Definição do Tamanho dos Bancos Poliméricos

O tamanho dos bancos poliméricos é um fator crucial para que um projeto de injeção polímeros seja bem-sucedido (Wang et al., 2008). Claridge (1978) desenvolveu um modelo analítico com intuito de estabelecer o tamanho dos bancos poliméricos durante um processo de gradação viscosa de modo a manter as digitações viscosas sob controle. A elaboração deste modelo é uma resposta às formulações obtidas por Chuoke (1959) e Perrine (1961), as quais definiam o tamanho dos bancos com intuito de minimizar as digitações viscosas. Embora as digitações viscosas sejam praticamente eliminadas a partir das formulações de Chuoke (1959) e Perrine (1961), o comprimento resultante dos bancos é exageradamente grande, sendo inviável em situações de campo (CLARIDGE, 1978).

O desenvolvimento do modelo de Claridge (1978) dá-se em um ponto específico do processo, denominado ponto de modelagem. Claridge (1978) partiu da simplificação de que este ponto é atingido quando todos os fluidos móveis iniciais foram deslocados do reservatório, do ponto de injeção até a frente de polímero. De acordo com o autor, caso o óleo móvel tenha

sido deslocado por uma frente instável (M>1), as digitações entre o primeiro banco e o óleo já atingiram o final do sistema. Assim, a razão de mobilidade (M0) entre o primeiro banco e o óleo

deve ser levada em conta no momento do cálculo do volume do primeiro banco.

Além disso, outra simplificação adotada por Claridge (1978) é de que, no ponto de modelagem, as zonas de digitação ocorrem à jusante e à montante de cada banco intermediário e não se contatam. A Figura 2.13 ilustra o aspecto do ponto de modelagem em um sistema linear composto de 5 bancos.

A partir destas simplificações, o fator Kk, elaborado por Koval (1963), pode ser aplicado

para cada zona de digitação durante o processo de gradação viscosa. Koval (1963) propôs uma maneira de representar deslocamentos miscíveis instáveis através das equações de fluxo fracionário, desenvolvidas por Buckley-Leverett (1942). Com este intuito, o autor desenvolveu uma relação empírica a fim de corrigir a razão viscosa na equação de fluxo fracionário. Esta relação empírica, conhecida como fator Kk, é expressa na equação 2.9.

𝐾_𝑘 = 𝐻 ∗ 𝐸 (Equação 2.9)

Figura 2.13:Exemplo do processo de gradação viscosa, com 5 bancos, no ponto de modelagem (Claridge, 1978).

onde H representa os efeitos das heterogeneidades do meio poroso e E a razão de viscosidade efetiva, que leva em conta a viscosidade do fluido contido na zona de digitação, resultante da mistura entre o fluido deslocado e o deslocante, e viscosidade do fluido deslocado. Desta forma, por meio desta relação empírica são considerados fatores cruciais à estabilidade de um deslocamento miscível, isto é, a razão viscosa entre os fluidos e o grau de heterogeneidade do meio poroso.

Para determinar a razão de viscosidade efetiva (E), Koval (1963) utilizou uma equação de mistura, na qual é possível relacionar as viscosidades dos fluidos deslocante e deslocado (V) e a viscosidade do fluido resultante da mistura entre eles. As frações volumétricas dos fluidos deslocado e deslocante na zona de mistura foram determinadas como sendo 78 e 22%, respectivamente. A base para a suposição destes valores foi um ajuste bem-sucedido do modelo desenvolvido por Koval com dados experimentais provindos de deslocamento miscíveis instáveis. A equação 2.10 apresenta a formulação referente à razão de viscosidade efetiva (E) obtida por Koval.

𝐸 = (0.78 + 0.22 ∗ (𝑉)14₎ 1

4 _{(Equação 2.10)}

onde V é a razão viscosa entre o fluido deslocado e o deslocante. Em um processo de gradação viscosa, isso resulta em diferentes fatores Kk para cada zona de digitação.

O resultado do equacionamento desenvolvido por Koval (1963) demonstra que, na irrupção, a fração de volume poroso injetado (PVinj) é 1/Kk1. Caso o deslocamento apresente uma razão

de mobilidade desfavorável, 1/Kk1 corresponderá ao PVinj necessário para deslocar a digitação

viscosa mais longínqua. Assim sendo, no ponto de modelagem, constata-se que esta fração de volume poroso equivale a X1/L. Além disso, o equacionamento de Koval (1963) também prediz

que o PVinj necessário para deslocar completamente a zona de digitação viscosa é equivalente

a Kk1. No ponto de modelagem, Kk1 pode ser definido como sendo X1/X2 A partir das relações

descritas, tem-se as equações 2.11 e 2.12.

1 𝐾𝑘1 =𝑋1 𝐿 (Equação 2.11) 𝐾_𝑘1= 𝑋1 𝑋₂ (Equação 2.12)

onde L, X1 e X2 correspondem ao ponto final do sistema, ponto médio da digitação viscosa

entre o banco 1 e 2, e ao ponto médio do banco 2, respectivamente. Kk1 é o fator de Koval

(1963) para a zona de digitação entre os bancos 1 e 2.

As relações aplicadas para a zona de digitação entre o primeiro e o segundo banco também podem ser utilizadas para a zona de digitação entre o segundo e o terceiro banco, conforme apresenta as equações 2.13 e 2.14.

1 𝐾_𝑘2 = 𝑋3 𝑋₂ (Equação 2.13) 𝐾𝑘2 = 𝑋₄ 𝑋₃ (Equação 2.14)

onde X3, X4 e KK2 representam o ponto médio da digitação viscosa entre o banco 2 e 3, o ponto

médio do banco 3 e o fator de Koval para a zona de digitação entre os bancos 2 e 3, respectivamente. Por meio da Figura 2.13, constata-se que o volume do banco 2 (VB2) pode

ser aproximado pela equação 2.15:

𝑉𝐵2 =

𝑋1− 𝑋3

𝐿 (Equação 2.15)

Assim, manipulando as equações 2.11, 2.12, 2.13 e 2.15, tem-se o equacionamento da fração de volume poroso referente ao volume do banco 2 em função somente dos fatores do Kk

(Equação 2.16). Esta modelagem pode ser aplicada aos outros bancos do processo de gradação viscosa, resultando assim em um equacionamento geral, expresso pela equação 2.17.

𝑃𝑉𝑖𝑛𝑗−2 = [( 1 𝐾𝑘1 − ( 1 𝐾_𝑘12 _{∗ 𝐾} 𝑘2 )] (Equação 2.16) 𝑃𝑉𝑖𝑛𝑗−𝑚 = (𝐾_𝑘𝑚∗ (𝐾_𝑘𝑚∗ 𝐾_𝑘𝑚−1− 1) (𝐾𝑘1∗ 𝐾𝑘2∗ 𝐾𝑘3∗ 𝐾𝑘4… 𝐾𝑘𝑚)2 (Equação 2.17)

Ressalta-se que Claridge (1978) considerou o parâmetro H como sendo igual a 1, ou seja, o meio poroso no ponto de modelagem é homogêneo. Desta forma, o fator Kk é somente

função da razão de viscosidade efetiva E.

Devido às particularidades de cada sistema, o fato Kk pode apresentar uma abordagem

diferente àquela dada por Koval (1963), principalmente no que se refere à razão de viscosidade efetiva (E). O equacionamento utilizado para E desenvolvido por Koval (1963) pode resultar em valores incorretos quando aplicada à injeção de bancos de gradação polimérica. A relação viscosidade/composição entre as soluções poliméricas difere da utilizada por Koval, na qual o autor baseou-se em deslocamentos miscíveis sob condições de mistura decorrente da difusão molecular. De acordo com Ligthelm (1988), a mistura das soluções polimérica in situ é regida por dispersão convectiva ao invés da difusão molecular.

Diante disso, Ligthelm (1988) levantou experimentalmente valores do fator Kk a partir

da injeção de bancos poliméricos e solução salina, e os comparou com as diferentes modelagens para o mesmo fator. Além da modelagem dada por Koval (1963), os resultados experimentais do fator Kk também foram comparados às modelagens de Todd & Longstaff (1972) e Claridge

& Lightelm (1988). A Tabela 2.2 apresenta as formulações do fator Kk obtidas por cada um

destes autores.

Tabela 2.2: Modelagens do fator Kk

Autores Abordagem do Fator Kk -

Formulação Koval (1963) 𝐾𝑘 = (0.78 + 0.22 ∗ 𝑉 1 4₎ 1 4

Todd & Longstaff (1972) 𝐾𝑘 = 𝑉

2 3

Claridge & Ligthelm (1988) _𝐾

𝑘= (0.5 + 0.5 ∗ 𝑉 1 4₎

1 4

Como resultado desta comparação, Ligthelm chegou a uma nova formulação para Kk

(Equação 2.18). Esta formulação foi a que melhor se adaptou aos dados experimentais levantados, conforme apresenta a Figura 2.14.

𝐾_𝑘 = √𝑉 (Equação 2.18)