Defini¸c˜ao proposta por Budeanu (1927)

O m´etodo proposto por Budeanu em 1927 para o c´alculo de potˆencia [18], ainda ´e a base dos conceitos mais aceitos e utilizados pelos engenheiros el´etricos do mundo inteiro, seja no universo acadˆemico, nas concession´arias de energia ou na ind´ustria. Originalmente, tal m´etodo foi proposto para sistemas monof´asicos.

A proposta baseia-se na defini¸c˜ao das seguintes parcelas de potˆencia:

S2 = P2+ Q2B+ D2B, (2.1)

sendo S ´e a Potˆencia Aparente definida por:

S =

∞

X

h=1

VhIh, (2.2)

e Vh e Ih s˜ao as tens˜oes e correntes eficazes (rms - root mean square) da componente harmˆonica

h: Vh = s 1 Th Z Th 0 v2 hdt Ih = s 1 Th Z Th 0 i2 hdt , (2.3)

sendo Th o per´ıodo da onda em uma dada freq¨uˆencia (fh) e v e i s˜ao as tens˜oes e correntes

instantˆaneas.

Assim, S deveria representar a m´axima capacidade de gera¸c˜ao ou transmiss˜ao de energia em um dado sistema el´etrico, com uma carga que consumisse uma Potˆencia Ativa m´edia P, dada por: P = ∞ X h=1 (Ph) = ∞ X h=1 VhIhcos φh, (2.4)

e ainda demandasse na forma de campos eletromagn´eticos, uma dada Potˆencia Reativa QB:

QB = ∞ X h=1 (Qh) = ∞ X h=1 VhIhsin φh, (2.5)

sendo esta, ortogonal `a Potˆencia Ativa, por defini¸c˜ao. Deve-se observar que o termo Potˆencia Reativa, aqui ´e definido usando todo o conte´udo harmˆonico dos sinais. O ˆangulo φh ´e a defasa-

Budeanu tamb´em definiu a parcela de potˆencia DB, a qual foi denominada de Potˆencia

Distorciva e seria expressa pela combina¸c˜ao quadr´atica:

DB =

q

S2_{− P}2_{− Q}2

B. (2.6)

A Potˆencia Distorciva ´e constitu´ıda por produtos cruzados de tens˜oes e correntes harmˆonicas, de diferentes ordens e s´o ser´a zero se as componentes harmˆonicas forem nulas. DB ´e uma for-

mula¸c˜ao matem´atica que fecha o chamado “tetraedro de potˆencias”.

A proposta de Budeanu ´e bastante interessante em se tratando da compreens˜ao da existˆencia de uma parcela de potˆencia que cont´em os efeitos distorcivos do sistema em an´alise. Entretanto, uma vez que DB n˜ao parte diretamente dos sinais reais (mensur´aveis) das tens˜oes e correntes,

depara-se com alguns problemas quando da sua implementa¸c˜ao em sistemas de medi¸c˜ao, an´alise ou compensa¸c˜ao de energia.

A) Principais dificuldades e inconsistˆencias do m´etodo

Uma das grandes dificuldades na implementa¸c˜ao do m´etodo de Budeanu, ´e baseada na orto- gonalidade entre as defini¸c˜oes das potˆencias ativa e reativa. Existe a necessidade de decompor as tens˜oes e correntes medidas em componentes ortogonais (seno e cosseno), o que pode ser feito com facilidade para sinais puramente senoidais, mas no caso da presen¸ca de distor¸c˜oes, se torna uma tarefa complexa, principalmente porque deveria ser feita para cada freq¨uˆencia, indepen- dentemente. Considerando que as ferramentas computacionais hoje dispon´ıveis, simplesmente n˜ao existiam quando da proposta de Budeanu, pode-se imaginar a dificuldade da aplica¸c˜ao do m´etodo proposto. Outra importante observa¸c˜ao sobre esta teoria ´e que por tratar-se de um equacionamento no dom´ınio da freq¨uˆencia (atrav´es de S´erie e Transformada de Fourier), pressup˜oe periodicidade nos sinais envolvidos.

Al´em disto, em determinados casos a utiliza¸c˜ao do m´etodo de Budeanu poderia resultar em inconsistˆencias, como no caso de um circuito linear puramente reativo, sendo alimentado por uma tens˜ao distorcida. Neste caso as correntes tamb´em ser˜ao distorcidas, mas DB indicar´a um

valor igual a zero, como discutido em [50]. A falta de associa¸c˜ao das componentes de potˆencia, com os fenˆomenos f´ısicos que as originam, bem como o fato desta proposta ter sido desenvolvida para sistemas monof´asicos, s˜ao algumas outras limita¸c˜oes do m´etodo.

No contexto das propostas de teoria de potˆencia, um outro ponto fundamental ´e a aplica¸c˜ao de tais teorias no projeto de compensadores de energia capazes minimizar as perdas do sistema el´etrico, sejam eles passivos ou n˜ao. Um dos objetivos mais perseguidos tem sido o c´alculo de parcelas de potˆencia que pudessem ser diretamente associadas com as perdas e eliminadas atrav´es de algum tipo de compensador, sem influir no valor das outras parcelas de potˆencia.

No caso da teoria de Budeanu, principalmente pelo fato de n˜ao isolar as correntes ativas e reativas das correntes harmˆonicas, tal objetivo n˜ao ´e facilmente atingido. Por exemplo, elimi- nando as correntes harmˆonicas, estar´ıamos alterando o valor das potˆencias ativa e reativa. Por outro lado, uma vez que a potˆencia reativa QB pode ser composta por tens˜oes e correntes de

por exemplo, bancos de capacitores.

Entretanto, sabendo que o m´etodo de Budeanu ´e provavelmente o mais difundido e utilizado na engenharia el´etrica, fica uma pergunta: Como pode tal m´etodo ter sido adotado e utilizado com bons resultados?

B) Simplifica¸c˜oes e Teoria Convencional

Na verdade a melhor resposta ´e que simplifica¸c˜oes foram feitas no equacionamento anterior, de forma que apenas as componentes de freq¨uˆencia fundamental fossem consideradas. E ´e fato que tal simplifica¸c˜ao era v´alida e extremamente ´util at´e algumas d´ecadas atr´as, quando as dis- tor¸c˜oes de corrente e principalmente de tens˜ao, podiam ser desprezadas. Assim:

P1 = V1I1cos φ1, (2.7) QB1 = V1I1sin φ1, (2.8) S1 = V1I1 = q P2 1 + Q2B1. (2.9)

Neste sistema senoidal, o tetraedro de potˆencias ´e reduzido para o famoso “triˆangulo de potˆencias”, onde DB = 0 (vide Figura 2.1). Agora sim, o valor de QB1 poderia ser usado para

o projeto de um compensador de energia passivo (capacitivo ou indutivo).

P

Q

S

Figura 2.1: Triˆangulo de potˆencias: simplifica¸c˜ao da teoria de Budeanu.

Outra defini¸c˜ao extremamente importante em sistemas puramente senoidais, como os des- critos pelo equacionamento anterior, ´e o fator de potˆencia:

F P = P1 S1

= cos φ1, (2.10)

o qual nestas condi¸c˜oes tamb´em ´e conhecido como fator de deslocamento ou simplesmente cos φ1.

Mesmo n˜ao tendo sido proposto pela primeira vez por Budeanu [30], o fator de potˆencia tem sido utilizado em conjunto com suas defini¸c˜oes e aplicado a tarifa¸c˜ao de energia ou mesmo para projeto de instala¸c˜oes e sistemas de potˆencia (por exemplo, projeto de cabos e transformadores).

Al´em da considera¸c˜ao de sinais senoidais, outra simplifica¸c˜ao bastante utilizada para siste- mas multi-dimensionais, ´e a de sistemas equilibrados. Assim, os valores de P , QB e S, para

sistemas trif´asicos por exemplo, podem ser definidos como:

P13φ = 3V1fI1cos φ1, (2.11)

QB13φ = 3V1fI1sin φ1, (2.12)

S13φ = 3V1fI1, (2.13)

onde o ´ındice f representa tens˜oes de fase.

Nos sistemas el´etricos atuais, onde distor¸c˜oes de forma de onda e assimetrias est˜ao quase sempre presentes, as simplifica¸c˜oes acima discutidas perdem sua validade e as equa¸c˜oes originais, as quais contemplam todo o espectro harmˆonico, deveriam ser utilizadas em conjunto com algum tipo de adapta¸c˜ao para sistemas polif´asicos assim´etricos, como por exemplo as defini¸c˜oes de m´edias aritm´eticas ou geom´etricas propostas pelo IEEE Standard Dictionary e discutidas em [51]. Entretanto, tem-se constatado e discutido que tais simplifica¸c˜oes ou modifica¸c˜oes n˜ao produzem resultados confi´aveis nos sistemas el´etricos atuais e deveriam ser abandonadas [19, 51, 52, 53, 54] e substitu´ıdas por novas abordagens [26, 34, 55, 56, 57, 58, 59].

C) Sistemas convencionais de medi¸c˜ao de energia

Apesar das cr´ıticas e inconsistˆencias, tal proposta segue sendo utilizada. A grande maioria dos medidores de energia instalados em todo o mundo utiliza os conceitos de Budeanu, no entanto, vale ressaltar, que s˜ao em vasta escala, equipamentos passivos e anal´ogicos (baseados em princ´ıpios eletromagn´eticos) que consideram apenas as parcelas fundamentais da tens˜ao e corrente (simplifica¸c˜ao discutida).

Uma pequena parcela de medidores modernos ou os denominados Monitores de QEE, com processamento digital de sinais, efetuam o equacionamento completo de Budeanu atrav´es da FFT (Fast Fourier Transform), mas tamb´em n˜ao est˜ao isentos de erros de interpreta¸c˜ao intr´ınsecos a esta defini¸c˜ao.

No caso dos medidores digitais, dado a falta de normaliza¸c˜ao espec´ıfica sobre este assunto, principalmente no que tange aos algoritmos utilizados, destaca-se que n˜ao ´e raro encontrar equipamentos, ditos baseados no princ´ıpio de Budeanu, nos quais o m´etodo ´e aplicado de forma totalmente equivocada. Entre os erros mais comuns est´a o m´etodo de obten¸c˜ao do valor eficaz, utilizando rela¸c˜oes v´alidas apenas para formas senoidais.

Baseado em tais discuss˜oes, em 1987 Czarnecki propˆos o abandono total do m´etodo de Budeanu [19]. As pr´oximas se¸c˜oes deixam claro que esta tamb´em ´e a opini˜ao defendida neste trabalho, principalmente porque m´etodos mais rigorosos vˆem sendo desenvolvidos por v´arios outros autores ou grupos de pesquisa internacionais.