Para Acompanhar

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Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos

Nam-Ho Kim e Bhavani V. Sankar

Departamento de Engenharia Mecânica e Aeroespacial College of Engineering, University of Florida

TTradução e radução e Revisão TécnicaRevisão Técnica

Gen. Bda. Amir Elias Abdalla Kurban, D.Sc. Gen. Bda. Amir Elias Abdalla Kurban, D.Sc.

Engenharia Civil – Estruturas

(3)

Este Material Suplementar contém o Manual de Soluções referentes aos capítulos do livro-texto e que pode ser usado como apoio para o livro Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos, deNam-Ho Kim e Bhavani V. Sankar – ISBN 978-85-216-1788-4

Material Suplementar. Manual de Soluções traduzido do material srcinal:

Introduction to Finite Element Analysis and Design, First Edition

Introduction to Finite Element Analysis and Design, First Edition, ISBN: 978-0-470-12539-7

Portuguese translation copyright © 2011 by LTC —Livros Técnicos e Cientíﬁcos Editora Ltda. Translated by permission of John Wiley & Sons, Inc. Copyright © 2009 by John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved.

Obra publicada pela LTC:

Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos

L

LTC — Livros Técnicos e TC — Livros Técnicos e Cientíﬁcos Editora Ltda.Cientíﬁcos Editora Ltda. Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional

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Sumário

Capítulo

Capítulo 0. 0. Fundamentos Fundamentos Matemáticos 1Matemáticos 1 Capítulo

Capítulo 1. 1. Análise Análise de de Tensões Tensões e e Deformações Deformações 1010 Capítulo 2.

Capítulo 2. Elementos Elementos de de Barras Barras UniaxiaUniaxiais is e e de de TTreliças: Método reliças: Método Direto Direto 4949 Capítulo 3.

Capítulo 3. Método Método dos dos Resíduos Resíduos Ponderados Ponderados e e Método Método de de Energia Energia para para Problemas Unidimensionais Problemas Unidimensionais 105105 Capítulo 4.

Capítulo 4. Análise Análise de de Elementos Elementos Finitos Finitos de de Vigas Vigas e e Quadros Quadros 136136 Capítulo 5.

Capítulo 5. Elementos Elementos Finitos Finitos para para Problemas Problemas de de Transferência Transferência de de Calor Calor 182182 Capítulo

Capítulo 6. 6. Elementos Elementos Finitos Finitos para para Sólidos Sólidos Planos Planos 198198 Capítulo

Capítulo 7. 7. Procedimentos Procedimentos e e Modelagem Modelagem em em Elementos Elementos Finitos Finitos 226226 Capítulo

(5)

Capítulo

00

Fundamentos Matemáticos

1. Seja a seguinte matriz [TT] 33_3:

(a) Escreva a transpostaTTT _.

(b) Mostre que a matriz [SS]5_[_T_T_]1_[_T_T_]T _{é uma matriz simétrica.}

(c) Mostre que a matriz [AA]5_[_T_T_]2_[_T_T_]T _{é uma matriz antissimétrica. Quais são os componentes da diagonal da}

matriz [AA]? Solução: Solução:

(a) A transposta de uma matriz [AA] é definida como 5_A

jiondeie jindicam a linha e a coluna da matriz [AA];

portanto:

(b) Uma matriz simétrica [AA] é definida como Aij5_A ji_onde_i_e_j_{indicam a linha e a coluna da matriz [}_A_A_{]; usando a}

definição anterior de transposta, tem-se:

(c) Uma matriz antissimétrica [AA] é definida como uma matriz que obedece à relação Aij52 A ji; usando a definição

anterior de transposta, tem-se:

Observe que os componentes da diagonal são iguais a zero.

(6)

2 Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos

(a) Calcule [CC]5_[_A_A_]1_[_B_B_]. (b) Calcule [DD]5_[_A_A_]2_[_B_B_].

(c) Calcule o múltiplo escalar [DD]5_3[_A_A_].

Solução: Solução:

3. Dados os dois vetores tridimensionaisaa ebba seguir:

(a) Calcule o produto escalarc5_a_a?_b_b_. (b) Calcule o módulo do vetoraa. (c) Calcule o produto vetorial deaa ebb. Solução:

Solução:

4. Para a matriz [TT] do Problema 1 e os dois vetoresaa ebb do Problema 3, resolva as questões seguintes. (a) Calcule o resultado da multiplicação de matriz por vetor [TT]?_a_a_.

(b) Calculebb?_[_T_T_]?_a_a_.

(7)

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos 3

b

b?_[_T_T_]?_a_a_{pode ser obtida pelo produto escalar de dois vetores}_b_b_{e [}_T_T_]?_a_a

5. Para as duas matrizes [AA] e [BB] do Problema 2, resolva as questões seguintes. (a) Calcule o resultado da multiplicação de matriz por matriz [CC]5_[_A_A_][_B_B_]. (b) Calcule o resultado da multiplicação [DD]5_[_B_B_][_A_A_].

(a)

(b)

Observe que, em geral, [AA][BB]_[BB][AA].

6. Calcule o determinante das seguintes matrizes:

O determinante de [AA] é

(8)

7. Calcule a inversa da matriz [AA] do Problema 6. Solução:

Solução:

8. As matrizes [AA] e [BB] são definidas a seguir. SeBB5_A_A21_{, determine os valores de}_p_,_q_,_r_e_s_.

SeBB5AA21_{, então}_AB_AB5II.

9. Resolva o sistema de equações simultâneas a seguir utilizando o método matricial:

O sistema fornecido pode ser representado pela forma matricial a seguir

(9)

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos 5 Usando o MATLAB, calculeAAT _,_a_aT _,_A_A1_B_B_,_A_A2_B_B_,_ab_abT _,_a_aT _b_b_,_A_AT _B_B_,_C_C5_BA_BAT _,_AB_AB_,_C_C21_{, det(}_C_C_{). Teste os seguintes}

comandos:a * ba * b,A * BA * B e explique a diferença entre eles ea * ba * b eA * BA * B, respectivamente. Solução:

Solução:

Observe que o comandoAA*BBresulta em um erro, uma vez que o tamanho da multiplicação não é adequado. O MATLAB possui dois tipos diferentes de operações aritméticas. As operações aritméticas matriciais são definidas pelas regras da álgebra linear. As operações com aritméticas com arrays são realizadas elemento por elemento e po-dem ser usadas com arrays multidimensionais. O caractere ponto (.) faz a distinção entre as operações de arrays e as operações com matrizes. Entretanto, como as operações de matrizes e arrays são as mesmas para a soma e a subtração, não são usados os pares de caracteres .1_{e .}2_{. Para obter mais informações e exemplos, use a ajuda do MATLAB} (vá para o índice e faça uma pesquisa para “array”).

11. Encontre os autovalores e os autovetores das matrizes dadas a seguir: (a)

(b)

(a) O problema de autovalor é definido como:

Da condição de determinante nulo, a equação característica se torna:

As raízes da equação são encontradas como:

Substituindol₁ na equação característica, obtém-se

Resolvendo o sistema de equações e obtendoxx(1)_{, tem-se:}

(10)

Substituindol3 na equação característica, obtém-se:

(b) O problema de autovalor é definido como:

Da condição de determinante nulo, a equação característica se torna:

As raízes da equação são encontradas como:

Substituindol₁ na equação característica, obtém-se:

Substituindol₂ (oul₃) na equação característica, obtém-se:

Observamos que a segunda equação é trivial (0 x 110 x 210 x 350!), e que a primeira e a terceira equações são iguais.

A única informação que obtemos dessas equações é x 1522 x 3, e o valor de x 2 é arbitrário, o que significa que

ele pode assumir qualquer valor. Por isso, o autovetor pode ser escrito comoxx(2)5_[2_2,a, 1]T _{. Se for desejado}

normalizar o vetor, obtemos

Assim, vemos que existem infinitos autovetores. Alguns exemplos são:

(11)

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos 7 12. Construa a forma quadrática para a matriz [AA] do Problema 2,i.e., {xx}T _[_A_A_]{_x_x_{}, e compare com a forma}

quadrá-tica calculada usando a parte simétrica [AAS ].

A forma quadrática da matriz [AA] é:

A forma simétrica de [AA] pode ser encontrada usando a seguinte equação:

A forma quadrática da matriz [AAs] é:

As duas formas quadráticas são idênticas.

13. Dada a equação matricial [AA]{xx}5_{_b_b_{}, definida por}

(a) Construa a forma quadráticaF (xx)5_{_x_x_}T _[_A_A_]{_x_x_}2_2{_x_x_}T _[_b_b_].

(b) Encontre { xx}5_{_x_x**_{} minimizando}_F₍_x_x_).

(c) Verifique se o vetor {xx**_{} satisfaz [}_A_A_]{_x_x_}5 {bb}. Solução:

Solução:

(a) A forma quadráticaF (xx) é:

(b) Encontre {xx}5_{_x_x*_{} que minimize}_F₍_x_x_).

Resolvendo as três equações imediatamente anteriores em relação às três incógnitas, podemos obter: x 1

5 4, x 2

5 0 e x 35 4.

(c) Verifique se a solução {xx*_{} satisfaz [}_A_A_]{_x_x**_}5_{bb}.

(12)

14. A função f ( x 1, x 2) de duas variáveis x 1 e x 2 é dada por

(a) Multiplique as matrizes e exprima f como um polinômio em x 1 e x 2.

(b) Determine o valor extremo (máximo ou mínimo) da função e os valores correspondentes de x 1 e x 2.

(c) Esse valor é máximo ou mínimo? Solução:

Solução: (a)

(b) Diferenciando fem relação a x 1 e x 2,

Resolvendo essa equação, temos x 15 2, x 25 2.

(c) Esse ponto é um máximo porque a matriz hessiana é positiva definida.

15. A função f ( x , y, z) de x , y e z é definida como

onde

(a) Multiplique as matrizes e exprima f como um polinômio em x , y e z.

(b) Escreva as três equações necessárias para encontrar o valor extremo da função na forma

(c) Resolva as equações em (b) a fim de determinar os valores de x , y e z correspondentes ao valor extre-mo de f .

(d) Calcule o valor extremo de f . (e) Esse valor é um máximo ou um mínimo? (f) Calcule o determinante de [KK]. Solução:

Solução: (a)

(13)

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos 9

(c) (d)

(e) Matriz hessiana:

Autovalores de[H][H]:l₁52_0,5157,_0;l₂5_0,1709;l₃5_{11,3448. Esse ponto não é máximo nem mínimo, é} um ponto de inflexão.

(14)

Capítulo

11

Análise de Tensões e Deformações

1. Uma força verticalF é aplicada a uma treliça de duas barras conforme a figura. Suponha que as áreas das seções transversais dos elementos 1 e 2 sejam A1_e A2_{, respectivamente. Determine a relação entre as áreas} A1_/ A2_{a fim de}

que haja o mesmo valor de tensão em ambos os elementos.

Do equilíbrio de forças em B,

Como a treliça é uma barra sujeita à aplicação de duas forças, f 15 A1s ₁ e_f₂5_A₂s ₂. Desta forma,

2. A tensão em um pontoP é dada a seguir. Os cossenos diretores da normalnn ao plano que passa porP guardam entre si a relaçãon x :n y:n z5 3:4:12. Determine (a) o vetor da forçaTT(n)(n); (b) o móduloT deTT(n)(n); (c) a tensão normal s

n; (d) a tensão cisalhantet n; e (e) o ângulo entreTT(n)(n) enn.

(15)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 11

(a) Em primeiro lugar, precisamos do vetor unitário normalnn:

A seguir, o vetor de força de superfície nesse plano se torna

(b) ComoTT(n)(n)_{é um vetor, seu módulo pode ser obtido usando a norma como}

(c)

(d) (e)

3.

3. Em um ponto P de um corpo, os componentes cartesianos da tensão são dados pors

xx 5 80 MPa,s yy5240 MPa, s

zz5240 MPa et xy5t yz5t zx 5 80 MPa. Determinar o vetor da força de superfície, seu componente normal e

seu componente de cisalhamento em um plano que esteja igualmente inclinado em relação aos três eixos coorde-nados.

Sugestão: Quando um plano está igualmente inclinado em relação aos três eixos coordenados, os cossenos dire-tores da normal são iguais.

O vetor normal unitário neste caso é

(16)

12 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

O componente normal do vetor da força de superfície é

O componente cisalhante do vetor da força de superfície é

4. Ses

xx 5 90 MPa,s yy5245 MPa,t xy5 30 MPa es zz5t xz5t yz5 0, calcule a força de superfícieTT(n)(n) no plano

mostrado na figura, que faz um ânguloq 5_{40º com o eixo vertical. Qual o componente normal e qual o de} cisa-lhamento da tensão nesse plano?

Vetor unitário normal:

Vetor da força de superfície:

Tensão normal: Tensão cisalhante:

5. Encontre as tensões principais e as direções principais correspondentes para os seguintes casos de estado plano de tensões:

(a)s

xx 5 40 MPa,s yy5 0 MPa,t xy5 80 MPa

(b)s

xx 5 140 MPa,s yy5 20 MPa,t xy5260 MPa

(c)s

xx 52120 MPa,s yy5 50 MPa,t xy5 100 MPa

(a) A matriz das tensões se torna

(17)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 13 O problema anterior terá solução não trivial quando o determinante da matriz dos coeficientes se tornar nulo:

A equação do determinante se torna:

A equação quadrática anterior leva a duas tensões principais, como

Para determinar a orientação da primeira tensão principal, substituas ₁ no problema srcinal de autovalor para obter

Como o determinante é nulo, as duas equações não são independentes.

Desta forma, só podemos obter a relação entren x en y. Assim, usando a condição |nn|5 1, obtemos

Para determinar a orientação da segunda tensão principal, substituas ₂ no problema srcinal de autovalor para obter

Usando procedimentos similares aos anteriores, o autovetor des ₂ pode ser obtido como

Observe que, senn é uma direção principal,2nn também é uma direção principal. (b) Repita o procedimento em (a) para obter

(18)

Observe que, para o caso de estado plano de tensões,s ₃5_{0 também é uma tensão principal, e a direção da tensão} principal correspondente é dada por n(3)5 (0, 0, 1).

6. Se a tensão principal mínima é2_{7 MPa, encontre}s

xx e o ângulo que os eixos das tensões principais fazem com

os eixos xy para o caso de estado plano de tensões ilustrado.

Com o componente x desconhecido, o problema de autovalor pode ser escrito como

As tensões principais podem ser determinadas fazendo com que o determinante seja igual a zero.

Como2_{7MPa é uma das raízes da equação anterior, podemos encontrar}s

xx substituindo esse valor na equação

an-terior como

Resolvendo a equação anterior, podemos obters

xx 5 105 MPa. Assim, a outra tensão principal pode ser encontrada

a partir do determinante srcinal como

Direção principal para a primeira tensão principal: Do problema srcinal de autovalor,

A solução da equação anterior não é única. Estabelecendo |nn1_|5_{1, temos}_n_n15_{6_0,8944,7_{0,4472}, que é a direção} principal correspondente as ₁.

(19)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 15 A solução das equações anteriores énn25_{6_0,4472,6_{0,8944}, que é a direção principal correspondente a}s ₂. As

duas direções principais estão representadas no gráfico a seguir. Observe que as duas direções principais são perpen-diculares entre si.

7. Determine as tensões principais e suas direções associadas quando a matriz de tensões em um ponto for dada por

Use a Eq. (0.46) do Capítulo 0 com os coeficientes de I 15 3, I 2523 e I 3521,

Resolvendo a equação cúbica anterior usando o método descrito na Seção 0.4,

(a) Direção principal correspondente as ₁:

Resolvendo as equações anteriores com |nn1_|5_{1, tem-se}

(b) Direção principal correspondente as ₂:

(20)

8. Suponha que o sistema de coordenadas x 9_y9_z9_{seja definido usando as três direções principais obtidas do Problema} 7. Determine a matriz transformada de tensões [s ]

x 9 y9 z9 no novo sistema de coordenadas.

As três direções principais do Problema 6 podem ser usadas para a matriz de transformação de coordenadas:

Para determinar os componentes de tensão nas novas coordenadas, usamos a Eq. (1.30):

Observe que a matriz de transformação de coordenadas é uma matriz diagonal que apresenta as tensões principais srcinais na diagonal.

9. Para a matriz de tensões a seguir, as duas tensões principais são dadas pors ₃52_{3 e}s ₁5_{2, respectivamente.} Além disso, as duas direções das tensões principais correspondentes às duas tensões principais também são dadas a seguir.

(a) Qual a tensão normal e qual a cisalhante em um plano cujo vetor normal é paralelo a (2, 1, 2)? (b) Calcule a tensão principal restantes ₂ e a direção principal_n_n2.

(c) Escreva a matriz de tensões em um novo sistema de coordenadas que esteja alinhado comnn1_,_n_n22_e_n_n3_.

Solução: Solução: (a) Vetor normal:

Vetor da força de superfície:

(21)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 17 (b) Usando a Eq. (0.46) do Capítulo 0, os autovalores são governados por

Podemos encontrar os coeficientes da equação cúbica anterior a partir da Eq. (0.47) por I 15 0, I 2527 e I 3526.

Desta forma temos:

Assim, a tensão principal restante és 25 1.

Como as três tensões principais são mutuamente ortogonais, a terceira direção principal pode ser calculada usando o produto vetorial. Para estabelecer uma clara convenção de sinais para os eixos principais, exigimos que eles formem uma tríade que respeite a regra da mão direita. Senn

1

enn

3

forem vetores unitários que definem as direções do primei-ro e do terceiprimei-ro eixos principais, então o vetor unitárionn2_{para o segundo eixo principal é determinado pela regra da}

mão direita da multiplicação de vetores. Desta forma temos

(c) A matriz de transformação de coordenadas pode ser obtida a partir das direções principais, da seguinte forma:

A matriz das tensões nas coordenadas transformadas se torna

10. Com relação ao sistema de coordenadas xyz, o estado de tensões em um pontoP de um sólido é

(a)mm1_,_m_m2_e_m_m3_{são três vetores mutuamente ortogonais tais que}_m_m1_{faz 45º com os eixos}_x_e_y_e_m_m3_{está alinhado}

com o eixo z. Calcule as tensões normais nos planos normais amm1_,_m_m2_e_m_m3_.

(b) Calcule os dois componentes da tensão cisalhante no plano normal amm1_{nas direções de}_m_m2_e_m_m3_.

(c) O vetor nn5_{{0, 1, 1}}T _{está na direção de uma tensão principal? Explique. Qual é a tensão normal na}

(22)

(d) Desenhe um cubo infinitesimal com as faces normais amm1_,_m_m2_e_m_m3_{e mostre as tensões nas faces positivas}

do cubo.

(e) Exprima o estado de tensões em um pontoP em relação ao sistema de coordenadas x 9_y9_z9_{que esteja alinhado} com os vetoresmm1_,_m_m2_e_m_m3_.

(f) Qual a tensão principal e quais as direções principais de tensões no pontoP em relação ao sistema de coor-denadas x 9_y9_z9_{? Explique.}

(g) Calcule a tensão cisalhante máxima no pontoP. Em que plano(s) essa tensão cisalhante máxima atua? Solução:

Solução: (a)

(b)

(c) Sim,

ComoTT(n)(n)_//_n_n_,_n_n_{é uma direção principal com tensão principal}5_{50 MPa.} (d)

(23)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 19 (e)

(f) Tensões principais5_{50, 50 e}2_{20 MPa}

n

n1_e_n_n2_{são dois vetores unitários quaisquer que se situam em um plano perpendicular a}_n_n3_.

(g) A tensão cisalhante máxima ocorre em um plano cuja normal faz 45º com a direção da tensão principal. Como

s ₁5s ₂, todas as direções que fazem 45º com o eixo_x (eixo des ₃) conterão a tensão cisalhante máxima cujo valor é

Os planos das tensões cisalhantes máximas estão no formato de um cone cujo eixo é paralelo ao eixo x e tem um ângulo de 45º.

11. Um eixo sólido comd 5_{5 cm, conforme a figura, está sujeito a uma força de tração}_P5_{13.000 N e um torque} de 6.000 N◊cm. No ponto A da superfície, qual é o estado de tensões (escreva na forma matricial), quais as

ten-sões principais e qual a máxima tensão cisalhante? Mostre o sistema de coordenadas utilizado.

Vamos estabelecer um sistema de coordenadas como o mostrado na figura. A força axial srcinará a tensão normal

s

xx enquanto o torque srcinará a tensão cisalhante t xy. Seus valores são

(24)

Resolvendo o problema de autovalor e autovetor, a tensão principal pode ser obtida da seguinte maneira:

A tensão cisalhante máxima é

12. Se o campo de deslocamentos for dado por

(a) Escreva a matriz 3 3_{3 das deformações.}

(b) Qual é o componente da deformação específica normal (linear) na direção (1, 1, 1) no ponto (1,2_{3, 1)?}

(a) A matriz de deformações simétrica 33_{3 pode ser calculada, a partir de sua definição, como}

Além disso, o vetor normal unitário na direção de (1, 1, 1) é

(b) Desta forma, o componente normal da deformação é

Assim, o componente normal da deformação diminui, à medida que a coordenada y de um ponto aumenta. No ponto (1,2_{3, 1),} y52₃

13. Considere o seguinte campo de deslocamentos em um sólido plano:

(a) Calcule os componentes de deformaçãoe xx ,e yy eg xy. Esse é um caso de estado plano de deformações?

(b) Determine as deformações principais e suas direções correspondentes. Exprima as direções das deformações principais em termos dos ângulos que as direções fazem com o eixo x .

(25)

(a) Componentes de deformação:

Sim, esse é um estado de deformações uniformes porque as deformações não dependem da posição x , y, z. (b) Deformações principais e direções principais.

Encontre os autovalores (deformações principais) e autovetores (direção principal) resolvendo o problema de auto-valor:

A equação anterior leva a duas deformações principais,e 15l 1520,01231 ee 25l 2520,01431. A direção

prin-cipal que corresponde à primeira deformação prinprin-cipal é

O ângulo que a direção faz com o eixo x pode ser encontrado a partir da relação cosq 52_{0,9556, sen}_q51_0,2948. Isso leva aq  163º.

A direção principal correspondente à segunda deformação principal é

e o ângulo é encontrado com o valor deq  73º.

(c)

Deformação no ponto O

(26)

Desta forma, a deformação normal na direção denn se torna

14. O campo de deslocamentos em um sólido é dado por

ondek é uma constante.

(a) Escreva a matriz de deformações.

(b) Qual a deformação específica normal na direção denn5_{{1, 1, 1}}T _?

(a) Da definição de deformação

Desta forma, a matriz das deformações é

(b) O vetor unitário normal

Assim sendo, a deformação normal na direção denn é

15. Desenhe um quadrado OABC, com 23_{2 polegadas, em um papel quadriculado. As coordenadas de}_O_{são (0,} 0) e de B são (2, 2). Usando o campo de deslocamentos do Problema 13, determine os deslocamentosu ev dos vértices do quadrado. Admita que o quadrado deformado seja indicado por O9_A9_B9_C9_.

(a) Determine as variações de comprimento de AO eOC . Relacione as variações aos componentes de deforma-ção.

(27)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 23 (b) Determine a variação em – AOC . Relacione a variação com a deformação por cisalhamento.

(c) Determine a variação de comprimento da diagonalOB. Como ela se relaciona com a(s) deformação(ões)? (d) Mostre que a variação relativa da área do quadrado (variação da área/área srcinal) é dada por D A / A5_e

xx 1

e yy5e 11e 2.

Sugestão: Pode-se empregar o método antigo de usar esquadros e compasso ou usar planilhas para fazer os cálcu-los. Coloque a srcem em algum local na metade inferior do papel de forma que haja bastante espaço à esquerda da srcem.

(a) Suponha queOÆO9_,_AÆ A9_,_BÆ B9_,_CÆC 9_{depois da deformação; suponha ainda que as coordenadas de} cada ponto sejamO(0, 0), A(0, 2), B(2, 2)C (2, 0). A partir do campo de deslocamentos, podemos obter o deslo-camento de cada ponto:

(28)

(b)

(c)

(d)

Observe que o valor da variação de área é próximo ao valor da soma das duas deformações normais:

16. Desenhe um quadradoOPQR com 23_{2 polegadas (5,08}3_{5,08 cm) de forma que}_OP_faça1_{73º com o eixo}

x . Repita as perguntas (a) a (d) do Problema 15 paraOPQR. Forneça uma interpretação física para seus resulta-dos.

(29)

(a) Suponha que O Æ_O9, P Æ_P9, Q Æ_Q9, R Æ_R9 depois da deformação. As coordenadas de cada ponto sãoO(0, 0), P(0,585, 1,913),Q(2,497, 1,328), R(1,913,2_{0,585). A partir do campo de deslocamentos, podemos obter o} des-locamento de cada ponto:

As variações dos comprimentos de OP e OR são iguais às deformações principais, uma vez que 73º é a direção prin-cipal.

(30)

Na direção principal, não há distorção. (c) O PontoQ é deslocado para:

Desta forma, o significado da variação do comprimento da diagonal é o mesmo que em (c) do Problema 15. (d)

17. Para o aço, são válidos os seguintes dados para o material: Módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) E 5_{207 GPa e módulo de elasticidade transversal}_G5_{80 GPa. Para a matriz de deformações em um} ponto, mostrada a seguir, determine a matriz 33_{3 simétrica das tensões.}

(31)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 27 A partir da relaçãoG5_E_{/ 2(1}1_n_{), calculamos}_n5₍_E_{/ 2}_G₎2₁5_0,294.

Na notação matricial

18. A deformação em um ponto é tal quee xx 5e yy5 0,e zz520,001,e xy5 0,006,e xz5e yz5 0.

Nota: Não é necessário resolver um problema de autovalor para essa questão.

(a) Mostre que nn15_ii1_j_j_e_n_n252_ii1_j_j_{são as direções principais das deformações nesse ponto.} (b) Qual a terceira direção principal?

(c) Calcule as três tensões principais. Solução:

Solução:

(a) A matriz das deformações é

Para mostrar que a direçãonn é uma direção principal, é suficiente mostrar que [e ]?_n_n_||_n_n_{. Depois de normalizar}_n_n1

enn2_,

Em consequência,nn1_e_n_n2_{são direções principais.}

(b) A partir da propriedade de ortogonalidade das direções principais, a terceira direção principal pode ser encontrada usando o produto vetorial como

(32)

(c) Como a terceira direção principal é paralela ao eixo z,e zz é a terceira deformação principal;i.e.,e 35e zz520,001.

Com base na Parte (a), a deformação principale 1 ee 2 pode ser obtida porque [e]?nn5lnn. Assim, as três

defor-mações principais são

Observe que as três deformações principais estão reordenadas.

19. Encontre a relação entre tensões e deformações na Eq. (1.60) a partir da Eq. (1.55) e das condições para o estado plano de tensões.

A relação tridimensional tensão-deformação é dada pela Eq. (1.57). Da terceira equação da Eq. (1.57),

Então, da primeira equação da Eq. (1.57),

De modo idêntico,

Em consequência, se combinarmos essas equações, podemos obter a Eq. (1.60):

20. Uma placa fina, com largurab, espessurat e comprimento L, está colocada entre duas paredes rígidas e lisas (sem atrito) separadas por uma distânciab e está submetida a uma força axialP. As propriedades do material são módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) E e coeficiente de Poissonn .

(a) Encontre os componentes de tensão e deformação no sistema de coordenadas xyz. (b) Encontre o campo de deslocamentos.

(33)

(a) A partir das condições de força dadas, podemos calcular os componentes de tensão e encontramos

(1) Ainda não conhecemoss ₀, mas fica evidente que deve ser uma tensão de compressão na direção y devida ao efeito de

Poisson. Por todas as tensões cisalhantes serem nulas, todas as deformações de cisalhamento também são nulas:

Da geometria, podemos calcular os seguintes componentes de tensão:

(2) Ainda não conhecemosd .

Vamos calcular os parâmetros desconhecidoss

0

ed usando a relação tensão-deformação.

Substituindo as relações da Eq. (1) na segunda equação anterior, obtemos

E, da primeira relação, pode-se calcular o parâmetro desconhecidod com o valor de

Desta forma, os componentes de tensão são

(34)

(b) Os componentes de deslocamento podem ser calculados por meio de integração e valem

21. Um sólido com módulo de elasticidade transversal E 5 70 GPa e coeficiente de Poisson5 0,3 está em umestadoestado

plano de deformações

plano de deformações paralelo ao plano xy_{. Os componentes da deformação no plano têm os seguintes valores:}

e xx 5 0,007,e yy520,008 eg xy5 0,02.

(a) Calcule as deformações principais e as direções correspondentes. (b) Calcule as tensões, incluindos

zz, correspondentes às deformações do item anterior.

(c) Determine as tensões principais e as direções correspondentes. As direções das tensões principais são iguais às direções das deformações principais?

(d) Mostre que as tensões principais poderiam ter sido obtidas a partir das deformações principais por intermédio das relações entre tensões e deformações.

(e) Calcule a energia específica de deformação usando os componentes de tensão e deformação no sistema de coordenadas xy.

(f) Calcule a energia específica de deformação usando as tensões principais e as deformações principais. Solução:

Solução:

(a) O problema de autovalor para a matriz das deformações é

Os autovalores podem ser calculados fazendo com que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero, da seguinte forma

Em consequência, as deformações principais são:e 15 0,012,e 3520,013 (observe:e 25 0 na direção z).

Para encontrar as direções principais, substitua as deformações principais na equação característica e encontre o valor de {nn} com

(Observe: {0, 0, 1}T _{é a direção principal que corresponde a}_e

250.)

(35)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 31 onde {e }T 5_{_e

xx e yyg xy} e

O componentes

zz pode ser calculado por meio da condição de deformação zero:

Observe quet xz5Gg xz5_{0 e}_t yz5Gg yz5_0. (c) Da Parte (b),

Resolvendo o problema de autovalor, obtemos as seguintes tensões principais:

E as seguintes direções principais:

Assim sendo, as direções das deformações principais são idênticas às das tensões principais.

(d) Se a relação tensão-deformação para o estado plano de deformações da Eq. (1.57) for aplicada às deformações principais,

Observe que as tensões cisalhantes são nulas porque o sólido está orientado de acordo com as direções principais. Observe também que é usada a relação constitutiva tridimensional em vez da relação bidimensional. Entretanto, são esperados os mesmos resultados se for usada a relação de estado plano de deformações.

(e)

(36)

22. Admita que o sólido no Problema 21 esteja submetido a um estado plano de tensões. Repita os pedidos de (b) a (f).

Solução: Solução: (b)

onde

Observe que, para o estado plano de tensões,s

zz5t xz5t yz5 0.

(c)

Resolvendo o problema de autovalor, obtemos:

As direções das tensões principais são

(d) Substitua as tensões principais na Eq. (1.60) no livro-texto para obter as deformações. Observe quee zz5e 25

0,0004_0. (e)

(37)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 33 23. Uma roseta de deformações consistindo em três extensômetros foi usada para medir as deformações em um pon-to de uma placa fina. As deformações medidas nos extensômetros sãoe A5 0,001,e B520,0006 ee C 5 0,0007.

Observe que o Extensômetro C faz 45º com o eixo x . Admita a existência de um estado plano de tensões. (a) Determine os estados de tensões e de deformações completos (todos os seis componentes) naquele ponto.

Admita E 5_{70 GPa e}_n5_0,3.

(b) Quais são as deformações principais e suas direções? (c) Quais são as tensões principais e suas direções?

(d) Mostre que as deformações principais e as tensões principais satisfazem as relações entre tensões e defor-mações.

(a) Com base na figura, fica óbvio quee xx 5e A5 0,001 ee yy5e B520,0006. A deformação de cisalhamento pode

ser encontrada usando a relação de transformação mostrada na Eq. (1.50). A versão 2-D da Eq. (1.50) se torna

onden x 5 cos (45º) en y5 sen (45º). Desta forma,

Resolvendo a equação anterior, obtemosg xy5 0,003. Como a roseta de deformações mede apenas o estado plano de

tensões,e zz é desconhecido. Porém, não há deformação de cisalhamento na direção z,g xz5g yz5 0. A fim de calcular

a tensão desconhecidae zz, usamos a relação constitutiva de estado plano de tensões. Como a placa está em um estado

plano de tensões,s

zz5t xz5t yz5 0. As outras tensões podem ser obtidas a partir das relações de tensão-deformação

para as condições de estado plano de tensões mostradas a seguir:

Para a condição de estado plano de tensões a deformação ao longo da espessura é obtida a partir da Eq. (1.59) e apre-senta o valor de

(b) Para um estado plano de tensões,e zz520,000171 é uma deformação principal e o eixo z (0, 0, 1) é a direção da

deformação principal correspondente. As outras duas deformações principais podem ser encontradas por meio do problema de autovalor no estado de deformações 2D:

As duas deformações principais são calculadas a partir da condição de que o determinante da matriz de coe-ficientes é nulo: (e xx 2l )(e yy2l )2 5 0. A solução da equação quadrática se torna l 15 0,0011 e l 2520,0007. Desta forma, as três deformações principais são e 15 0,0011,e 2520,000171 ee 3520,0007.

(38)

Duas direções principais podem ser obtidas a partir do problema de autovalor srcinal. Adicionando o eixo z, as três direções principais são

(c) Tensões principais

Para uma condição de estado plano de tensões,s

z5 0 é uma tensão principal e o eixo z (0, 0, 1) é a direção

princi-pal correspondente. As outras tensões principais e suas direções podem ser encontradas resolvendo o problema de autovalor a seguir:

As duas tensões principais são calculadas a partir da condição de que o determinante da matriz dos coeficientes é zero: (s

xx 2l )(s yy2l )2 5 0. A solução da equação quadrática se tornal 15 70,8 el 25230,8. Desta forma,

as três tensões principais sãos ₁5_{70,8 MPa,}s ₂5_{0,0 MPa e}s ₃52_{30,8 MPa. Duas direções principais podem ser} obtidas a partir do problema de autovalor srcinal. Adicionando o eixo z, as três direções principais são

Para materiais isotrópicos, as direções das tensões principais e as direções das deformações principais são as mes-mas.

(d) Relações principais de tensão-deformação

Da Eq. (1.55), a relação tensão-deformação pode ser escrita como

Além disso, todas as deformações e tensões de cisalhamento são nulas porque estão nas direções principais. Desta forma, a relação tensão-deformação satisfaz as tensões e deformações principais.

24. Uma roseta de deformações consistindo em três extensômetros foi usada para medir as deformações em um ponto em uma placa fina. As deformações medidas nos três extensômetros sãoe A5 0,016,e B5 0,004 ee C 5

0,016. Determine os estados de tensões e de deformações completos (todos os seis componentes) naquele ponto. Admita E 5_{100 GPa e}_n5_0,3.

(39)

(a) O ângulo e os cossenos diretores de cada roseta estão listados na tabela a seguir.

Então, podemos usar a seguinte equação de transformação para relacionar os componentes cartesianos com as de-formações nas rosetas:

As três equações das rosetas se tornam

As duas últimas equações podem ser resolvidas, para fornecerem o valor da deformação de cisalhamento, como

Então, da segunda equação, temos

Como é uma condição de estado plano de tensões,s

z5t yz5t zx 5 0. Da relação tensão-deformação para o problema

(40)

25. Uma roseta de deformações consistindo em três extensômetros foi usada para medir as deformações em um ponto em uma placa fina. As deformações medidas nos três extensômetros sãoe A5 0,008,e B5 0,002 ee C 5

0,008. Determine os estados de tensões e de deformações completos (todos os seis componentes) naquele ponto. Admita E 5_{100 GPa e}_n5_0,3.

(a) O ângulo e os cossenos diretores de cada roseta estão listados na tabela a seguir.

Então, podemos usar a seguinte equação de transformação para relacionar as deformações medidas pelos extensôme-tros com os componentes de deformações:

As três equações das rosetas se tornam

As duas últimas equações podem ser resolvidas para fornecerem o valor da deformação de cisalhamento, como

(41)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 37 Como é uma condição de estado plano de tensões,s

z5t yz5t zx 5 0. Da relação tensão-deformação para o problema

de estado plano de tensões temos

26. A figura a seguir mostra uma placa fina com espessurat . Um campo de deslocamento aproximado que leva em conta os deslocamentos devidos ao peso da placa é dado por

(a) Determine o campo do estado plano de tensões correspondente. (b) Desenhe qualitativamente a configuração deformada da placa.

(42)

Além disso, da relação tensão deformação para o problema de estado plano de tensões,

Desta forma,s

xx 5r(b2 x ) é o único componente de tensão diferente de zero.

(b) A geometria deformada está esquematizada a seguir:

27. A matriz de tensões de um determinado ponto em um corpo é

Determine a deformação correspondente, se E 5₂₀3₁₀10_{Pa e}_n5_0,3.

(43)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 39 28. Para um problema deestado plano de tensões, os componentes de tensão no plano xy em um pontoP possuem

os seguintes valores:

(a) Calcule o estado de tensões nesse ponto, se o módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) E 5 23₁₀11_{Pa e o coeficiente e Poisson}_n5_0,3.

(b) Qual a deformação específica normal (linear) na direção z?

(c) Calcule a deformação específica normal (linear) na direção denn5_{{1, 1, 1}}T _.

(a) Calcule o estado de tensões nesse ponto, se o módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) E 5₂3 1011_{Pa e o coeficiente de Poisson}_n5_0,3.

(b) Qual a deformação específica normal (linear) na direção z?

(c) Calcule a deformação específica normal (linear) na direção denn5_{{1, 1, 1}}T _.

29. O estado de tensões em um ponto é dado por

(a) Determine as deformações usando um módulo de elasticidade longitudinal de 100 GPa e um coeficiente de Poisson de 0,25.

(b) Calcule a energia de deformação usando as tensões e deformações. (c) Calcule as tensões principais.

(d) Calcule as deformações principais a partir das deformações calculadas em (a).

(e) Mostre que as tensões principais e as deformações principais satisfazem as relações constitutivas. (f) Calcule a energia específica de deformação usando as tensões principais e as deformações principais.

(44)

Solução: Solução: (a) Da Eq. (1.53),

(b) Energia específica de deformação:

(c) Tensões principais:s ₁5_110,s ₂5_50,s ₃5_{0 Mpa.} (d)

Matriz de deformação

Deformações principais:e 15 0,9753 1023,e 25 0,2253 1023,e 3520,43 1023

(e) Da Eq. (1.55)

Desta forma, as tensões principais e as deformações principais satisfazem as relações constitutivas. (f) Energia específica de deformação

30. Adote o estado de tensões do Problema 29, já mencionado. A resistência ao escoamento do material é de 100 MPa. Determine os coeficientes de segurança de acordo com os seguintes critérios: (a) critério da máxima tensão principal, (b) critério de Tresca e (c) critério de von Mises.

(a) Critério da máxima tensão principal

(45)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 41 (c) Critério de Von Mises

31. Um tubo de paredes finas está sujeito a um torqueT . O único componente diferente de zero é a tensão cisalhante

t xy, que é dada port xy5 10.000T (Pa), ondeT é o torque em N◊m. Se o limite de escoamento fors Y 5 300 MPa

e o coeficiente de segurança for N 5_{2, calcule o torque máximo que pode ser aplicado usando:} (a) O critério da máxima tensão principal (Rankine)

(b) O critério da máxima tensão cisalhante (Tresca) (c) O critério da energia de distorção (Von Mises) Solução:

Solução:

Como é um estado de cisalhamento puro, as três tensões principais são

(a) O critério da máxima tensão principal (Rankine)

(b) O critério da máxima tensão cisalhante (Tresca)

(c) O critério da energia de distorção (Von Mises)

32. Um vaso de pressão de paredes finas com extremidades fechadas está sujeito a uma pressão interna p5_{100 psi} (689,5 kPa) e ainda a um torqueT em torno de seu eixo de simetria. Determine o valor deT que causará o esco-amento, de acordo com o critério de Von Mises. O projeto exige um coeficiente de segurança de 2. O diâmetro nominal do vaso de pressão é D5_{20 polegadas (50,8 cm), a espessura da parede é}t 5_{0,1 polegada (0,25 cm) e} o limite de escoamento do material é igual a 30 ksi (1 ksi5_{1000 psi}5_{6,895 MPa). As tensões em um cilindro} de paredes finas são a tensão longitudinal,s

l, a tensão radial,s h, e a tensão cisalhante devida à torção,t . Elas

(46)

33. Um eixo de aço prensado a frio é usado para transmitir 60 kW a 500 rpm de um motor. Qual deve ser o diâme-tro do eixo se ele tem 6 m de comprimento e é simplesmente apoiado em sua extremidade? O eixo também está sujeito à flexão em consequência da atuação de uma carga distribuída transversal de 200 N/m. Ignore a flexão devida ao peso do eixo. Use um coeficiente de segurança igual a 2. O limite de escoamento à tração é 280 MPa. Encontre o diâmetro usando tanto a teoria da máxima tensão cisalhante como o critério de von Mises para o es-coamento.

Observe que, na solução a seguir, a falha será ocasionada pelas tensões cisalhantes devidas à torção e pelas tensões de flexão da carga distribuída. Ignoraremos os efeitos das tensões cisalhantes transversais devidas à carga distribuí-da, uma vez que elas serão muito pequenas em comparação com as tensões de flexão e com as tensões cisalhantes devidas à torção.

O momento fletor máximo ocorrerá no centro do eixo, cujo valor é

(47)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 43 Os dois componentes de tensão,s

xx et xy, podem ser calculados usando o momento fletor e o torque, como

(a) Teoria da máxima energia de distorção: Como há apenas dois componentes de tensão diferentes de zero, a tensão_{de Von Mises pode ser calculada por}

Substituindo os componentes de tensão na expressão anterior, podemos resolvê-la a fim de encontrar o diâmetro D5_{46,02 mm.}

(b) Critério da máxima tensão cisalhante: Para calcular a tensão cisalhante máxima, em primeiro lugar são calculadas as tensões principais

Então, a tensão cisalhante máxima se torna

Substituindo os componentes de tensão na expressão anterior, podemos resolvê-la e encontrar o diâmetro desconhe-cido, D5_{47,33 mm.}

34. Para a matriz de tensões apresentada a seguir, as duas tensões principais são dadas pors ₁5_{2 e}s ₃52_3, res-pectivamente. Além disso, as duas direções principais correspondentes às tensões principais também são dadas a seguir. O limite (tensão) de escoamento de uma estrutura é dado pors

Y 5 4,5.

(a) Calcule o coeficiente de segurança baseado na teoria da máxima tensão cisalhante e determine se a estrutura está em segurança.

(b) Calcule o coeficiente de segurança baseado na teoria da energia de distorção e determine se a estrutura en-contra-se dentro dos limites de segurança.

Solução:

Solução:Continuação do Problema 9.

Do Problema 9, s ₁ 5 2, s ₂ 5 1, s ₃ 5 23. Desta forma, a tensão de Von Mises se torna s _VM5 Além disso, a tensão de cisalhamento máxima se torna

t máx5 (s ₁2s ₃)/25_2,5.

(48)

(2) . Portanto, a estrutura não está segura.

35. A figura a seguir mostra um eixo com diâmetro de 1,5 polegada (3,81 cm) sujeito a um carregamento de um mo-mento fletor M z5 5.000 lb?in (564,9 N?m), um torqueT 5 8.000 lb?in (903,9 N?m) e uma força axial (normal)

de tração N 5_{6.000 lb (26,69 kN). Se o material for dúctil com a tensão de escoamento}s _Y5 40.000 psi (275,8

MPa), determine o coeficiente de segurança usando (a) a teoria da máxima tensão de cisalhamento e (b) a teoria da máxima energia de distorção.

Com base nas condições de carregamento dadas, o valor do cisalhamento será o mesmo em todas as superfícies ex-ternas, ao passo que a superfície inferior terá a máxima tensão de tração devida ao momento fletor e à tração. Desta forma, se o material entrar em colapso, começará pela superfície inferior. Vamos considerar um retângulo infinitesi-mal na superfície inferior. Então, os componentes de tensão diferentes de zero serãos

xx et xz.

Cada componente de tensão pode ser calculado, utilizando a mecânica (ou resistência) dos materiais, por

Tensões principais

(49)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 45 (b) Teoria da máxima energia de distorção

36. Uma barra de material dúctil com diâmetro de 20 mm e com tensão de escoamento de 350 MPa está sujeita a um torqueT 5_{100 N}?_{m e a um momento fletor}_M5_{150 N}?_{m. A seguir, uma força normal de tração}_P_{é aplicada} gradualmente. Qual o valor da força axial quando ocorrer o escoamento da barra? Resolva o problema de duas maneiras, usando (a) a teoria da máxima tensão de cisalhamento e (b) a teoria da máxima energia de distorção.

(a) O escoamento ocorre na superfície inferior na qual tanto M comoP produzem tensão de tração. Nessa superfície inferior, os componentes de tensão são

E todos os outros componentes são iguais a zero. Agora, a tensão de cisalhamento máxima é expressa em termos de componentes de tensão:

Na equação anterior, são usadas as seguintes relações:

Então,

A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer o valor da força axialP5_{41,413 N.} (b) A tensão de Von Mises pode ser escrita, em termos dos componentes de tensão, como

Depois de resolver a equação e encontrar o valor da força axial, temosP5_{44,353 N. A teoria da energia de} distor-ção permite uma força axial maior.

37. Um eixo circular de raior , como o representado na figura, tem um momento de inércia I e um momento de inér-cia polar J . O eixo está submetido a uma torçãoT z no eixo positivo z e a um momento fletor M x no eixo positivo

x . O material é aço doce com tensão de escoamento de 2,8 MPa. Para os cálculos, use apenas o sistema de coor-denadas indicado.

(50)

(a) Se T z e M x forem aumentados gradualmente, que ponto (ou pontos) atingirá a ruptura antes dos outros, entre

os quatro pontos ( A, B,Ce D)? Identifique todos. (b) Construa a matriz de tensões [s ]

A no ponto A em coordenadas xyz e em termos dos parâmetros fornecidos

(i.e.,T z, M x , I , J er ).

(c) Calcule as tensões principais no ponto B em termos dos parâmetros fornecidos.

(d) Quando as tensões principais em um pontoC forems ₁5_1,s ₂5_{0 e}s ₃52_{2 MPa, calcule os coeficientes} de segurança (1) com base na teoria da máxima tensão cisalhante e (2) com base na teoria da energia de dis-torção.

(a) O momento fletor produzirá a tensão máxima nos pontos A eC . Desta forma, A eC entrarão em colapso em pri-meiro lugar.

(b) No ponto A, os componentes de tensão diferentes de zero são

Desta forma, a matriz das tensões se torna

(c) No ponto B, o único componente diferente de zero é

Desta forma, as três tensões principais são

(d) De acordo com o critério de máxima tensão de cisalhamento,

(51)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 47 38. Um corpo de prova plástico e retangular de tamanho 1003₁₀₀3_{10 mm}3_{é colocado em um molde metálico}

retangular. As dimensões do molde são 1013₁₀₁3_{9 mm}3_{. O plástico é comprimido por uma prensa rígida}

até ficar completamente dentro do molde. Devido ao coeficiente de Poisson, o plástico também se expande nas direções x e y e preenche todos os espaços. Calcule todos os componentes de tensões e deformações e a força exercida pela prensa. Admita que não haja atrito entre todas as superfícies de contato. O molde de metal é rígido. As constantes elásticas do plástico são E 5_{10 GPa,}_n5_0,3.

As deformações no corpo de prova são calculadas como a taxa de variação de comprimento em relação ao compri-mento srcinal.

Admitimos que o plástico se dilata lateralmente e preenche completamente os espaços. Se não preencher, teremos valores positivos paras

xx e/ous yy, que indicarão que nossa hipótese estava errada. Então podemos admitirs xx e/ou s

yy5 0 e refazer o problema e obter as deformações correspondentese xx e/oue yy que serão menores do que as

calcu-ladas anteriormente.

Como não há atrito entre as superfícies em contato, todas as tensões de cisalhamento e em consequência todas as deformações de cisalhamento serão identicamente iguais a zero.

As tensões normais podem ser obtidas a partir das relações tridimensionais tensão-deformação:

Substituindo as deformações e as constantes elásticas E en obtemos as seguintes tensões

Comos _xx es _yy são negativos (compressão), nossa hipótese inicial sobre as deformações está correta. A força na prensa é obtida utilizando o valor des

(52)

39. Repita o Problema 38 com constantes elásticas do plástico iguais a E 5_{10 GPa,}_n5_0,485.

As deformações no corpo de prova plástico são calculadas como a taxa de variação de comprimento em relação ao comprimento srcinal.

Admitimos que o plástico se dilata lateralmente e preenche completamente os espaços. Se não preencher, teremos valores positivos paras

xx e/ous yy, que indicarão que nossa hipótese estava errada. Então podemos admitirs xx e/ou s

yy5 0 e refazer o problema e obter as deformações correspondentese xx e/oue yy que serão menores do que as

calcu-ladas anteriormente.

Como não há atrito entre as superfícies em contato, todas as tensões de cisalhamento e em consequência todas as deformações de cisalhamento serão identicamente iguais a zero.

As tensões normais podem ser obtidas a partir das relações tridimensionais tensão-deformação:

Substituindo as deformações e as constantes elásticas E en , obtemos as seguintes tensões:

Comos

xx es yy são negativos (compressão), nossa hipótese inicial sobre as deformações está correta. A força na prensa

é obtida utilizando o valor des

zz e da área da seção transversal:

Nota: A força da prensa para este problema é quase 8 vezes a do Problema 38. O aumento se deve ao coeficiente de Poisson. À medida que a compressibilidade do material diminui, o coeficiente de Poisson aumenta. Por exemplo, quandon Æ 0,5 o material se torna incompressível,i.e., seu volume não pode ser alterado e as tensões se tornam in-finitas. Observe a existência do termo (12₂_n_{) no denominador da relação constitutiva anterior.}

40. Repita o Problema 38 com um corpo de prova de dimensões 1003 1003 10 mm3_{e com um molde de}

dimen-sões 1043₁₀₄3_{9 mm}3_{. As constantes elásticas do plástico são}_E5_{10 GPa,}_n5_0,3.

A deformação na direção z permanece a mesma, uma vez quee z5 (92 10)/10520,1. Da mesma forma que antes,

se admitirmos que o corpo de prova preenche completamente a cavidade, as deformações serão

As tensões são calculadas usando

Obtemos {s

xx s yys zz}5 {119211922885} MPa.

Essas tensões não são possíveis fisicamente, uma vez que as paredes da cavidade não podem exercer tensões de tra-ção no corpo de prova. Repetiremos o cálculo coms _x5s _y5 0. Na realidade isso é o estado uniaxial de tensões, e as deformações são obtidas com os valores dee x 5e y52ne z5 0,03. A extensão da placa nas direções x e y é dada por

(53)

Capítulo

22

Elementos de Barras Uniaxiais e

de Treliças: Método Direto

1. Três corpos rígidos, 2, 3 e 4, estão unidos por quatro molas, conforme mostra a figura. Uma força horizontal de 1.000 N é aplicada ao Corpo 4 conforme a figura. Encontre os deslocamentos dos três corpos e as forças (tração/ compressão) nas molas. Qual é a reação na parede? Admita que os corpos só possam sofrer translação na direção horizontal. As constantes de mola (N/mm) sãor 15 400,r 25 500,r 35 500,r 45 300.

Equações de equilíbrio do elemento:

Equações de equilíbrio nodais:

Substituindo as equações do elemento nas equações de equilíbrio nodais anteriores, pode-se obter a seguinte equação matricial da estrutura:

(54)

50 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Aplicando a condição de contornou15 0 (parede rígida), obtemos

A força de reação R1, pode ser obtida a partir da primeira linha das equações estruturais, e vale

2. Três corpos rígidos, 2, 3 e 4, estão unidos por seis molas, conforme mostra a figura. As paredes rígidas são re-presentadas por 1 e 5. Uma força horizontalF 35 1.000 N é aplicada ao Corpo 3 no sentido mostrado na figura.

Encontre os deslocamentos dos três corpos e as forças (tração/compressão) nas molas. Quais são as reações nas paredes? Admita que os corpos só possam sofrer translação na direção horizontal. As constantes de mola (N/mm) sãor 15 500,r 25 400,r 35 600,r 45 200,r 55 400 er 65 300.

(55)

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 51 Substituindo as equações do elemento nas equações de equilíbrio nodais anteriores, pode-se obter a seguinte equação matricial da estrutura:

Aplicando a condição de contornou15u55 0 (parede rígida) e apagando a primeira e a quinta linhas e colunas,

pode-se obter a seguinte equação matricial global:

As forças nas molas são calculadas usandoP5_k₍_u

j2ui):

As forças de reação R1 e R5 podem ser obtidas a partir da primeira linha e da última linha das equações estruturais,

e valem

3. Veja o sistema massa-mola descrito no Problema 2. Que forçaF 2 deve ser aplicada à Massa 2 para evitar que ela

se mova? Como isso influirá nas reações de apoio?

Sugestão: Imponha a condição de contornou25 0 no modelo de elementos finitos (MEF) e encontre os

desloca-mentosu3 eu4. A seguir, a forçaF 2 será a reação no Nó 2.

Colocando a força desconhecidaF 2 no Nó 2, a equação estrutural se torna

Neste caso,u1,u2 eu5 são nulos e, portanto, suas linhas e colunas podem ser apagadas. Depois de aplicar as condições

de contorno, a equação global se torna

(56)

Resolvendo de modo a encontrar as reações, chega-se a

A forçaF 2 exigida é de 706,9 N e as forças nas reações de apoio são reduzidas paraF 15 737 N;F 55 263 N para

F 15 189,7 N;F 55 103,4 N.

4. Quatro corpos rígidos, 1, 2, 3 e 4, estão unidos a quatro molas conforme mostra a figura. Uma força horizontal de 1.000 N é aplicada ao Corpo 1, conforme a figura. Usando a análise de EF, (a) encontre os deslocamentos dos dois corpos (1 e 3), (b) encontre a força nos elementos (tração/compressão) da mola 1, e (c) as forças de reação na parede da direita (Corpo 2). Admita que os corpos só possam apresentar translação na direção horizontal. As constantes de mola (N/mm) sãok 15 400,k 25 500,k 35 500 ek 45 300. Não altere os números dos nós e dos

elementos.

Equações de equilíbrio nodais:

Substituindo as equações do elemento nas equações de equilíbrio nodais anteriores, pode-se obter a seguinte equação matricial estrutural:

(57)

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 53

Aplicando a condição de contorno u25 u45 0 (parede rígida) e apagando a segunda e a quarta linhas e colunas,

pode-se obter a pode-seguinte equação matricial global:

Calculam-se as forças nas molas usandoP5_k₍_u

j2ui):

As forças de reação R2 e R4 podem ser obtidas a partir da segunda e da última linhas da equação estrutural, e valem

5. Determine os deslocamentos nodais e as forças de reação usando o método direto de rigidez. Calcule os desloca-mentos nodais e das forças nos eledesloca-mentos usando o programa de EF.

Os elementos e os nós são indicados por E e N , respectivamente, da seguinte maneira:

Do esquema de numeração anterior, a tabela de conectividade é

A equação matricial para cada elemento pode ser escrita como Elemento (1):

Elemento (2):

Combinando as duas matrizes de rigidez elementares usando o equilíbrio em cada nó, a matriz de rigidez global pode ser obtida como

(58)

Impondo a condição de contorno (u35 0, porque o Nó 3 está fixo na parede), a equação anterior é simplificada

para

Resolvendo as equações lineares anteriores, obtemos os seguintes deslocamentos nodais:

E a força de reação no Nó 3 pode ser calculada por meio da Eq. (1), da seguinte maneira:

6. Na estrutura mostrada, os blocos rígidos estão unidos a molas lineares. Imagine que só são permitidos desloca-mentos horizontais. Escreva as equações de equilíbrio global [KK]{QQ}5_{FF} depois de aplicar as condições de contorno em deslocamentos em termos das rigidezes das molas,k i, dos graus de liberdade (GLs)ui e das cargas

aplicadasF i.

Suponha que os dois pontos fixos sejam os Nós 4 e 5. A equação matricial de cada elemento pode ser escrita como

(59)

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 55 Eliminando a quarta e a quinta linhas e colunas pela aplicação das condições de contorno,

7. Uma estrutura é composta de dois elementos unidimensionais de barra. Quando uma força de 10 N for aplicada ao nó 2, calcule o vetor dos deslocamentos {QQ}T 5_{_u₁_,_u₂_,_u₃_{} usando o método dos elementos finitos.}

Equações do elemento:

Montagem:

Aplicando as condições de contorno de uma parede rígida:u15u35 0

Desta forma, {QQ}T 5_{_u_i_,_u₂_,_u₃_}5_{{0, 0,02, 0} m.}

8. Use o MEF para determinar a força axialP em cada parte, AB e BC , da barra uniaxial. Quais são as reações de apoio? Admita E 5_{100 GPa; as áreas da seção transversal das duas partes}_AB_e_BC_{são, respectivamente, 10}24

m² e 23₁₀24_{m² e}_F5_{10.000 N. A força}_F_{é aplicada na seção transversal em}_B_.

(60)

Montagem:

Aplicação das condições de contorno (u15u35 0) eliminando linhas e colunas:

Resolvendo a equação anterior, chega-se a:u25 0,111 mm.

Reações de apoio:

A força axialP(1)_{na parte}_AB_:

A força axialP(2)_{na parte}_BC_:

9. Considere uma barra biengastada de seção transversal circular. O comprimento da barra é de 1 m, e o raio varia se gun-do a fórmular ( x )5_0,0502_0,040_x_{, onde}_r_e_x_{estão em metros. Admita o módulo de elasticidade longitudinal}5₁₀₀ MPa. Ambas as extremidades da barra estão fixas eF 5_{10.000 N está aplicada no centro. Determine os deslocamentos,} a distribuição das forças axiais e as reações nas paredes usando quatro elementos de comprimentos iguais.

Sugestão: Para aproximar a área da seção transversal de um elemento de barra, use a média geométrica das áreas das extremidades do elemento,i.e., A

(e)5 5p r i_r j_.

(61)

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 57 Raio em cada posição nodal:r 15 0,05,r 25 0,04,r 35 0,03,r 45 0,02,r 55 0,01 m. Então, a área e a rigidez de cada

elemento podem ser aproximadas de acordo com a tabela a seguir.

Equação matricial do sistema:

Como os Nós 1 e 5 estão fixos, as linhas e colunas são eliminadas para que seja obtida a equação matricial global, da seguinte forma:

Resolvendo a equação anterior, são obtidos os seguintes deslocamentos nodais:

Por meio da primeira e da última linhas da equação matricial srcinal, podem ser obtidas as seguintes forças de reação:

O sinal negativo significa que as forças agem na estrutura, da direita para a esquerda. As forças nos elementos podem ser encontradas usando a Eq. (2.22):

10. A barra com trechos diferentes de seções transversais constantes mostrada na figura está sujeita a uma força no centro. Use o MEF para determinar o deslocamento no centro e as reações RESQ e RDIR.

Admita: E5_{100 GPa; as áreas das seções transversais das três partes mostradas são, respectivamente, 10}24_m²,