Theorema quartum. Equalibus interuallis in eadem recta linea existentibus, quae ex
pluri distantia spectantur minora apparent.
| In eadem recta linea .ab. sint aequalia interualla .ac. .cd. que spectentur ab oculo .e. ex maiori autem distantia spectetur .cd.
Dico .cd. minus apparere quam .ac.
Angulo enim .ced. ponatur aequalis angulus .cef. per 23.am primi Elementorum.
Et quoniam .ae. .ce. in oculo .e. faciunt | angulum non erunt in directo .ae. .ec. quare
signum .e. erit extra lineam .ab. infinite productam. Excitetur itaque .eg. perpendicu-
laris ipsi .ab. per 12.am primi Elementorum. Quoniam itaque rectus est .egb. angulus
per 10.am definitionem eiusdem, et per 16.am eiusdem .efc. angulus maior est angulo
.ega. maiore angulo .ecf. per 32.am eiusdem primi, acutus est ergo .ecg. obtusus vero
.ecd. Sed angulus .ecg. duobus .cde. .ced. aequalis est per eandem 32.am ergo minores
recto sunt anguli .cde. .ced. pariter accepti. Et quoniam aequales sunt .ced. .cef. minor erit recto .cef. duobus ob id rectis minores erunt .fed. .edc. Lineae igitur .ef.
.cd. concurrunt per 29.am eiusdem vt in signo .f. Et quoniam maior est .ecb. angulus
angulo .ecf. ponatur aequalis per 23.am primi.eck. Secabit igitur latus .ed. linea .ck.
[S30r]
Teorema quarto. De comprimentos iguais que se encontram na mesma linha reta, os
que se veem de uma distância maior aparecem menores.
| Estejam os comprimentos iguais AC e CD na mesma linha reta AB. Sejam vistos a partir do olho E, e veja-se CD de mais longe.
Fig. 22 Afirmo que CD aparece menor do que AC.
Ponha-se o ângulo CEF igual ao ângulo CED, pela vigésima terceira [proposi-
ção] do primeiro [livro] dos Elementos. Como AE e CE fazem um ângulo no olho
E, então AE e EC não estarão a direito; por isso, o ponto E estará fora da linha AB, prolongada infinitamente. Assim sendo, trace-se EG perpendicular a AB [prolonga-
da infinitamente], pela décima segunda do primeiro dos Elementos. Uma vez que o
ângulo EGB é reto, pela décima definição do mesmo [livro], e [uma vez que], pela décima sexta do mesmo [livro], o ângulo EFC é maior do que o ângulo EGA, maior [por sua vez] do que o ângulo ECF, pela trigésima segunda do mesmo primeiro, então ECG é agudo e ECD obtuso. Mas o ângulo ECG é igual aos dois [ângulos]
CDE e CED [somados],pela mesma trigésima segunda [proposição do primeiro
livro dos Elementos]; logo, os ângulos CDE e CED somados são menores do que um
reto. Como CED e CEF são iguais, CEF será menor do que um reto. Por isso, FED e EDC [somados] serão menores do que dois retos. Então, as linhas EF e CD são
concorrentes, pela vigésima nona do mesmo [livro dos Elementos]; seja no ponto F.
Como o ângulo ECB é maior do que o ângulo ECF, ponha-se ECK igual [ao ângulo menor ECF], pela vigésima terceira do primeiro. Então, a linha CK cortará o lado
d
b
c
a
fig 22. a
Teo. IV
e
g
f
k
[S30r] [O29r] [Fig. 22]sit in signo .k. At quoniam angulus .cef. angulo .cek. aequalis est et angulus .ecf.
angulo .eck. et latus .ec. commune, ergo per 26.am primi elementorum latus .ek. lateri
.ef. aequum est. Maior est autem .ed. quam .ek. per nonam communem sententiam,
maior igitur erit .ed. quam .ef. Est autem .de. ad .ef. sicut .dc. ad .cf. per 3.am 6.ti ele-
mentorum et per 14.am 5.ti eiusdem maior ergo erit .dc. quam .cf. Aequales autem
sunt .dc. .ca, maior igitur est .ca. quam .cf. Quare per nonam communem senten-
tiam maior erit angulus .cea. quam .cef. et perinde | quam .ced. Et quoniam .ac. spec-
tatur sub visibus .ea. .ec. .ed. vero sub .ec. .ed. ergo spectatur .ac. sub maiori angulo
quam .cd. et per 4.am et 5.am suppositiones maius videbitur .ac. quam .cd. Ergo datis
interuallis etc. Vel breuius.
Probatur imprimis .de. maior esse quam .ef. Quoniam enim .ega. angulus rectus est.
ergo omni angulo in triangulo | maior, maior ergo angulo .edg. Sed per 16.am primi
Elementorum angulus .efd. angulo .egf. maior est .efd. igitur maior est angulo .edf. Quoniam igitur in triangulo .edf. angulus .efd. angulo .edf. maior est sequitur. per
18.am primi elementorum quod .de. maior est quam .ef. quod voluimus probare. Est
autem .de. ad .ef. sicut .dc. ad .cf. et reliqua vt in calce premisse9 demonstrationis.
Theorema quintum. Equales magnitudines inaequaliter expositae inaequales apparent,
et maior semper ea que propius oculo10 adiacet.
Sint aequales magnitudines .ab. .cd. inaequaliter expositae vt vel ambae parallelae
sint in linea .ebd. uel ambae eidem plano perpendiculares in quo sit .e. oculus.
9 premisse [=praemissae], primisse SO
10 oculus, oculo SO
[S30v]
[O29v]
ED no ponto K. Ora, como o ângulo CEF é igual ao ângulo CEK, e o ângulo ECF é igual ao ângulo ECK, e o lado EC é comum, então, pela vigésima sexta do primeiro dos Elementos, o lado EK é igual ao lado EF. Mas ED é maior do que EK, pela nona
noção comum; logo, ED é maior do que EF. Mas DE:EF=DC:CF, pela terceira do
sexto dos Elementos, então, pela décima quarta do quinto do mesmo DC será maior
do que CF. Mas DC e CA são iguais; logo, CA é maior do que CF. Por isso, pela nona
noção comum, o ângulo CEA será maior do que [o ângulo] CEF e, em consequên- cia, do que CED. Uma vez que AC se vê sob os raios visuais EA e EC; e CD, sob EC e ED, então AC vê-se sob um ângulo maior do que CD e, pelas suposições quarta e quinta, AC ver-se-á maior do que CD. Logo, de comprimentos, etc.
Ou, de forma mais breve.
Prova-se primeiro que DE é maior do que EF, porque o ângulo EGA é reto e, portanto, maior do que qualquer ângulo no triângulo e, portanto, maior do que o
ângulo EDG. Mas, pela décima sexta [proposição] do primeiro [livro] dos Elemen-
tos, o ângulo EFD é maior do que o ângulo EGF; logo, EFD é maior do que o ângulo
EDF. Então, uma vez que no triângulo EDF, o ângulo EFD é maior do que o ângulo
EDF, segue-se, pela décima oitava do primeiro dos Elementos, que DE é maior do
que EF, o que quisemos provar. Mas DE:EF=DC:CF, e por aí afora como no final da demonstração apresentada anteriormente.
Teorema quinto. Grandezas iguais desigualmente expostas4 aparecem desiguais, e a
que está mais perto do olho [aparece] sempre maior.
| Sejam AB e CD grandezas iguais desigualmente expostas, de tal forma que ambas sejam, ou paralelas na linha EBD, ou perpendiculares ao mesmo plano em que se encontra o olho E.
Fig. 23
4 As grandezas estão a diferentes distâncias do olho.
d
b
c
a
fig 23. a
Teo. V
e
f
[Fig. 23]Dico eas inaequales apparere et maiorem videri .ab. quam .cd. (intelligo enim .ab. propinquiorem oculo .e.).
A linea enim .de. maiore abscindatur .df. aequalis11 ipsi .eb. per 3.am primi Ele-
mentorum connectanturque .fc. Siue igitur lineae illae sint parallelae siue eidem plano perpendiculares aequalis erit angulus .eba. angulo .fdc. Si enim parallelae per
29.am primi. Si perpendiculares. per 4.m postulatum primi elementorum. Aequalia
etiam sunt latera .cd. .df. lateribus .ab. .be. ergo per 4.am primi angulus .cfd. aequalis
est angulo .aeb. Maior est autem angulus .cfd. | angulo .ced. per 16.am primi. Igitur
angulo .ced. maior erit angulus .bea. (probati enim sunt .bea. .cfd. equales12) et proinde maius spectatur .ab. quam .cd. per quartam et quintam suppositionem.
Si vero radii procidentes ab oculo .e. ad .b. et .d. | signa non sint eadem recta
linea, connexis .ac. signis et .bd. sequitur quod postquam .ab. .cd. parallelae sunt et
aequales per 33.am primi Elementorum, quod .ac. .bd. etiam aequales et parallelae
sunt. Ducatur ergo per 31.am eiusdem ab .e. signo parallela ipsis. .ac. .bd. .ef. secans
lineam .cd. in .k. et abscissa a linea .ef. ipsi .ke. aequali que sit .fg. connexis .gb. .ga. probabitur de singulis partibus quod .ck. maior spectatur quam .af. et .kd. maior quam .fb. et redibit demonstratio.
Idem patet si oculus sit in sublimi vt in .h. et sint .ab. .cd. in diuersis planis, et magis distet .ab. Procidant radii .ha. .hb. .hc. .hd. et quoniam .ab. magis distat ab oculo .h. quam .cd. erit .hb. maior quam .hd. Abscindatur ergo ei aequalis .bg. et connectantur .ag. signa. Tunc quoniam .abg. .cdh. anguli aequales sunt, supponimus
enim illud et latera aequalia per 4.am primi elementorum .bga. angulus (maior angulo
.bha.) aequalis erit angulo .chd. et proinde .chd. maior est angulo .ahb. et ob hoc .cd. videtur maior quam .ab. etc.
11 aequalis, aequales SO
12 equales, equalis SO
[S31r]
Afirmo que elas aparecem desiguais e que AB se vê maior do que CD (entendo que AB está mais próxima do olho E).
Da linha maior DE, corte-se DF igual a EB, pela terceira [proposição] do
primeiro [livro] dos Elementos, e ligue-se F a C. Então, quer aquelas linhas sejam
paralelas, quer sejam perpendiculares ao mesmo plano, o ângulo EBA será igual ao ângulo FDC; se forem paralelas, pela vigésima nona do primeiro; se [forem] per-
pendiculares, pelo quarto postulado do primeiro dos Elementos. [Mas] os lados CD
e DF também são iguais aos lados AB e BE; logo, pela quarta do primeiro, o ângulo CFD é igual ao ângulo AEB. Mas o ângulo CFD é maior do que o ângulo CED, pela décima sexta do primeiro. Então, o ângulo BEA será maior do que o ângulo CED (pois se provou serem BEA e CFD iguais). Em consequência, vê-se AB maior do que CD, pela quarta e pela quinta suposição.
| No caso de os raios que se estendem do olho E para os pontos B e D não estarem na mesma linha reta [que o olho]: ligados os pontos A a C e B a D, como AB e CD são paralelas e iguais; [então,] pela trigésima terceira [proposição] do
primeiro [livro] dos Elementos, segue-se que AC e BD também são paralelas e iguais.
Então, pela trigésima primeira do mesmo [livro], a partir do ponto E, trace-se EF, paralela às referidas AC e BD, e secante à linha CD em K. Corte-se, da linha EF, uma [linha] igual a KE, a qual seja FG. Ligue-se G a B e G a A. Provar-se-á, para cada lado [de EF], que CK se vê maior do que AF, e KD, maior do que FB. E a demons- tração aplicar-se-á de novo.
Fig. 24
| O mesmo é evidente se o olho estiver no alto, como em H, e AB e CD estive- rem em planos diversos, e AB estiver mais afastado. Estendam-se os raios HA, HB, HC e HD. Como AB está mais distante do olho H do que CD, HB será maior do que HD. Então, corte-se BG, igual a esta [HD], e ligue-se os pontos A a G. Como ABG e CDH são ângulos iguais, pois assim o supomos, e os lados são iguais, então,
pela quarta [proposição] do primeiro [livro] dos Elementos, o ângulo BGA (maior
do que o ângulo BHA) será igual ao ângulo CHD. Em consequência, CHD é maior do que o ângulo AHB e, por isso, CD vê-se maior do que AB, etc.
d
b
c
a
fig 24.a
Teo. V
e
g
k
f
[Fig. 24] [Fig. 25]Theorema sextum. Parallela interualla13 in distantia spectata, inaequalis latitudinis
apparent.
Sint parallela interualla .abcd. .adef. quorum spectantur latitudines .ba. .af. ab oculo .g. <in> distantia inaequaliter sitque .abcd. propinquior .fade. remotior.
Dico interualla <paralella> .ac.fd. apparere inaequalis latitudinis.
Quoniam | enim aequalia sunt interualla .ba. .af. quorum remotius est .af. ergo
per 4.am huius maior videtur .ab. quam .af. quod proponitur. Similiter ostendentur
inaequales apparere latitudines .bc. ad. .ef.
13 interualla, interuallo SO
Fig. 25
Teorema sexto. Paralelogramos olhados à distância, aparecem de largura desigual.
| Sejam os paralelogramos ABCD e ADEF, cujas larguras BA e AF se veem a partir do olho G a uma distância desigual, e esteja ABCD mais próximo, e FADE mais afastado.
Figs. 26 e 275
Afirmo que os paralelogramos AC e FD aparecem de largura desigual.
Como os intervalos BA e AF são iguais, e, destes, AF está mais afastado, então, pela quarta [proposição] deste [tratado], AB vê-se maior do que AF, que é o que se afirma. Da mesma forma se mostrará que as larguras BC, AD e EF, aparecem desi-
5 A figura 26 está errada e o próprio desenhador cancelou-a discretamente com uma cruz. A figura que deve ser tida em consideração é a figura 27.
d
b
c
a
fig 25.a
Teo. V
h
g
d
b
c
a
e
f
d
a
fig 26.a
Teo. VI
k
b
c
a
fig 27
e
f
d
g
l
g
h
[Figs. 26 e 27]| Oculo posito in plano .be. et inter lineas .fb. .ec. ducta .ghkl. parallela ipsi .baf. vel etiam posito oculo .g. in alterutra linearum .fb.ec. sequitur per precedentem inae- quales apparere .bc.ad.fe.
Demum sit oculus .g. in sublimi. A quo in subiectum planum .fc. perpendicula-
ris ducatur .gh. per 11.am 11.mi elementorum et a signo .h. in plano .fc. parallela ipsis
.bf. .ce. ducatur per 30.am primi elementorum .hklm. et per eandem per .h. signum
ipsis .cb. .da. parallela ducatur .hn. connectanturque .gb. .ga. .gf. .gk. .gl. gm. .gc. .gd. .ge. Et quoniam .ak. .am. parallelograma sunt. est enim .abk. angulus vt supponitur
rectus et similiter .bkl. qui positusque14 est aequalis angulo .nhk. per 34.am primi .bk.
.al. .fm. aequales sunt. Quoniam igitur .nh. ad ipsam .gh. perpendicularis est. et ipsi etiam .hm. nam .hk. super .cb. illi parallelam perpendicularis est ex hypothesi, ergo
eadem .hn. per 4.am 11.mi elementorum plano .hgm. perpendicularis est. Et quoniam
.nh. .kb. sunt parallele et .nh. plano .ghm. est perpendicularis, ergo per 8.am 11.mi .bk.
plano .ghm. etiam est perpendicularis, angulus ergo .bkg. rectus est per 2.am defini-
tionem 11.mi triangulum ergo .gkb. rectangulum est. Consimiliter ostendentur .gla.
.gmf. .gkc. .gld. .gme. rectangula triangula.
Tunc quoniam .ghk. angulus rectus. et similiter <.ghm.> maior ergo .hmg.
angulo per 32.am primi elementorum. estque .glm. maior angulo .ghm. per 16.am primi
14 qui positusque, qui positis quod SO
guais. Quer se coloque o olho no plano BE e se trace [a reta] GHKL entre as linhas FB e EC, paralela a BAF; quer se coloque o olho G em qualquer uma das linhas FB e EC; segue-se, pela [proposição] anterior, que BC, AD e FE aparecem desiguais. | Finalmente, esteja o olho G elevado. A partir dele, trace-se a perpendicular GH, para o plano subjacente FC, pela décima primeira [proposição] do décimo
primeiro [livro] dos Elementos; e, do ponto H, no plano FC, trace-se a [reta] HKLM,
paralela a BF e CE, pela trigésima do primeiro dos Elementos. Pela mesma [pro-
posição dos Elementos], trace-se [a reta] HN, pelo ponto H, paralela a CB e a DA.
Ligue-se G a B, G a A, G a F, G a K, G a L, G a M, G a C, G a D e G a E. Como AK e AM são paralelogramos (pois o ângulo ABK é reto, por suposição, tal como BKL,
o qual se pôs igual ao ângulo NHK, pela trigésima quarta do primeiro); [então,]
BK, AL e FM são iguais. Como NH é perpendicular a GH e a HM (pois HK é, por hipótese, perpendicular a CB, que é paralela àquela [NH]), então a mesma HN
é perpendicular ao plano GHM, pela quarta do décimo primeiro dos Elementos.
Como NH e KB são paralelas, e NH é perpendicular ao plano GHM, então, pela oitava do décimo primeiro, BK também é perpendicular ao plano GHM. Logo, o ângulo BKG é reto, pela segunda definição do décimo primeiro. Então o triângulo GKB é retângulo. Da mesma forma se demonstrará que GLA, GMF, GKC, GLD e GME são triângulos retângulos.
Fig. 28
Ora, como o ângulo GHK é reto, e também GHM, então [GHM] é maior
do que o ângulo HMG, pela trigésima segunda do primeiro dos Elementos. Mas
[o ângulo] GLM é maior do que o ângulo GHM, pela décima sexta do primeiro;
k
b
c
a
fig 28. a
e
f
d
l
h
m
g
n
[Fig. 28]maior igitur .glm. angulo | .lmg. per 18.am ergo eiusdem maior est .mg. quam .gl.
Sic probabis quod .gl. maior est quam .gk. per precedentem, ergo maior | appare-
bit .bk. quam .al. Consimiliter ostendetur maior videri quam .ld. ipsa .kc. tota igitur .cb. maior spectatur quam .ad. Eadem etiam ratione apparebit .ad. maior quam .fe. Igitur posito oculo .g. in sublimi et .ac. .fd. rectangula et signo .h. inter lineas .bf. .ec. vel in alterutra earum producta inaequales apparebunt latitudines .bc. .ad. .ef. Quod erat probandum.
Eadem erit probatio vbi in sublime fuerit .g. oculus et .gh. perpendicularis in ipsa .ec. aut .fb. producta inciderit.
Theorema septimum. In eadem recta linea aequales magnitudines remotius inuicem
positae inaequales apparent.
In subiecto plano .gba. sit recta linea .ab. et oculus .g. perpendicularis autem ipsi .ab. esto .gb. et in linea .ba. ponantur .cd. .ef. magnitudines aequales perpendicula- res subiecto plano .gba. sitque remotior .cd. a perpendiculari .gb. vicinior autem .ef.
Dico inaequales apparere .ef. .cd.
Connectantur enim .gc. .ge. .gd. .gf. Et quoniam rectus est angulus .gbe. aequale erit quadratum .ge. duobus quadratis .gb. .be. Cumque .bc. sit maior quam .be. per hypotesim. maius erit quadratum .bc. quam quadratum .be. quare adiecto communi quadrato .bg. maiora erunt duo quadrata .gb. .bc.
[S32r] [O31r]
logo, o ângulo GLM é maior do que o ângulo LMG. Então, pela décima oitava do mesmo, MG é maior do que GL. Da mesma maneira provarás que GL é maior do que GK. Logo, pela [proposição] anterior, BK aparecerá maior do que AL. Da mesma forma se demonstrará que KC se vê maior do que LD. Então, todo CB vê-se maior do que AD. Pela mesma razão, AD também aparecerá maior do que FE. Então, colocado o olho G no alto; e os retângulos AC e FD e também o ponto H entre as linhas BF e CE, ou entre o prolongamento delas; as larguras BC, AD e EF aparecerão desiguais. O que se queria provar.
A demonstração será igual no caso de o olho G estar no alto e a perpendicular GH incidir no prolongamento de EC ou FB.
Teorema sétimo. Grandezas iguais colocadas, umas mais afastadas do que as outras,
na mesma linha reta aparecem desiguais.
| No plano subjacente GBA, seja AB uma linha reta e G o olho. Seja GB perpendi- cular a AB. Na linha BA, coloquem-se as grandezas iguais CD e EF, perpendicula- res ao plano subjacente GBA, estando CD mais afastada da perpendicular GB, e EF mais próxima.
Fig. 29 Afirmo que EF e CD aparecem desiguais.
Ligue-se G a C, G a E, G a D e G a F. Como o ângulo GBE é reto, o quadrado de GE será igual à soma dos quadrados de GB e de BE. Uma vez que BC é maior do que BE, por hipótese, o quadrado de BC será maior do que o quadrado de BE. Por isso, somando o quadrado comum de BG, os dois quadrados de GB e de BC
g
b
c
a
fig 29.a
Teo. VII
e
f
d
[Fig. 29]duobus quadratis .gb. .be. et proinde quadrato .eg. Sunt autem duo quadrata .gb.
.bc. aequalia quadrato .cg. per 48.am primi elementorum quadratum igitur .gc. maius
est. quadrato .eg. maior igitur est .gc. quam .ge. Et quoniam plano .gbc. perpendicu-
lares sunt .cd. .ef. ergo per 2.am| difinitionem 11.mi Elementorum. vterque angulus
.dcg. et .feg. rectus est et quadratum .gf. aequum duobus quadratis .fe. et .eg. simi-
liter | quadratum .gd. aequum duobus quadratis .dc. et .cg. cum autem quadratum
.cg. sit maius quadrato .ge. et quadrata .cd. et .ef. aequalia, erunt duo quadrata .cd. et .cg. hoc est quadratum .gd. maiora duobus quadratis .ge. et .ef. hoc est quadrato .gf. maior est igitur .gd. ipsa .gf. et .gc. ipsa .ge. duae ergo magnitudines .cd. et .ef.
aequales inequaliter expositae sunt oculo .g. ergo per 5.am huius maior videbitur .ef.
quam .cd. igitur in eadem recta linea .ab. aequales magnitudines .cd. .ef. inaequaliter expositae a perpendiculari inaequales apparent. Quod erat probandum.
Theorema octauum. Equales magnitudines inaequaliter expositae interuallis propor-
tionaliter minime spectantur.
Sit15 oculus .a. in recta linea .ace. in qua sint aequales magnitudines .bc. .ed. inaequa- liter expositae et parallelae quarum vicinior sit .bc.
15 sit, si SO
[S32v] [O31v]
serão maiores do que os dois quadrados de GB e BE, e, em consequência, do que o quadrado de EG. Mas os dois quadrados de GB de BC [somados] são iguais ao quadrado de CG, pela quadragésima oitava [proposição] do primeiro [livro] dos
Elementos. Então, o quadrado de GC é maior do que o quadrado de EG; portanto
GC é maior do que GE. Como CD e EF são perpendiculares ao plano GBC, então,
pela segunda definição do décimo primeiro dos Elementos, cada um dos ângulos
DCG e FEG é reto. E o quadrado de GF é igual aos dois quadrados de FE e de EG [somados]. Da mesma maneira, o quadrado de GD é igual aos dois quadrados de DC e de CG [somados]. Mas, uma vez que o quadrado de CG é maior do que o