Derivadas de Ordem Superior - Aplica¸ c˜ oes Diferenci´ aveis

Aplica¸ c˜ oes Diferenci´ aveis

4. Derivadas de Ordem Superior

Uma aplica¸c˜ao f : U ⊂ R2→ R2 que satisfaz as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann ´

e dita holomorfa. Do ponto de vista da An´alise Complexa, as fun¸cões holomorfas são diferenciáveis e somente elas o são(iii). Pelas nossas considera¸cões, entretanto, uma tal f ´e holomorfa se, e somente se, é conforme e preserva orienta¸cão, donde se conclui que, em R2_{, os respectivos conceitos de diferenciabilidade real e complexa} não são equivalentes.

4. Derivadas de Ordem Superior

Consideremos uma aplica¸c˜ao diferenci´avel f deﬁnida num aberto U de Rn

e tomando valores em Rm_{. Uma vez que, para todo x} _{∈ U, f}′_{(x) ´}_{e uma trans-}

forma¸cão linear de Rn _em _Rm_{, fica definida a aplica¸c˜}_ao

f′: U → L(Rn_,_Rm₎

x → f′(x), a qual chamamos derivada de f.

Podemos, pois, indagar sobre a continuidade ou diferenciabilidade de f′. Di- zemos, ent˜ao, que f é de classe C1 _{se f}′ _{for cont´ınua. Quando f}′ _´_{e diferenci´}_avel em x∈ U, dizemos que f é duas vezes diferenciável em x e indicamos a derivada de f′ em x por f′′(x). Dizemos simplesmente que f é duas vezes diferenciável se for duas vezes diferenci´avel em todos os pontos de U. Neste caso, fica bem definida a aplica¸cão

f′′: U → L(Rn_{, L(}_Rn_,_Rm₎₎

x → f′′(x),

a qual chamamos derivada segunda de f. Diz-se que f ´e de classe C2 _{quando ´}_e duas vezes diferenci´avel e f′′ ´e cont´ınua.

A ﬁm de fazer uma descri¸c˜ao mais simples da derivada segunda, observemos que o conjunto

L2(Rn,Rm) ={g : Rn× Rn→ Rm; g ´e bilinear},

munido das opera¸cões usuais de soma de fun¸cões e multiplica¸cão de escalar por fun¸cão, é um espa¸co vetorial. Al´em disso, dada T ∈ L(Rn_{, L(}_Rn_,_Rm_{)), definindo-}

se gT ∈ L2(Rn,Rm) por gT(x, y) = T (x)y, veriﬁca-se facilmente que a aplica¸c˜ao

L(Rn_{, L(}_Rn_,_Rm₎₎ _{→ L}

2(Rn,Rm)

T 7→ gT

e um isomorﬁsmo linear.

Identiﬁcando-se os espa¸cos L(Rn_{, L(}_Rn_,_Rm_{)) e L}

2(Rn,Rm) atrav´es desse iso- morﬁsmo, podemos interpretar a derivada segunda de f como a aplica¸c˜ao que a cada x∈ U associa uma forma bilinear g = f′′(x)∈ L2(Rn,Rm).

Exemplo 66. Considere a aplica¸c˜ao

f : R2 _→ _R2

(x, y) 7→ (x3_{+ y}3_{, x}3_{− y}3_). Temos que f ´e diferenci´avel e, para todo (x, y)∈ R2_,

Jf(x, y) = ( 3x2 _3y2 3x2 _−3y2 ) .

(iii)_{A diferenciabilidade de uma fun¸}_c˜_{ao complexa de vari´}_{avel complexa z}_{∈ C ≃ R}2 _deﬁne-se

Identiﬁcando-se M(2) com R4, podemos escrever

f′(x, y) = 3(x2, y2, x2,−y2), (x, y)∈ R2,

donde f′ é diferenciável, pois suas coordenadas são polinômios. Além disso,

(36) Jf′(x, y) = 6     x 0 0 y x 0 0 −y     . Logo, f′′(x, y)(h1, h2) = 6(h1x, h2y, h1x,−h2y)∼ 6 ( h1x h2y h1x −h2y ) ,

em que ∼ denota a identifica¸cão de M(2) com R4_{. Como aplica¸c˜}_{ao bilinear,} f′′(x, y) assume a forma f′′(x, y) ((h1, h2), (k1, k2)) = 6 ( h1x h2y h1x −h2y ) ( k1 k2 ) = 6 ( h1k1x + h2k2y h1k1x− h2k2y ) , isto é, f′′(x, y) ((h1, h2), (k1, k2)) = 6 (h1k1x + h2k2y, h1k1x− h2k2y) .

Note que as entradas da matriz (36) são polinˆomios. Sendo assim, f′′ é também diferenci´avel. Em particular, f é de classe C2.

Convém observar que, assim como no exemplo acima, se as coordenadas de uma aplica¸c˜ao f s˜ao polinômios, as de sua derivada também o são, donde se conclui que toda aplica¸cão cujas coordenadas são polinomiais ´e de classe C2.

Exemplo 67 (A DERIVADA SEGUNDA DE UMA APLICAC¸ ˜AO LINEAR). Considere- mos uma aplica¸c˜ao linear T :Rn_{→ R}m_{. Conforme constatamos na Se¸}_c˜_{ao 2, para}

todo x∈ Rn, T′(x) = T. Desta forma, T′ ´e constante e, portanto, T′′= 0. Exemplo 68 (A DERIVADA SEGUNDA DE UMA APLICAC¸ ˜AO BILINEAR). Conside- remos agora uma aplica¸c˜ao bilinear f : Rn_{× R}m _{→ R}p_. _{Vimos, no Exemplo}

58, que f ´e diferenci´avel e

f′(x, y)(h, k) = f (x, k) + f (h, y) ∀(h, k) ∈ Rn× Rm.

Da´ı, vˆe-se que f′ ´e linear com respeito `a (x, y), isto ´e, dados (x1, y1), (x2, y2) em Rn_{× R}m _{e λ}_{∈ R, tem-se}

f′[(x1, y1) + λ(x2, y2)] = f′(x1, y1) + λf′(x2, y2).

Logo, f′:Rn_{× R}m_{→ L(R}n_{× R}m_,_Rp_{) ´}_{e diferenci´}_{avel e f}′′_{(x, y)(h, k) = f}′_{(h, k),}

donde f′′ ´e constante. Em particular, f ´e de classe C2_{. Como aplica¸c˜}_{ao bilinear,} f′′(x, y) assume, ent˜ao, a forma

f′′(x, y)[(h1, k1), (h2, k2)] = f′(h1, k1)(h2, k2) = f (h1, k2) + f (h2, k1). Dada uma aplica¸c˜ao f : U ⊂ Rn → Rm, deﬁnida num aberto U de Rn, suponhamos que, para um dado k ∈ Rn, existam todas as derivadas direcionais

∂f

∂k(x). Neste caso, podemos deﬁnir a aplica¸c˜ao ∂f

∂k : U → R m

4. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 125

A derivada direcional de ∂f_∂k num ponto x∈ U e numa dire¸c˜ao h ∈ Rn, quando existe, ´e dita a derivada direcional de segunda ordem de f nas dire¸c˜oes h e k, a qual se denota por _∂h∂k∂2f (x), isto ´e

∂2f ∂h∂k(x) = ∂ ( ∂f ∂k ) ∂h (x).

Em particular, quando pertinente, isto ´e, quando existem as derivadas direcionais envolvidas, escreve-se ∂2f ∂xi∂xj (x) = ∂ ( ∂f ∂xj ) ∂xi (x), i, j = 1, . . . , n.

Vejamos agora que se f : U ⊂ Rn _{→ R}m _´_{e diferenci´}_{avel no aberto U e}

duas vezes diferenci´avel em x∈ U, ent˜ao existem todas as derivadas direcionais de segunda ordem de f em x e

(37) ∂

2_f

∂h∂k(x) = f

′′_{(x)(h, k)} _{∀h, k ∈ R}n_.

Para vermos isto, consideremos o caso mais geral de uma aplica¸c˜ao g : U → Rm_,

dada por g(x) = Φ(x)k, em que Φ : U ⊂ Rn _{→ L(R}n_,_Rm_{) ´}_{e diferenci´}_{avel no ponto}

x∈ U e k ∈ Rn_{. Veriﬁquemos que g ´}_{e diferenci´}_{avel em x e}

(38) g′(x)h = (Φ′(x)h)k.

De fato, sendo Φ diferenci´avel em x, a aplica¸c˜ao R = R(h), dada por R(h) = Φ(x + h)− Φ(x) − Φ′(x)h, satisfaz lim h→0 R(h) ∥h∥ = 0. Logo, escrevendo-se r(h) = g(x + h)− g(x) − (Φ′(x)h)k, tem-se r(h) = (Φ(x + h)− Φ(x) − (Φ′(x)h))k = R(h)k. Da´ı, ∥r(h)∥ ∥h∥ = ∥R(h)k∥ ∥h∥ ≤ ∥R(h)∥ ∥h∥ ∥k∥ , o que nos d´a lim

h→0

r(h)

∥h∥ = 0, provando que g ´e diferenci´avel em x e satisfaz (38). Fazendo-se, ent˜ao, Φ = f′ e g(x) = Φ(x)k = f′(x)k = ∂f_∂k(x), tem-se

f′′(x)(h, k) = (Φ′(x)h)k = g′(x)h = ∂g ∂h(x) = ∂ ( ∂f ∂k ) ∂h (x) = ∂2_f ∂h∂k(x). Dada uma fun¸c˜ao f : U ⊂ Rn _{→ R, duas vezes diferenci´avel em x ∈ U,}

chamamos a matriz de f′′(x) com respeito `as bases canˆonicas de Rn _e _{R, isto ´e, a}

matriz A = (aij), aij = f′′(x)(ei, ej), de hessiana de f em x, a qual denotamos

por hess f (x). Segue-se, ent˜ao, da igualdade (37), que hess f (x) = ( ∂2f ∂xi∂xj (x) ) , i, j = 1, . . . , n.

Note que, se T ∈ L(Rn) é o operador linear cuja matriz com respeito à base canônica de Rn ´e hess f (x), ent˜ao

f′′(x)(h, k) =⟨T h, k⟩ ∀h, k ∈ Rn.

As derivadas de ordem superior a dois s˜ao deﬁnidas de forma indutiva, isto ´

e, deﬁne-se a derivada terceira a partir da derivada segunda, a quarta a partir da terceira e assim por diante.

Mais precisamente, sejam k∈ N, k ≥ 2, e f : U ⊂ Rn→ Rm uma aplica¸c˜ao deﬁnida num aberto U de Rn. Dado q∈ N, escrevamos

Lq(Rn,Rm) ={g : Rn× · · · × Rn→ Rm; g ´e q-linear}.

Supondo-se, ent˜ao, deﬁnida a derivada de ordem k − 1 da aplica¸c˜ao f, f(k−1) _{: U} _{→ L}

k₋₁(Rn,Rm), diz-se que f ´e k vezes diferenci´avel em x ∈ U

se f(k−1) ´e diferenci´avel em x.

Assim, escrevendo-se f(k)_{(x) = (f}(k−1)₎′_{(x) e identiﬁcando-se L}

k(Rn,Rm)

com L(Rn, Lk−1(Rn,Rm)), quando f(k−1) é diferenci´avel em U, fica definida a

aplica¸c˜ao

f(k): U → Lk(Rn,Rm)

x → f(k)_(x),

a qual chamamos k-´esima derivada de f ou derivada de f de ordem k.

Definição 24 (CLASSES DE DIFERENCIABILIDADE). Dado k ∈ N, diz-se que uma aplica¸c˜ao f é de classe Ck _{quando ´}_{e k vezes diferenci´}_{avel e sua derivada de}

ordem k, f(k)_{, ´}_{e cont´ınua. Diz-se que f ´}_{e de classe C}∞ _{quando tem derivadas} de todas as ordens, isto ´e, quando f ´e de classe Ck _{∀k ∈ N.}

Considerando-se os resultados das proposi¸cões 45 e 46 e usando-se indu¸cão, verifica-se facilmente que:

i) Uma aplica¸c˜ao ´e de classe Ck _{se, e somente se, suas coordenadas o s˜}_ao;

ii) somas de aplica¸c˜oes de classe Ck_{, bem como produtos de fun¸}_c˜_{oes de classe}

Ck _{por aplica¸}_c˜_{oes de classe C}k _{e quocientes de fun¸}_c˜_{oes de classe C}k_{, s˜}_ao

de classe Ck_.

Segue-se, então, da propriedade (i), que aplica¸cões cujas coordenadas são fun¸cões polinomiais s˜ao de classe C∞. Com efeito, verificamos anteriormente que tais aplica¸cões são diferenciáveis. Logo, uma vez que qualquer derivada parcial de um polinˆomio p de variáveis x1, . . . , xn, _∂x∂p_i, é ainda um polinômio, conclui-se, por

indu¸c˜ao, que f possui derivadas de todas as ordens (vide Exemplo 66).

Também, considerando-se os exemplos 67 e 68 e usando-se indu¸cão, verifica-se que aplica¸c˜oes n-lineares são de classe C∞, em que suas derivadas de ordem n− 1 são aplica¸c˜oes lineares e, portanto, suas derivadas de ordem n s˜ao constantes e as de ordem maior que n s˜ao nulas.

Exemplo 69 (A INVERS ÃO DE MATRIZES ´E C∞). Verifiquemos que a inversão de matrizes, φ(X) = X−1, X ∈ I(n), considerada no Exemplo 61, é uma aplica¸cão de classe C∞. Com efeito, dada X ∈ I(n), fazendo-se X = (xij) e X−1 = (ykl),

tem-se, pela fórmula dos cofatores (vide Se¸cão 2 – Cap´ıtulo 1), que cada entrada ykl de X−1 é dada por

ykl=

det Xlk

No documento Topologia e Análise no Rn.pdf (páginas 131-135)