A diagnosticabilidade forte (strong diagnosability) de sistemas sobre o modelo PMC foi primeiramente apresentada por Lai, Tan, Chang e Hsu em [125]. Um sistema ´e fortemente
(2,a) t-diagnostic´avel se ele for (t+ 1)-diagnostic´avel e n˜ao existe um nodo tal que todos os seus vizinhos sejam falhos. Em outras palavras: a diagnosticabilidade forte mostra a habilidade de um sistema t-diagnostic´avel em detectar t+ 1 nodo falho, assumindo que todos os vizinhos de qualquer nodo n˜ao podem falhar simultaneamente. O valorttal que o sistema ´e fortementet-diagnostic´avel tamb´em ´e representado ports(G), isto ´e, ts(G) =t se o sistema ´e fortemente t-diagnostic´avel.
Sheu, Huang e Chen [171] foram os primeiros a investigar a diagnosticabilidade forte de sistemas sobre o modelo MM*. Seja uma rede t-regular com grau d(u) = t para todo nodo u. Os autores mostram que uma rede t-regular e t-conectada na qual N ≥ 2t+ 6 e t ≥ 4 ´e fortemente t-diagnostic´avel se o sistema ´e livre de triˆangulos e a interse¸c˜ao do conjunto de vizinhos de qualquer par de nodos no sistema possui no m´aximot−2 nodos.
Hsieh e Chen [104] investigam a diagnosticabilidade forte para uma classe de redes produto sobre o modelo MM*. Como definido na Se¸c˜ao A.7, uma rede produto ´e gerada
atrav´es da aplica¸c˜ao da opera¸c˜ao de produto cartesiano a redes de fator. As redes produto incluem topologias como os hipercubos,mesh-connectedk-aryn-cubes,torus-connected k-ary n-cubes, e redes hyper-Petersen. Redes produto regulares podem ser classificadas em duas subclasses: redes produto homogˆeneas e redes produto heterogˆeneas. Redes produto homogˆeneas s˜ao t-diagnostic´aveis e t-regulares, enquanto as redes produto heterogˆeneas s˜ao compostas de duas diferentes redes de fator, onde uma ´et-diagnostic´avel e a outra ´e t-conectada.
Para ti >3, a diagnosticabilidade forte de redes produto homogˆeneas G1×G2×...× Gk = t1 +t2 +...+tk, onde Gi = (Vi, Ei) ´e uma rede ti-diagnostic´avel e ti-regular com Ni nodos, e i = 1,2, ..., k. Considere que Gi = (Vi, Ei) ´e uma rede ti-diagnostic´avel e ti-regular com Ni nodos para i= 1, ..., me seja Gj = (Vj, Ej) uma rede tj-conectada etj -regular comNj ≥2tj+1 nodos paraj =m+1, ..., k. Parati >3, seG=G1×G2×...×Gk, ent˜ao a diagnosticabilidade forte deG´et1+t2+...+tk. Para a diagnosticabilidade forte de redes produto n˜ao regulares, considere que G1 = (V1, E1) ´et1-diagnostic´avel, Lki ´e um array linear ki-nodo, e ki ≥2 para 1≤i≤l. Os autores provam que, para ti >3, a rede produto n˜ao regularG=G1×Lk1 ×Lk2 ×...×Lkl ´e fortemente (t1+l)-diagnostic´avel.
A t-diagnosticabilidade forte de quatro diferentes topologias de redes produto, onde todas s˜ao t-regulares e t-conectadas ´e mostrada em [104]: o hipercubo n-dimensional, o mesh-connected k-ary n-cube, o torus-connected k-ary n-cube, e finalmente a rede hyper-Petersen n-dimensional. Para todas estas redes, N ≥ 2t+ 1 nodos, onde t > 2; cada nodo v de G possui grau maior ou igual a t. O primeiro resultado apresentado para a diagnosticabilidade forte foi para o hipercubo n-dimensional, que ´e n para n ≥ 5. As outras trˆes topologias e seus resultados para a diagnosticabilidade forte s˜ao apresentados abaixo.
Um mesh-connected k-ary n-cube [18], denotado por Mkn, ´e recursivamente definido como segue: seja Lk um array linear de tamanho k, (1) Mk1 = Lk, para k ≥ 2, e (2) Mkn =Mkn−1×Lk para n ≥2. Um Mkn possui kn nodos. Como exemplo, a Figura A.15 mostra umM42. Os autores provam que a diagnosticabilidade forte deMkn =nparan≥5.
Figura A.15: Exemplo de um M42.
Um torus-connected k-ary n-cube [18], denotado por Tkn, ´e recursivamente definido como segue: sejaRk um anel (um ciclo) de tamanhok, ondek ≥3. Ent˜ao, (1)Tk1 =Rk, e (2) Tkn =Tkn−n×Rk para n≥2. UmTkn tamb´em possui knnodos. A Figura A.16 mostra um exemplo de T42. A diagnosticabilidade forte de umtorus-connected k-ary n-cube ´e 2n para k ≥3 e n≥4.
Figura A.16: Exemplo de um T42.
Uma redehyper-Petersenn-dimensional [48], denotada porHPnparan≥3, ´e definida comoHPn=P×Qn−3, ondeP ´e um grafoPetersen. UmHPn´en-conectado en-regular e possui 10∗2n−3 nodos. A Figura A.17 mostra um exemplo deHP4. A diagnosticabilidade forte de HPn=n para n ≥5.
Posteriormente, Hsieh e Chen apresentaram em [105] a diagnosticabilidade forte para uma s´erie de topologias, que s˜ao abrangidas pela classe dasmatching composition networks (MCN), sobre o modelo MM*. Eles avaliaram a diagnosticabilidade forte de cubos
cru-Figura A.17: Exemplo de um HP4.
zados n-dimensional, M¨obius cubes, twisted cubes e locally twisted cubes. Um cubo cru-zado n-dimensional CQn ´e fortemente n-diagnostic´avel para n ≥ 5. Um M¨obius cube n-dimensional MQn ´e fortemente n-diagnostic´avel para n ≥ 5. Um twisted cube n-dimensionalT Qn´e fortementen-diagnostic´avel para um inteiro imparn≥5. Finalmente, um locally twisted cube n-dimensional LT Qn ´e fortemente n-diagnostic´avel para n ≥4.
Mais recentemente, em [102] Hong e Hsieh tamb´em consideram o modelo MM* para determinar a diagnosticabilidade forte sobre os cubos aumentados n-dimensionais (n-dimensional augmented cubes), ou AQn. Uma introdu¸c˜ao, incluindo a defini¸c˜ao de cons-tru¸c˜ao dos cubos aumentados j´a foi apresentada na Se¸c˜ao A.6 deste anexo. Hong e Hsieh provam ent˜ao que nos AQn, a diagnosticabilidade forte ´e (2n−1) paran ≥5.
J´a em [107] os autores apresentam, tamb´em para o modelo MM*, as condi¸c˜oes sufi-cientes para determinar se um sistema com at´et nodos falhos possui diagnosticabilidade forte. Algumas defini¸c˜oes usadas para analisar as condi¸c˜oes de diagnosticabilidade s˜ao descritas a seguir.
Considerando um sistema com N nodos representado por um grafo G = (V, E), um subconjunto I ∈V ´e um conjunto independente deGse nenhum par de v´ertices de I s˜ao adjacentes em G. O n´umero de independˆencia (independence number) de G, denotado por α(G), ´e o tamanho do maior conjunto independente de v´ertices de G. Al´em disso, δ ´e o grau da unidade de menor grau do sistema e κ(G) = min{|V′| tal que V′ ⊆ V e G−V′ n˜ao ´e conectado}, ou seja, κ(G) ´e o tamanho do menor conjunto de v´ertices tal que quando removidos de G, o grafo resultante n˜ao ´e conexo.
Os autores ent˜ao provam que um sistema ´e fortementet-diagnostic´avel sobre o modelo MM* se as trˆes seguintes condi¸c˜oes forem satisfeitas:
(i) N −2t−3≥α(G);
(ii) κ(G) =δ =t;
(iii) para qualquer conjunto X ⊂ V onde |X| = t, se o grafo resultante da remo¸c˜ao dos v´erticesXdeGn˜ao ´e conectado, ent˜ao deve existir um nodo u∈V tal que N(u)⊆X.
Tamb´em em [107] os autores consideram novamente o modelo MM* para determinar o valortpara a diagnosticabilidade forte sobre osfolded hypercubesF Qn. A defini¸c˜ao dos folded hypercubes j´a foi apresentada na Se¸c˜ao A.6. Os autores provam que a diagnostica-bilidade forte dos F Qn sobre o modelo MM* ´en+ 1 para n≥5.