Defini¸c˜ao proposta por Willems (1992)

Willems prop˜oe uma adequa¸c˜ao `a teoria apresentada por Akagi et al., mas sem a neces- sidade de transforma¸c˜oes de eixos ou qualquer tipo de restri¸c˜ao quanto aos sinais de tens˜ao e corrente ou n´umero de fases do sistema el´etrico [44, 91, 37]. Especial aten¸c˜ao ´e dada aos sistemas trif´asicos com quatro fios.

O equacionamento proposto por Willems e suas contribui¸c˜oes em torno da teoria de potˆencias instantˆaneas descrita a seguir, s˜ao de extrema importˆancia no contexto deste trabalho de dou- torado.

Partindo de uma an´alise vetorial das grandezas el´etricas e considerando que a potˆencia instantˆanea polif´asica transmitida para o sistema ´e expressa pelo produto escalar dos vetores instantˆaneos de tens˜ao e corrente:

v =   va vb vc   i =   ia ib ic   . (2.130)

Assim,

p3φ= v · i, (2.131)

onde p3φ ´e uma referˆencia `a potˆencia instantˆanea em um sistema trif´asico. Define-se ip como

sendo a proje¸c˜ao do vetor i sobre o vetor v . Pelas propriedades da ´algebra vetorial, o vetor ip

´e proporcional a v , de forma que:

v_{· i = v · i}p. (2.132)

Com isso, chega-se a uma express˜ao muito semelhante `a definida, independentemente, por Tenti et al., a qual utilizava os conceitos de Multiplicador de Lagrange e norma instantˆanea:

ip =

v_{· i} kvk2.v =

p3φ

kvk2.v , (2.133)

destacando que n˜ao existem restri¸c˜oes quanto aos vetores v e i . Esta equa¸c˜ao tamb´em pode ser associada `a defini¸c˜ao de Fryze, no entanto aqui tamb´em s˜ao usados somente valores ins- tantˆaneos.

A corrente calculada pela diferen¸ca:

iq = i − ip (2.134)

´e ortogonal `a v , satisfazendo as seguintes propriedades:

v_{· i}q = 0; (2.135)

kik2 = kipk2+ kiqk2. (2.136)

Willems decomp˜oe as correntes instantˆaneas em dois vetores ortogonais entre si, um pro- porcional `a tens˜ao e outro ortogonal. O vetor ip ´e definido como corrente ativa instantˆanea e

corresponderia ao fluxo de energia entre fontes e cargas, enquanto o vetor iq ´e definido como

corrente n˜ao-ativa instantˆanea e n˜ao contribui para a transferˆencia de potˆencia:

i = ip+ iq. (2.137)

Estas duas parcelas de corrente cont´em a mesma informa¸c˜ao das correntes ativa e reativa definidas por Akagi at al., mas neste caso sem a necessidade do c´alculo das potˆencias reais e imagin´arias e das transforma¸c˜oes de eixos.

Em analogia com a Teoria pq, a potˆencia real instantˆanea ´e definida diretamente por p3φ e

a potˆencia imagin´aria instantˆanea ´e definida como o vetor resultante do produto vetorial:

q _{= v × i} (2.138)

e sua magnitude pode ser calculada com a norma instantˆanea:

Com isto pode-se definir a potˆencia aparente instantˆanea (s) como sendo:

s = kvk.kik, (2.140)

onde

s2 _{= p}2

3φ+ kqk2. (2.141)

Assim como na Teoria pq, a potˆencia imagin´aria representa uma parcela de potˆencia, por- tanto de corrente (iq), que circula entre as fases do sistema sem participar da transferˆencia de

energia para as cargas. Sendo que do ponto de vista de compensa¸c˜ao, a estrat´egia de compensar iq, sem elementos armazenadores de energia, para redu¸c˜ao nas perdas do sistema tamb´em ´e

v´alida.

A) Vantagens

Dentre as vantagens atribu´ıdas pelo autor a esta proposta, destacam-se:

• n˜ao se restringe ao sistema trif´asico, e assim poderia ser aplicada a qualquer sistema polif´asico, inclusive ao monof´asico (n˜ao demonstrado nas referˆencias);

• n˜ao faz restri¸c˜oes quanto aos sinais de tens˜ao e corrente envolvidos, nem mesmo sobre sua periodicidade;

• ´e desenvolvida diretamente atrav´es das vari´aveis instantˆaneas originais, sem necessidade da transforma¸c˜ao de eixos;

• ´e baseada num equacionamento simples e bem definido, atrav´es de conceitos cl´assicos da ´algebra vetorial.

Vale ressaltar que uma das discuss˜oes de Willems em rela¸c˜ao `as defini¸c˜oes de Akagi et al. refere-se `a possibilidade de correntes de seq¨uˆencia zero i0 influenciarem no valor de q .

De acordo com Akagi e seus co-autores, seq¨uˆencia zero s´o contribui para o valor da potˆencia real instantˆanea. Entretanto, Willems cita o exemplo de um sistema com tens˜oes equilibradas (v0 = 0), mas com correntes desequilibradas (i0 6= 0) e afirma que neste caso a corrente de

seq¨uˆencia zero contribui para o valor de iq, mesmo para cargas resistivas. Este assunto vem

sendo estudado em outros trabalhos e o maior problema parece ser o nome associado `as correntes iq, as quais n˜ao podem ser confundidas com a nomenclatura convencional para corrente reativa.

Mais adiante este assunto ser´a retomado.

B) Discuss˜ao ´

E importante observar que n˜ao havendo restri¸c˜oes na defini¸c˜ao de corrente ativa (2.133), no caso de um sistema com tens˜oes assim´etricas, a corrente ativa instantˆanea ip, projetada sobre

a tens˜ao, guarda uma dada proporcionalidade, mas deixa de ter a mesma forma de onda. Tal propriedade foi abordada em [71, 88] e ser´a retomada no pr´oximo cap´ıtulo.

Esta ´ultima afirma¸c˜ao significa que a compensa¸c˜ao de iq reduz as perdas do sistema, mas

torna-se necess´ario um equacionamento um pouco mais detalhado, com intuito de encontrar a m´ınima parcela de corrente necess´aria para manter o fluxo m´edio de energia entre as fontes e cargas do sistema [58, 59, 71].

Inspirado em trabalhos como [35, 58], o pr´oprio Willems fez algumas modifica¸c˜oes em seu equacionamento inicial [74, 91, 92] para tentar expandir as propostas de seu trabalho inicial e associ´a-las a componentes fundamentais, harmˆonicas e de seq¨uˆencia positiva, negativa e zero (abordagem semelhante `a que ser´a discutida para a proposta de teoria unificada). Tamb´em vale ressaltar os trabalhos recentes do autor a respeito das defini¸c˜oes de potˆencia aparente e da influˆencia do referencial adotado para as medidas de tens˜oes [41, 85].