Problemas Unidimensionais
1. Use o método de Galerkin para resolver o problema de valor de contorno a seguir, empregando (a) aproximação com um termo e (b) aproximação com dois termos. Compare seus resultados com a solução exata, plotando-os no mesmo gráfico.
Sugestão: Use as seguintes aproximações com um termo e com dois termos: Aproximação com um termo:
Aproximação com dois termos:
A solução exata éu( x )5 12 x ( x ³1 11)/12
A solução aproximada é dividida em duas partes. O primeiro termo satisfaz exatamente as condições de contorno da- das;i.e.,u(0)5 1 eu(1)5 0. O resto da solução que contém os coeficientes desconhecidos se anula nos contornos.
Solução: Solução:
(a) Aproximação de um termo
A solução aproximada, a função de peso (ponderação) e suas derivadas são dadas por
Da Eq. (3.9), a equação de Galerkin se torna
Observe que os termos do contorno se anulam porque a função de peso é nula no contorno. Depois de substituir as mencionadas funções e suas derivadas na equação anterior, temos
106 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
O coeficiente desconhecidoc1 pode ser encontrado após a integração;c15 3/20. Desta forma, a solução aproximada
se torna
(b) Aproximação de dois termos
A solução aproximada, a função de peso (ponderação) e suas derivadas são dadas por
Da Equação (3.9), a equação de Galerkin se torna
Observe que os termos do contorno se anulam porque as funções de peso são nulas no contorno. Depois de substituir as mencionadas funções e suas derivadas na equação anterior, temos
Os coeficientes desconhecidos podem ser encontrados após a integração;c15 0,1876 ec2520,0044. Desta forma, a solução aproximada se torna
A figura a seguir compara a solução aproximada com a solução exata. A solução exata é um polinômio de quarta or- dem. As soluções de um e de dois termos estão próximas à solução exata.
2. Resolva a equação diferencial do Problema 1 usando (a) dois e (b) três elementos finitos. Use o método de Ga- lerkin local descrito na Seção 3.4. Plote a solução exata e as soluções de dois ou três elementos finitos no mesmo gráfico. Similarmente, plote a derivadadu / dx . Comente os resultados.
Nota: as condições de contorno não são homogêneas. A condição de contornou(0)5 1 deve ser usada na solução das equações finais.
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 107
Solução: Solução:
(a) Solução de dois elementos:
No método local de Galerkin, a solução aproximada é dada na forma de
onde as funções de interpolação e suas derivadas são definidas como
Assim, a matriz dos coeficientes é calculada usando a Eq. (3.13) e obtém-se
Desta forma, a matriz dos coeficientes se torna
Usando a Eq. (3.14), o vetor no lado direito da equação pode ser calculado da seguinte maneira:
108 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
Observe que a primeira e a última linhas podem ser eliminadas, uma vez que elas contêm incógnitas no lado direito da equação. Entretanto, a primeira coluna não pode ser eliminada porqueu1 tem um valor diferente de zero. Se es-
crevermos a equação da segunda linha, temos
A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer o valor deu2 porqueu1 eu3 são conhecidos. Desta forma,
obtemosu25 0,5469. Portanto, a solução aproximada se torna
(b) Solução de três elementos:
No método local de Galerkin, a solução aproximada é dada na forma de
onde as funções de interpolação e suas derivadas são definidas como
Assim, a matriz dos coeficientes é calculada usando a Eq. (3.13) e obtém-se
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 109 Usando a Eq. (3.14), o vetor no lado direito da equação pode ser calculado da seguinte maneira:
Portanto, a equação matricial global se torna
Observe que a primeira e a última linhas podem ser eliminadas, uma vez que elas contêm incógnitas no lado direito da equação. Entretanto, a primeira coluna não pode ser eliminada porqueu1 tem um valor diferente de zero. Assim,
a primeira coluna pode ser movida para o lado direito depois de multiplicada poru1. Em consequência, temos a se-
guinte forma da equação matricial:
Como se vê, a equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer os valores desconhecidos deu2 eu3. Portanto,
podemos obteru25 0,5469. Então, a solução aproximada se torna
A figura a seguir compara as soluções aproximadas com a solução exata. A solução exata é um polinômio de quarta ordem. As soluções de dois e três elementos estão próximas à solução exata.
110 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
3. Usando o método de Galerkin, resolva a equação diferencial a seguir com a solução aproximada na formau( x )5
c1 x 1c2 x 2. Compare a solução aproximada com a solução exata plotando-as em um gráfico. Também compare as
derivadasdu / dx ed u / dx .
Solução: Solução:
(a) Solução exata: Integrando a equação de governo duas vezes e aplicando as duas condições de contorno, a solução exata se torna
(b) Método de Galerkin: Para a forma estabelecida de aproximação, as tentativas de funções arbitrárias são
Das Eqs. (3.13) e (3.14), a matriz dos coeficientes e o vetor no lado direito da equação se tornam
Desta forma, a matriz fica:
Portanto, a solução aproximada se torna
A figura a seguir mostra a solução aproximada junto com a solução exata. Pode-se notar que a comparação não é boa em todo o domínio. O motivo é que a solução exata é de quarto grau em x , mas a aproximação é de segundo grau em x . Espera-se que a diferença emdu / dx seja maior, uma vez que a aproximação será linear em x , ao passo que a derivada exata será cúbica em x .
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 111
4. O problema de condução de calor unidimensional pode ser expresso pela seguinte equação diferencial:
ondek é a condutividade térmica,T ( x ) é a temperatura eQ é o calor gerado pelo comprimento unitário. Admite-se que Q, o calor gerado pelo comprimento unitário, é constante. Duas condições de contorno essenciais são dadas em ambas as extremidades:T (0)5T ( L)5 0. Calcule a temperatura aproximadaT ( x ) usando o método de Galerkin. Compare a solução aproximada com a solução exata.
Sugestão: Comece com a solução admitida da seguinte forma:T ( x )5c01c1 x 1c2 x 2, e então faça com que ela
satisfaça as duas condições de contorno essenciais. Solução:
Solução:
(a) Solução exata: Integrando duas vezes a equação de governo e aplicando as duas condições de contorno, a soluçãoexata se torna
(b) Método de Galerkin: A forma admitida da solução aproximada deve, em primeiro lugar, satisfazer as condições de contorno essenciais.
Desta forma, a solução aproximada que satisfaz as condições de contorno essenciais se torna
Das Eqs. (3.13) e (3.14), a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito se tornam
Portanto, a equação matricial se torna
112 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
Observe que a solução obtida usando o método de Galerkin é exata.
5. Resolva o Problema 4, de condução de calor, usando o método de Rayleigh-Ritz. Para o problema de condução de calor, o potencial total pode ser definido como
Use a solução aproximadaT 5T 1f 1( x )1T 2f 2( x )1T 3f 3( x ), onde as funções de aproximação são dadas na Eq.
(3.37) com N D5 3 e x 15 0, x 25 L /2 e x 35 L. Compare as temperaturas aproximadas com a temperatura exata
plotando-as em um gráfico. Solução:
Solução:
As funções de aproximação e suas derivadas se tornam
A solução aproximada e sua derivada se tornam
O método de Rayleigh-Ritz usa as derivadas do potencial em relação aos coeficientesT 1,T 2 eT 3.
A equação anterior pode ser expandida da seguinte forma:
Usando as funções de aproximação dadas e suas derivadas, as integrais anteriores podem ser calculadas para forne- cerem a seguinte equação matricial:
Como as temperaturasT 1 eT 3 são iguais a zero, podemos eliminar a primeira e a terceira linhas e colunas para
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 113 Desta forma, a solução aproximada se torna
A figura a seguir compara as soluções de elementos finitos com a solução exata. Observe que as soluções de elemen- tos finitos são exatas nos nós, mas apresentam erros dentro do elemento, porque as funções de aproximação variam linearmente no interior do elemento.
6. Seja a seguinte equação diferencial:
Admita a solução na forma:
Calcule os coeficientes desconhecidos usando o método de Galerkin. Compareu( x ) e du( x )/ dx com a solução exata u( x )5 3,7 sen x 2 x plotando a solução.
Solução: Solução:
Substitua a solução aproximada e torne os resíduos ponderados iguais a zero.
Use a integração por partes para o primeiro termo:
Do termo do contorno, podemos reconhecer as condições de contorno essenciais e naturais. A condição natural espe- cificau ouf i, ao passo que a condição natural especificau ,x . Implementando as condições de contorno e ainda subs-
114 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
Observe que as funções ponderadas são:f 15 x ef 25 x ². Substituindof 1 ef 2 na equação anterior, obtemos duas
equações parac1 ec2:
Resolvendo as equações anteriores e encontrando os coeficientes desconhecidos, temos
A figura a seguir compara a solução exata com a solução aproximada.
7. Resolva a equação diferencial do Problema 6 para as seguintes condições de contorno, usando o método de Ga- lerkin:
Admita a solução aproximada da forma:
ondef 0( x ) é uma função que satisfaz as condições de contorno essenciais, ef 1( x ) é a função de ponderação (fun-
ção peso) que satisfaz a parte homogênea das condições de contorno essenciais;i.e.,f 1(0)5f 1(1)5 0. Em con-
sequência, admita as funções da seguinte forma:
Compare a solução aproximada com a solução exata plotando seus gráficos. A solução exata pode ser obtida como
Solução: Solução:
Observe que há apenas uma função de ponderação (peso). Após a integração por partes, temos
Comof 1 (0)5f 1 (1)5 0, a integração do contorno na equação anterior se anula, restando a seguinte equação de
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 115 Substituindof 0( x )5 11 x ef 1( x )5 x (12 x ), obtemos uma equação parac1. Depois de resolver a equação para en-
contrar o valor dec1, temosc15 10/9. Desta forma, a solução aproximada se torna
A figura a seguir compara a solução aproximada com a solução exata.
8. Seja o seguinte problema de valor de contorno:
Usando dois elementos finitos de igual comprimento, calcule a funçãoa solução em elementos finitos com a solução exata. u( x ) desconhecida e sua derivada. Compare Solução:
Solução: (a) Solução exata:
A solução para essa equação homogênea pode ser escrita como
Comou(0)5 1,c15 1. Além disso,
Desta forma, a solução aproximada se torna
No local de cada nó,
(b) Observe que o segundo termo da equação diferencial de governo contém a incógnita u. Assim, a formulação padrão de elementos finitos da Eq. (3.54) não pode ser usada. Nesses casos, usamos o método de Galerkin. No método local de Galerkin, a solução aproximada é dada na forma de
116 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
onde as funções de interpolação e suas derivadas são definidas por
Então, a equação integral pode ser obtida multiplicando a equação diferencial pela função de interpolaçãof i e inte-
grando ao longo do domínio. Depois da integração por partes, temos
Após a reorganização,
Substituindo as três funções de interpolação, podemos obter três equações:
Desta forma, a equação matricial combinada se torna
Depois de eliminar a primeira linha e movendo a primeira coluna para o lado direito da equação depois de multipli- car poru15 1, temos
Resolvendo as equações anteriores, podemos calcular as soluções nodais desconhecidas e encontrar
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 117 As derivadas da aproximação anterior são constantes em cada elemento e valem
A solução da análise de elementos finitos é comparada com a solução exata na figura a seguir.
9. Seja o seguinte problema de valor de contorno:
(a) Ao serem usados dois elementos finitos de igual comprimento para fornecer uma aproximação do problema, escreva as funções de interpolação e suas derivadas.
(b) Calcule a solução aproximada usando o método de Galerkin. Solução:
Solução:
(a) No método local de Galerkin, a solução aproximada é dada na forma de
onde as funções de interpolação e suas derivadas são definidas por
118 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
Depois da integração por partes para o termo da derivada de segunda ordem, temos
A matriz dos coeficientes é calculada usando a Eq. (3.13), da seguinte forma:
Assim, a matriz dos coeficientes se torna
Usando a Eq. (3.14), o vetor do lado direito da equação pode ser calculado:
Desta forma, a equação matricial global se torna
Como o lado direito da primeira equação tem uma incógnita, eliminamos a primeira linha. Comou15 2, este valor
é multiplicado pela primeira coluna e movido para o lado direito da equação. Então, temos a seguinte equação ma- tricial global:
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 119 Portanto, a solução aproximada se torna
10. O problema de valor de contorno para uma viga biengastada pode ser escrito como
Quando for aplicada uma carga uniformemente distribuída, i.e., p( x )5 p0, calcule o abaixamento (deflexão)
aproximado da vigaw( x ), usando o método de Galerkin.
Sugestão: Admita o abaixamento (deflexão) aproximado como ( x )5cf ( x )5cx 2(12 x )2.
Solução: Solução:
Há apenas uma função de aproximação cuja segunda derivada se torna
Então, a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito da equação se tornam
Assim, a equação matricial se torna
Portanto, a solução aproximada fica sendo
11. O problema de valor de contorno para uma viga engastada e livre pode ser escrito como
Admita p( x )5 x . Admitindo o abaixamento aproximado na forma w( x ),5 c1f 1( x )1 c2f 2( x )5 c1 x 21 c2 x 3, resolva
o problema de valor de contorno usando o método de Galerkin. Compare a solução aproximada com a solução exata plotando ambas as soluções em um gráfico.
120 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
Solução: Solução:
(a) Solução exata: Integrando quatro vezes a equação diferencial de governo e aplicando as quatro condições de con- torno, podemos obter a solução exata como
(b) Método de Galerkin
Usando as segundas derivadas das duas funções de aproximação, 5 2, 5 6 x , podemos calcular a matriz dos coeficientes e o vetor no lado direito da equação, da seguinte forma:
Assim, a equação matricial se torna
Portanto, a solução aproximada fica sendo
A solução exata e a solução aproximada são mostradas na figura a seguir.
12. Repita o Problema 11 admitindo ( x )5 5c1 x 21c2 x 31c3 x 4.
Solução: Solução:
Usando as segundas derivadas das duas funções de aproximação, 5 2, 5 6 x , 5 12 x ², podemos calcular a matriz dos coeficientes e o vetor no lado direito da equação como
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 121
Desta forma, a matriz dos coeficientes se torna
Portanto, a solução aproximada fica
A solução aproximada é comparada com a solução exata na figura a seguir. Observe que a aproximação está muito próxima à solução exata, embora essa última seja de quinta ordem.
13. Considere o elemento finito com três nós, conforme a figura. Quando a solução é aproximada usandou( x )5
N 1( x )u11 N 2( x )u21 N 3( x )u3, calcule as funções de interpolação N 1( x ), N 2( x ) e N 3( x ).
122 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
Solução: Solução:
Como existem três nós disponíveis, podemos usar aproximação de segunda ordem da solução:
Impondo três soluções nodais, temos
Resolvendoa1,a2 ea3 em relação à solução nodal, temos
Desta forma, da relação de interpolação, temos
onde
14. Uma barra vertical de material elástico está fixa em ambas as extremidades com área de seção transversal cons- tante A, módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) E , e altura L sob a carga distribuída f por uni- dade de comprimento. O abaixamento verticalu( x ) da barra é determinado pela seguinte equação diferencial:
Usando três elementos de igual comprimento, encontre o valor deu( x ) e compare com a solução exata. Use os seguintes valores numéricos: A5 1024 m2, E 5 10 GPa, L5 0,3 m, f 5 106 N/m.
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 123
Solução: Solução:
(a) Solução exata: Da equação diferencial de governo,
com condições de contorno deu(0)5u( L)5 0. Integrando duas vezes a equação diferencial anterior e aplicando as condições de contorno para determinar as constantes de integração, temos
e a força axial (normal) se torna
Desta forma, as reações em ambas as extremidades podem ser encontradas com os valores de
124 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
Como todos os elementos possuem as mesmas propriedades, pode ser usada a mesma matriz de rigidez do elemen- to. O mesmo é verdade para as cargas distribuídas. A matriz de rigidez do elemento e as forças nodais equivalentes correspondentes à gravidade são
Então, a equação matricial combinada (montada) se torna
Como os Nós 1 e 4 estão fixos (u5 0), eliminamos a primeira e a última linhas e as colunas correspondentes da equa- ção anterior para obter a seguinte equação matricial global:
A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer os seguintes deslocamentos desconhecidos:
As forças nos elementos podem ser calculadas por
Reações:
As reações R1 e R4 podem ser encontradas a partir da primeira e da última linhas da equação matricial combinada,
da seguinte maneira:
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 125 15. Um componente de barra mostrado na figura está submetido a uma carga distribuídaq devida à gravidade. Para
o material linearmente elástico com módulo de elasticidade longitudinal E e área de seção transversal uniforme A, a equação diferencial de governo pode ser escrita como
ondeu( x ) é o deslocamento vertical para baixo. A barra é fixa no topo e livre na base. Usando o método de Ga- lerkin e dois elementos finitos de igual comprimento, responda às seguintes questões:
(a) Começando com a equação diferencial anterior, obtenha uma equação integral usando o método de Ga- lerkin.
(b) Escreva a expressão para as condições de contorno em x 5 0 e x 5 L. Identifique se elas são condições de contorno essenciais ou naturais.
(c) Obtenha a equação matricial de elementos finitos. Não resolva o problema.
Solução: Solução:
(a) Sejam os dois elementos definidos conforme a figura.
No método local de Galerkin, a solução aproximada é dada na forma de
126 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
Multiplicando a função de interpolação e integrando ao longo do domínio, temos
Após a integração por partes para o termo da segunda derivada, temos
(b) Como a barra está fixa em x 5 0,u(0)5 0 e é uma condição de contorno essencial. Em x 5 L, a deformação é zero porque
Como a deformação é a derivada do deslocamento, a segunda condição de contorno é
e é uma condição de contorno natural.
(c) A matriz dos coeficientes é calculada usando a Eq. (3.13), como
Desta forma, a matriz dos coeficientes se torna
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 127 Portanto, a equação matricial global se torna
16. Considere uma barra de seção circular variável. O comprimento da barra é de 1 m, e o raio varia conforme a funçãor ( x )5 0,0502 0,040 x , onder e x estão em metros. Admita o módulo de elasticidade longitudinal5 100 MPa. Ambas as extremidades da barra são fixas e uma carga uniformemente distribuída, de 10.000 N/m, é aplicada ao longo de todo o comprimento da barra. Determine os deslocamentos, a distribuição da força axial e as reações nas paredes usando:
(a) Três elementos de igual comprimento; (b) Quatro elementos de igual comprimento.
Compare seus resultados com a solução exata plotando as curvasu( x ) eP( x ) para os casos (a) e (b) e para a so- lução exata. Como os resultados dos elementos finitos para as reações RE e RD diferem da solução exata?
Sugestão: Para fazer a aproximação da área da seção transversal de um elemento de barra, use a média geomé- trica das áreas das extremidades do elemento,i.e., A(e)5 5pr ir j. A solução exata é obtida pela resolução
da seguinte equação diferencial com as condições de contornou(0)5 0 eu(1)5 0:
A distribuição da força axial é encontrada com base emP( x )5 A( x ) Edu / dx . As reações nas paredes são RE5 2P(0) e RD5P(1).
Solução: Solução:
(a) Solução com três elementos
Raios nos nós:r 15 0,0500,r 25 0,0367,r 35 0,0233,r 45 0,0100
Área dos elementos: A15 5,760E-3, A25 2,688E-3, A35 7,330E-4
128 Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais
Forças nodais equivalentes: {F 1 F 2 F 3 F 4}5 1.667{1 2 2 1}N
Montagem:
Como os Nós 1 e 4 são fixos, podemos eliminar as linhas e colunas correspondentes para chegar à seguinte equação matricial global:
Resolvendo a equação anterior a fim de encontrar as soluções nodais desconhecidas, vem
Da primeira e da última equações, as forças de reação podem ser encontradas usando os deslocamentos nodais cal- culados, como
As forças nos elementos podem ser calculadas por
(b) Solução de quatro elementos
Área dos elementos: A15 6,283e-3, A25 3,770e-3, A35 1,885e-3, A45 6,283e-4
Rigidez dos elementos:k 15 2,513e6,k 25 1,508e6,k 35 7,540e5,k 45 2,513e5
Forças nodais equivalentes: {F 1 F 2 F 3 F 4 F 5}51.250{1 2 2 2 1}N
Montagem:
Como os Nós 1 e 5 são fixos, podemos eliminar as linhas e colunas correspondentes para chegar à seguinte equação matricial global:
Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 129