| Francisci de Mello De Videndi Ratione atque Oculorum Forma in Euclidis Perspectiuam Corollarium1
Luciferis quidem oculorum orbibus videndi facultatem tributam esse, nemo ambigit, sed qua ratione illa perficiatur, a multis cum recentioribus tum antiquiori- bus Philosophis dubitatum, sumaque contentione disputatum est. Quare nonnulla a nobis hoc in loco obiter et perfunctorie de hac re disserenda sunt, non vt hanc ipse controuersiam (velut arbiter honorarius) sopiam, quam certum est a multis erudi- tissimis viris fuisse diligentius examinatam et sublimius tractatam, sed vt facilius argumentorum vim Aeruditus Lector estimare possit et iudicium, si ingenio magis valeat, promptius censuramque adhibere. Vnum hoc benignum lectorem admonere uelim, ne cuncta illa, quae a Philosophis complurimis sunt libris de videndi ratione
complexa, a me in presenti digressione postulet, sed ea solum que | ad suscepti
operis intelligentiam mihi conducere videbuntur, neue a nobis expetat florulen- te atque composite orationis cincinnos, sed concisum Methamatice2 breuita- tis ordinem, cui tamen, reficiendi animi gratia, habenas nonnunquam laxauimus.
Audiet autem nudam veritatem nul|lis verborum lenociniis fucatam. Quapropter
nonnulla a nobis forsan altius repetenda erunt.
Postulata postulatumque primum. Atque imprimis3 receptum esse oportet, omne
naturale agens celerius atque fortius in propinquum quam in distans agere.
Postulatum secundum. Deinde visum simul cum lumine protendi, siue is ab oculis
desiliat, siue a re visili4 in oculos iacularetur. Nam et in tenebris videri quippiam5 nequit, quod tamen luce illustratum visitur.
Propositio prima. Lumen in rectas lineas protendi.
Argumento illud imprimis6 esse potest, vbi solis radiis porta obiicitur, subtili exi- guaque rimula in rectas perfecte lineas excauata, cui deinde altera e regione eque distans erigatur, equali atque consimili rima constans, cuius latera alterius rimule lateribus in directum exporrecta planis vtrimque parallelis extendantur, vtramque enim rimam Solis radii peruadunt, lumine nusquam in intercepta mediaque interca- pedine declinante, lumine inquam primario.
1 corollarium, corrolarium S, corrollarium O
2 methamatice S, mathematicae O 3 imprimis S, in primis O 4 visili S, visibili O 5 quippiam S, quidpiam O 6 imprimis S, in primis O [S7r, O6r] [O6v] [S7v]
Corolário à Perspetiva de Euclides, de Francisco de Melo, sobre a maneira de ver e a forma dos olhos
Ninguém duvida de que a faculdade da visão foi atribuída aos lucíferos orbes dos olhos, mas a maneira como ela se concretiza provocou dúvidas e discussões muito acaloradas entre muitos filósofos, tanto mais recentes como mais antigos. Por esta razão, devemos aqui expor algumas ideias sobre o assunto, de passagem e superfi- cialmente, não para ser eu (como juiz superior) a colocar um fim à controvérsia, que foi, é certo, mais diligentemente examinada e mais bem explicada por muitos e muito eruditos homens, mas para que o Erudito Leitor mais facilmente possa avaliar o valor dos argumentos e mais prontamente possa apresentar o seu juízo e crítica, caso seja mais eminente pelo seu engenho. Gostaria de sugerir ao Bene- volente Leitor apenas isto: que não exija de mim, nesta digressão, tudo o que foi abordado por tantos Filósofos nos livros [que escreveram] sobre a maneira de ver, mas apenas aquilo que me parece haver de contribuir para a compreensão da obra que me propus levar a cabo, e que não nos peça os ornamentos próprios de um discurso floreado e composto, mas o arranjo conciso, próprio da brevidade matemá- tica, ao qual, por vezes, aliviámos as correntes, para refazer o espírito [do cansaço]; no entanto, ouvirá a verdade nua e sem estar disfarçada por quaisquer enfeites retó- ricos. Para isso, talvez tenhamos de retomar algumas coisas mais de trás.
Postulados e postulado primeiro. Em primeiro lugar, deve aceitar-se que todo o
agente natural age mais rapida e vigorosamente para com o que está próximo do que para com o que está distante.
Postulado segundo. De seguida, que o raio visual se estende com a luz – quer ele
proceda do olho [para os objetos], quer seja lançado do objeto visível para os olhos – pois não se consegue ver no escuro aquilo que se vê quando exposto à luz.
Proposição primeira. Que a luz se estende em linhas retas.
Logo à partida, serve de argumento o seguinte: quando se põe uma porta diante dos raios do sol, estando escavada [nela] uma fenda estreita e fina com linhas per- feitamente retas, e, em seguida, do lado oposto, se puser outra [porta] paralela [à primeira] contendo uma fenda igual e semelhante, e se os lados desta [fenda] forem postos no prolongamento dos lados da primeira e forem estendidos para ambos os lados em planos paralelos, os raios do Sol atravessam ambas as fendas, e a luz não se desvia para nenhum lado no intervalo que se encontra entre as duas (refi- ro-me à luz primária).
Propositio secunda. Visus in rectas porriguntur lineas.
Nam ex secundo huius postulato, visus simul cum lumine permeat. Semper autem
ex praemissa, in rectas lineas lumen profun|ditur, quare et visus in rectas lineas
extendi necessum est.
Visum autem tantisper, quum nondum de hac controuersia definitum fuerit, id voco, quod7 inter oculum remque visilem intercidit, quod tum lucis, tum colorum imagines exprimit.
| Propositio tertia. Visus recti et nusquam flexi quibus res aliqua cernitur ad oculum
remque visam eodem ordine deferuntur.
Nam qui fieri possit, vt oculus partium situm ordinemque dignosceret, nisi idem in re visa atque oculo visuum positus seruaretur (nempe que oculi dextre parti occur- runt dextra: que vero sinistre sinistra videntur)? Quum ergo res non aliter recto visu, quam vti sita est videatur, necesse est, vt secundum eundem ordinem ad oculum remque uisam uisus incedant. Alioqui non video, cur in re uisa, atque in eius intui- tione partium situs non permutetur.
Visum autem rectum in proposito appello, qui nusquam densiore medio offen- dente flectitur. Certam autem visionem, qua partium situs internoscuntur.
Propositio quarta. Vnico visu signum vnum rei uisilis certa visione intuetur.
Alioqui, si ex uno signo plures visus ad oculum mearentur quibus illud certa visione dignosceretur, idem dextrum leuumque videretur. Quum preterea ex qualibet vise rei particula in quamcumque oculi partem recta linea produci possit et per illam eiusdem imago profundi, atque ob id ex pluribus signis in eandem oculi partem complures visus diffundi, multa simul rei vise signa in eadem parte sentirentur, visi- lisque rei partes confuse simulque admixte cernerentur. Atqui suppositum est rem
particu|tim et distincte videri. Vnico igitur visu.
| Propositionis quinte lemma primum. Si in spheram a signo extra ipsam dato
plures lineae producantur, que per centrum acta est vna et sola in conuexam circunferen- tiam perpendicularis incidit minima.
7 quod S, rep. O
[O7r]
[S8r]
[O7v]
Proposição segunda. Os raios visuais estendem-se em linhas retas.
De acordo com o segundo postulado deste [tratado], o raio visual viaja com a luz. Mas, pela [proposição] anterior, a luz difunde-se sempre em linhas retas; por esta razão, é forçoso que o raio visual também se estenda em linhas retas.
Quanto ao raio visual (como ainda não foi definido no decurso desta discus- são), designo assim aquilo que cai entre o olho e a coisa visível, e que reproduz as imagens, tanto da luz, como das cores.
Proposição terceira. Os raios visuais retos e não fletidos por meio dos quais se vê
alguma coisa estendem-se para o olho e para a coisa vista pela mesma ordem.
Como poderia suceder que o olho distinguisse o sítio e a ordem das partes, se não se mantivesse a mesma posição dos raios visuais no objeto e no olho (a saber: as coisas que estão do lado direito do olho veem-se à direita e as que estão à esquerda, veem-se à esquerda)? Uma vez que o objeto não se vê por meio de um raio reto num sítio diferente daquele em que se encontra, então é necessário que os raios visuais caiam no olho e no objeto avistado pela mesma ordem, caso contrário, não percebo porque é que o sítio das partes [de um objeto avistado] não seria dife- rente no objeto visto e na visão [que dele formamos].
Aqui, chamo «raio visual reto» ao que não se flete por choque com um meio mais denso, e [chamo] «visão certa» àquela por meio da qual se distingue o sítio das partes.
Proposição quarta. É com um único raio visual que se vê um ponto de um objeto visível
com visão certa.
Caso contrário, se de um ponto [do objeto] viessem para o olho vários raios visuais por meio dos quais ele se distinguisse com visão certa, o mesmo ver-se-ia à direita e à esquerda. Além disso, como se pode traçar uma linha reta de qualquer partícula do objeto visto para qualquer parte do olho, e a imagem daquela [parte] se difunde por meio desta [linha], e como, por esta mesma razão, vários raios visuais se difundem a partir de muitos pontos para a mesma parte do olho, então muitos pontos do objeto avistado seriam percecionados em simultâneo na mesma parte [do olho] e as partes do objeto visível seriam vistas ao mesmo tempo, confusas e misturadas. Mas admi- tiu-se que um objeto se vê por partes e distintamente. Logo, por meio de um único raio visual etc.
Lema primeiro da proposição quinta. Se se traçarem várias linhas para uma esfera
a partir de um ponto dado fora dela, a que se traça pelo centro é a única que cai perpen- dicular à circunferência convexa, e é a mais pequena.
Esto enim sphera, cuius centrum .a. per secundam primi Theodosii, in sublime vero .b. signum, a quo plures recte linee producantur, .bag. per centrum, .bf. vero preter centrum .a., secet autem recta linea .bag. conuexam superficiem in signo .c. proposi- te sphere, cauam vero in .g. signo.
Dico imprimis8 .bc. perpendicularem esse super datam spheram. Notentur enim semicirculi, in quos maior circulus per .adf.9 signa transiens dispescitur. Cum enim .abf. triangulus in vno sit plano per secundam vndecimi, si illud extenda- tur. quousque spheram secet, communis sphere et plani .baf. sectio, per primam et sextam primi Theodosii, erit circulus maior. Sint ergo semicirculi duo .cdg. et .cfg. Erit igitur per plures diffinitiones tertii Elementorum angulus .dca. equalis angulo .fca. Quare reliqui .bcd. et .bcf. equales erunt. Eadem erit in quibuscumque aliis ostensio. Cum ergo .bc. recta linea vtrimque supra spheram equales angulos consti- tuat, erit .bc. supra eandem perpendicularis.
Dico secundo .bc. minimam esse. Producatur enim quecunque preter centrum, vt .bf., atque connectantur .af. extendaturque .abf. planum. Erit eius cum sphera communis sectio circulus maior, vt prius demonstratum est, eiusque centrum per sextam
8 imprimis S, in primis O
Fig. 1
| Seja uma esfera com centro A, pela segunda [proposição] do primeiro [livro] de Teodósio. Seja B um ponto no alto, a partir do qual se estendam várias linhas retas: BAG pelo centro e BF fora do centro A, e que a linha reta BAG corte a superfície convexa da esfera dada no ponto C, e a superfície côncava no ponto G.
Afirmo, em primeiro lugar, que BC é perpendicular à esfera dada. Assinalem- -se os semicírculos em que se divide o círculo maior que passa pelos pontos ADF –pois, como o triângulo ABF se encontra num plano pela segunda [proposição]
do undécimo [livro dos Elementos], se ele se estender até cortar a esfera, a interse-
ção da esfera e do plano BAF será um círculo maior, pela primeira e pela sexta [pro- posições] do primeiro livro de Teodósio. Sejam CDG e CFG os dois semicírculos.
Então, por diversas definições do terceiro [livro] dos Elementos, o ângulo [misto]
DCA será igual ao ângulo [misto] FCA. Por isso, os restantes [ângulos mistos] BCD e BCF serão iguais. A prova será igual em qualquer outro caso. Logo, como a linha reta BC faz ângulos iguais na esfera para ambos os lados, BC será perpendicular à esfera.
Afirmo em segundo lugar, que BC é a [linha] mais pequena. Trace-se uma [linha reta] qualquer fora do centro, como BF; ligue-se A a F, e estenda-se o plano ABF. A sua interseção com a esfera será um círculo maior, como antes se demons- trou, e o seu centro será o mesmo que o da esfera, pela sexta [proposição] do
g
f
d
b
c
a
[Fig. 1]primi Theodosii idem quod et sphere. Quum ergo a signo extra circulum dato pro- ducantur in conuexam circunferentiam, .bc. quidem per centrum .bf. vero preter
centrum, erit per nonam tertii | Elementorum .bc. minor ipsa .bf. Eadem prorsus est
in omnibus ostensio. | Quare si in spheram.
Corollarium. Hinc patet ex quolibet signo extra spheram vnicam tantum in sphere
conuexam circunferentiam perpendicularem produci posse.
Eiusdem lemma secundum. A dato signo in sublime in subiectum planum plures
produci recte linee possunt vnica tamen perpendicularis omnium minima.
Esto enim subiectum planum .bcd. signum autem in sublime .a. a quo in subiectum .bcd. planum plures recte linee producantur, vt puta .ae. et .af.10, estoque .ae. per vndecimam vndecimi Elementorum perpendicularis.
Dico primo ex .a. signo in subiectum .bcd. planum non posse aliam perpendicu- larem agi. Sin minus, sit vt .af. connectanturque .ef. signa. Erunt igitur per secundam deffinitionem vndecimi bis
10 .af., .aef. S, .ef. O
[O8r] [S9r]
primeiro [livro] de Teodósio. Como, de um ponto dado fora do círculo para a cir- cunferência convexa, se traçam BC pelo centro, e BF fora do centro; [então,] pela
nona [proposição] do terceiro [livro] dos Elementos, BC será menor do que BF.
A prova será a mesmíssima em todos os casos. Por esta razão, se, para uma esfera [etc.].
Corolário. Daqui se segue que se pode traçar apenas uma perpendicular para a circunfe-
rência convexa de uma esfera a partir de um ponto qualquer fora da esfera.
Lema segundo da mesma [proposição quinta]. Podem traçar-se várias linhas retas
de um ponto dado no alto para um plano subjacente, mas apenas uma perpendicular, que é a mais pequena de todas.
Fig. 2
| Seja BCD um plano subjacente e A um ponto no alto, a partir do qual se tracem, para o plano subjacente BCD, muitas linhas retas, como por exemplo AE e AF. Seja AE perpen-
dicular, pela undécima [proposição] do undécimo [livro] dos Elementos.
Afirmo, em primeiro lugar, que não se pode traçar outra perpendicular do ponto A para o plano subjacente BCD. Caso contrário, seja AF [outra perpendicular] e ligue-se
os pontos E a F. Pela segunda definição do undécimo [livro dos Elementos] duas vezes
e
f
d
b
c
a
[Fig. 2]repetitam duo anguli qui ad .e. et .f. in triangulo recti, quod est impossibile per decimam sextam primi elementorum. Non est igitur .af. perpendicularis.
Dico secundo .ae. minimam esse. Producatur enim quecumque in subiectum planum. vt .af. Dico .af. longiorem esse ipsa .ae. In triangulo enim .aef. angulus qui ad .e. rectus est maior est. Igitur angulo qui ad .f.11 per sextam decimam primi. Quare per decimam nonam eiusdem erit .af. maior quam .ae. Quod demonstrare oportuit.
Propositio quinta. Certa atque distincta visio non nisi perpendiculariter incidentibus
in oculum radiis perficitur.
Quecunque de videndi ratione hoc in loco dixerimus, de illa | solum intelligi volo,
que per rectos visus atque nusquam re|flexos confit, quam Calcidius, vt antea
dictum est, tuitionem appellauit. Iam propositio probatur.
Ex quocumque enim signo, vt in premissa demonstratum est, vnus tantum visus oculo occurrit, quo certa atque distincta visione, id signum intuetur. Atque ex pluribus signis ad eandem oculi partem, plures visus deferuntur, vnus autem tantum ex premissis lemmatis perpendicularis atque breuissimus peruenit. Qui ex primo huius postulato ob id fortissimus est. Ille igitur tantum oculum permouet, maiore scilicet vi debiliorem vincente. Item tametsi ex eodem signo plures ad oculum radii deferantur, quia tamen, vt demonstratum est, perpendicularis fortissimus est, ille tantum eius signi imaginem exprimet, nam et omne naturale agens quam breuissi- ma via potest in passum agit. Certa itaque atque distincta.
Propositionis sexte lemma. Si plano alicui recta linea paralela fuerit et ab eius
terminis in subiectum planum bine perpendiculares agantur equale vtrobique inter uallum concludent.
Paralelam rectam lineam plano alicui dicimus, per quam extensum planum atque in subiectum aliud planum procumbens communem vtriusque sectionem eidem para- lelam efficit.
Esto igitur plano .cde. recta linea .ab. paralela atque ab eius terminis12 .ab. in subiectum .cde. planum bine perpendiculares .af. et .bg. producantur per vndeci- mam vndecimi bis repetitam. Erit igitur per sextam eiusdem .af. et .gb. paralele, atque per deffinitionem in eodem plano, cuius communis sectio cum .cde. plano erit .fg. que paralela est ipsi .ba., per diffinitionem statim positam, et hypotesim. Parale- logramum igitur est .abgf. atque per trigesimam tertiam primi Elementorum .ab. ipsi
.fg. equalis erit. Quod demon|strandum erat.
11 .adf., .abf. SO
12 terminis, terminus SO
[O8v] [S9v]
tomada, os dois ângulos no triângulo, em E e em F, serão retos, o que é impossível, pela
décima sexta do primeiro dos Elementos. Logo, AF não é perpendicular.
Afirmo, em segundo lugar que AE é a mais pequena de todas. Trace-se uma [reta] qualquer para o plano subjacente, seja AF. Afirmo que AF é mais comprida do que AE. No triângulo AEF, o ângulo em E é reto; portanto, é maior do que o
ângulo em F, pela décima sexta do primeiro [livro dos Elementos]. Por esta razão,
pela décima nona do mesmo, AF será maior do que AE. O que se quis demonstrar.
Proposição quinta. A visão certa e distinta não se concretiza senão por meio de raios
que incidem perpendicularmente no olho.
Tudo o que dissermos neste lugar sobre a maneira de ver, quero que se entenda apenas daquela [visão] que se produz por meio de raios visuais retos e não fletidos,
a que Calcídio chamou tuitio, como antes se disse. Prova-se a proposição de seguida.
Como se demonstrou na [proposição] anterior, a partir de um ponto qualquer, é apenas um o raio visual que avança para o olho e por meio do qual se vê esse ponto com visão certa e distinta. Mas, a partir de muitos pontos, chegam muitos raios visuais à mesma parte do olho; porém apenas um é perpendicular e mais pequeno, pelos lemas anteriores. Este é, por isso, o mais forte de todos, pelo primeiro postu- lado deste [tratado]. Portanto, apenas ele afecta o olho, a saber: porque uma força maior vence uma mais débil. Do mesmo modo, ainda que, do mesmo ponto, vários raios cheguem ao olho, contudo, uma vez que o perpendicular é o mais forte (como se demonstrou), [então], apenas esse reproduz a imagem desse ponto, pois todos os agentes naturais agem pela via mais curta para com o paciente. Então, com visão certa e distinta.
Lema da proposição sexta. Se uma linha reta for paralela a um plano e se, das suas
extremidades, se traçarem duas perpendiculares para o plano subjacente, [elas] encerra- rão um intervalo igual dos dois lados.
| Dizemos que uma linha reta é paralela a um plano, quando um plano que se estende por ela e cai noutro plano subjacente, faz uma interseção entre ambos que é paralela à primeira [linha reta].
Seja AB uma linha reta paralela ao plano CDE. Das suas extremidades A e B, tracem-se duas perpendiculares, AF e BG, para o plano subjacente CDE, pela
undécima [proposição] do undécimo [livro dos Elementos] duas vezes tomada. Pela
sexta do mesmo, AF e GB serão paralelas, e, por definição, estarão no mesmo plano, cuja interseção com o plano CDE será FG, que é paralela a BA, pela definição posta imediatamente acima e por hipótese. Portanto, ABGF é um paralelogramo e, pela
trigésima terceira do primeiro dos Elementos, AB será igual a FG. O que se queria
demonstrar.
| Propositio sexta. Oculum orbicularis figure esse oportuit.
Sin minus, et figure alicuius plane formatum esset, non posset obliquam aliquam longitudinem ipso maiorem eique paralelam intueri, quod plane falsum esse constat. Quum enim per quintam huius radiis tantum perpendicularibus quecun- que res cernantur, at ex premisso Lemmate huius in subiectum planum perpendicu- lares equale spacium intercipiant, non poterunt visus aliqui ipso oculo maiorem rem intercludere neque ob id cernere.
Obliquam longitudinem hoc in loco vocamus plano proposito paralelam. Accedit quod ipsi oculo, qui reliquis Sensoriis multo plura (vt Author13 est Aris- toteles) sensilia discernit, figura omnium capacissima; orbiculata scilicet, debetur. Nam preter tactum huiusmodi, alia fere sentiendi14 instrumenta visuntur: Gustui namque palatum affabre cameratum, Auditui cauas atque in orbem effigiatas aures, Olfactui binos, Nasi meatus, et quidem aliquantulum cauos, natura constituit.
13 Author S, autor O
14 sentiendi S, sensitiendi O
Fig. 3
Proposição sexta. É forçoso que o olho tenha forma orbicular.
Caso contrário, se tivesse a forma de uma figura plana qualquer, não seria possível