Defini¸c˜oes e Nota¸c˜oes Usadas Pelo Algoritmo

A seguir s˜ao apresentadas importantes defini¸c˜oes e nota¸c˜oes que s˜ao usadas pelo algoritmo de diagn´ostico proposto para sistemas de topologia arbitr´aria.

Defini¸c˜ao 1: Um caminho (ou path) em G, P[v0, vz] = hv0, vi, . . . , vzi onde {v0, vi, . . . , vz} ⊆V, ´e uma sequˆencia de v´ertices distintos tal que qualquer par de v´ertices consecutivos s˜ao adjacentes; v0 e vz s˜ao respectivamente os v´ertices inicial e final do ca-minho.

Defini¸c˜ao 2: G^′ = (V^′, E^′) ´e um subgrafo de G= (V, E)induzido porV^′, denotado por G[V^′] , se E^′ ={(u, v)∈E |u, v ∈V^′}.

Defini¸c˜ao 3: Seja um componente conexo m´aximo (ou maximal connected component) de um grafo n˜ao direcionado G = (V, E), um subgrafo Gx = (Vx, Ex) onde Vx ⊆ V, Ex = {(j, k) ∈E | j, k ∈ Vx} tal que qualquer par de v´ertices va, vb ∈ Vx s˜ao conectados um ao outro por pelo menos um caminho P[va, vb] e n˜ao existe nenhum par de v´ertices v_x, v_y tal que v_x ∈V_x, v_y ∈V −V_x e existe a aresta (v_x, v_y)∈E.

Neste trabalho um componente conexo m´aximo de um grafo G ´e chamado simples-mente de um componente de G.

Defini¸c˜ao 4: Considerando o grafo G = (V, E), seja GZ = (V −Z, EZ) o subgrafo resultante da remo¸c˜ao de um conjunto de v´ertices Z de V, Z ⊂ V e EZ ={(j, k)∈ E | j, k ∈V −Z}. G_Z pode conter mais de um componente conexo.

Defini¸c˜ao 5: ξ(G) e |ξ(G)| representam respectivamente o conjunto e o n´umero de componentes maximais do grafo G. Al´em disso, ξm(G) representa um dos componentes maximais de G, e 1≤m≤ |ξ(G)|.

Defini¸c˜ao 6: Seja o conjuntoF Fi (Fault-Free set as seen by uniti, ou conjunto das uni-dades sem-falha pela vis˜ao da unidadei), 1≤i≤N, definido como segue: ser((j, k)i) = 0 ent˜ao j, k ∈F Fi.

Por esta defini¸c˜ao, F Fi ´e o conjunto das unidades onde pelo menos uma das com-para¸c˜oes realizadas pela unidade testadora iresultaram em igualdade. Se a unidade ifor sem-falha, o conjunto F F_i cont´em as unidades sem-falha que s˜ao vizinhas de i.

Defini¸c˜ao 7: Seja o conjuntoF_i (Falty set as seen by unit i, ou conjunto das unidades falhas pela vis˜ao da unidade i), 1 ≤ i≤ N, definido como segue: se r((j, k)i) = 1 e k ∈ F Fi ent˜ao j ∈Fi.

Por esta defini¸c˜ao, Fi ´e o conjunto de unidades j tal que pelo menos uma das com-para¸c˜oes executadas pela unidade isobre j e qualquer outra unidade k∈F Fi resultaram em diferen¸ca. Se a unidade i est´a sem falha e |F F_i|> 0, ent˜ao o conjunto Fi cont´em as unidades falhas que s˜ao vizinhas de i.

Note que se a unidade comparadoraiest´a sem falha, ent˜aoF Fi∩F_i =∅, caso contr´ario, se a comparadora i ´e uma unidade falha, suas compara¸c˜oes podem ser inconsistentes e uma situa¸c˜ao onde F Fi∩Fi 6=∅ pode ocorrer.

Defini¸c˜ao 8: O conjunto F F_i^⋄, 1 ≤ i ≤ N, ´e definido como segue: se i ∈ F Fv ent˜ao v ∈F F_i^⋄.

Defini¸c˜ao 9: O conjuntoF_i^⋄, 1≤i≤N, ´e definido como segue: sei∈Fv ent˜aov ∈F_i^⋄. A partir das duas defini¸c˜oes acima, os conjuntos F_i^⋄ e F F_i^⋄ representam as unidades comparadoras que consideram a unidadeicomo sendo falha e sem-falha, respectivamente.

Defini¸c˜ao 10: CompF Fi,j ´e um conjunto com trˆes unidades {i, j, k} tal que

∃r((j, k)_i) = 0.

Defini¸c˜ao 11: CompFi,j ´e um conjunto com trˆes unidades{i, j, k}tal que ∃r((j, k)_i) = 1 e k ∈F F_i.

Em outras palavras, dada qualquer uma das compara¸c˜oes realizadas pela unidade i tal que r((j, k)i) = 0, CompF Fi,j ´e o conjunto das trˆes unidades desta compara¸c˜ao, isto

´e, CompF Fi,j ={i, j, k}.

De forma an´aloga, CompFi,j representa as trˆes unidades em qualquer uma das com-para¸c˜oes realizadas por i onde r((j, k)_i) = 1 e k ∈F F_i.

Defini¸c˜ao 12: O conjuntoPi (Pending set as seen by unit i, ou conjunto das unidades pendentes pela vis˜ao da unidade i), 1≤ i≤N, ´e definido como segue: se ∄r((j, k)i) = 0 onde j, k ∈N(i) ent˜ao Pi =N(i), caso contr´arioPi =∅.

Esta defini¸c˜ao indica que Pi cont´em todos os vizinhos da unidade comparadora i somente quando todas as compara¸c˜oes realizadas por i resultaram em diferen¸ca. Em outras palavras, n˜ao ´e poss´ıvel concluir qualquer coisa sobre o estado das unidades vizinhas de i usando apenas estas compara¸c˜oes realizadas por i. Esta situa¸c˜ao ocorre quando F Fi = ∅ (e consequentemente tamb´em Fi = ∅). Se ao menos uma das compara¸c˜oes executadas por i resultar em igualdade, ent˜ao ´e poss´ıvel notar que todos os vizinhos dei s˜ao inseridos em um dos conjuntosF Fi ouFi, isto ´e,F Fi∪Fi =N(i). Neste caso Pi =∅.

Defini¸c˜ao 13: O conjuntoF F_i^′ ´e definido como segue: i est´a sempre em F F_i^′;j ∈F F_i^′ se existe pelo menos um caminho P[i, j] da unidade ipara a unidadej tal que para todo par de v´ertices distintos e consecutivos (v1, v2) emP[i, j], v2 ∈F Fv1.

Em outras palavras, se a unidade i est´a sem-falha, F F_i^′ cont´em i e tamb´em toda unidade sem-falha j para as quais existe um caminho P[i, j], caminho este que consiste apenas de unidades sem-falha. Al´em disso seiest´a sem-falha ent˜ao|F F_i^′|>1 se e somente se pelo menos duas unidades vizinhas de i est˜ao sem-falha, ou seja, existe ao menos uma compara¸c˜ao realizada pori que resultou em igualdade.

Defini¸c˜ao 14: O conjuntoF_i^′ ´e definido como segue: ∀u∈F F_i^′, F_i^′ ←F_i^′∪Fu.

Sei´e uma unidade sem-falha, a Defini¸c˜ao 14 implica que o conjunto F_i^′ cont´em todas as unidades falhas que s˜ao vizinhas de qualquer unidade em F F_i^′. Al´em disso, existe um

caminho em G partindo de qualquer unidade sem-falha em F F_i^′ para qualquer unidade falhau∈F_i^′, que consiste apenas de unidades sem-falha com exce¸c˜ao do v´ertice final u.

E importante destacar que para qualquer unidade sem-falha´ i ∈ V, se |F F_i^′| > 1 e existe pelo menos uma unidade falha no sistema, ent˜ao |F_i^′| > 0. Al´em disso, se i est´a sem-falha e todas as unidades falhas s˜ao vizinhas de ao menos uma unidade deF F_i^′, ent˜ao F_i^′ ´e o conjunto real de unidades falhas F do sistema. Neste caso ´e f´acil de visualizar que F F_i^′ ´e um AFS.

Defini¸c˜ao 15: Um conjunto F_i^′ ´e definido como m´aximo se i est´a sem-falha e∀j ∈ V, j 6=i,|F_j^′| ≤ |F_i^′|.

Atrav´es desta defini¸c˜ao, se i est´a sem-falha e F_i^′ ´e m´aximo, existe um caminho – que consiste apenas de unidades sem-falha com exce¸c˜ao do v´ertice final – da unidadei para o maior conjunto de unidades falhas.

Defini¸c˜ao 16: Seja S (Suspect set, ou conjunto de unidades suspeitas) um conjunto que consiste das trˆes unidades {s₁, s2, s3} envolvidas em uma compara¸c˜ao (s2, s3)s1 ∈C, tal que uma das seguintes duas condi¸c˜oes n˜ao s˜ao satisfeitas quando se verifica se um conjunto U ´e um AFS:

— se s1 ∈V −U e s2, s3 ∈V −U ent˜ao r((s2, s3)s1) = 0;

— se s1 ∈V −U e {s₂, s3} ∩U 6=∅ ent˜ao r((s2, s3)s1) = 1.

Note que as duas condi¸c˜oes acima s˜ao exatamente as condi¸c˜oes originais usadas para verificar se um dado conjunto U ´e um AFS. Em outras palavras, por esta defini¸c˜ao, o conjunto suspeito S = {s₁, s2, s3} cont´em as trˆes unidades envolvidas em qualquer compara¸c˜ao (s2, s3)s1 ∈C que n˜ao satisfaz uma das condi¸c˜oes de verifica¸c˜ao do AFS.

3.2 O Algoritmo de Diagn´ ostico para Sistemas de Topologia