Demonstra¸c˜ao do Teorema da ´ Area dos Buracos Negros

4.5 Teorema da ´ Area

4.5.1 Demonstra¸c˜ao do Teorema da ´ Area dos Buracos Negros

RabKakb ≥ 0 para todo ka nulo. Sejam ₁ e ₂ superf´ıcies de Cauchy do tipo espa-

cial para a regi˜ao globalmente hiperb´olica ˜V com

2 ⊂ I+(

1) e seja H1 = H ∩

H2 = H ∩₂, aqui H denota o horizonte de eventos H2 ≥ H1 [34].

Prova: Teorema da ´Area

Estabelecendo-se primeiramente a expans˜ao ε de geradores de geod´esicas nulas de H. Seja

uma superf´ıcie de Cauchy do tipo espacial para ˜V passando por p e considerando as 2-superf´ıcies H = H ∩ . Sendo ε < 0 em p, pode-se deformar para

Figura 4.5: Ilustra¸cão da forma¸cão de um buraco Negro de colapso gravitacional esfericamente simétrico - diagrama de Finkelstein [25], [41], [58].

al´em em uma vizinhan¸ca em p para se observar uma superf´ıcie H′ _sobre_{com entradas}

J−

(I+_{) e que ε < 0 em toda parte de J}−

(I+_{). Isso leva a uma contradi¸c˜ao. Seja}

K ⊂ uma regi˜ao fechada entre H e H′

e seja q ǫ I+ _{com q ǫ J}+_{(K). Ent˜ao, o gerador}

de geod´esica nula de J+_{(K) ´e aquele sobre o qual q deve encontrar H}′ _{ortogonalmente e}

ent˜ao, ε ≥ 0 em todo H.

Um dado p ǫ H1 está sobre a geodésica nula futura enextens´ıvel γ que está contido

em H. Sendo

2 uma superf´ıcie de Cauchy γ deve intersectar

2 no ponto q ǫ H2.

Ent˜ao, obtem-se um mapa natural em H2.

Sendo ε ≥ 0, a ´area da por¸c˜ao de H2 dada pela imagem de H1 sobre este mapa,

deve ser ao menos tão grande quanto a área de H1. Adicionalmente, sendo o mapa não

necessariamente sobrejetivo, poder-se-˜ao formar novos buracos negros entre

1 e

2 e a

área de H2 não será menor que H1, como pode ser visualizado na figura 4.6.

Nesta seçcão foram estabelecidas conexões entre a f´ısica dos buracos negros e a termodinâmica, atentando para eventuais semelhan¸cas e diferen¸cas entre ramos aparente- mente bem distintos da f´ısica moderna [34].

Tais propriedades, foram inicialmente verificadas e estabelecidas na d´ecada de 1970, gra¸cas aos trabalhos de S. Hawking e Jacob D. Bekenstein, entre outros, e a profundadas nos anos seguintes [34].

No desenvolvimento do cap´ıtulo, inicialmente procurou-se estabelecer a emissão de radia¸cão com espectro térmico por buracos negros em geral, incluindo os buracos negros de Schwarzschild. Em seguida, foram correlacionadas as leis termodinâmicas clássicas

Figura 4.6: Diagrama de Finkelstein ilustrando a colis˜ao de dois buracos negros [58].

com processos envolvendo buracos negros.

Findo o estabelecimento das propriedades gerais, pode-se enfim derivar a termodi- nâmica destes buracos, relacionando-se entropia e área, a fim de se obter expressões para a temperatura de corpo negro dos mesmos. Com a temperatura, pode-se ainda estudar as capacidades térmicas, reveladoras de propriedades t´ıpicas de buracos negros, ou seja, não compartilhadas por sistemas clássicos [34].

Quanto à descri¸cão da Hipótese da Censura Cósmica, esta oculta a presen¸ca do horizonte de eventos, descreve o que ocorre nas cercanias da singularidade e possui um importante papel, pois desta forma não há necessidade de se preocupar com o que acon- tece próximo à singularidade. Nesse contexto, Roger Penrose em 1969 [40], introduziu a chamada Conjectura da Censura Cósmica, onde afirma que toda singularidade formada a partir de um colapso gravitacional deve obrigatoriamente apresentar um horizonte de eventos que a oculte dos observadores externos, não obstante, existem ainda várias ev- idências favoráveis porém, esta conjectura ainda não foi provada [7].

Tornou-se poss´ıvel por intermédio da analogia entre a termodinâmica e a dinâmica dos buracos negros, interpretar conceitos que são caracter´ısticos da f´ısica dos buracos negros, como seu calor espec´ıfico negativo e o Teorema da Área. Tendo como ponto de partida esses estudos pode-se explorar novos modelos de buracos negros e será um prelúdio para o próximo cap´ıtulo.

Cap´ıtulo 5

Aspectos quˆanticos dos buracos

negros

De acordo com Bekenstein [47], uma imediata consequência dos teoremas de uni- cidade é a grande quantidade de informa¸cão perdida após o total colapso gravitacional. Assim, como discorrido anteriormente, de acordo com o teorema da ausência de cabelos, embora um buraco negro seja caracterizado por sua massa, momento angular e carga elétrica, sua origem provém de algum material composto seguramente por um grande número de configura¸cões [6]. Por número de configura¸cões, fazer-se referência ao número de microestados de todas as poss´ıveis estruturas no interior do objeto em questão. Evi- dentemente, se os efeitos quânticos fossem considerados, esse número de configura¸cões para um buraco negro seria infinito, já que ele poderia ter se formado por um número arbitrariamente grande de part´ıculas de energia arbitrariamente baixa. Assim, o conteúdo de informa¸cão e, consequentemente de entropia, associado ao buraco negro deveria ser incrivelmente alto, ou mesmo ilimitado.

Assim, de acordo com Davies, considerando-se a natureza quˆantica da mat´eria, verifica-se que a entropia associada a um buraco negro deve ser finita [38, 59].

Esta verifica¸cão repousa na rela¸cão quântica entre energia e comprimento de onda, E = h/v, que restringe o tipo de part´ıcula contido no buraco negro àquela categoria cuja energia é tal que seu comprimento de onda esteja compreendido no interior do buraco negro. Escolhendo o comprimento de onda de uma part´ıcula t´ıpica como sendo aproximadamente igual ao raio de Schwarzschild, r = 2M , pode-se estimar que sua energia deve ser da ordem de h/M . Logo, o número máximo de tais part´ıculas que estará na composi¸cão

de um buraco negro de massa M ´e algo em torno de M2_{/h. Uma estimativa r´}_{ustica para}

a entropia nesse caso, conduz a

S(bn)= ζ

kM2

h , (5.1)

em que, ζ é um parâmetro adimensional a ser determinado por meio de uma teoria quântica efetiva da gravita¸cão, e k é a constante de Boltzmann. Esta expressão possui um limite clássico; a saber ˜S(bn)→ ∞ quando h → 0 [36].

O resultado obtido em (5.1) demonstra a proporcionalidade entre a entropia associada ao buraco negro e sua área, exatamente como indicado pela segunda lei da mecânica dos buracos negros. Substituindo o valor da área superficial de um buraco negro de Sch- warzschild na equa¸cão (5.1), obtem-se,

˜ S(bn)= ζk 16πh A. (5.2)

Finalmente, a partir da rela¸c˜ao termodinˆamica ∂S/∂M = 1/T , deduz-se que a temperatura de um buraco negro de Schwarzschild seria dada por

˜ T(bn) = h 2ζk 1 M, (5.3)

que somente no limite cl´assico, h → 0, afirma que o buraco negro ´e completamente negro ( ˜T(bn) = 0). Utilizando o valor da gravidade superficial de um buraco negro de

Schwarzchild, k = 1/4M , a equa¸c˜ao 5.3 pode ser reescrita como

˜ T(bn) = 2h 2ζk k, (5.4)

demonstrando a porporcionalidade entre a temperatura associada ao buraco negro e sua gravidade superficial, segundo a correspondˆencia anteriormente levantada [36].

As equa¸cões (5.4) e (5.2) são um vislumbre do que seria a temperatura efetiva de um buraco negro e sua respectiva entropia, segundo alguma Teoria Quântica da Gra- vita¸cão. Contudo, o verdadeiro significado f´ısico atribu´ıdo a esses resultados foi dado por Hawking [53] em 1974, com sua descoberta do efeito térmico de cria¸cão de part´ıculas ao redor de um buraco negro [36].

Tal descoberta se apóia na gravita¸cão semi-clássica, também conhecida como Teoria Quântica de Campos em Espa¸cos-Tempos Curvos, em que os efeitos gravitacionais ainda

são descritos por um espa¸co-tempo clássico, mas os demais campos de matéria e radia¸cão, tais como o escalar e o eletromagnético, são agora tratados como campos quânticos que se propagam neste espa¸co-tempo de fundo1 _[36].

Mostrou-se neste contexto que um campo quântico inicialmente em qualquer estado (não singular), livre de intera¸cões como outros campos e consigo mesmo, propagando-se no espa¸co-tempo de um buraco negro de Schwarzschild, emitirá part´ıculas para o infinito com um espectro t´ıpico de um corpo aproximadamente negro [59] à temperatura

T(bn) =

2π, (5.5)

denominada temperatura Hawking. Portanto, a temperatura f´ısica do buraco negro é realmente diferente de zero. Nas palavras de Hawking “classicamente o buraco é negro mas quânticamente ele é cinza” [7, 41].

Este efeito quântico de cria¸cão de part´ıculas, radia¸cão Hawking, é aplicável a todos os campos quânticos livres, permitindo ao buraco negro emitir para o infnito todas as espécies de part´ıculas [34].

O fato de k/2π realmente representar a temperatura f´ısica de um buraco negro, fornece uma evidência decisiva de que as leis da mecânica dos buracos negros não são meramente análogos das leis da termodinâmica usual, mas antes, uma manifesta¸cão das leis da termodinâmica ordinária aplicadas a buracos negros. Dessa forma é de se esperar que

S(bn) =

4, (5.6)

deva representar a verdadeira entropia f´ısica de um buraco negro. Logo, ζ = 4π em ˜S(bn)

e ˜T(bn) (e α = 1/2π) [36].

Outro aspecto a ser enfatizado pelo efeito Hawking é que a temperatura dada pela equa¸cão (5.5), é representada como medida por um observador próximo ao infinito. Para qualquer observador seguindo uma órbita do campo vetorial de Killing tipo-tempo ta _no

espa¸co-tempo de Schwarzschild, a temperatura localmente medida ser´a

T = T(bn)

χ , (5.7)

1_{Presumivelmente tal esquema seria somente uma aproxima¸c˜}_{ao para um teoria mais profunda (ainda}

a ser encontrada), na qual o espa¸co-tempo também seria quantizado. Entretanto, espera-se que esse esquema seja uma boa aproxima¸cão para muitos propósitos, exceto nas proximidades de singularidades do espa¸co-tempo.

em que, χ =√_{−gu. Em outras palavras, a temperatura da radia¸cão Hawking localmente} medida obedece à rela¸cão de Tolman [60].

A equa¸cão (5.5) mostra que, quando efeitos quânticos são levados em conta, um buraco negro estará envolto por uma “atmosfera térmica” gerada pela radia¸cão Hawking.

5.1 Radia¸c˜ao de Hawking

Em meados da década de 1970, Stephen Hawking [25] mostrou que um buraco negro não é tão negro assim gra¸cas à mecânica quântica. Num campo de for¸ca muito intenso, como aquele criado pelo campo gravitacional de um buraco negro, é poss´ıvel a cria¸cão de pares de part´ıcula e antipart´ıcula. Se um dos elementos do par cair no buraco negro, o outro será lan¸cado em dire¸cão oposta pela conserva¸cão do momento. Isto dará origem a uma radia¸cão de part´ıculas que parece emanar do próprio buraco negro. Essa é a famosa radia¸cão de Hawking. Portanto, o buraco negro pode emitir radia¸cão e não será completamente invis´ıvel gra¸cas à esse mecanismo.

Ocorre que a energia também deve ser conservada. Como a part´ıcula emitida tem energia positiva, o seu par, que caiu no buraco negro, tem que ter energia negativa, como pode ser observado na figura 5.1. A existência de part´ıculas com energia negativa, durante um intervalo de tempo muito pequeno, é permitido pelas rela¸cões de incerteza da mecânica quântica. Como consequência, além de emitir radia¸cão, a massa do buraco negro também vai diminuindo. A relatividade restrita não faz distin¸cão entre massa e energia, por isso absorver uma part´ıcula de energia negativa diminuiu a massa do buraco negro. Outra maneira de compreender a perda de massa é lembrar que ele está emitindo part´ıculas. Esse processo de perda de massa continua até não restar mais nada do buraco negro. Ele parece ter evaporado-se completamente, emitindo radia¸cão e não deixando nada atrás de si.

A radia¸cão emitida pelo buraco negro é de um tipo especial chamada radia¸cão térmica. Tal tipo de radia¸cão transporta apenas informa¸cões genéricas sobre o buraco negro, como sua massa, carga e momento angular. Se, por exemplo, um par de part´ıculas correlacionadas cair no buraco negro, a radia¸cão de Hawking só revelará a massa dessas part´ıculas e a informa¸cão sobre sua correla¸cão estará irremediavelmente perdida depois do processo de evapora¸cão. Isso vale para qualquer coisa que caia no buraco negro. A

Figura 5.1: Ilustra¸c˜ao onde se observa que em (A) o par forma-se e desaparece sem atravessar o horizonte, em (B) o par forma-se do lado de fora e ambas as part´ıculas atravessam o horizonte e em (C) o par forma-se do lado de fora mas apenas uma das part´ıculas atravessa o horizonte.

Informa¸cão é perdida à medida que o buraco negro evapora-se e não é poss´ıvel recuperá-la. Porém, a mecânica quântica não permite a existência de tais processos onde haja perda de informa¸cão. Isso violaria um dos preceitos básicos da teoria: a evolu¸cão unitária. Este é o paradoxo da informa¸cão do buraco negro. É um conflito entre a relatividade geral e a mecânica quântica [61].

A radia¸cão de Hawking, também denominada radia¸cão de Hawking-Bekenstein é uma radia¸cão térmica com um espectro de corpo negro cuja emissão é prevista para buracos negros devido a efeitos quânticos. É denominada assim devido ao trabalho de Stephen Hawking, que forneceu um argumento teórico para a sua existência em 1974, e o trabalho de Jacob Bekenstein, que previu que buracos negros deveriam ter um número de temperatura e entropia finito e não nulo.

O trabalho de Hawking surgiu a partir de sua visita a Moscou em 1973, onde cientis- tas soviéticos como Iakov, Zel’dovich e Alexander Starobinski [62, 63, 64], mostraram-lhe que consoante ao princ´ıpio da incerteza da mecânica quântica, buracos negros rotativos deveriam criar e emitir part´ıculas. O processo de radia¸cão Hawking reduz a massa e a energia do buraco negro, processo que denomina-se de evapora¸cão do buraco negro, permitindo que eles percam sua massa e energia. Os buracos negros que perdem mais matéria do que eles ganham por outros meios, tendem a se dissipar, encolher, e finalmente desa- parecer. Prevê-se que os micro buracos negros sejam maiores emissores de radia¸cão do que os buracos negros mais massivos. Verteu-se a análise de Hawking na primeira percep¸cão convincente sobre uma poss´ıvel teoria da gravita¸cão quântica [61].

No documento Ensaio sobre o fluxo de Ricci e os buracos negros: fundamentação e estudo computacional (páginas 54-62)