COORDENADAS DO ESPAÇO DE

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS

Departamento de Matem´atica

Disserta¸c˜ao de Mestrado

COORDENADAS DO ESPAC

¸ O DE

TEICHM ¨

ULLER.

Bruno Zanotelli Felippe

Orientador:

Francisco Dutenhefner

(2)

Conte´

udo

Introdu¸c˜ao 4

1 Geometria Hiperb´olica 6

1.1 Proje¸c˜ao Estereogr´afica . . . 6

1.2 Transforma¸c˜oes Lineares Fracion´arias . . . 16

1.3 Modelos para o Plano Hiperb´olico . . . 21

1.3.1 M´etricas conformes a m´etrica Euclidiana . . . 22

1.3.2 Modelo do semi-plano superior . . . 24

1.3.3 Modelo do disco unit´ario . . . 33

1.4 Isometrias do Plano Hiperb´olico . . . 39

1.5 C´ırculos Isom´etricos . . . 41

1.6 Classifica¸c˜ao das Isometrias do Plano Hiperb´olico . . . 45

2 Superf´ıcies de Riemann 47 2.1 Grupos Descont´ınuos . . . 47

(3)

2.3 Defini¸c˜oes e Exemplos . . . 50

3 Espa¸co de Teichm¨uller 54 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 54

3.2 Defini¸c˜oes de espa¸co de Moduli e de Teichm¨uller . . . 57

3.3 Toro . . . 59

4 Coordenadas do Espa¸co de Teichm¨uller 76 4.1 Existˆencia e Unicidade de Cal¸cas . . . 76

4.1.1 Primeira Demonstra¸c˜ao . . . 77

4.1.2 Segunda Demonstra¸c˜ao . . . 85

4.2 Coordenadas Fenchel-Nielsen do Espa¸co de Teichm¨uller . . . 88

(4)

Introdu¸c˜

ao

Esta disserta¸cão apresenta um estudo detalhado sobre estruturas conformes em superf´ıcies de Riemann, e mostra que uma mesma superf´ıcie topológica pode estar munida de estru-turas conformes não equivalentes. Com o objetivo de caracterizar estruestru-turas conformes não equivalentes em uma mesma superf´ıcie, esta disserta¸cão tem por objetivo apresentar as coordenadas de Fenchel-Nielsen para o espa¸co de Teichmüller de uma superf´ıcie de Riemann compacta de gênero g ≥ 2.

Essa disserta¸c˜ao est´a dividida em quatro cap´ıtulos, assim organizados:

O primeiro cap´ıtulo apresenta os principais conceitos e teoremas da Geometria Hiperbólica Real plana que serão necessários para o estudo subseqüente das superf´ıcies de Riemann. Sobre esse cap´ıtulo é importante ressaltar que ele contém uma constru¸cão detalhada da métrica hiperbólica, como sendo, a menos de homotetia, a única métrica do disco unitário D que tem a seguinte propriedade: inversões em c´ırculos ortogonias a ∂D são isometrias. Acreditamos que esse ponto de vista para a constru¸cão dessa métrica é intuitivo, e pode potencializar o aprendizado dessa geometria para os alunos que estão ingressando nesse ramo da matemática. Entretanto, para a constru¸cão dessa métrica, foi necessário o estudo de alguns fatos básicos de análise real e complexa. Dentro do poss´ıvel, tentamos colocar todos esses fatos dentro desse cap´ıtulo, tornando-o praticamente auto-suficiente.

(5)

fundamen-tal e de superf´ıcie de Riemann, apresentando uma forma de uniformizar tais superf´ıcies (Teorema de Uniformiza¸c˜ao de Riemann).

No terceiro cap´ıtulo são apresentadas as defini¸cões de espa¸co de Moduli e de espa¸co Teichmüller. Além disso, com objetivo de apresentar as diferen¸cas entre esses dois espa¸cos, apresentamos um estudo detalhado do espa¸co de Moduli e do espa¸co de Teichmüller de uma cal¸ca. Acreditamos que o estudo dessa superf´ıcie simples, possa fazer com que o entendimento das diferen¸cas entre esses espa¸cos fique claro. Além disso, nesse cap´ıtulo, constru´ımos o espa¸co de Teichmüller de um toro.

No quarto cap´ıtulo, constru´ımos as coordenadas de Fenchel-Nielsen para o espa¸co de Teichmüller de uma superf´ıcie de Riemann compacta de gênero g ≥ 2. Para isso, esse cap´ıtulo apresenta um estudo detalhado de uma cal¸ca. O estudo dessas superf´ıcies é muito importante pois a partir da colagem de cal¸cas, pelas suas curvas de fronteira, podem ser constru´ıdas todas as superf´ıcies de Riemann compactas de gênero g ≥ 2.

(6)

Cap´ıtulo 1

Geometria Hiperb´

olica

1.1 Proje¸c˜

ao Estereogr´

afica

Definimos o Plano Complexo Estendido como sendo C∞= C ∪ {∞} .

Considere a esfera unit´aria em R3

S2 _{= {(x, y, z) ∈ R}3 _{: x}2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1} .}

A proje¸cão estereográfica π : C∞ → S2 é definida da seguinte maneira. Pense no

plano complexo C como o plano equatorial de S2_{: C = {(x, y, 0) ∈ R}3_{}. Seja N = (0, 0, 1)}

o pólo norte de S2_{. Se z ∈ C, então π(z) é a interse¸cão de S}2 _{com a reta que passa pelos}

pontos z e N. Definimos tamb´em π(∞) = N.

(7)

Figura 1.1: Proje¸c˜ao Estereogr´afica. π(z) N z S2 C

Proje¸c˜ao Estereogr´afica em Coordenadas

Seja z = x+iy ∈ C e seja π(z) = (x1, x2, x3) ∈ S2. A reta que passa por N = (0, 0, 1) e

z = (x, y, 0) pode ser parametrizada por: P (t) = tN + (1 − t)z = ((1 − t)x, (1 − t)y, t), t ∈

R. Pela defini¸cão da proje¸cão estereográfica, temos que π(z) é o ponto P (t) tal que

kP (t)k = 1. Mas: kP (t)k = 1 ⇔ (1 − t)2_x2_{+ (1 − t)}2_y2_{+ t}2 _{= 1} (1 − t)2_(x2_{+ y}2_{) = 1 − t}2 (1 − t)2_|z|2 _{= 1 − t}2 (1 − t)(1 − t)|z|2 _{= (1 + t)(1 − t)} (1 − t)|z|2 _{= (1 + t)} |z|2_{− t|z|}2 _{= 1 + t} |z|2_{− 1 = t(|z|}2 _{+ 1)} |z|2_{− 1} |z|2_{+ 1} = t ∴ x1 = (1 − t)x = · 1 − µ |z|2_{− 1} |z|2_{+ 1} ¶¸ x = · |z|2_{+ 1 − |z|}2_{+ 1} |z|2_{+ 1} ¸ x = 2x |z|2 _{+ 1} ∴ x2 = (1 − t)y = · 1 − µ |z|2_{− 1} |z|2_{+ 1} ¶¸ y = · |z|2 _{+ 1 − |z|}2_{+ 1} |z|2_{+ 1} ¸ y = 2y |z|2_{+ 1}

(8)

∴ x3 = t = |z| 2_{− 1} |z|2 _{+ 1} π(z) = µ 2x |z|2_{+ 1} , 2y |z|2_{+ 1} , |z|2_{− 1} |z|2_{+ 1} ¶ π(z) = µ 2x x2_{+ y}2_{+ 1} , 2y x2_{+ y}2_{+ 1} , x2_{+ y}2 _{− 1} x2_{+ y}2_{+ 1} ¶

Vamos determinar a aplica¸cão inversa da Proje¸cão Estereográfica:

π−1 _{: S}2 _{→ C}

∞

Seja (x1, x2, x3) ∈ S2 e seja z = x + iy ∈ C∞ tal que π(z) = (x1, x2, x3). Do

desenvolvi-mento anterior, temos que:

x1 = (1 − t)x

x2 = (1 − t)y

x3 = t

Dessas trˆes equa¸c˜oes, temos:

x1 = (1 − x3)x x2 = (1 − x3)y ∴ x = x1 1 − x3 e y = x2 1 − x3 E assim z = x1+ ix2 1 − x3 .

(9)

Propriedades da Proje¸c˜ao Estereogr´afica

1. Se L é uma reta Euclidiana em C, então π(C) é uma circunferência em S2 _passando

pelo p´olo norte N.

Figura 1.2: Proje¸c˜ao Estereogr´afica de uma Reta.

π(L) N

L

2. Se C é um c´ırculo Euclidiano em C, então π(C) é um c´ırculo em S2_{, que não passa}

pelo p´olo norte N.

Figura 1.3: Proje¸c˜ao Estereogr´afica de um C´ırculo.

π(C) N

C

3. Vale a rec´ıproca das propriedades (1) e (2):

Se C é um c´ırculo em S2 _{que passa pelo pólo norte N, então π}−1_{(C) é uma reta em}

(10)

Se C é um c´ırculo em S2 _{que não passa pelo pólo norte N, então π}−1_{(C) é um}

c´ırculo em C.

4. A proje¸cão estereográfica preserva ângulos (aplica¸cão conforme).

Observa¸cão: Estas e outras propriedades da proje¸cão estereográfica estão demonstradas em [8].

Topologia em C∞

Sabemos que a proje¸cão estereográfica π : C∞ → S2 é um bije¸cão. A esfera unitária

tem uma topologia usual, herdada de R3_{. Desse modo podemos definir uma topologia}

no plano complexo estendido impondo que a proje¸c˜ao estereogr´afica π : C∞ → S2 seja

um homeomorfismo. Desse modo, dizemos que um subconjunto A ⊂ C∞ ´e aberto se, e

somente se, π(A) ´e um subconjunto aberto de S2_{. Assim, abertos em C}

∞ s˜ao, ou abertos

usuais do plano complexo, ou complementares de compactos de C. Esses ´ultimos s˜ao as vizinhan¸cas do ponto ideal ∞ .

Invers˜ao em Retas

Seja dada uma reta L de equa¸c˜ao ax + by = c no plano complexo. 1 _{Se A = (a, b),}

então um ponto X = (x, y) pertence a L ⇔ hA, Xi = c. Observe que A é um vetor na dire¸cão perpendicular à reta L.

A fun¸c˜ao invers˜ao na reta L transforma um ponto X do plano no ponto X0 _{= φ(X)}

tal que o segmento XX0 _{´e perpendicular a L e o ponto m´edio de XX}0 _{pertence a L.}

1_{Ao longo desse texto, um n´}_{umero complexo z = x + iy ∈ C também poderá ser visto como o vetor} (x, y) ∈ R2_{. A nota¸cão h , i representa o produto escalar usual em R}2_.

(11)

Figura 1.4: Invers˜ao em Retas

L X

X0

Uma express˜ao para φ:

Como o segmento XX0 _{´e paralelo ao vetor A, temos que existe λ ∈ R tal que}

X0 _{= X + λA. Para o ponto m´edio do segmento XX}0 _{pertencer `a reta L, devemos}

ter: ¿ X + X0 2 , A À = c ¿ 2X + λA 2 , A À = c hX, Ai +λ 2hA, Ai = c λ = 2 µ c − hX, Ai hA, Ai ¶ X0 _{= φ(X) = X + 2} µ c − hX, Ai hA, Ai ¶ A

Propriedades: Seja φ a invers˜ao em uma reta. Ent˜ao:

(12)

2. φ transforma retas em retas. 3. φ transforma c´ırculos em c´ırculos. 4. φ(X) = X ⇔ X ∈ L.

5. φ preserva ˆangulos.

6. φ pode ser estendida a uma aplica¸c˜ao em C∞, impondo φ(∞) = ∞.

7. Seja L0 _{é uma reta no plano. Então φ(L}0_{) = L}0 _{⇔ L}0 _{é perpendicular a L.}

8. Seja C um c´ırculo no plano. Ent˜ao φ(C) = C ⇔ C ´e perpendicular a L.

Invers˜ao em C´ırculos

Seja dado um c´ırculo C de centro A e raio R no plano complexo C. A invers˜ao no c´ırculo C ´e definida por:

dado X ∈ C, X 6= A, o inverso de X ´e o ponto X0 _{na semi-reta S}

AX, de origem A e que

passa por X, tal que AX0_{· AX = R}2_.

Figura 1.5: Invers˜ao em um C´ırculo.

C

A

T

X0

X

Uma express˜ao para φ:

(13)

X0 _{= A+ k} −−→_AX0 _{k ·} −−→ AX k−−→AX k Mas k−−→AX0 _k= R2 k−−→AX k e −−→ AX = X − A Logo, X0 _{= φ(X) = A + R}2 X − A k X − A k2

Propriedades: seja φ a invers˜ao em um c´ırculo C de centro A e raio R. Ent˜ao:

1. φ(X) = X ⇔ X ∈ C. 2. ∀ X ∈ C, φ ◦ φ(X) = X.

3. Se X pertence ao exterior de C, ent˜ao φ(X) pertence ao interior de C. 4. Se X pertence ao interior de C, ent˜ao φ(X) pertence ao exterior de C.

5. φ pode ser estendida a uma aplica¸c˜ao em C∞, impondo φ(A) = ∞ e φ(∞) = A.

6. Seja L uma reta no plano. Ent˜ao, φ(L) = L ⇔ L ´e perpendicular a C.

Inversão em C´ırculos versus Proje¸cão Estereográfica:

Com o objetivo de demonstrar outras propriedadas importantes da inversão em um c´ırculo, vamos relacionar essa aplica¸cão com a proje¸cão estereográfica. Então, seja C um c´ırculo de centro A e raio R no plano complexo. Seja S a esfera em R3 _{de centro A e raio}

R (novamente pense no plano complexo como o plano equatorial de S). Seja π : C∞ → S

a proje¸cão estereográfica pelo pólo norte de S. Se iA: R3 → R3 é a inversão no ponto A,

pode-se mostrar (veja livro [8]) que a invers˜ao φ(X) = X0 _{no c´ırculo C pode ser calculada}

da seguinte maneira:

(a) Seja π(X) a proje¸c˜ao estereogr´afica de X sobre S; (b) Tome o ant´ıpoda iA(π(X)) do ponto π(X) nesta esfera;

(14)

(c) Projete este ponto no plano complexo, usando a aplica¸cão inversa da proje¸cão es-tereográfica π−1 _{para obter o ponto π}−1_{◦ i}

A◦ π(X);

(d) Tome o simétrico deste ponto em rela¸cão a A, utilizando a aplica¸cão iA.

Assim, iA◦ π−1◦ iA◦ π(X) = φ(X) = X0.

Figura 1.6: Inversão em C´ırculos X Proje¸cão Estereográfica.

S iAπ(X) π(X) φ(X) X π−1_i_A_π(X) N

Como iA é isometria Euclidiana, das propriedades da proje¸cão estereográfica, vemos

que a invers˜ao φ tamb´em satizfaz as seguintes propriedades:

7. φ preserva ˆangulos.

8. φ transforma c´ırculos e retas em c´ırculos ou retas.

9. A imagem por φ de um c´ırculo ou de uma reta ´e uma reta ⇔ o c´ırculo ou a reta passam por A.

10. Se L ´e uma reta em C, ent˜ao φ(L) = L ⇔ L passa por A.

11. Se φ0 denota a invers˜ao no c´ırculo unit´ario de centro na origem e se f (X) = RX +A,

(15)

Observa¸cão: se φ0 denota a inversão no c´ırculo unitário de centro na origem, então

φ0(X) =

X k X k2.

12. Seja φC a invers˜ao no c´ırculo C e seja Σ um c´ırculo no plano. Ent˜ao φC(Σ) = Σ ⇔ Σ

´e ortogonal a C.

Proposi¸c˜ao 1.1.1 Se φ denota a invers˜ao no c´ırculo de centro A e raio R, ent˜ao:

k φ(X) − φ(Y ) k= R 2 k X − A kk Y − A k k X − Y k ; ∀ X 6= A, Y 6= A ∈ C (1.1) Demonstra¸c˜ao: φ(X) = A + R2 X − A k X − A k2 e φ(Y ) = A + R 2 Y − A k Y − A k2 k φ(X) − φ(Y ) k= R2 ° ° ° °_{k X − A k}X − A 2 − Y − A k Y − A k2 ° ° ° ° = = R2 Ã ° ° ° °_{k X − A k}X − A 2 ° ° ° ° 2 − 2 ¿ X − A k X − A k2, Y − A k Y − A k2 À + ° ° ° °_{k Y − A k}Y − A 2 ° ° ° ° 2 !12 = R2 µ 1 k X − A k2 − 2 ¿ X − A k X − A k2, Y − A k Y − A k2 À + 1 k Y − A k2 ¶1 2 = R2 k X − A k k Y − A k ¡ k Y − A k2 _{−2hX − A, Y − Ai+ k X − A k}2 ¢12 = R2 k X − A k k Y − A k ¡

k Y k2 _{−2hY, Ai+ k A k}2 _{−2(hX, Y i − hX, Ai − hY, Ai +}

hA, Ai)+ k X k2 −2hX, Ai+ k A k2 ¢12

= R 2 k X − A k k Y − A k ¡ k Y k2 −2hX, Y i+ k X k2 ¢12 = R 2 k X − A k k Y − A k k X − Y k ¥

(16)

1.2 Transforma¸c˜

oes Lineares Fracion´

arias

Uma transforma¸c˜ao linear fracion´aria ´e um homeomorfismo g : C∞→ C∞ da forma

g(z) = az + b cz + d, a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0 com g(−d c) = ∞ e g(∞) = a c .

Uma transforma¸c˜ao linear fracion´aria g(z) = az + b

cz + d define uma matriz Mg =

  a b

c d



 de determinante n˜ao nulo.

O conjunto das transforma¸cões lineares fracionárias é um grupo com a opera¸cão de composi¸cão de fun¸cões e é denotado por M2_{. Além disso, a aplica¸cão}

Ψ : GL(2, C) → M2

Mg 7→ g

define um homomorfismo de grupos, sendo

GL(2, C) = {matrizes 2x2 com coeficientes complexos e det 6= 0} .

Como Ψ é uma aplica¸cão sobrejetora e KerΨ =      t 0 0 t   ∈ GL(2, C), t ∈ C   , pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, a aplica¸cão

Ψ :  GL(2, C)     t 0 0 t   , t ∈ C   

→ M2 _{´e um isomorfismo de grupos.}

Desse modo, provamos que o grupo M2 _{das transforma¸cões lineares fracionárias é}

isomorfo ao grupo projetivo geral, P GL(2, C), sendo: ∴ P GL(2, C) =  GL(2, C)     t 0 0 t   , t ∈ C   

(17)

Por outro lado, toda transforma¸c˜ao linear fracion´aria g(z) = az + b

cz + d pode ser

repre-sentada por uma matriz Mg =

  a b

c d



 de determinante 1, o que implica no seguinte homomorfismo de grupos

Ψ : SL(2, C) → M2

Mg 7→ g

onde SL(2, C) = {matrizes 2x2 com coeficientes complexos e det = 1} .

Nesse caso, Ψ é uma aplica¸cão sobrejetora e KerΨ =      1 0 0 1   ,   −1 0 0 −1     . Assim pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, a aplica¸cão

Ψ : SL(2, C)

{id, −id} → M

2 _{´e um isomorfismo de grupos.}

Desse modo, provamos que o grupo das transforma¸cões lineares fracionárias é isomorfo ao grupo especial linear projetivo, P SL(2, C), sendo:

∴ P SL(2, C) = SL(2, C)

{id, −id} .

Equivalˆencias

M2 ' P GL(2, C) ' P SL(2, C)

Teorema 1.2.1 O grupo M2 _{é gerado por rota¸cões (z 7→ ze}iθ_{), transla¸cões (z 7→ z + a),}

dilata¸c˜oes (z 7→ kz, k > 0), e pela aplica¸c˜ao z 7→ 1 z .

Demonstra¸c˜ao: Seja g(z) = az + b

cz + d uma transforma¸c˜ao linear fracion´aria de M

2_. Se c = 0, escreva g(z) na forma: g(z) = a d ¯ ¯ ¯a d ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯a d ¯ ¯ ¯ · µ z + b a ¶

(18)

Chegamos a esse resultado com a seguinte conta: g(z) = az + b d = az d + b d = a d µ z + b a ¶ = a d ¯ ¯ ¯a d ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯a d ¯ ¯ ¯ · µ z + b a ¶ onde µ z + b a ¶

´e uma transla¸c˜ao, multiplicar por ° ° °a d ° °

° ´e uma dilata¸c˜ao e por

a d ° ° °a d ° ° ° é uma rota¸cão sendo o vetor unitário.

Se c 6= 0 e ad − bc = 1, escreva b = ad − 1 c e temos g(z) na forma: g(z) = − 1 |c|2 µ |c| c ¶₂ 1 z + d c + a c

Chegamos a esse resultado com a seguinte conta:

g(z) = az + b cz + d = az + b µ z +d c ¶ c = az + ad − 1 c µ z + d c ¶ c = acz + ad − 1µ z + d c ¶ c2 = a(cz + d) − 1µ z + d c ¶ c2 = = ac(z + d c) − 1 µ z + d c ¶ c2 = ac(z + d c) µ z + d c ¶ c2 − µ 1 z +d c ¶ c2 = a c − 1 µ z + d c ¶ c2 = = − 1 |c|2 µ |c| c ¶₂ 1 z + d c + a c onde z + d

c ´e uma transla¸c˜ao,

1

z +d c

´e uma invers˜ao,k c k

c ´e uma rota¸c˜ao sendo o vetor

1 µ

c k c k

¶ unit´ario. ¥

Teorema 1.2.2 Cada um dos geradores acima para M2 _{´e uma composi¸c˜ao de duas}

(19)

Demonstra¸c˜ao:

• A rota¸cão g(z) = eiθ_{z é a composi¸cão da inversão na reta sobre o eixo x seguida da}

invers˜ao na reta que faz um ˆangulo θ

2 com o eixo x.

Figura 1.7: Rota¸cão - composi¸cão de duas inversões em retas.

φ1

φ2

φ2φ1(z) = eiθz θ/2

• Para a transla¸c˜ao g(z) = z + a, seja L1 a reta que passa pela origem e seja L2 a reta

que passa pelo n´umero complexo a

2, ambas perpendiculares ao vetor representado pelo número complexo a. Se φi é a inversão em Li, i = 1, 2, então g(z) = φ2φ1(z).

Figura 1.8: Transla¸cão - composi¸cão de duas inversões em retas.

φ1 φ2

a φ2φ1(z) = z + a

kak

2

• Seja φ1 a invers˜ao no c´ırculo de raio 1 centrado na origem e seja φ2 a invers˜ao

no c´ırculo de raio √1

k centrado na origem. Temos que a dilata¸c˜ao g(z) = kz ´e a

(20)

Figura 1.9: Dilata¸cão - composi¸cão de duas inversões em c´ırculos. φ1 φ2 1 √k φ2φ1(z) = kz • A aplica¸cão g(z) = 1

z é a composi¸cão da inversão na reta sobre o eixo x seguida da

invers˜ao no c´ırculo unit´ario centrado na origem.

Figura 1.10: z 7→ 1

z - composi¸cão de uma inversão em c´ırculo e uma inversão em reta. φ1 φ2 1 φ2φ1(z) = 1 z ¥ Classifica¸cão das Transforma¸cões Lineares Fracionárias

Esta classifica¸c˜ao ´e dada pela quantidade de pontos fixos de g(z) = az + b

cz + d.

Ob-serve que g possui 1 ou 2 pontos fixos, que encontramos resolvendo a equa¸c˜ao quadr´atica

az + b cz + d = z ⇒ z = a − d 2c ± 1 2c p (tr(γ))2_{− 4 .}

Uma transforma¸cão linear fracionária com exatamente um ponto fixo é chamada parab´olica. Uma transforma¸cão parabólica é conjugada a uma transla¸cão z 7→ z + 1.

(21)

aplica¸c˜ao de pontos fixos 0 e ∞. Tal transforma¸c˜ao necessariamente tem a forma

z 7→ k2_{z, k ∈ C. Existem dois tipos especiais para essas tranforma¸c˜oes; as rota¸c˜oes,}

da forma z 7→ eiθ_{z, θ real, e}iθ _{6= 1, e as dilata¸c˜oes, da forma z 7→ λz, 0 < λ 6= 1.}

Uma transforma¸cão conjugada a uma rota¸cão é chamada el´ıptica e uma trans-forma¸cão conjugada a uma dilata¸cão é chamada hiperbólica. Uma transforma¸cão não el´ıptica com exatamente dois pontos fixos é chamada loxodrômica; isso inclui as trans-forma¸cões hiperbólicas.

Proposi¸c˜ao 1.2.3 Seja g(z) = az + b

cz + d uma transforma¸cão linear fracionária. Então: (i) tr2_{(g) é real, com 0 ≤ tr}2_{(g) ≤ 4 se, e somente se, g é el´ıptica.}

(ii) tr2_{(g) = 4 se, e somente se, g é parabólica ou g é a identidade.}

(iii) tr2_{(g) é real, com tr}2_{(g) ≥ 4 se, e somente se, g é hiperbólica.}

(iv) tr2_{(g) não está no intervalo [0, ∞) se, e somente se, g é loxodrômica, mas não}

hiperb´olica.

A demonstra¸cão dessa proposi¸cão pode ser encontrada no livro [7], cap´ıtulo 1, páginas 6 e 7.

1.3 Modelos para o Plano Hiperb´

olico

Nesta se¸cão, vamos apresentar o modelo do semi-plano superior e o modelo do disco unitário para o plano hiperbólico. Para isso, vamos definir o conceito de ponto e de reta nessa geometria em cada um desses modelos.

Além disso, vimos na se¸cão anterior os conceitos de inversão em reta e inversão em c´ırculo no plano complexo. Veremos que, nesses modelos do plano hiperbólico, as inversões

(22)

em “retas hiperbólicas” deixam o plano hiperbólico invariante. Definiremos então uma métrica no plano hiperbólico impondo a condi¸cão dessas inversões serem isometrias.

Com o objetivo de deixar o texto mais auto-suficiente, apresentaremos uma breve recorda¸cão de algumas defini¸cões e de alguns teoremas de análise complexa que neces-sitaremos.

Observa¸cão: apesar da dedu¸cão da métrica hiperbólica, no modelo do semi-plano superior e no modelo do disco unitário, estar presente no livro [2], vamos apresentá-la novamente aqui com o seguinte enfoque: essa métrica será considerada de modo que todas as transforma¸cões lineares fracionárias que preservam o plano hiperbólico sejam isometrias.

1.3.1 M´

etricas conformes a m´

etrica Euclidiana

Sabemos que uma fun¸cão f : U ⊂ab C → C é diferenciável em z ∈ U se, e somente se,

existe uma matriz A2X2 tal que

f (w) = f (z) + A(w − z) + |w − z| · ²(w), sendo lim

w→z²(w) = 0 .

Nesta forma, A ´e a matriz Jacobiana de f = (f1, f2) em z = x + iy.

Jf (z) =   ∂f∂x1 ∂f1 ∂y ∂f2 ∂x ∂f2 ∂y   .

Para o que pretendemos fazer, vamos precisar dos seguintes lemas cujas demonstra-¸c˜oes s˜ao imediatas.

Lema 1.3.1 Uma transforma¸c˜ao linear T : R2 _{→ R}2 _{preserva ˆangulos entre vetores se,}

e somente se, T é um múltiplo positivo de uma transforma¸cão ortogonal.

Lema 1.3.2 Seja f : U ⊂ab C → C uma aplica¸cão diferenciável que preserva ângulos

entre quaisquer curvas em U. Então ∀z ∈ U, Jf (z) é um múltiplo positivo de uma matriz ortogonal.

(23)

Nas hipóteses do último lema, se escrevermos Jf (z) = µ(z) · M(z), sendo M(z) uma matriz ortogonal, então o coeficiente µ(z) pode ser calculado da seguinte maneira. Da defini¸cão de diferenciabilidade: f (w) = f (z) + µ(z)M(z)(w − z) + |w − z| · ²(w) com lim w→z²(w) = 0 |f (w) − f (z)| |w − z| = ¯ ¯ ¯ ¯_{|w − z|}µ(z) M(z)(w − z) + ²(w) ¯ ¯ ¯ ¯ lim w→z |f (w) − f (z)| |w − z| = ¯ ¯ ¯ ¯ lim_w→z µ µ(z) |w − z|M(z)(w − z) + ²(w) ¶¯_¯ ¯ ¯ = = µ(z) lim w→z ¯ ¯ ¯ ¯_{|w − z|}M(z) · (w − z) ¯ ¯ ¯ ¯ = µ(z) lim_w→z|w − z|_{|w − z|} = µ(z) · 1 ∴ µ(z) = lim w→z |f (w) − f (z)| |w − z| . (1.2)

Defini¸c˜ao 1.3.3 Seja U um aberto do plano complexo e seja λ : U → R uma fun¸c˜ao

cont´ınua e positiva. Uma métrica em U pode ser definida do seguinte modo: dados p e q pontos em U, a distância entre estes pontos é dada por

d(p, q) = inf

Z ₁

0

λ(γ(t))|γ0_(t)|dt

sendo o ´ınfimo tomado sobre todos os caminhos γ : [0, 1] → U diferenci´aveis tais que γ(0) = p e γ(1) = q.

´

E fácil mostrar que isso realmente define uma métrica em U, chamada de métrica conforme à metrica Euclidiana de fun¸cão densidade λ.

Nessa m´etrica, o comprimento de um caminho γ : [0, 1] → U ´e definido por kγk =

Z ₁

0

(24)

Teorema 1.3.4 Seja f : U ⊂ C → U1 ⊂ C um homeomorfismo diferenci´avel entre

aber-tos do plano complexo, e seja λ : U → R uma fun¸cão densidade. Suponhamos que f pre-serve ângulos entre curvas e que sua matriz jacobiana se escreva como Jf (z) = µ(z)·M(z), sendo M uma matriz ortogonal. A fun¸cão λ1 : U1 → R definida por λ1(f (z)) =

λ(z) µ(z) define uma fun¸c˜ao densidade em U1 e essa torna a aplica¸c˜ao f : (U, d) → (U1, d1) uma

isometria, sendo d e d1 métricas conformes à métrica Euclidiana de fun¸cões densidade λ

e λ1 respectivamente.

Demonstra¸c˜ao:

Como f ´e um homeomorfismo diferenci´avel, uma caminho em U1 ligando os pontos

f (p) e f (q) se expressa como f ◦ γ : [0, 1] → U1 sendo γ um caminho em U ligando p a q.

Pela defini¸c˜ao da m´etrica d1 temos que:

d1(f (p), f (q)) = inf

Z ₁

0

λ1(f ◦ γ(t))|(f ◦ γ)0(t)|dt

sendo o ´ınfimo tomado sobre todos os caminhos γ : [0, 1] → U diferenci´aveis tais que

1.3.2 Modelo do semi-plano superior

O modelo do semi-plano superior para o plano hiperbólico é o conjunto H2 _{= {z ∈ C : Im(z) > 0}. Podemos escrever também H}2 _{= {(x, y) ∈ R}2 _{: y > 0}.}

(25)

As retas hiperb´olicas para o modelo do semi-plano superior s˜ao de dois tipos: ou semi-retas perpendiculares ao eixo x ou semi-c´ırculos centrados no eixo x.

Figura 1.11: Retas hiperb´olicas no modelo do semi-plano superior.

Vamos nos lembrar agora das aplica¸cões de inversões em retas ou c´ırculos definidas na se¸cão 1.1 desse cap´ıtulo.

Podemos escrever a aplica¸c˜ao de invers˜ao na reta perpendicular ao eixo x no ponto

a ∈ R da seguinte forma:

Figura 1.12: Invers˜ao em reta perpendicular ao eixo x.

a

z φ(z)

φL(z) = −z + 2a

φL(x, y) = (−x + 2a, y)

(26)

Podemos escrever a aplica¸c˜ao de invers˜ao no c´ırculo de centro no ponto a ∈ eixo x e raio R da seguinte forma:

Figura 1.13: invers˜ao no c´ırculo de centro a ∈ eixo x e raio R.

a φΣ(z) = a + R z − a |z − a|2 φΣ(x, y) = µ a + R2 x − a (x − a)2_{+ y}2 , R2 (x − a)2_{+ y}2 ¶ Σ

Das propriedades enunciadas na se¸cão 1.1, temos que as aplica¸cões φL e φΣ são

homeomorfismos de H2 _{que preservam ˆangulos entre curvas.}

Vamos definir agora uma fun¸c˜ao densidade λ : H2 _{→ R de forma que as invers˜oes}

φ em retas hiperbólicas sejam isometrias φ : (H2_{, d) → (H}2_{, d), em que d é a métrica}

definida por λ.

Primeiramente vamos considerar a inversão na semi-reta de equa¸cão x = a. A inversão nessa reta é dada por:

φ(x, y) = (−x + 2a, y)

Sua matriz Jacobiana ´e: Jφ(x, y) = 

 −1 0

0 1



. Uma vez que essa ´e ortogonal, vemos que µ(z) = 1.

Para φ ser uma isometria, pelo teorema 1.3.4, devemos ter:

λ(φ(z)) = λ(z), ∀ z ∈ H2

(27)

⇒ λ(x1, y) = λ(x2, y) ∀ x, a ∈ R, y > 0

Portanto, a fun¸c˜ao λ : H2 _{→ R s´o depende da segunda coordenada do ponto z ∈ H}2_.

Vamos considerar agora invers˜oes em c´ırculos:

φ(x, y) = µ a + R2 x − a (x − a)2_{+ y}2 , R 2 y (x − a)2_{+ y}2 ¶

Sabemos que Jφ(z) = µ(z) · M, onde M ´e a matriz ortogonal, e

µ(z) = lim

w→z

|f (w) − f (z)| |w − z| .

Pela express˜ao (1.1), temos

µ(z) = lim w→z R2 |w − a||z − a| ∴ µ(z) = R 2 |z − a|2

Para φ ser isometria, pelo teorema 1.3.4, devemos ter:

λ(φ(z)) = λ(z)

µ(z) (1.3)

Acabamos de demonstrar, com a inversão em retas, que a fun¸cão λ : H2 _{→ R só depende}

da segunda coordenada. Deste modo, λ define uma fun¸c˜ao eλ : R+_{→ R, definida por}

λ(z) = eλ(Im(z)), ∀ z ∈ H2 _. De (1.3), obtemos e λ(Im(φ(z))) = eλ(Im(z)) µ(z) Como Im(φ(z)) = R 2

|z − a|2Im(z), devemos ter:

e λ µ R2 |z − a|2Im(z) ¶ = eλ(Im(z)) R2 |z − a|2

(28)

e λ µ R2 |z − a|2Im(z) ¶ · R 2 |z − a|2 = eλ(Im(z)) .

Essa igualdade implica que: eλ(tc) · t = eλ(c), ∀ t, c ∈ R+_.

Para c = 1 obtemos eλ(t) · t = eλ(1) e assim eλ(t) = eλ(1)

t para todo t ∈ R

+_{. Da´ı}

vemos que para a invers˜ao φ ser uma isometria basta definirmos a fun¸c˜ao densidade λ por: λ(z) = eλ(1)

Im(z). A constante multiplicativa eλ(1) pode ser escolhida como qualquer

n´umero real positivo. Em geral, define-se eλ(1) = 1 para que o plano hiperb´olico tenha

curvatura −1. Assim, a fun¸c˜ao densidade em H2 _{´e dada por}

λ(z) = 1 Im(z) e a distˆancia em H2 _´e d(p, q) = inf Z γ 1 Im(γ(t)) · |γ 0_{(t)|dt .}

A distˆancia no semi-plano superior:

Vamos apresentar agora uma constru¸cão expl´ıcita para a fun¸cão distância d(p, q) no semi-plano superior, em termos das coordenadas de p e q.

Seja γ : [0, 1] → H2 _{uma curva diferenci´avel ligando os pontos γ(0) = p e γ(1) = q.}

Da f´ormula deduzida acima, temos que o comprimento da curva γ ´e dado por

|γ| =

Z ₁

0

|γ0_(t)|

Im(γ(t))dt (1.4)

A distˆancia entre p e q ´e definida por:

d(p, q) = inf |γ|

em que o ´ınfimo ´e tomado sobre todas tais curvas γ.

Já sabemos que inversões em semi-retas e semi-c´ırculos ortogonais ao eixo x são isometrias φ : (H2_{, d) → (H}2_{, d).}

• invers˜ao em semi-reta

(29)

• invers˜ao em semi-c´ırculo φ(z) = a + R2 |z − a|2(z − a) φ(z) = a + R 2 z − a φ(z) = az + R 2_{− a}2 z − a ´

E importante observar que estas duas aplica¸cões são casos particulares de aplica¸cões

g : C∞→ C∞ do tipo g(z) =

az + b cz + d .

Como fizemos com as transforma¸cões lineares fracionárias, também podemos associar a uma transforma¸cão do tipo g(z) = az + b

cz + d uma matriz Mg =   a b c d   tal que Mg◦h = MgMh

Matrizes das Invers˜oes:

• Invers˜ao em reta: φ(z) = −z + 2a → Mφ=   −1 2a 0 1  , com det(Mφ) = −1 < 0 • Invers˜ao em c´ırculo φ(z) = az + R 2_{− a}2 z − a ⇒ Mφ=   a R2− a2 1 a  , com det(Mφ) = −R2 < 0

Teorema 1.3.5 Toda transforma¸c˜ao linear fracion´aria g(z) = az + b

cz + d , a, b, c, d ∈ R, ad − bc > 0 ´e uma isometria de H2_.

Demonstra¸c˜ao:

Pelo teorema 1.2.2, pode-se concluir que uma transforma¸c˜ao linear fracion´aria

g(z) = az + b

cz + d com a, b, c, d ∈ R e ad − bc > 0 é uma composi¸cão de um número par de

inversões em retas hiperbólicas; semi-retas ou semi-c´ırculos ortogonais ao eixo x. Como cada uma dessas inversões é uma isometria de H2_{, segue que g também é isometria.}

(30)

Teorema 1.3.6 Dados z e w dois pontos quaisquer do semi-plano superior, temos que

d(z, w) = ln|z − w| + |z − w|

|z − w| − |z − w| (1.5)

Demonstra¸c˜ao:

Para demonstrar a igualdade, vamos mostrar que ambos os lados da expressão são invariantes por aplica¸cões do tipo g(z) = az + b

cz + d , a, b, c, d ∈ R, ad − bc > 0.

O lado esquerdo da igualdade ´e invariante pois g ´e uma isometria e assim

d(g(z), g(w)) = d(z, w).

Sabemos que g é uma composi¸cão de inversões em semi-retas e semi-c´ırculos ortogo-nais ao eixo x. Como inversões em retas são isometrias Euclidianas, temos que o lado direito da igualdade é invariante por tais aplica¸cões.

Precisamos mostrar agora que a express˜ao ln|z − w| + |z − w|

|z − w| − |z − w| ´e invariante por

in-vers˜oes em c´ırculos centrados no eixo x . Seja φ(z) = a + R2

|z − a|2(z − a) a invers˜ao no

semi-c´ırculo de raio R e centro a ∈ R. Pela express˜ao 1.1, temos que:

|φ(z) − φ(w)| = R2 |z − a||w − a||z − w| Assim, temos: |φ(z) − φ(w)| + |φ(z) − φ(w)| |φ(z) − φ(w)| − |φ(z) − φ(w)| = |φ(z) − φ(w)| + |φ(z) − φ(w)| |φ(z) − φ(w)| − |φ(z) − φ(w)| = = R2_{|(w − z)|} |(z − a)(w − a)| + R2_{|(w − z)|} |(z − a)(w − a)| R2_{|(w − z)|} |(z − a)(w − a)| − R2_{|(w − z)|} |(z − a)(w − a)| = R2_{|(w − z)|} |(z − a)(w − a)|+ R2_{|(w − z)|} |(z − a)(w − a)| R2_{|(w − z)|} |(z − a)(w − a)|− R2_{|(w − z)|} |(z − a)(w − a)| = = |w − z| + |w − z| |w − z| − |w − z| = |z − w| + |z − w| |z − w| − |z − w|

(31)

Portanto, ambos os lados da igualdade 1.5 s˜ao invariantes por g(z) = az + b

cz + d, a, b, c, d ∈ R, ad − bc > 0. Da´ı, para demonstrarmos essa igualdade, vamos considerar

pontos z e w em uma posi¸c˜ao conveniente do plano hiperb´olico.

Tome agora dois pontos distintos z e w em H2_{. Existe uma aplica¸c˜ao g(z) =} az + b

cz + d, a, b, c, d ∈ R, ad − bc > 0 tal que g(z) e g(w) est˜ao sobre o eixo imagin´ario. Sendo assim,

basta verficarmos a igualdade para os pontos z = ip e w = iq. Sem perda de generalidade, podemos supor p < q.

Figura 1.14: Aplica¸c˜ao que leva z e w em ip e iq respectivamente.

L g(z) = ip

g(w) = iq z

w

Seja γ : [0, 1] → H2 _{um caminho ligando z = ip a w = iq, γ(t) = (x(t), y(t)) =}

= x(t) + iy(t). Ent˜ao: |γ| = Z ₁ 0 |γ0_(t)| Im(γ(t))dt = Z ₁ 0 p x02_{(t) + y}02_(t) y(t) dt ≥ Z ₁ 0 p y02_(t) y(t) dt ≥ Z ₁ 0 y0_(t) y(t)dt = ln y(t) ¯ ¯1 0 ⇒ |γ| ≥ ln y(1) − ln y(0) = ln(q) − ln(p) ∴ |γ| ≥ ln(q p)

(32)

Figura 1.15: Um caminho γ ligando z = ip a w = iq .

z = ip w = iq

Para a curva γ0(t) = i(p + t(q − p)), que ´e o segmento vertical de in´ıcio em z = ip e

final em z = iq, vemos que |γ0| = ln(

q p). Como d(z, w) = infγ|γ| conclu´ımos que d(ip, iq) = ln(q p) . (1.6) Voltando `a express˜ao d(z, w) = ln|z − w| + |z − w|

|z − w| − |z − w|, vemos que o seu lado direito

toma a forma

d(z, w) = ln

·

|ip − (−iq)| + |ip − iq| |ip − (−iq)| − |ip − iq|

¸ = ln µ |i(p + q)| + |i(p − q)| |i(p + q)| − |i(p − q)| ¶

E como p, q ∈ R e q > p > 0, temos |i(p + q)| = p + q e |i(p − q)| = q − p

ln µ (p + q) + (q − p) (p + q) − (q − p) ¶ = ln µ 2q 2p ¶ = ln µ q p ¶ (1.7)

De (1.6) e (1.7), demonstramos a igualdade desejada. ¥

Observa¸c˜oes:

1. Se z = ip e w = iq (q > p), e γ(t) = (x(t), y(t)) ´e uma curva ligando z a w, vimos que |γ| ≥ ln

µ

q p

¶

(33)

e somente se, x0_{(t) = 0 ∀ t e y}0_{(t) > 0 ∀ t. E isso ocorre se, e somente se, x(t) = 0 ´e}

constante e y(t) é crescente. Então uma curva γ realiza a distância entre z e w se, e somente se, γ parametriza o segmento de reta de z a w injetivamente.

2. Sejam z e w pontos quaisquer em H2_{. Seja L a ´unica reta de H}2 _{passando por z e w.}

O segmento [z, w] ´e o conjunto dos pontos de L que est˜ao entre z e w. Uma curva

γ, ligando z a w, realiza a distˆancia entre z e w se, e somente se, γ parametriza o

segmento [z, w] injetivamente.

3. Para quaisquer p e q reais positivos, ρ(ip, iq) = ¯ ¯ ¯ ¯ln µ q p ¶¯_¯ ¯ ¯.

1.3.3 Modelo do disco unit´

ario

O modelo do disco unitário para o plano hiperbólico é o conjunto D = {z ∈ C : |z| < 1} . Podemos escrever também D = {(x, y) ∈ R : x2_{+ y}2 _{< 1} .}

As retas hiperbólicas para o modelo do disco unitário são de dois tipos: ou diâmetros de D ou arcos de circunferência ortogonais a ∂D . Observe que as inversões nessas retas hiperbólicas deixam o disco D invariante.

Figura 1.16: Retas no disco unit´ario.

Vamos definir uma métrica d1 em D que torne as inversões em retas hiperbólicas

φ : (D, d1) → (D, d1) isometrias. Para isto, vamos determinar uma aplica¸c˜ao conforme

f : H2 _{→ D e vamos definir a m´etrica d}

(34)

seja isometria. Tal métrica d1 será constru´ıda através de um fun¸cão densidade λ1 em D,

constru´ıda como no teorema 1.3.4 . ´

E fácil ver que a transforma¸cão linear fracionária f (z) = z − i

z + i ´e um homeomorfismo

conforme de H2 _{sobre D. Isso porque ∂H}2 _{´e o c´ırculo no plano complexo estendido que}

passa pelos pontos 0, 1, ∞ e f (∂H2_{) ´e o c´ırculo que passa pelos pontos f (0) = −1,}

f (1) = 1 − i

1 + i = −i e f (∞) = 1 . M´etrica em D:

Na se¸c˜ao anterior, definimos uma densidade λ : H2 _{→ R no semi-plano superior por}

λ(z) = 1

Im(z), que gerou uma m´etrica d em H2: d(p, q) = inf γ Z γ |γ0_(t)| Im(γ(t)) dt .

Agora, vamos definir uma densidade λ1 : D → R que torna a aplica¸c˜ao f : (H2, λ, d) →

(D, λ1, d1) uma isometria, sendo d1 a m´etrica definida por λ1. Pelo teorema 1.3.4,

deve-mos definir λ1 por λ1(f (z)) =

λ(z)

µ(z), onde Jf (z) = µ(z)M , M uma matriz ortogonal.

Podemos calcular µ(z), de acordo com a equa¸c˜ao (1.2).

f (w) − f (z) w − z = w − i w + i− z − i z + i w − z = (w − i)(z + i) − (w + i)(z − i) (w + i)(z + i)(w − z) = = wz + iw − iz + 1 − (wz − iw + iz + 1) (w + i)(z + i)(w − z) = 2iw − 2iz (w + i)(z + i)(w − z) = 2i (w + i)(z + i) Da´ı, segue que

|f (w) − f (z)| |w − z| = 2 |w + i||z + i| e portanto µ(z) = lim w→z |f (w) − f (z)| |w − z| = 2 |z + i|2 .

Por outro lado, temos que (escrevendo z = x + iy) 1 − |f (z)|2 _{= 1 −} |z − i|2 |z + i|2 = |z + i|2_{− |z − i|}2 |z + i|2 = x2_{+ (y + 1)}2_{− [x}2_{+ (y − 1)}2_] |z + i|2 =

(35)

= x

2_{+ y}2_{+ 2y + 1 − (x}2_{+ y}2_{− 2y + 1)}

|z + i|2 =

4y

|z + i|2 .

Da´ı, 1 −|f (z)|2 _{= 2 ·Im(z)·µ(z) , e a fun¸c˜ao densidade λ}

1 no disco unit´ario toma a forma:

λ1(f (z)) = λ(z) µ(z) = 1 Im(z) 1 − |f (z)|2 2 · Im(z) = 2 1 − |f (z)|2 .

Desse modo, a fun¸c˜ao densidade λ1 no disco unit´ario deve ser definida por:

λ1(z) =

2

1 − |z|2 , ∀ z ∈ D .

Como vimos na subse¸cão 1.3.1, essa fun¸cão densidade define a seguinte métrica no disco unitário D: d1(p, q) = inf γ Z γ 2 1 − |γ(t)|2|γ 0_(t)|2_dt

onde o ´ınfimo ´e tomado sobre todas os caminhos γ em D ligando p a q.

Observa¸c˜ao:

Seja φ : D → D a inversão em uma reta hiperbólica de D. Na métrica d1,

φ : (D, d1) → (D, d1) ´e uma isometria.

Demonstra¸c˜ao:

A m´etrica d1 foi constru´ıda para que

f : (H2_{, λ, d) → (D, λ} 1, d1)

z 7→ z − i

z + i

seja uma isometria.

Seja φ a inversão em uma reta hiperbólica C do disco unitário D. Então f−1_{(C) é}

uma reta hiperbólica em H2_{. Se φ é a inversão em C, então ψ = f}−1_{φf é a inversão em}

f−1_{(C). Assim, temos φ = f ψf}−1_{. E como, f e ψ s˜ao isometrias, segue que φ ´e uma}

isometria.

(36)

Figura 1.17: Aplica¸c˜ao f que leva H2 _{em D.} H2 _D f φ y ψ y C f−1_(C)

A m´etrica no disco unit´ario:

Sejam z e w dois pontos no disco unitário D. Seja γ : [0, 1] → D uma curva diferen-ciável ligando z a w. O comprimento de γ é dado por;

|γ| = Z ₁ 0 2 1 − |γ(t)|2|γ 0_(t)|2_dt

A distˆancia entre z e w ´e d1(z, w) = inf |γ|.

Teorema 1.3.7 Para quaisquer z, w ∈ D

senh2 µ d1(z, w) 2 ¶ = |z − w| 2 (1 − |z|2_{)(1 − |w|}2₎

Demonstra¸cão: Para demonstrar a igualdade, vamos mostrar que ambos os lados da expressão são invariantes por inversões em retas hiperbólicas de D.

As invers˜oes em retas φ : D → D foram constru´ıdas, na m´etrica d1 para serem

isometrias de D. Assim, o lado esquerdo da igualdade ´e invariante por invers˜oes em retas de D.

Seja φ : D → D a inversão em um diâmetro. Como φ é isometria Euclidiana, temos que |φ(z) − φ(w)| = |z − w|, e |z| = |φ(z)| e |w| = |φ(w)|. Da´ı

|φ(z) − φ(w)|2

(1 − |φ(z)|2_{)(1 − |φ(w)|}2₎ =

|z − w|2

(37)

e o lado direito da igualdade é invariante por inversão em diâmetros.

Seja agora φ : D → D a inversão em um arco de c´ırculo ortogonal a ∂D. Se φ é a inversão no c´ırculo de centro a ∈ C e raio R. Então, por

1 − |φ(z)|2 ₌ R2

|z − a|2(1 − |z|

2_{), ∀ z ∈ D (Equa¸c˜ao 3.4.2 da p´agina 39 do livro [2]) ,}

temos, |φ(z) − φ(w)|2 (1 − |φ(z)|2_{)(1 − |φ(w)|}2₎ = |φ(z) − φ(w)|2 µ R2_{(1 − |z|}2₎ |z − a|2 ¶ µ R2_{(1 − |w|}2₎ |w − a|2 ¶ = = |φ(z) − φ(w)|2|z − a|2|w − a|2 R4_{(1 − |z|}2_{)(1 − |w|}2₎ e pela equa¸c˜ao (1.1) |φ(x) − φ(y)| = R 2 |x − a||y − a||x − y| temos = µ R4_{|z − w|}2 |z − a|2_{|w − a|}2 ¶ |z − a|2_{|w − a|}2 R4_{(1 − |z|}2_{)(1 − |w|}2₎ = |z − w|2 (1 − |z|2_{)(1 − |w|}2₎ .

Assim, o lado direito da igualdade também é invariante pela inversão φ.

Agora, sejam dados dois pontos quaisquer z e w em D. Existe uma composi¸cão de inversões em diâmetros e arcos de circunferências ortogonais a ∂D tal que g(z) = 0 e g(w) é um número real positivo menor que 1. Deste modo, pelo que acabamos de demonstrar, é suficiente demonstrarmos a expressão desejada para o caso em que z = 0 e

w = r ∈ R, 0 < r < 1.

(38)

Figura 1.18: Curva γ ligando z e w. z=0 w=r γ |γ| = Z ₁ 0 2|γ0_(t)| 1 − |γ(t)|2dt = 2 Z ₁ 0 p x0_(t)2_{+ y}0_(t)2 1 − x2_{(t) − y}2_(t)dt ≥ 2 Z ₁ 0 p x0_(t)2 1 − x2_{(t) − y}2_(t)dt ≥ ≥ 2 Z ₁ 0 x0_(t) 1 − x2_{(t) − y}2_(t)dt ≥ 2 Z ₁ 0 x0_(t) 1 − x2_(t)dt .

Agora precisamos recordar a seguinte integral: Z ₁ 0 1 1 − t2dt = 1 2ln µ 1 + t 1 − t ¶ + c. Da´ı, |γ| ≥ ln1 + x(t) 1 − x(t) ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 = ln1 + r 1 − r .

Quando γ(t) = rt, vemos que esse m´ınimo ´e atingido pois |γ| = ln1 + r 1 − r . Portanto, conclu´ımos que d1(z, w) = ln

1 + r 1 − r.

Agora, vamos verificar a express˜ao para d1(0, r) dada no enunciado do teorema.

Como senh2 µ d 2 ¶ = Ã ed2 − e− d 2 2 !₂ = ed− 2 + e−d

4 , no lado esquerdo vemos que

senh2 µ d1(z, w) 2 ¶ = 1 + r 1 − r − 2 + 1 − r 1 + r 4 = = (1 + r)2− 2(1 + r)(1 − r) + (1 − r)2 4(1 − r)(1 + r) = r2 1 − r2

(39)

No lado direito: |z − w|2 (1 − |z|2_{)(1 − |w|}2₎ = |0 − r|2 (1 − |0|2_{)(1 − |r|}2₎ = r2 1 − r2 .

Portanto, a igualdade ´e v´alida. ¥

Observa¸c˜oes:

1. Se z = 0 e w = r > 0 e γ é um caminho ligando z a w, vimos que |γ| ≥ ln 1 + r 1 − r. Além disso, pelo desenvolvimento anterior, a igualdade é válida se, e somente se,

x0_{(t) > 0 e y}0_{(t) = 0 ∀ t. E isso ocorre se, e somente se, x(t) ´e crescente e y(t)}

é constante. Então a curva γ que realiza a distância entre z e w se parametriza o segmento de reta ligando z a w injetivamente.

2. Sejam dados dois pontos z e w em D. Seja L a ´unica reta hiperb´olica por z e w e seja [z, w] o segmento de L de extremos z e w. Uma curva γ em D, ligando z a

w, realiza a distˆancia entre z e w se, e somente se, γ parametriza o semento [z, w]

injetivamente.

1.4 Isometrias do Plano Hiperb´

olico

Nesta se¸cão, vamos calcular o grupo de isometrias do plano hiperbólico no modelo do semi-plano superior e no modelo do disco unitário.

Semi-plano superior:

Já vimos que toda transforma¸cão linear fracionária g(z) = az + b

cz + d , ad − bc > 0, a, b, c, d ∈ R é uma isometria de H2_{, uma vez que são composi¸cões de um número par de}

invers˜oes em retas hiperb´olicas.

Agora, seja dada uma isometria qualquer f : H2 _{→ H}2_{. Se L ´e o eixo imagin´ario}

positivo, existe uma aplica¸c˜ao g, do tipo g(z) = az + b

cz + d , ad − bc > 0, a, b, c, d ∈ R tal

(40)

Aplicando uma dilata¸cão z 7→ kz (k > 0) e, se necessário, a aplica¸cão z 7→ −1

z,

vemos que existe uma aplica¸c˜ao h, do tipo h(z) = az + b

cz + d , ad − bc > 0, a, b, c, d ∈ R tal

que h ◦ f (i) = i e h ◦ f deixa invariante cada uma das semi-retas (i, +∞) e (0, i). Da´ı, conclu´ımos que h ◦ f fixa cada ponto do eixo imagin´ario positivo.

Agora seja dado um ponto qualquer em H2 _{e escreva z = x + iy e h ◦ f (z) = u + iv.}

Para todo t > 0 qualquer,

d(it, z) = d(h ◦ f (it), h ◦ f (z)) = d(it, u + iv) .

Da express˜ao senh · 1 2d(z, w) ¸ = |z − w| 2[Im(z)Im(w)]12

encontrada no teorema 7.2.1 (iii), p´agina 130, do livro [2], obtemos: [x2 _{+ (y − t)}2_{]v = [u}2_{+ (v − t)}2_{]y .}

Uma vez que esta igualdade deve ser verdadeira para todo t > 0, obtemos as igualdades

y = v e x2 _{= u}2 _{. Da´ı, colclu´ımos que}

h ◦ f (z) = z ou − z

para todo z ∈ H2_.

Essas considera¸c˜oes demonstram o seguinte teorema:

Teorema 1.4.1 Toda isometria de H2 _{´e de um dos tipos:}

f (z) = az + b

cz + d ou f (z) =

a(−z) + b

c(−z) + d , onde a, b, c, d ∈ R e ad − bc > 0

Mais ainda, o grupo de isometrias Isom(H2_{) de H}2 _{´e gerado por invers˜oes em retas}

hiperb´olicas.

Observa¸cão: através de algumas contas, pode-se demonstrar a equivalência entre a equa¸cão senh · 1 2d(z, w) ¸ = |z − w| 2[Im(z)Im(w)]12

(41)

utilizada para a demonstra¸cão acima e a equa¸cão (1.5) demonstrada no teorema 1.3.6. Disco unitário:

Agora podemos calcular o grupo de isometrias do disco unit´ario utilizando o fato da aplica¸c˜ao f (z) = z − i

z + i ser uma isometria de H2 sobre D. Desse fato, temos que: Isom(D) = f ◦ Isom(H2_{) ◦ f}−1 _.

Efetuando algumas contas simples, do teorema anterior, essa igualdade demonstra o seguinte resultado:

Teorema 1.4.2 Toda isometria do disco unit´ario ´e de um dos tipos:

h(z) = az + c

cz + a ou h(z) =

az + c

cz + a , sendo a, c ∈ C com |a|

2_{− |c|}2 _{= 1 .}

Mais ainda, o grupo de isometrias Isom(D) de D é gerado por inversões em retas hiperbólicas.

1.5 C´ırculos Isom´

etricos

Com o objetivo de apresentar a classifica¸cão das isometrias do plano hiperbólico vamos primeiramente recordar o conceito de c´ırculo isométrico de uma transforma¸cão linear fracionária.

Seja g(z) = az + b

cz + d um elemento de M

2 _{que n˜ao fixa o infinito, ou seja c 6= 0, tal que}

ad − bc = 1.

Sejam α = g−1_{(∞) =} −d

c e α0 = g(∞) = a c .

Temos que todas as retas que passam por α s˜ao levadas, pelo elemento g, em retas que passam por α0_.

(42)

Figura 1.19: retas que passam por α s˜ao levadas em retas que passam por α0 _.

L g(L)

α = g−1_(∞) _α0 _{= g(∞)}

Isto implica que um c´ırculo centrado em α ´e transformado por g em um c´ırculo centrado em α0_.

Figura 1.20: retas e c´ırculos que passam por α s˜ao levadas em retas e c´ırculos por α0

Σ g(Σ)

α

α0

Algebricamente, essa afirma¸cão é uma conseqüência do seguinte desenvolvimento:

|g(z) − α0_{| =} ¯ ¯ ¯ ¯az + b_{cz + d} − a_c ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯acz + bc − acz − ad_{c(cz + d)} ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯_{c(cz + d)}−1 ¯ ¯ ¯ ¯ = _{|c||cz + d|}1 = 1 |c|2 ¯ ¯ ¯ ¯z + d_c ¯ ¯ ¯ ¯ = 1 |c|2_{|z − α|} . Da´ı, temos |z − α| = R ⇔ |g(z) − α0_{| =} 1

|c|2_R. Portanto, o c´ırculo de centro α e raio R ´e

transformado por g no c´ırculo de centro α0 _{e raio} 1

(43)

Figura 1.21: O c´ırculo de centro α e raio R ´e levado por g no c´ırculo de centro α0 _{e raio} 1 |c|2_R. Σ g(Σ) α α 0 R 1 |c|2R g

Conclu´ımos ent˜ao que existe um ´unico c´ırculo I de centro α e raio ρ = 1

|c| tal que g(I) ´e um c´ırculo de centro α0 _{e mesmo raio ρ. Denotamos por I o c´ırculo isom´}_etrico

de g e por I0 _{= g(I) o c´ırculo isom´}_{etrico de g}−1_{. Definimos o exterior do c´ırculo}

isom´etrico I como Ext(I) = {z ∈ C : |z − α| > ρ} ∪ {∞}. E definimos o interior do c´ırculo isom´etrico I como Int(I) = {z ∈ C : |z − α| < ρ}.

Da igualdade |g(z) − α0_{| =} ρ2

|z − α|, conclu´ımos que: • g(I) = I0

• g(Exterior(I)) = Interior(I0₎

• g(Interior(I)) = Exterior(I0₎

Teorema 1.5.1 Seja g ∈ M2 _{tal que g(∞) 6= ∞. Ent˜ao podemos escrever g = rji, sendo}

i a inversão no c´ırculo isométrico de g(I) e r e j são movimentos r´ıgidos Euclidianos.

Demonstra¸c˜ao:

Sejam I e I0 _{os c´ırculos isom´etricos de g e g}−1 _{respectivamente. Sejam α = g}−1_(∞)

e α0 _{= g(∞) os centros de I e I}0 _{respectivamente. Defina i a invers˜ao no c´ırculo I e j a}

invers˜ao na mediatriz do segmento de extremidades α e α0_{. Caso α = α}0_{, defina j como}

a identidade.

(44)

• r(∞) = ∞ ; • r(α0_{) = α}0 _;

• r(I0_{) = I}0 _.

Isto implica que r tem uma das seguintes formas:

• Se j 6= id, então r(z) = eiθ_{(z − α}0_{) + α}0 _{e assim r é uma rota¸cão ao redor do ponto}

α0_.

• Se j = id, então r(z) = eiθ_{(z −α}0_)+α0 _{e assim r é uma reflexão em uma reta seguida}

de uma rota¸c˜ao ao redor do ponto α0_.

Em qualquer um dos casos, conclu´ımos que r ´e um movimento r´ıgido Euclidiano. Como

r = gij implica que g = rji, o teorema fica demonstrado. ¥

Teorema 1.5.2 Seja g(z) = az + b

cz + d uma transforma¸cão linear fracionária tal que g(∞) 6= ∞ e ad − bc = 1. Sejam I e I0 _{os c´ırculos isométricos de g e g}−1_,

respecti-vamente e seja tr(g) = a + d. Ent˜ao:

1. I e I0 _{concorrem em dois pontos ⇔ 0 < |tr}2_{(g)| < 4.}

2. I e I0 _{s˜ao tangentes ⇔ |tr}2_{(g)| = 4}

3. I e I0 _{s˜ao disjuntos ⇔ |tr}2_{(g)| > 4;}

4. I = I0 _{⇔ |tr}2_{(g)| = 0}

Demonstra¸c˜ao:

O c´ırculo I tem como centro α = g−1_{(∞) = −}d

c, o c´ırculo I0 tem como centro α0 _{= g(∞) =} a

c e ambos esses c´ırculos possuem raio ρ =

1

|c|. Assim, I e I

0 _{s˜ao disjuntos}

se, e somente se,

|α0 − α| > 2ρ ⇔ ¯ ¯ ¯ ¯a_c − (−d_c) ¯ ¯ ¯ ¯ > _|c|2 ⇔ |a + d| > 2 ⇔ |tr(g)| > 2 ⇔ |tr2(g)| > 4 .

(45)

A demonstra¸c˜ao das outras propriedades pode ser feita de forma an´aloga. ¥

1.6 Classifica¸c˜

ao das Isometrias do Plano Hiperb´

olico

Seja g uma isometria conforme do plano hiperbólico no modelo do semi-plano superior. Tal isometria pode ser estendida até uma aplica¸cão linear fracionária eg definida no fecho

de H2_{. A aplica¸c˜ao e}_{g : H}2 _{→ H}2 _{possui pelo menos 1 ponto fixo em H}2 _{. Dizemos que a}

isometria g : H2 _{→ H}2 _´e:

1. El´ıptica se, e somente se, eg possui algum ponto fixo em H2 _;

2. Parabólica se, e somente se, eg possui um único ponto fixo que está em ∂H2 _;

3. Hiperb´olica se, e somente se, eg possui exatamente dois pontos fixos em ∂H2 _.

Vamos mostrar que esta classifica¸cão das isometrias coincide com a classifica¸cão dos elementos de M2 _{dada na se¸cão 1.2.}

Seja g isometria conforme de H2_{. Suponha que g(∞) 6= ∞. Sabemos que podemos}

escrever g = rji, sendo r rota¸cão, i a inversão no c´ırculo isométrico de g e j reflexão em uma reta. Como α = g−1_{(∞) e α}0 _{= g(∞) pertencem ao eixo x, conclu´ımos que I ∩ H}2

e I0_{∩ H}2 _{são geodésicas de H}2_{, e j também é a inversão em uma geodésica. Mas como g}

deixa H2 _{invariante, conclu´ımos que r = id. Logo:}

Teorema 1.6.1 Se g ∈ Isom(H2_{) holomorfa, ent˜ao podemos escrever g como g = σ} 1σ2,

sendo σ1 e σ2 invers˜oes em geod´esicas Σ1 e Σ2 respectivamente.

Desse teorema podemos reinterpretar a classifica¸c˜ao das isometrias de H2 _{em termos}

(46)

1. Se Σ1 e Σ2 são concorrentes, então g = σ1σ2 é um elemento el´ıptico cujo ponto fixo

´e Σ1∩ Σ2 .

Figura 1.22: Isometria El´ıptica.

Σ1 Σ2

%Um ponto fixo em H

2

2. Se Σ1e Σ2são tangentes num ponto em H2, então g = σ1σ2é um elemento parabólico

cujo ponto fixo ´e Σ1∩ Σ2 .

Figura 1.23: Isometria Parab´olica.

Σ1 Σ2

& Um ponto fixo em ∂H2

3. Se Σ1∩Σ2 = ∅, então g = σ1σ2 é um elemento hiperbólico. De fato, se Σ é a (única)

geod´esica de H2 _{perpendicular comum a Σ}

1 e a Σ2, ent˜ao g tem como pontos fixos

os pontos finais de Σ em ∂H2 _.

Figura 1.24: Isometria Hiperb´olica com pontos fixos p e q .

Σ1 Σ Σ2

(47)

Cap´ıtulo 2

Superf´ıcies de Riemann

2.1 Grupos Descont´ınuos

Seja X um espa¸co topol´ogico e G um grupo de homeomorfismos de X.

Dizemos que G age descontinuamente num ponto x ∈ X se existir uma vizinhan¸ca

U de x tal que g(U) ∩ U = ∅, exceto para um n´umero finito de aplica¸c˜oes g ∈ G.

O conjunto dos pontos x ∈ X em que G age descontinuamente ´e chamado conjunto regular e ´e denotado por Ω = Ω(G) .

Se g(U) ∩ U = ∅, ∀g ∈ G \ {id}, dizemos que a a¸cão de G é livre e descont´ınua. Nesse caso, dizemos que U é uma “boa vizinhan¸ca” de x. O conjunto dos pontos x ∈ G, onde G age livre e descontinuamente é chamado conjunto livre regular e é denotado por ◦Ω = ◦Ω(G) . Diretamente dessa defini¸cão temos que ◦Ω é invariante pelo grupo G e ◦Ω é aberto em X.

A a¸cão do grupo G em X define uma rela¸cão de equivalência: dizemos que dois pontos

x e y em X s˜ao equivalentes por G se existe g ∈ G tal que g(x) = y .

O conjunto das classes de equivalência de um ponto é chamado órbita do ponto por

G. O conjunto dessas classes de equivalˆencia ´e denotado por X G .

(48)

Se p : X → X

G é a aplica¸cão proje¸cão, uma topologia em X

G ´e definida de tal modo

que p ´e cont´ınua e aberta: A ⊂ X

G ´e aberto ⇔ p−1(A) ⊂ X ´e aberto.

Defini¸c˜ao 2.1.1 Seja X o plano complexo estendido, X = C∞, e G um subgrupo do

Grupo das Transforma¸c˜oes Lineares Fracion´arias, G < M2_{. Se} ◦

Ω 6= ∅, ent˜ao G ´e

chamado de grupo Kleiniano.

2.2 Dom´ınios Fundamentais

Um dom´ınio fundamental D para um grupo Kleiniano G ´e um subconjunto aberto de Ω satisfazendo:

1. para todo g ∈ G \ {id}, g(D) ∩ D = ∅.

2. para todo z ∈ Ω, existe g ∈ G tal que g(z) ∈ D.

3. a fronteira de D é união de pontos limites de G, e uma cole¸cão finita ou enumerável de curvas. Cada uma dessas curvas está contida em Ω. A interse¸cão dessas curvas com Ω são os lados de D.

4. os lados de D são identificados por elementos de G. Isto é, se s é um lado de D, então existe um lado s0_{, não necessariamente distinto de s, e existe um elemento}

n˜ao trivial g ∈ G, chamado identificador de lado, satisfazendo g(s) = s0_{. Tamb´em}

temos que g2_{(s) = s e o identificador de lado de s}0 _{para s ´e g}−1_.

5. Se {Sm} é uma sequência de lados de D, então, o diâmetro diam(Sm) → 0. Os

lados de D acumulam somente em pontos limites.

6. Somente uma quantidade finita de transladados de D encontram algum subconjunto compacto de Ω.

(49)

A regi˜ao de Ford

Considere um grupo Kleiniano G tal que ∞ ∈ ◦_{Ω(G) . Isso implica que para todo}

g ∈ G \ {id}, g(∞) 6= ∞, podemos considerar o c´ırculo isom´etrico Ig de g .

Teorema 2.2.1 Se G ´e um grupo Kleiniano tal que ∞ ∈◦_{Ω e se}

F = \

g∈G\{id}

Ext(Ig)

ent˜ao F ´e um dom´ınio fundamental para G, chamado dom´ınio fundamental de Ford.

A demonstra¸c˜ao desse teorema pode ser encontrada no livro [4]. Pol´ıgonos Fundamentais no Plano Hiperb´olico

Seja X um dos espa¸cos X = D ou X = H2_{. Uma reta de X divide o plano hiperb´olico}

em dois planos. Um pol´ıgono D em X é uma interse¸cão finita ou enumerável de semi-planos. O fecho D de D é dado por segmentos de retas determinados pelas interse¸cões dos semi-planos, chamados lados. Um vértice é um ponto determinado pela interse¸cão de exatamente dois lados.

Defini¸c˜ao 2.2.2 Seja G um subgrupo discreto de Isom(X). Um pol´ıgono D ´e um pol´ıgono

fundamental para G se:

1. Para todo elemento n˜ao trivial g ∈ G, g(D) ∩ D = ∅. 2. Para todo x ∈ X, existe g ∈ G tal que g(x) ∈ D.

3. Os lados de D são identificados por elementos de G. Isto é, para cada lado s existe um lado s0_{, e existe um elemento ∈ G tal que g(s) = s}0_{. Tal elemento g é um}

identificador de lados.

4. Todo subconjunto compacto de X intercepta somente uma quantidade finita de G transladados de D.