de Vigas e Quadros
1. Repita o Exemplo 4.2 com a deflexão aproximada, na seguinte forma:v( x )5c1 x 21c2 x 31c3 x 4. Compare a curva
das deflexões com a solução exata. Solução:
Solução:
A forma dada de deflexão aproximada satisfaz as condições de contorno essenciais. A segunda derivada da deflexão se torna: v5 2c11 6c2 x 1 12c3 x 2. Usando a expressão para energia de deformação em uma viga, dada pela Eq.
(4.17), obtemos
A energia de deformação anterior é diferenciada em relação aos coeficientes desconhecidosc1 ec2:
A energia potencial das forças externas pode ser encontrada da seguinte maneira:
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 137 Substituindo os valores numéricos para as propriedades da viga e das cargas, obtemos
A solução é:c15 2,253 1022,c2523,333 1023,c3521,253 1023. Substituindoci na forma srcinal da defle-
xão, obtemos a deflexãov( x ) da viga como
A solução exata para a deflexão é dada por
Observe que a solução obtida pelo método de Rayleigh-Ritz é exata porque usamos polinômio de quarta ordem para a deflexão.
2. Admite-se que deflexão da viga biapoiada mostrada na figura év( x )5cx ( x 2 1), ondec é uma constante. Uma força é aplicada no centro da viga. Use as seguintes propriedades: EI 5 1000 N-m2. Primeiramente, (a) mostre
que a solução aproximada anterior satisfaz as condições de contorno de deslocamentos, e (b) use o método de Rayleigh-Ritz para determinarc.
Solução: Solução:
(a) Em x 5 0 e 1,v(0)5v(1)5 0. Desta forma, a solução aproximada satisfaz as condições de contorno em deslo- camentos.
(b) A segunda derivada se torna: 2c. Usando a expressão da Eq. (4.17) para a energia de deformação em uma viga, obtemos
A energia de deformação anterior é diferenciada em relação aos coeficientes desconhecidos.
A energia potencial das forças externas pode ser encontrada da seguinte forma:
Assim, a condição estacionária da energia potencial total se torna a seguinte equação matricial:
138 Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros
Observe que a solução aproximada torna a viga mais rígida do que o valor real. Por exemplo, no centro ( x 5 0,5), a solução exata é 0,02083, ao passo que a deflexão aproximada é 0,0156.
3. Use o método de Rayleigh-Ritz para determinar a deflexãov( x ), o momento fletor M ( x ) e o esforço cortanteV y( x )
da viga mostrada na figura. O momento fletor e o esforço cortante são calculados, a partir da deflexão, como M ( x )5 EId 2v / dx 2 eV
y( x )52 EId 3 / dx 3. Admita os deslocamentos comov( x )5c01c1 x 1c2 x 21c3 x 3 e EI 5 1.000
N-m2, L5 1 m e p05 100 N/m eC 5 100 N-m. Certifique-se de que as condições de contorno estejam satisfeitas
a priori.
Sugestão: A energia potencial de um binário é calculada comoV 52Cdv / dx , onde a rotação é calculada no ponto de aplicação do binário.
Solução: Solução:
Condição de contorno em deslocamento:v(0)5 0,v9(0)5 0,fic05c15 0
Agora precisamos determinar somentec2 ec3.
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 139
Resultados finais:
4. A extremidade direita de uma viga em balanço repousa sobre uma base elástica que pode ser representada por uma mola com constante de molak 5 1.000 N/m. Uma força de 1.000 N age no centro da viga, conforme ilus- trado. Use o método de Rayleigh-Ritz para determinar a deflexãov( x ) e a força na mola. Admita EI 5 1.000
N-m2 ev( x )5c01c1 x 1c2 x 21c3 x 3.
Solução: Solução:
140 Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros
Agora precisamos determinar somentec2 ec3.
Energia potencial:
Resultados finais:
A força na mola pode ser calculada como
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 141 5. Uma viga em balanço é modelada usando um elemento finito. Os valores nodais do elemento de viga são dados por
Plote a curva das deflexões (a elástica), o momento fletor e o esforço cortante. Solução:
Solução:
Do esquema de interpolação, a curva de deflexão pode ser aproximada por
Momento fletor:
Esforço cortante:
A figura a seguir mostra a curva de deflexão (elástica) normalizada, o momento fletor e o esforço cortante normali- zados.
6. Uma viga biapoiada com comprimento L está submetida a uma força vertical concentrada2F no centro. Quando são usados dois elementos de viga de comprimentos iguais, a análise de elementos finitos leva aos seguintes graus de liberdade nodais:
Encontre a curva das deflexões (elástica)v( x ) e a compare com a solução exata em um gráfico. Nota: A elástica exata da viga é, para x ½ L,vexato( x )5Fx (3 L22 4 x 2)/48 EI e é simétrica para x ½ L.
142 Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros
Solução: Solução:
Como os valores nodais são simétricos, é suficiente mostrar a curva elástica (deflexões) para o Elemento 1. Do es- quema de interpolação, a curva elástica pode ser aproximada por
Observe que a solução de Elementos Finitos é exata.
7. Uma viga biapoiada com comprimento L está submetida a uma carga uniformemente distribuída2 p. Quando são usados dois elementos de viga de comprimentos iguais, a análise de elementos finitos leva aos seguintes graus de liberdade nodais:
Encontre a curva das deflexões (elástica)v( x ) e a compare com a solução exata em um gráfico. Nota: A curva elástica exata da viga é, para x ½ L,vexato( x )52 p( x 42 2 Lx 31 L3 x )/24 EI .
Solução: Solução:
Como os valores nodais são simétricos, é suficiente mostrar a curva elástica (deflexões) para o Elemento 1. Do es- quema de interpolação, a curva elástica pode ser aproximada por
Observe que a solução de elementos finitos é idêntica à solução exata.
8. Considere uma viga em balanço com módulo de elasticidade longitudinal E , momento de inércia I , altura 2h e comprimento L. Um binário (momento) M 0 é aplicado à extremidade da viga. Usa-se um elemento finito para fa-
zer a aproximação da estrutura.
(a) Calcule o deslocamento da extremidadev e sua rotaçãoq usando a equação de elementos finitos. (b) Calcule o momento fletor e o esforço cortante na parede usando a equação de elementos finitos. (c) Calcule a tensãos
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 143 Solução: Solução: (a) (b) Na paredes5 0
144 Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros
(c)
9. A viga em balanço mostrada é modelada usando um elemento finito. Se os deslocamentos dos nós do elemento de viga foremv15q 15 0 ev25 0,01 m e rotaçãoq 25 0, escreva a equação da viga deformadav(s). Além disso,
calcule as forçasF 2 e M 2 que agem na viga para produzir as deformações anteriores em termos de E , I e L.
Sugestão: Use as equações [kk] {qq}5 {f f } para o elemento de viga.
Solução: Solução:
Usando o esquema de interpolação, a curva de deflexão pode ser escrita como
A equação do elemento de viga é dada por
Da terceira e quarta linhas, podemos calcular a força e o momento na extremidade, da seguinte maneira:
10. Considere que uma viga uniforme engastada em uma extremidade tenha comprimento L e esteja apoiada de tal forma que sua outra extremidade não possa girar, conforme mostra a figura. Para valores conhecidos de momento de inércia I , módulo de elasticidade longitudinal E e cargaP aplicada na extremidade apoiada, calcule a curva de deflexão (linha elástica)v( x ) usando um elemento de viga.
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 145
Solução: Solução:
Da equação matricial do elemento,
Depois de aplicar a condição de contorno, permanece apenas uma equação escalar:
Observe que o deslocamento da extremidadev2 é exato.
11. Uma viga em balanço, conforme a mostrada na figura, está submetida a uma carga distribuída. Quandoq5 1.000 N/m, LT 5 1,5 m, E 5 207 GPa, e raio da seção transversal circularr 5 0,1 m, encontre o valor dos des-
locamentos do eixo neutro do material e a tensão na superfície superior. Use três elementos finitos de viga com igual comprimento e o programa MATLAB no Apêndice. Compare a solução de elementos finitos com a solu- ção exata. Forneça o diagrama de momentos fletores e de esforços cortantes do método de elementos finitos e compare-os com a solução exata. Explique por que as soluções de elementos finitos são diferentes das soluções exatas.
Solução: Solução:
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 147 12. Modele a viga mostrada na figura usando um elemento finito de viga com dois nós.
(a) Usando uma matriz de rigidez de viga, estabeleça a equação para essa viga ([KK]{QQ}5 {FF}).
(b) Calcule o ângulo de rotação do nó 1 e escreva a equação da configuração deformada da viga usando as fun- ções de forma.
(c) Explique por que provavelmente a resposta obtida no item anterior não é muito precisa. Se você desejar obter uma resposta melhor para esse problema usando o método de elementos finitos, o que você faria? Solução:
Solução:
(a) SejaF 1 a força de reação na extremidade esquerda,F 2 a força de reação na extremidade direita e M 1 a reação mo-
mento na extremidade direita. Então, a equação matricial do sistema se torna
(b) Comov15v25q 25 0, podemos remover a 1.ª, a 3.ª e a 4.ª linhas e colunas, que levam apenas à seguinte equa-
ção escalar:
da qual podemos calcular o ângulo de rotação desconhecidoq 1520,1389 rad. Usando o esquema de interpolação,
a configuração deformada da viga é
(c) A resposta não é precisa porque a deformação vertical é um polinômio de quarta ordem, ao passo que, devido à aproximação de elementos finitos,v( x ) é uma função cúbica. A fim de melhorar a precisão da solução, precisa- mos modelar a viga com um número maior de elementos.
13. Neste capítulo, obtivemos a equação de elementos finitos usando o princípio da energia potencial mínima. En- tretanto, a mesma equação de elementos finitos pode ser obtida pelo método de Galerkin, conforme a Seção 3.3. A equação diferencial de governo da viga é
148 Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros
onde f ( x ) é a carga distribuída. No caso de uma viga biengastada, as condições de contorno são dadas por
Usando o método de Galerkin e o esquema de interpolação da Eq. (4.44), obtenha as equações matriciais de ele- mentos finitos quando uma carga distribuída constante f ( x )5q for aplicada ao longo da viga.
Solução: Solução:
Na interpolação da viga, o deslocamento vertical (deflexão) pode ser aproximado por
E as funções de forma podem ser usadas para funções de aproximação. Se multiplicarmos a equação diferencial de governo pelas funções de aproximação e integrarmos ao longo do domínio,
Depois de aplicar a integração por parte duas vezes, temos
A segunda derivada da curva elástica pode ser obtida usando o esquema de interpolação e a regra da cadeia da dife- renciação,
Substituindo a derivada de segunda ordem na equação de Galerkin anterior, temos
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 149 a equação anterior pode ser escrita na forma matricial.
14. Repita o procedimento de obtenção das equações do problema anterior para o caso de uma viga em balanço cujas condições de contorno são dadas por
Solução: Solução:
Na interpolação da viga, o deslocamento vertical (deflexão) pode ser aproximado por
E as funções de forma podem ser usadas como funções de aproximação. Se multiplicarmos a equação diferencial de governo pelas funções de aproximação e integrarmos ao longo do domínio,
Depois de aplicar duas vezes a integração por partes, temos
A segunda derivada da curva elástica pode ser obtida usando o esquema de interpolação e a regra da cadeia da dife- renciação.
Substituindo a derivada de segunda ordem na equação de Galerkin anterior, temos
150 Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros
a equação anterior pode ser escrita na forma matricial.
15. Resolva o problema de viga biapoiada do Exemplo 4.9 usando o programa MATLAB no Apêndice. Você pode usar o recurso do programa que oferece a opção de carga distribuída, ou a carga nodal equivalente. Plote o des- locamento vertical e a rotação ao longo do vão da viga. Compare esses valores com a solução analítica. Além disso, plote o momento fletor e o esforço cortante ao longo do vão da viga. Compare esses valores com a solução analítica.
Solução: Solução:
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 151
16. Examine a viga engastada em uma extremidade e com um apoio elástico na outra, conforme a figura. Admita E 5 100 ksi (689,48 MPa), I 5 1,0 in4 (41,62 cm4), k 5 200 lb/in (350,25 N/cm), altura da vigah 5 10 in (25,4 cm)
e não considere os efeitos da gravidade. A viga está sujeita a uma força concentradaF 5 100 lb (444,82 N) na extremidade apoiada.
(a) Usando um elemento de viga e um elemento de mola, construa a equação da matriz estruturalantesantes de apli- car as condições de contorno. Identifique claramente os elementos e os nós. Identifique as direções positivas de todos os graus de liberdade (GLs).
(b) Construa a equação da matriz global depois de aplicar todas as condições de contorno. (c) Resolva a equação matricial e calcule o deslocamento vertical da extremidade apoiada. (d) Calcule o momento fletor e o esforço cortante na parede.
Solução: Solução:
Para o elemento de viga,
152 Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros
Montagem: Sejaa5 EI / L3:
(b) Comov15q 15v35 0, aplique as condições de contorno eliminando essas linhas e colunas.
(c) Substituindo os dados numéricos, temos
Resolvendo a equação anterior e encontrando o valor dos graus de liberdade (GLs, ou DOFs) desconhecidos, vem
Desta forma, o abaixamento (deflexão) da extremidade é igual a20,2 in (0,51 cm). (d) Utilizando as duas primeiras linhas da equação matricial montada, temos
17. Uma viga está engastada na extremidade esquerda e apoiada em uma mola na extremidade direita. O apoio da direita é tal que não permite que a viga gire nessa extremidade. Desta forma, o único grau de liberdade ativo év2.
Uma força de 3.000 N age de cima para baixo na extremidade direita, conforme ilustrado. A estrutura é mode- lada usando dois elementos: um elemento de viga e um elemento de mola. A rigidez da mola ék 5 3.000 N/m. As propriedades da viga são L5 1 m, EI 5 1.000 Nm2.
(a) Escreva as matrizes de rigidez do elemento de ambos os elementos. Mostre claramente os graus de liberdade (GLs).
(b) Monte as duas equações matriciais dos elementos e aplique as condições de contorno para obter a equação da matriz global.
(c) Encontre o valor do deslocamento desconhecidov2.
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 153
Solução: Solução:
(a) Seja o vetor de graus de liberdade igual a {QQ}T 5 {v1 q 1 v2 q 2 v3}.
(b)
Como o único grau de liberdade não restrito év2, elimine a 1.a, a 2.a, a 4.a e a 5.a linhas e colunas para obter a equa-
ção matricial como
(c) Resolvendo a equação anterior:v2520,2 m.
(d) Usando a interpolação,
18. Uma carga distribuída que varia linearmente é aplicada ao elemento finito de viga de comprimento L. O valor máximo da carga na extremidade direita éq0. Calcule as forças nodais e os momentos “equivalentes”.
Solução: Solução:
154 Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros
Desta forma, a expressão da carga distribuída pode ser escrita como
19. Em geral, uma força concentrada só pode ser aplicada ao nó. Entretanto, se usarmos o conceito de carga “equi- valente” podemos converter a carga concentrada dentro de um elemento em forças nodais correspondentes. Uma carga concentradaP é aplicada ao centro de um elemento de viga de comprimento L. Calcule as forças nodais e os momentos “equivalentes” {F 1, M 1,F 2, M 2} em termos deP e L.
Sugestão: O trabalho feito por uma força concentrada pode ser obtido multiplicando a força pelo deslocamento naquele ponto.
Solução: Solução:
Para o esquema de interpolação fornecido,
A energia potencial da carga aplicadaP pode ser calculada por
Desta forma, as forças nodais equivalentes são
20. Use dois elementos de viga de igual comprimento para determinar a deflexão da viga mostrada a seguir. Estime a deflexão no ponto B, que está a 0,5 m do apoio esquerdo. EI 5 1000 N-m
2
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 155
Solução: Solução:
A fim de economizar espaço, aplicaremos as condições de contorno no nível do elemento. Desta forma, apenas os graus de liberdade não restritos serão escritos.
Elemento 1:
Elemento 2:
Depois da montagem, obtemos a seguinte equação matricial global:
Em consequência, todos os graus de liberdade são iguais a zero, excetov25 0,0417. Portanto, a curva elástica se
torna Elemento 1: Elemento 2:
No ponto B, podemos usarv1(s) coms5 0,5. Por isso,v B5 0,02085.
21. Um binário (momento) externoC 2 é aplicado ao Nó 2 da viga mostrada a seguir. Quando EI 5 105 N?m2, as ro-
tações em radianos dos três nós são determinadas comoq 1520,025,q 2510,05 eq 3520,025.
(a) Desenhe os diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores de toda a viga. (b) Qual o módulo do momento (binário)C 2 aplicado ao Nó 2?
(c) Qual a reação de apoioF y1 no Nó 1?
Solução: Solução:
156 Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros
A equação anterior pode levar ao valor deC 2 e das forças de reaçãoF 1 eF 3:
22. Dois elementos de viga são usados para modelar a estrutura mostrada na figura. A viga está engastada na parede na extremidade esquerda (Nó 1), suporta uma cargaP5 100 N no centro (Nó 2) e está sobre um apoio de pri- meiro gênero na extremidade direita (Nó 3). Os elementos 1 e 2 são elementos de viga com dois nós e cada um possui comprimento de 0,05 m e rigidez à flexão EI 5 0,15 N-m2.
(a) Usando a matriz de rigidez da viga, monte as equações para o modelo anterior, aplique as condições de con- torno e encontre o valor das deflexões nos Nós 2 e 3.
(b) Escreva as equações e plote a configuração deformada de cada elemento de viga mostrando a deflexão e os ângulos em todos os nós.
(c) Qual é a deflexãov e qual a rotaçãoq nos pontos médios do Elemento 1 e do Elemento 2. (d) Qual o momento fletor no ponto de aplicação da cargaP?
(e) Quais as reações de apoio (momento fletor e esforço cortante) na parede? Solução:
Solução:
(a) A fim de economizar espaço, aplicaremos as condições de contorno no nível do elemento. Elemento 1:
Elemento 2:
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 157 A equação anterior é resolvida e fornece os seguintes valores para os graus de liberdade desconhecidos:
(b) Curvas elásticas
A curva elástica é representada no gráfico a seguir.
(c) Em x 5 0,025, usa-se a curva elástica do Elemento 1 coms5 0,5 para obter
Em x 5 0,075, usa-se a curva elástica do Elemento 2 coms5 0,5 para obter
(d) Da fórmula de momento fletor na Eq. (4.65), coms5 1,
158 Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros
23. Considere a viga biengastada mostrada a seguir. Admita que não há forças axiais agindo na viga. Use dois ele- mentos para resolver o problema. (a) Determine a deflexão e a rotação em x 5 0,5, 1 e 1,5 m. (b) Desenhe os diagramas de momentos fletores e de esforços cortantes para toda a viga. (c) Quais são as reações de apoio? (d) Use as funções de forma do elemento de viga para plotar a configuração deformada da viga. Use EI 5 1.000
N?m, L5 1 m eF 5 1.000 N.
Solução: Solução:
(a) Usando a matriz de rigidez da Eq. (4.52), os dois elementos podem ser reunidos de modo a obter a seguinte equa- ção matricial:
Devido às condições de contorno, a 1.ª, a 2.ª, a 5.ª e a 6.ª linhas e colunas são eliminadas, e a seguinte equação ma- tricial é obtida:
Resolvendo a equação anterior e obtendo os valores dos graus de liberdade desconhecidos, temosv25 0,0417 eq 2
5 0. Usando o esquema de interpolação, podemos encontrar o abaixamento e a rotação.
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 159 (c) As reações de apoio podem ser encontradas utilizando a equação matricial combinada srcinal com os graus de
liberdade nodais conhecidos,
(d) Usando o esquema de interpolação,
24. A estrutura mostrada na figura está engastada na extremidade esquerda e está apoiada em um rolete articulado na extremidade direita. O raio da seção transversal circular ér 5 0,05 m. Uma força axialP e um binário (momen- to)C agem na extremidade direita. Admita os seguintes valores numéricos: L5 1 m, E 5 80 GPa,P5 15.000 N,C 5 1.000 Nm.
(a) Use um único elemento para determinar a rotaçãoq no apoio direito. (b) Qual o deslocamento vertical (deflexão) da viga em x 5 L /2? (c) Qual a máxima tensão de tração? Onde ela ocorre?
Solução: Solução:
(a) O elemento de quadro tem 6 graus de liberdade. {QQ}T 5 {u1,v1,q 1,u2,v2,q 2}. Comou1,v1,q 1 ev2 estão fixos, podemos construir as equações matriciais dos elementos para apenas os graus de liberdade não restritos:u2 eq 2.
Da Eq. (5.80) temos
160 Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros
(b) O abaixamento no centro pode ser obtido usando interpolação. Observe que o deslocamento axial e os desloca- mentos transversais devidos ao momento fletor possuem esquemas de interpolação diferentes.
(c) A tensão máxima de tração ocorre na superfície inferior da estrutura.
25. Uma estrutura está engastada na extremidade esquerda e apoiada em um rolete sobre um plano inclinado na extremidade direita, conforme a figura. Uma carga uniformemente distribuídaq é aplicada, e admite-se que a superfície de contato do rolete não oferece atrito. Quando uma malha de elementos finitos é usada como apro- ximação da estrutura, o vetor de deslocamentos pode ser definido como {dd}5 {u1,v1,q 1,u2,v2,q 2}T , ondeu e
v são os deslocamentos na direção x e y, respectivamente, eq é a rotação em relação à direção z. (a) Construa a equação da matriz de elementos finitos 63 6 antes de aplicar as condições de contorno. (b) Reduza a dimensão da equação matricial de elementos finitos para 23 2 aplicando as condições de contor-
no. Você pode precisar usar a transformação apropriada.
(c) Resolva a equação matricial de elementos finitos e calcule o vetor de deslocamentos nodais {dd}. (d) Escreva a expressão do deslocamento vertical de elementos finitosv( x ), 0, x , L e faça um esquema do
deslocamentov( x ) da estrutura.
Solução: Solução:
(a) Equação matricial de elementos finitos antes de aplicar as condições de contorno:
(b) Aplicação das condições de contorno:
Em primeiro lugar, usando as condições de contorno deu1
5
v1
5
q 1
5
0, as três primeiras linhas e colunas podem ser removidas, e obtém-se
Além disso, devido ao suporte inclinado de primeiro gênero (rolete), os deslocamentosu2 ev2 estão relacionados en-
Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 161 locais no nó 2 de tal forma que a nova coordenada x 9 seja paralela à superfície inclinada. De forma coerente a isso, podemos definir a matriz de transformação como
Então, temos a seguinte relação: