Terceira Lei - As leis da mecˆanica dos buracos negros

4.2 As leis da mecˆanica dos buracos negros

4.2.4 Terceira Lei

Tem a terceira lei um análogo na f´ısica dos buracos negros, a saber, a superf´ıcie de gravidade do horizonte não pode ser reduzida a zero em um número finito de passos. A validade dessa lei é sugerida pelas investiga¸cões das órbitas de part´ıculas de teste em torno de um buraco negro rotativo carregado. Uma formula¸cão precisa dessa lei foi dada e mostrou-se em algumas premissas por Israel [26].

Uma ideia do significado da terceira lei pode ser adquirida pensando-se em como violá-la. Assim,um buraco negro não rotativo k decresce quando adiciona-se massa, então o buraco negro tem calor espec´ıfico negativo. Mas, seria necessária uma quantidade infinita de massa para reduzir k a zero. Um buraco negro rotativo geral com momento angular J e carga Q tem uma superf´ıcie de gravidade e uma área do horizonte de eventos dada por k = 4πμ/A com A = 4π[2M (M + μ) − Q2_{] e com μ = (M}2_{− Q}2_{− J}2_/M2₎1/2_.

Tem-se um buraco negro extremo quando μ = 0. Para um buraco negro extremo, k desvanece e A = 4π(2M2_−Q2_{) ou seja, um buraco negro extremo tem “temperatura” zero,}

mas “entropia” n˜ao nula. Se M2 _{< Q}2 _{+ J}2_/M2_{, em seguida, o espa¸co-tempo tem uma}

singularidade nua e não é um buraco negro em tudo. Assim, se a superf´ıcie da gravidade pode ser reduzida a zero, seria apenas infinintesimalmente longe de criar uma singularidade nua, violando a Censura Cósmica. Para reduzir a superf´ıcie de gravidade a zero, pode-se tentar injetar uma quantidade suficiente de carga ou momento angular para o buraco. Pode-se supor que se tente jogar uma carga q de massa m em um buraco negro carregado, não rotativo, de massa M e de carga Q < M , tentando fazer Q + q = M + m, para que a atra¸cão gravitacional seja mais forte que a repulsão eletrostática deve-se escolher mM > qQ, então q/m < M/Q. Mas, essa desigualdade garante que Q + q < M + m. Da mesma forma ao se tentar injetar suficiente momento angular orbital para um buraco negro rotativo, deve-se achar que a part´ıcula simplesmente perde o buraco. Ao tentar-se soltar uma part´ıcula giratória ao logo do eixo de um buraco negro rotativo da mesma maneira deve-se imaginar que existe uma for¸ca gravitacional spin-spin que é repulsiva e apenas forte o suficiente para imped´ı-lo de reduzir k a zero. Ao se tentar soltar uma part´ıcula eletricamente carregada dentro de um buraco negro rotativo ao longo do eixo, há alguns presumivelmente tipos de “auto-for¸cas” na carga que as repelem do buraco.

O comportamento n˜ao decrescente da ´area de um buraco negro seria muito seme- lhante ao da entropia.

Uma afirma¸cão adequada acerca desta ideia é conhecida como a segunda lei da termodinâmica, que estabelece que a entropia de um sistema isolado sempre aumenta e que, quando dois sistemas são somados, a entropia do sistema combinado é maior do que a soma das entropias dos sistemas originais.

A segunda lei da termodinâmica tem um atributo diferente do de outras leis cien- t´ıficas, pois ela não se aplica a todos os casos, apenas à maioria deles. No entanto, uma maneira de se violar a segunda lei seria atirando-se qualquer matéria com alguma entropia no interior do buraco negro. Pode-se naturalmente afirmar que toda a entropia, incluindo aquela de dentro do buraco negro, não caiu nele - mas, dado que não há jeito de se olhar para dentro do buraco negro, não se pode ver quanta entropia tem a matéria ali contida [41].

Dessa forma, a segunda lei da mecânica dos buracos negros está associada ao teorema da área da Relatividade Geral, obtido no contexto clássico4 _{[34] e primeiramente}

demonstrado por Hawking [7, 33]. Esta lei afirma que a ´area de um buraco negro nunca pode diminuir por nenhum processo f´ısico, ou seja, δA ≥ 0.

Se dois buracos negros se fundissem, a área final do horizonte de eventos resultante será maior ou igual à soma das duas áreas iniciais. Este resultado estabelece uma estreita analogia entre a área do horizonte de eventos e o conceito de entropia, a menos de fatores dimensionais. Isso foi primeiramente identificado e sugerido por Bekenstein [47].

A primeira lei da mecânica dos buracos negros é uma identidade relacionando as mudan¸cas infinitesimais de massa, M , momento angular J, e área A de um buraco negro estacionário quando levemente perturbado. A partir da equa¸cão (3.7), em que AKN = (M, J, Q), pode-se obter a fun¸cão M = M (AKN, J, Q), cujas varia¸cões em primeira

ordem dos parˆametros AKN, J e Q resultam em

δM = ∂M ∂A J,Q δA + ∂M ∂J A,Q δj + ∂M ∂Q A,J δQ (4.19) omitindo-se a referˆencia KN em A [36].

Os coeficientes associados às varia¸cões de J e Q são definidos da seguinte maneira:

Ω = ∂M ∂J A,Q = 4πj A , (4.20)

e Φ = ∂M ∂Q A,J = 4πQr+ A . (4.21)

O estudo do movimento de part´ıculas testes carregadas nas proximidades de um buraco negro de KN atesta que Φ é o potencial elétrico do horizonte do buraco negro, enquanto Ω é a frequência angular uniforme com a qual part´ıculas “caindo” em dire¸cão ao buraco negro são arrastadas pelo horizonte, sendo uma boa defini¸cão da frequência rotacional do buraco negro. O coeficiente associado à varia¸cão de A pode ser escrito como

k 8π = ∂M ∂A J,Q = r+− M 2A . (4.22)

A quantidade k é denominada de gravidade superficial e possui uma interpreta¸cão direta. Para um buraco negro de Schwarzschild, k é o valor limite da for¸ca que deve ser exercida no infinito para manter uma part´ıcula de massa unitária sobre o horizonte de eventos. Nominalmente este valor é 1/4M [36, 51].

As defini¸c˜oes acima permitem reescrever a equa¸c˜ao (4.19) como: [50],

δM = k

8πδA + ΩδJ + ΦδQ. (4.23)

O aspecto desta equa¸cão é inteiramente similar ao da primeira lei da termodi- nâmica, a qual afirma que varia¸cões infinitesimais na energia, E, entropia, S, e outros parâmetros de estado extensivos de um sistema, entre estados de equil´ıbrio térmico con- t´ıguos deste sistema, é dado por

δE = T δS +

X(i)δx(i), (4.24)

em que, T é a temperatura do sistema e δx(i) representa a varia¸cão do i-ésimo parâmetro

de estado extensivo (excluindo S), enquanto que X(i) ≡ ∂E/∂x(i) é o i-ésimo parâmetro

intensivo (excluindo T ) [36].

Os termos ΩδJ e ΦδQ, que aparecem na equa¸cão (4.23), caracterizam o trabalho feito sobre o buraco negro por um agente externo cuja a¸cão tem por finalidade aumentar o momento angular e a carga do buraco negro pelas quantidades δJ e δQ, respectivamente. Esses elementos de trabalho são bem conhecidos de sistemas mecânicos cujo potencial elétrico é Φ e a frequência angular é Ω [21, 36].

A lei zero da mecânica dos buracos negros refere-se a gravidade superficial, que deve permanecer constante sobre todo o horizonte de eventos de um buraco negro estacionário. Este resultado é estritamente análogo à zero-ésima lei da termodinâmica, a qual afirma que a temperatura deve ser uniforme sobre um corpo em equil´ıbrio térmico [36].

As leis da mecânica dos buracos negros em Relatividade Geral, como enunci- adas acima, são notáveis análogos matemáticos das leis da termodinâmica usual, emb- ora diferenciem-se pela natureza de argumentos normalmente utilizados para validá-las. Contudo, há algumas caracter´ısticas gerais em comum entre elas. Por exemplo, a validade das leis da mecânica dos buracos negros não depende da forma detalhada das equa¸cões de Einstein, assim como a validade das leis da termodinâmica usual não depende do entendimento da dinâmica microscópica do particular sistema. Além disso, os teoremas de unicidade dos buracos negros estabelecem que um buraco negro estacionário, isto é, “em equil´ıbrio”, é caracterizado por um pequeno número de parâmetros (M, J, Q) assim como os parâmetros de estado da termodinâmica usual [36]. Comparando-se as zero-ésima, primeira e segunda leis da termodinâmica com as correspondentes leis da mecânica dos buracos negros encontra-se que as quantidades análogas são, respectivamente: E ↔ M, T ↔ ak, e S ↔ A/8πα, onde α é uma constante indeterminada. Mesmo no contexto da Relatividade Geral, uma indica¸cão de que essa conexão possa ser envolvida por um significado f´ısico mais profundo surge do fato de que E e M representam a mesma grandeza f´ısica: a energia total do respectivo sistema [36].

Por outro lado, segundo a mesma Relatividade Geral, a temperatura f´ısica do buraco negro deveria ser nula, sendo notando que classicamente um buraco negro não pode estar em equil´ıbrio com a radia¸cão de corpo negro, para qualquer outra temperatura diferente de zero, pois nenhuma radia¸cão poderia ser emitida a partir dele. Consequente- mente, isso também poderia sugerir que a defini¸cão da entropia de um buraco negro a partir da área do horizonte de eventos seria algo puramente formal [36].

Mas este panorama modifica-se radicalmente ao estudar-se a natureza dos buracos negros utilizando a Mecˆanica Quˆantica [36].

Uma aten¸cão especial é dedicada à terceira lei da termodinâmica, também conhecida como teorema de Planck-Nernst. Esta lei afirma que a entropia tende a zero, S → 0, quando a temperatura for zero T → 0 para qualquer sistema, em princ´ıpio [52]. O anál- ogo desta lei falha na mecânica de buracos negros, já que existem buracos negros externos

M2 _{= j}2 _{+ Q}2 _{de ´area finita que possuem k = 0. Entretanto, mesmo em termodinˆamica}

usual, a terceira lei não é considerada uma lei fundamental. Apesar de ser verificada em- piricamente para uma variedade de sistemas, ainda assim é poss´ıvel encontrar viola¸cões a ela tanto no cenário clássico (gás ideal) quanto no cenário quântico (Sistemas cujo estado fundamental é altamente degenerado) [21, 36].

No documento Ensaio sobre o fluxo de Ricci e os buracos negros: fundamentação e estudo computacional (páginas 46-50)