Primeiros Modelos: Extens˜oes e Avalia¸c˜oes

Ammann e Dal Cin em [8] tamb´em investigam a diagnosticabilidade do diagn´ostico ba-seado em compara¸c˜oes, mostrando que a condi¸c˜ao necess´aria para um sistema ser t-diagnostic´avel ´e que cada nodo do grafo de testes tenha grau no m´ınimo t; um grau m´ınimo estritamente maior que t ´e uma condi¸c˜ao suficiente. O grau – ou ordem – de um nodo ´e o n´umero de arestas adjacentes a este nodo. Ammann e Dal Cin tamb´em apresentaram um algoritmo para o diagn´ostico sequencial para um subconjunto dos sis-temas t-diagnostic´aveis. A complexidade do algoritmo proposto ´e O(N²). Eles tamb´em

introduziram um algoritmo paralelo para o diagn´ostico quando a topologia ´e uma ´arvore [47, 8].

Yang e Masson em [194] apresentaram um modelo de compara¸c˜oes considerando o di-agn´ostico de falhas para multiprocessadores aplicado para sistemas t1/t1-diagnostic´aveis.

O sistema ´e dito sert/s-diagnostic´avel se, na presen¸ca de no m´aximotfalhas, todas as uni-dades falhas podem ser identificadas atrav´es da substitui¸c˜ao de no m´aximosunidades [84].

Os sistemas t1/t1-diagnostic´aveis s˜ao um caso especial dos sistemas t/s-diagnostic´aveis, onde s = t1 [41]. Em um sistema t1/t1-diagnostic´avel todas as unidades falhas, exceto no m´aximo uma, s˜ao corretamente identificadas. Em outras palavras, no m´aximo uma unidade falha ´e incorretamente diagnosticada como sendo sem-falha. Assim como no mo-delo de Chwa e Hakimi, o momo-delo proposto por Yang e Masson assume que a compara¸c˜ao de duas unidades falhas pode resultar em igualdade. Eles tamb´em apresentam um algo-ritmo O(|C|) para o modelo de compara¸c˜oes para sistemast₁/t₁-diagnostic´aveis, onde C representa o conjunto de todas as compara¸c˜oes realizadas.

Xu e Huang [192] caracterizaram a t/(N−1)-diagnosticabilidade para v´arios tipos de estruturas sobre o modelo de Chwa e Hakimi. O sistema com N unidades ´e t/(N − 1)-diagnostic´avel se no m´aximo t unidades s˜ao falhas e se as unidades falhas estiverem em um conjunto de tamanho (N −1). Os autores apresentam uma s´ıntese das configura¸c˜oes

´otimas t/(N −1)-diagnostic´aveis para v´arias topologias, como cadeias (chains) e loops.

Em particular foi mostrado que paraN = 2t+ 1, as cadeias s˜aot/(N−1)-diagnostic´aveis se N ≥ 9 e os loops s˜ao diagnostic´aveis para N ≥ 13. Posteriormente Xu e Randell [193] aplicaram o diagn´ostico t/(N −1) para projetos de software. Eles propuseram uma t´ecnica de programa¸c˜aot/(N−1)-variante que diagnostica falhas emframeworksde software redundantes.

Kozlowski e Krawczyk [117] estenderam o modelo de diagn´ostico de Chwa e Hakimi para situa¸c˜oes com falhas h´ıbridas. Uma situa¸c˜ao com falha h´ıbrida ´e definida como t/m-restrita se o n´umero de unidades falhas n˜ao exceder t e o n´umero de resultados errˆoneos de compara¸c˜oes for menor que m. Um resultado errˆoneo de compara¸c˜ao ocorre quando

uma unidade falha acaba erroneamente sendo identificada como sem-falha – os autores citam que esta situa¸c˜ao pode ocorrer, por exemplo, quando um resultado reportado est´a incompleto. Kozlowski e Krawczyk tamb´em apresentam um algoritmoO(N|C|) para o di-agn´ostico baseado em compara¸c˜oes sobre situa¸c˜oes com falhas h´ıbridas, ondeC representa o conjunto de todas as compara¸c˜oes realizadas em sistemas com N unidades.

Fuhrman e Nussbaumer em [85, 86] apresentam o modelo Bounded Symmetric Com-parison (BSC) para o diagn´ostico em n´ıvel de sistema baseado em compara¸c˜oes. Este modelo ´e baseado no modelo de Chwa e Hakimi [42] mas inclui um limite no n´umero de nodos falhos que podem produzir resultados idˆenticos. No modelo BSC f1 representa o n´umero m´aximo de nodos que podem ser falhos, e f2 ´e o limite superior do n´umero de nodos falhos que podem produzir resultados idˆenticos. Al´em disso, f2 ≤ f1. Os autores provam as condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para o diagn´ostico em um passo (one-step) para um sistema sobre o modelo BSC. Eles mostram que um sistema ´e diagnostic´avel em um passo se e somente se para todo par distinto de conjuntosF1, F2 ondeF1 ⊂V, F2 ⊂V e |F1| ≤f1,|F2| ≤f1, uma das seguintes condi¸c˜oes ´e satisfeita:

— Existe uma aresta entre um nodo em V −(F₁∪F₂) e um nodo em (F₁∪ F2)−(F1∩F2).

— Um componente do grafo corresponde aF1−(F1∩F2), ou ent˜ao aF2− (F₁ ∩F₂).

Kreutzer e Hakimi [118, 136] apresentam dois modelos de diagn´ostico baseado em compara¸c˜oes – chamados KH1 e KH2 – que s˜ao baseados respectivamente nos modelos de Chwa e Hakimi e de Malek. Apesar de serem baseados nos modelos de Chwa e Hakimi e de Malek, os modelos KH1 e KH2 consideram a possibilidade do comparador das unidades testadas estar falho, e ainda avaliam de forma separada as falhas de comparadores das fa-lhas das unidades testadas. No primeiro modelo (KH1), a compara¸c˜ao das sa´ıdas das tare-fas produzidas por duas unidades falhas pode resultar em igualdade, e no segundo modelo (KH2) se o resultado da compara¸c˜ao das sa´ıdas resultar em igualdade, ambas as unidades

s˜ao consideradas sem-falha. Pelc em [157] argumenta que estes modelos s˜ao de fato equiva-lentes aos modelos propostos respectivamente por Chwa e Hakimi, e por Malek. Kreutzer e Hakimi tamb´em apresentam a caracteriza¸c˜ao para um sistema ser (t−tc)-diagnostic´avel sobre estes dois modelos KH1 e KH2, onde um sistema (t−t_c)-diagnostic´avel ´e um sistema com no m´aximotunidades falhas e no m´aximot_c comparadores falhos. Eles mostram que um sistemaS ´e (t−tc)-diagnostic´avel se e somente se S´et-diagnostic´avel e tc <|Γ(i)|/2, onde Γ(i)≤Γ(j)| ∀j ∈V e Γ(i) ={j |ie j s˜ao comparadas}, ou seja, Γ(i) representa o conjunto das unidades comparadas comi, e consequentemente tc deve ser um n´umero me-nor que a metade da meme-nor quantidade de compara¸c˜oes realizadas por qualquer unidade do sistema.

Pelc em [157] realiza uma an´alise de ambos os modelos baseado em compara¸c˜oes de Malek e de Chwa e Hakimi, que o autor denomina respectivamente de modelo assim´etrico e modelo sim´etrico. Nesta an´alise, Pelc apresenta o pior caso do n´umero de testes de algoritmos ´otimos – considerando ambos os modelos – para o diagn´ostico detfalhas, para o diagn´ostico sequencial de t falhas, e para o diagn´ostico em um passo de t falhas. O autor tamb´em considera testes adaptativos e n˜ao adaptativos e mostra que usando testes adaptativos o n´umero de testes ´e frequentemente menor. Estes resultados s˜ao apresentados na sequˆencia.

O n´umero m´ınimo de testes para se completar o diagn´ostico detunidades falhas, onde t≤N, sobre o modelo de Malek ´e⌈N/2⌉. No caso do diagn´ostico sequencial parat falhas (que identifica pelo menos uma unidade falha), onde t ≤ N − 2, o n´umero m´ınimo de testes requeridos ´e max(⌊N/2⌋ ∗t) + 1 quando a estrat´egia adaptativa para os testes ´e empregada, eN− ⌊N/(t+ 2)⌋ para o diagn´ostico n˜ao adaptativo. No caso do diagn´ostico adaptativo em um passo para t falhas (que identifica todas as unidades falhas em um passo), parat ≤N−2 o n´umero m´ınimo de testes ´eO(N²/(N−t)) e, quandoN ≥2t+ 1 o n´umero m´ınimo de testes ´e ⌊N/2⌋+ 3,5⌈t/2⌉+ 3. Para o diagn´ostico n˜ao adaptativo em um passo ondet ≤N −2, o n´umero m´ınimo de testes ´eO(Nt).

O n´umero m´ınimo de testes para completar o diagn´ostico detunidades falhas, ondet≤

N−1, no modelo de Chwa e Hakimi ´eN− ⌊N/(t+ 1)⌋. No caso do diagn´ostico sequencial det falhas, onde t < N/2, o n´umero m´ınimo de testes requeridos ´e N − ⌈N/(t+ 1)⌉+ 1 quando a estrat´egia adaptativa para os testes ´e empregada, e N − ⌊N/(2t+ 1)⌋ para o diagn´ostico n˜ao adaptativo. No caso do diagn´ostico adaptativo em um passo para o diagn´ostico de t falhas, onde t < N/2, o n´umero m´ınimo de testes ´e O(N) [118]. Para o diagn´ostico n˜ao adaptativo de t falhas, se t < N/2, o n´umero de testes ´e O(Nt).