν. Suponhamos que, na decomposi¸c˜ao de S em cal¸cas,
as curvas de fronteira de Sν correspondam `as geod´esicas δi, δj, δk. Agora, pelo teorema
4.1.1, dˆe a Sν a ´unica estrutura hiperb´olica que a torna uma superf´ıcie de Riemann cujas
curvas de fronteira c1,ν, c2,ν, c3,ν possuem respectivos comprimentos li, lj, lk.
Por exemplo, para o caso do tritoro (veja figura 4.14) precisamos de 4 cal¸cas:
S1 tem curvas de fronteira c1,1 c2,1 c3,1
S2 tem curvas de fronteira c1,2 c2,2 c3,2
S3 tem curvas de fronteira c1,3 c2,3 c3,3
S4 tem curvas de fronteira c1,4 c2,4 c3,4
com, digamos,
cal¸ca S1 : l(c1,1) = l(c2,1) = l1 ; l(c3,1) = l2
cal¸ca S2 : l(c1,2) = l2 ; l(c2,2) = l3 ; l(c3,2) = l4
cal¸ca S3 : l(c1,3) = l3 ; l(c2,3) = l4 ; l(c3,3) = l5
cal¸ca S4 : l(c1,4) = l5 ; l(c2,4) = l(c3,4) = l6
Agora, as curvas de fronteira das cal¸cas S1, S2, ..., S2g−2 s˜ao identificadas, pelo uso do
(1) Vejamos como identificar duas curvas da fronteira de uma mesma cal¸ca.
Para a nota¸c˜ao aqui n˜ao ficar muito complicada, vamos ilustrar o que ocorre com as curvas c1,1 e c2,1 da cal¸ca S1 da figura 4.14. Em qualquer outra identifica¸c˜ao desse
tipo, um procedimento an´alogo dever´a ser executado. Na cal¸ca S1, suas curvas
de fronteira c1,1 e c2,1 possuem o mesmo comprimento e devem ser identificadas,
formando uma geod´esica γ1,1, de modo que o ponto z1,1 seja identificado com o
ponto z0
2,1 e a curva η12,1, obtida pela identifica¸c˜ao dos pontos finais de c12,1, seja
homot´opica a ε1.
Figura 4.19: Colagem de duas curvas da fronteira de uma mesma cal¸ca.
S1 c1,1 c2,1 c3,1 c12,1 z1,1 z0 2,1
(2) Agora vejamos como identificar as curvas de fronteira ci,ν e cj,µ de duas cal¸cas
consecutivas Sν e Sµ.
Identificamos ci,ν com cj,µ para obtermos uma geod´esica γλ, identificando o ponto
wi,ν ∈ ci,ν com o ponto w0j,µ ∈ cj,µ e impondo que a curva fechada ηλ, obtida
pela sequˆencia de caminhos: c0
i,ν, depois por uma curva sobre ci,ν na dire¸c˜ao de
sua orienta¸c˜ao do ponto w0
i,ν ao ponto wj,µ e finalmente pelo caminho c0j,µ, seja
Figura 4.20: Colagem das curvas de fronteira de duas cal¸cas diferentes. Sν Sµ ci,ν cj,µ c0 i,ν w c0j,µ i,ν w0 i,ν wj,µ w0 j,µ
Figura 4.21: Colagem das curvas de fronteira de duas cal¸cas diferentes.
Sν Sµ ci,ν cj,µ c0 i,ν c0j,µ wi,ν w0 i,ν wj,µ w0 j,µ
Figura 4.22: Colagem das curvas de fronteira de duas cal¸cas diferentes. Sν Sµ ci,ν cj,µ c0 i,ν c0j,µ wi,ν w0 i,ν wj,µ w0 j,µ
PARTE 4:
Sejam dados agora n´umeros reais positivos l1, l2, . . . , l3g−3 e outros 3g − 3 n´umeros
reais quaisquer θ1, θ2, . . . , θ3g−3. Vamos detalhar a constru¸c˜ao da superf´ıcie de Riemann
M = Φ(l1, ..., l3g−3; θ1, . . . , θ3g−g) que ter´a esses 6g − 6 parˆametros na identifica¸c˜ao do
espa¸co de Teichm¨uller de S com o espa¸co Euclidiano R6g−6.
Em primeiro lugar, considere a superf´ıcie M0 = Φ(l1, ..., l3g−3; 0, ..., 0) cuja constru¸c˜ao
foi descrita anteriormente. Nessa superf´ıcie encontramos 3g−3 geod´esicas γ1, γ2, . . . , γ3g−3
que dividem M0 em cal¸cas S1, S2, . . . , S2g−2, sendo que o comprimento da geod´esica γλ ´e
igual a lλ, para λ = 1, 2, . . . , 3g − 3.
Para cada λ, corte M0 ao longo de γλ obtendo duas c´opias dessa mesma curva: ci,ν
e cj,µ, uma como curva de fronteira da cal¸ca Sν e outra como curva de fronteira da cal¸ca
Sµ.
Nota¸c˜ao: dados ´ındices i, j = 1, 2, . . . , 3g − 3 e ν, µ = 1, 2, . . . , 2g − 2, dizemos que (i, ν) > (j, µ) se ν > µ ou se ν = µ e i > j.
agora, antes de colar, rode a curva de maior ´ındice ci,ν ou cj,µ por um ˆangulo θλ ∈ R.
Observe que, como no caso do toro, se para cada λ todas essas rota¸c˜oes s˜ao por ˆangulos m´ultiplos inteiros de 2π, obtemos uma superf´ıcie M com estrutura hiperb´olica equivalente a da superf´ıcie original M0, por´em representando um outro ponto do espa¸co de
Teichm¨uller de M0. De fato, se para o ´ındice λ0, a colagem das curvas ci,ν e cj,µ envolveu
uma rota¸c˜ao de ˆangulo 2πn (n ∈ Z e n 6= 0) mudamos a classe de homotopia da curva
ηλ0 da superf´ıcie M0.
Observa¸c˜ao: At´e essa parte conseguimos construir a seguinte aplica¸c˜ao injetora: Φ : (R+)3g−3× R3g−3 −→ Teich (S)
(l1, . . . , l3g−3; θ1, . . . , θ3g−3) 7→ (S, X )
Aqui, Φ(l1, . . . , l3g−3; θ1, . . . , θ3g−3) representa a classe de equivalˆencia, no espa¸co de
Teichm¨uller da superf´ıcie de Riemann S com estrutura hiperb´olica X , que tem parˆametros
l1, l2, . . . , l3g−3 e θ1, θ2, . . . , θ3g−3 descritos acima.
Vamos agora demonstrar que essa aplica¸c˜ao ´e sobrejetora.
PARTE 5:
Reciprocamente, seja X uma estrutura hiperb´olica para a superf´ıcie de Riemann j´a fixada S. Mais ainda considere (S, X ) um representante de uma classe de equivalˆencia no espa¸co de Teichm¨uller de S. Como descrito anteriormente, na parte 1, existem 3g − 3 geod´esicas δ1, δ2, . . . , δ3g−3 que dividem S em 2g − 2 cal¸cas. Sejam l1, l2, . . . , l3g−3 os
comprimentos dessas geod´esicas. Agora considere os pontos wi,v, wi,v0 , zi,v, z0i,v (i = 1, 2, 3
e v = 1, 2, . . . , 2g − 2) introduzidos na parte 2. Agora vamos determinar os ˆangulos
θλ para cada λ = 1, 2, . . . , 3g − 3. Primeiramente vamos determinar cada um desses
ˆangulos m´odulo 2π. Aqui, tamb´em estamos considerando cada geod´esica δλparametrizada
Se cortarmos S ao longo de cada geod´esica δλ, obtemos uma decomposi¸c˜ao de S em
cal¸cas, sendo que δλ d´a origem a duas curvas: ci,ν como curva de fronteira da cal¸ca Sν e
cj,µ como curva de fronteira da cal¸ca Sµ. Agora, sobre δλ defina θ0λ ∈ [0, 2π] do seguinte
modo:
• se as curvas ci,ν e cj,µ pertencem a uma mesma cal¸ca, isto ´e, se ν = µ, defina θλ0
como a distˆancia medida na dire¸c˜ao de δλ do ponto zi,v ao ponto zj,v0 .
• se ν 6= µ, defina θ0
λ como a distˆancia medida na dire¸c˜ao de δλ do ponto wi,ν ao ponto
w0 j,µ.
Construa a superf´ıcie M = Φ(l1, l2, . . . l3g−3; θ10, θ02, . . . , θ3g−30 ), de acordo com o pro-
cedimento descrito na parte 4. Observe que isso foi feito para que os pontos zi,v e zj,v0
ou os pontos wi,ν e wj,µ0 de S fossem identificados, na superf´ıcie M, por uma rota¸c˜ao ao
longo de cada geod´esica δλ.
Podemos agora determinar o parˆametro θλ completamente, observando que a curva
fechada ηλ de M ´e homot´opia a uma potˆencia inteira da correspondente curva ηλ da su-
perf´ıcie M0 = Φ(l1, ..., l3g−3; 0, ..., 0). Visto que a classe de homotopia do arco determinado
por ηλ dentro da cal¸ca Sν est´a fixada, a classe de homotopia de toda a curva fechada ηλ
somente pode ser alterada pela opera¸c˜ao de colagem das curvas de fronteira ci,ν e cj,µ.
Definimos ent˜ao θλ = θ0λ + 2πn, desde que a curva fechada ηλ de M seja homot´opia a
(η0
λ)n, sendo ηλ0 a correspondente curva ηλ da superf´ıcie M0.
Desse modo, vemos que a superf´ıcie de Riemann original (S, X ) define o mesmo ponto do espa¸co de Teichm¨uller de S da superf´ıcie M = Φ(l1, ..., l3g−3; θ1, . . . , θ3g−g).
CONCLUS ˜AO:
Como consequˆencia das constru¸c˜oes anteriores, temos bem definida uma aplica¸c˜ao Φ : (R+)3g−3× R3g−3 −→ Teich (S)
(l1, . . . , l3g−3; θ1, . . . , θ3g−3) 7→ (S, X )
Teorema 4.2.3 A aplica¸c˜ao acima Φ : (R+)3g−3× R3g−3→ Teich (S) ´e uma bije¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao:
A demonstra¸c˜ao desse teorema segue de todas as constru¸c˜oes que foram descritas at´e aqui. Vamos ent˜ao somente resumir os principais passos dessas constru¸c˜oes.
A aplica¸c˜ao ´e injetora, pois dados l1, ..., l3g−3, θ1, ..., θ3g−3, podemos construir
M = Φ(l1, ..., l3g−3, θ1, ..., θ3g−3) com esses dados (Parte 4). Se mudarmos algum parˆametro
de comprimento lλ mudamos a estrurura hiperb´olica de alguma cal¸ca contida em M e se
mudamos algum parˆametro θλ mudamos alguma classe de homotopia de alguma curva
contida em M: os parˆametos θλ determinam como as cal¸cas devem ser coladas para a
constru¸c˜ao de M.
A aplica¸c˜ao ´e sobrejetora pois, dado (S, X ) podemos determinar seus parˆametros
l1, l2, . . . , l3g−3 e θ1, θ2, . . . , θ3g−3. Isso est´a descrito na parte 5 acima. ¥
Defini¸c˜ao 4.2.4 Os n´umeros reais l1, ..., l3g−3 e θ1, ..., θ3g−3s˜ao as coordenadas Fenchel-
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