Decomposição de séries temporais

Conforme um modelo clássico de séries temporais, a composição de tais séries dá-se pela soma ou multiplicação de três componentes: tendência, sazonalidade e aleatoriedade, sendo que o processo que visa a separação destes componentes, conhecido como decomposição de séries temporais (Chatfield, 2003; Morettin e Toloi, 2006), é apresentado na Equação 3.8.

𝑍𝑡= 𝑇𝑡+ 𝐶𝑡+ 𝐴𝑡 𝑡 = [1, ..., 𝑁 ] (3.8)

A Equação 3.8 apresenta um modelo de composição aditivo de uma série temporal, onde 𝑇𝑡é o componente de tendência, 𝐶𝑡é uma componente cíclica ou sazonal e, 𝐴𝑡uma componente

aleatória ou ruído. Também existe o modelo multiplicativo, apresentado na Equação 3.9.

𝑍𝑡= 𝑇𝑡.𝐶𝑡.𝐴𝑡 𝑡 = [1, ..., 𝑁 ] (3.9)

O modelo aditivo é indicado quando a sazonalidade não depende de outros componentes como a tendência, sendo que caso este componente apresente variações junto à tendência, o modelo multiplicativo é mais adequado (Morettin e Toloi, 2006). Entretanto, um modelo mul- tiplicativo pode ser transformado em aditivo (Morettin e Toloi, 2006; Yaffee e McGee, 2000) através de logaritmos para cada componente, onde 𝑍_𝑡′ = log 𝑍𝑡, 𝑇𝑡′ = log 𝑇𝑡e assim por diante,

conforme dado pela Equação 3.10.

𝑍_𝑡′ = 𝑇_𝑡′ + 𝐶_𝑡′+ 𝐴′_𝑡 𝑡 = [1, ..., 𝑁 ] (3.10)

3.3.1 Tendência

A tendência de uma série temporal indica o comportamento de longo prazo da série (Mo- rettin e Toloi, 2006). Voltando ao exemplo da Figura 3.1, é possível observar uma tendência de baixa durante os meses de janeiro e julho, os meses de julho a novembro apresentam uma tendência de alta e dezembro é um mês de indecisão.

Quando isolamos apenas o componente de tendência de uma série temporal é gerada uma nova série não-estacionária, o que pode dificultar o processo de análise. Um dos meios de transformar a série em estacionária é através da diferenciação, como apresentado anteriormente. Existem dois tipos de tendência: linear, que se limita a séries de apenas crescimento ou decrescimento; e polinomial para séries onde o comportamento é diversificado entre altas e baixas (Morettin e Toloi, 2006; Yaffee e McGee, 2000). As séries utilizadas neste trabalho serão de tendência polinomial.

Uma das formas de se obter a tendência polinomial é através da combinação de funções exponenciais (Morettin e Toloi, 2006), como apresentado na Equação 3.11:

𝑋𝑡 = 𝛽0+ 𝛽1𝑡 + ... + 𝛽𝑝𝑡𝑝 (3.11)

onde 𝑝 é o grau do polinômio (que deve ser menor que o número de amostras da série) e que pode ser obtido pelo método dos mínimos quadrados, que visa buscar o melhor ajuste para um conjunto de dados.

A Figura 3.5 ilustra a série temporal do índice IBovespa no ano de 2013, com duas ten- dências sobre o gráfico: de 3º grau (em vermelho) e 6º grau (em azul). Quanto maior o valor do grau aplicado na função de tendência polinomial, maior será o ajuste, porém, um valor de grau muito alto, pode afetar o comportamento de tendência.

3.3.2 Sazonalidade

Um dos componentes de uma série temporal é a sazonalidade, que é definida pela re- petição do comportamento da série em um intervalo igual de tempo, ou seja, é a presença de fenômenos que ocorrem em certa hora, todos os dias, ou em certo dia da semana, todas as semanas (Chatfield, 2003; Yaffee e McGee, 2000). A sazonalidade pode estar atrelada a uma tendência crescente ou decrescente, ou seja, o comportamento de repetição da série temporal pode apresentar crescimento ou decrescimento (Morettin e Toloi, 2006).

jan mar mai jul set nov jan

45000

50000

55000

60000

Série temporal de índice IBovespa − 2013

Dias

Cotação (P

ontos)

Figura 3.5: Exemplo de tendências de grau 3 (vermelho) e grau 6 (azul) da série temporal de cotações diárias do índice IBOVESPA no ano de 2013.

afetadas por eventos específicos, como por exemplo, férias escolares, festas de final de ano, eventos esportivos, entre outros, que também são conhecidos por ciclos sazonais (Morettin e Toloi, 2006). A Figura 3.6 apresenta uma série temporal de número de passageiros mensais em uma empresa de transporte aéreo entre 1949 e 1960, presente no programa R (R Core Team, 2015). Esta série apresenta uma sazonalidade crescente. Observando a Figura 3.6, nota-se uma tendência crescente conforme o avanço dos anos e uma sazonalidade de alta com um pico elevado no final de cada ano, provavelmente ligado a um período festivo.

3.3.3 Aleatoriedade

Quando os componentes de tendência e sazonalidade são removidos de uma série tem- poral, sobra o componente de aleatoriedade ou residual da série temporal, ou seja, a parte não explicada da série (Chatfield, 2003; Morettin e Toloi, 2006). A aleatoriedade trata-se de um pro- cesso estocástico puramente aleatório, também conhecido como ruído branco (Morettin e Toloi, 2006), que pode ser estacionário. Por apresentar um comportamento completamente aleatório, outra característica deste componente é que ele não pode ser previsto (Chatfield, 2000).

Quando uma análise gráfica é realizada em uma série temporal e são notadas observações discrepantes (outliers) em certos pontos da série, tais observações podem ser devido ao compo- nente de aleatoriedade. A Figura 3.7 ilustra a decomposição completa de uma série temporal, onde cada componente é exibido isoladamente.

Na Figura 3.7 é apresentada a realização da decomposição de um modelo aditivo, através de uma série temporal mensal de janeiro de 2003 até dezembro de 2013 do índice IBovespa

Passageiros Tempo Nº de passageiros 1950 1952 1954 1956 1958 1960 100 200 300 400 500 600

Figura 3.6: Série temporal com sazonalidade crescente (com amplitude) de passageiros mensais em uma empresa de transporte aéreo.

(BM&F Bovespa, 2015). A primeira parte do gráfico ilustra as observações originais da série, seguida pela série com cada componente isolado de tendência, sazonalidade e aleatoriedade.

Ao observar a Figura 3.7, temos a decomposição aditiva de uma série temporal, onde cada componente é isolado em um gráfico à parte. No primeiro quadro a série original do índice IBovespa. No segundo gráfico, a tendência da série temporal, que apresenta uma versão mais suave indicando o movimento da série. No terceiro quadro, temos a sazonalidade isolada, um movimento comum durante toda a série. Por fim, temos a aleatoriedade, a parte não explicada da série temporal.

A soma de cada ponto da série dos três componentes, tendência, sazonalidade e aleatorie- dade, irá resultar na série original, conforme indicado na Equação 3.8. Além disso, é possível em séries multiplicativas, a multiplicação de cada ponto dos três componentes, conforme indicado na Equação 3.9.