Sequˆ encias Convergentes Passemos agora ao nosso conceito mais fun-

4. Sequˆ encias em R n

4.1. Sequˆ encias Convergentes Passemos agora ao nosso conceito mais fun-

damental.

Definição 3 (SEQU ÊNCIA CONVERGENTE). Dado a ∈ Rn, diz-se que uma sequˆencia (xk) em Rn converge para a ou, equivalentemente, que a é limite

4. SEQU ˆENCIAS EM Rn 25

Para todo ϵ > 0, existe k0∈ N, tal que k ≥ k0 ⇒ ∥xk− a∥ < ϵ.

No caso aﬁrmativo, a sequˆencia (xk) ´e dita convergente, caso contr´ario, ela ´e dita

divergente.

Dados a ∈ Rn _{e r > 0, o conjunto dos pontos x} _{∈ R}n _{que cumprem a}

desigualdade ∥x − a∥ < r, denotado por B(a, r), ´e chamado de bola (euclidiana) aberta de centro a e raio r. Desta forma, podemos dizer que uma sequˆencia (xk)

em Rn _{converge para a se, para toda bola aberta B(a, ϵ), a partir de um certo}

k0 ∈ N, todos os seus termos pertencem a B(a, ϵ) (Fig. 3). Em geral, o qu˜ao grande deve ser k0 depende de qu˜ao pequeno ´e o ϵ dado.

x2 • x_k0−1 • x_k0+1 • x1 • • a ϵ x_k0 • Figura 3

Observação 4 (UNICIDADE DO LIMITE). Toda sequência convergente em Rn possui um ´unico limite. De fato, se (xk) fosse uma sequência em Rn com dois

limites distintos, a e b, poder´ıamos tomar ϵ =∥b − a∥/2 > 0. Ent˜ao, a partir de um certo k0∈ N, todos os termos da sequˆencia (xk) estariam em ambas as bolas

abertas B(a, ϵ) e B(b, ϵ), o que ´e absurdo, uma vez que estas s˜ao disjuntas. Quando a∈ Rn _´_{e o limite de uma sequˆ}_{encia (x}

k), escrevemos

xk → a ou a = lim xk ou ainda a = lim k→∞xk.

Proposiç˜ao 4. Toda sequência convergente é limitada.

Demonstraç˜ao. De fato, se (xk) é uma sequência em Rn que converge para

a, temos que existe k0∈ N, tal que k ≥ k0 ⇒ ∥xk− a∥ < 1. Logo,

∥xk∥ = ∥(xk− a) + a∥ ≤ ∥xk− a∥ + ∥a∥ < 1 + ∥a∥ ∀k ≥ k0.

Fazendo-se µ = max{∥x1∥, . . . , ∥xk0−1∥, 1 + ∥a∥}, tem-se ∥xk∥ ≤ µ ∀k ∈ N.

Observac¸˜ao 5. Considerando-se em Rn uma sequˆencia (xk) e um ponto a,

e imediato, a partir da defini¸cão de convergência, que

isto ´e, a ´e limite de (xk) se, e somente se, a distˆancia entre xk e a converge para

zero. Al´em disso, uma vez que, para todo k∈ N, | ∥xk∥ − ∥a∥ | ≤ ∥xk− a∥, tem-se

(11) xk → a (em Rn) ⇒ ∥xk∥ → ∥a∥ (em R).

Deve-se observar tamb´em que, dada uma sequˆencia (xk) em Rn, se µ > 0 ´e

tal que, para todo ϵ > 0, existe k0∈ N satisfazendo k≥ k0 ⇒ ∥xk− a∥ < µϵ,

ent˜ao xk→ a. Com efeito, dado ϵ′ > 0, seja ϵ = ϵ′/µ. Por hip´otese, para este ϵ,

existe k0∈ N, tal que k ≥ k0 ⇒ ∥xk− a∥ < µϵ = ϵ′. Uma vez que ϵ′ foi tomado

arbitrariamente, conclui-se que xk→ a.

Observação 6 (CONVERG ÊNCIA RELATIVA). O conceito de sequência convergente que introduzimos é relativo à norma euclidiana. No entanto, como o fizemos quando discutimos sobre sequências limitadas, pode-se considerá-lo relativamente a outras normas. Neste sentido, é relevante mencionarmos que se ∥ ∥0 é uma norma

em Rn equivalente à norma euclidiana, então uma sequência é convergente com rela¸cão à norma ∥ ∥0 se, e somente se, o é com rela¸cão à norma euclidiana. No

caso aﬁrmativo, os limites de ambas estas sequˆencias coincidem.

Para constatarmos isto, consideremos uma sequˆencia (xk) em Rn que converge

para a∈ Rn _{com rela¸}_c˜_{ao `}_{a norma} _{∥ ∥}

0. Neste caso, dado ϵ > 0, existe k0 ∈ N, tal que k ≥ k0 implica ∥xk− a∥0< ϵ. Al´em disso, pela equivalˆencia das normas

dadas, existe µ > 0 satisfazendo ∥x∥ ≤ µ∥x∥0∀x ∈ Rn. Logo, para todo k≥ k0, ∥xk− a∥ ≤ µ∥xk− a∥0 < µϵ,

isto ´e, (xk) ´e convergente (com mesmo limite) com respeito `a norma euclidiana. A

rec´ıproca segue-se diretamente da simetria da equivalˆencia de normas.

Proposição 5 (CONVERG ÊNCIA DAS COORDENADAS). Uma sequência (x_k)_k_∈N em Rn_{, x}

k = (xk1, xk2, . . . , xkn), converge para a = (a1, . . . , an) ∈ Rn se, e

somente se, para cada i = 1, 2, . . . , n, a sequˆencia-coordenada (xki)k_∈N converge

para ai.

Demonstrac¸˜ao. Suponhamos, inicialmente, que xk → a. Ent˜ao, dado ϵ > 0,

existe k0∈ N, tal que k ≥ k0 ⇒ ∥xk− a∥ < ϵ. Por´em, para todo i ∈ {1, . . . , n}

e todo k ∈ N, tem-se |xki − ai| ≤ ∥xk − a∥. Assim, para todo k ≥ k0, vale |xki− ai| < ϵ, isto ´e, xki→ ai qualquer que seja i∈ {1, . . . , n}.

Reciprocamente, suponhamos que xki → ai para todo i∈ {1, . . . , n}. Ent˜ao,

dado ϵ > 0, para cada i ∈ {1, . . . , n}, existe ki ∈ N, tal que k ≥ ki ⇒

|xki− ai| < ϵ. Tomando-se, ent˜ao, k0 = max{k1, . . . , kn}, tem-se, para todo

k ≥ k0, ∥xk − a∥max = max{ |xk1− a1|, . . . , |xkn− an| } < ϵ, donde xk → a

(vide Observa¸c˜ao 6).

Observaç˜ao 7. Dado p ∈ N, o conceito de sequˆencia-coordenada, bem como o resultado da Proposi¸cão 5, generalizam-se facilmente para sequências definidas em Rp _{quando se decomp˜}_{oe este espa¸co como} _Rp ₌_Rj1×Rj2×· · ·×Rjn_{, em que, para}

cada i∈ {1, . . . , n}, ji∈ N e j1+· · ·+jn= p. Mais especiﬁcamente, se (xk) ´e uma

sequˆencia em Rp, cada um dos seus termos se escreve como xk = (x1k, . . . , xnk), em

que xik ∈ Rji∀i ∈ {1, . . . , n}. Assim, para cada tal i, (xik)k∈N ´e uma sequˆencia

em Rji_{. Dado, ent˜}_{ao, a = (a}

1, . . . , an)∈ Rp, tem-se que xk → a se, e somente se,

4. SEQU ÊNCIAS EM Rn 27 Vejamos, na proposi¸cão seguinte, o comportamento das sequências convergentes de Rn com respeito às suas opera¸cões.

Proposição 6 (PROPRIEDADES OPERAT ÓRIAS). Sejam (xk), (yk) sequências

em Rn e (λk) uma sequˆencia em R, tais que xk → a, yk → b e λk→ λ. Ent˜ao,

(xk+ yk)→ a + b e (λkxk)→ λa.

Demonstrac¸˜ao. Dado ϵ > 0, existem k1, k2, k3∈ N, tais que

k≥ k1 ⇒ ∥xk− a∥ < ϵ, k ≥ k2 ⇒ ∥yk− b∥ < ϵ e k ≥ k3 ⇒ ∥λk− λ∥ < ϵ.

Ent˜ao, para todo k≥ k0= max{k1, k2, k3}, tem-se

∥(xk+ yk)− (a + b)∥ ≤ ∥xk− a∥ + ∥yk− b∥ < 2ϵ,

ou seja, (xk+ yk)→ a + b.

Temos tamb´em que a sequˆencia (xk), por ser convergente, ´e limitada. Assim,

existe µ > 0, tal que ∥xk∥ < µ ∀k ∈ N. Desta forma, para todo k ≥ k0,

∥λkxk−λa∥ = ∥(λk−λ)xk+ λ(xk−a)∥ ≤ |λk−λ| ∥xk∥ + |λ| ∥xk−a∥ < (µ+|λ|)ϵ,

donde se infere que (λkxk)→ λa.

Consideremos, agora, subsequˆencias de sequˆencias em Rn_{. Como sabemos,}

toda subsequência é uma sequência e, portanto, cabe-nos falar sobre subsequências convergentes e indagar sobre as rela¸cões de convergência entre uma sequência e as suas subsequências. Neste contexto, é fácil constatar que toda subsequência de uma sequência convergente é convergente e tem o mesmo limite que a sequência. É fácil, também, obter exemplos de sequências divergentes que possuem subsequências convergentes.

Conforme constataremos, em Análise, muitos resultados importantes são obti- dos quando se assegura que uma determinada sequência possui, pelo menos, uma subsequência convergente, não se fazendo necessário, portanto, que a sequência, em si, seja convergente. Por esta razão, o Teorema de Bolzano-Weierstrass, que apresentamos a seguir, constitui um dos resultados mais importantes da Análise no espa¸co Rn_.

Teorema de Bolzano -Weierstrass. Toda sequˆencia limitada em Rn pos- sui uma subsequˆencia convergente.

Demonstrac¸˜ao. Uma vez que, no cap´ıtulo anterior, provamos o teorema no caso em que n = 1, podemos supor que n > 1.

Tomemos, ent˜ao, uma sequˆencia limitada (xk), em Rn, e escrevamos, para

cada k ∈ N, xk = (xk1, . . . , xkn). Pela Proposi¸c˜ao 3, cada sequˆencia-coordenada

(xki)k_∈N é limitada em R. Da´ı, temos que existe um subconjunto infinito N1, de N, tal que a subsequência (xk1)k_∈N1, de (xk1)k∈N, converge para um real a1.

Analogamente, existe N2 ⊂ N1, inﬁnito, tal que a subsequˆencia (xk2)k∈N2,

de (xk2)k∈N1, converge para um real a2. Note que a subsequˆencia (xk1)k∈N2, de

(xk1)k∈N1, tamb´em converge para a1.

Repetindo-se este procedimento, ap´os n passos, obteremos um subconjunto inﬁnito Nn, de N, tal que, para cada i = 1, 2, . . . , n, a subsequˆencia (xki)k_∈Nn,

de (xki)k∈N, converge para um real ai. Logo, pela Proposi¸c˜ao 5, a subsequˆencia

(xk)k∈Nn, de (xk)k∈N, converge para a = (a1, a2, . . . , an)∈ R

Observação 8. Segue-se da demonstra¸cão acima e das considera¸cões da Ob- serva¸cão 3 que o Teorema de Bolzano-Weierstrass é válido para qualquer norma de Rn _{que seja equivalente `}_{a norma euclidiana, isto ´}_{e, se} _{∥ ∥}

0 ´e uma tal norma, ent˜ao

toda sequência limitada relativamente à norma ∥ ∥0 possui uma subsequência que

e convergente relativamente `a norma ∥ ∥0.

Aplicaremos agora o Teorema de Bolzano-Weierstrass para estabelecer o resultado seguinte, mencionado no ﬁm da Se¸c˜ao 1.

Proposic¸˜ao 7. Duas normas quaisquer em Rn s˜ao equivalentes.

Demonstrac¸˜ao. Seja ∥ ∥0 uma norma arbitr´aria em Rn. Provaremos que

esta é equivalente à norma da soma ∥ ∥s. O resultado, então, se seguirá por transitividade.

Seja λ = max{∥e1∥0, . . . ,∥en∥0}. Assim, para todo x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

tem-se,

∥x∥0 = ∥x1e1+· · · + xnen∥0 ≤ |x1| ∥e1∥0+· · · + |xn| ∥en∥0 ≤ λ∥x∥s. Resta-nos, pois, mostrar que existe µ > 0, tal que ∥x∥s ≤ µ∥x∥0∀x ∈ Rn.

Suponhamos, por absurdo, que um tal µ n˜ao exista. Ent˜ao, para todo k ∈ N, existe xk ∈ Rn satisfazendo ∥xk∥s> k∥xk∥0. Fazendo-se uk= xk/∥xk∥s, tem-se

∥uk∥s= 1 e ∥uk∥0=

∥xk∥0

∥xk∥s < 1

k·

Em particular, a sequˆencia (uk) ´e limitada relativamente `a norma da soma. Uma

vez que esta é equivalente à norma euclidiana, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass (vide Observa¸cão 8), existe uma subsequˆencia (uki) que converge (relativamente à

norma da soma) para u∈ Rn. Neste caso, devemos ter(viii) ∥u∥s= 1 e, portanto, u̸= 0. Por outro lado, para todo i ∈ N,

∥u∥0 ≤ ∥u − uki∥0+∥uki∥0 < λ∥u − uki∥s+

1 ki· Logo, ∥u∥0 ≤ lim i_→∞ ( λ∥u − uki∥s+ 1 ki ) = 0,

donde ∥u∥0= 0, o que contradiz o fato de u ser n˜ao-nulo.

Observação 9. Segue-se da Proposi¸cão 7, da Observa¸cão 3 e da Observa¸cão 6 que, em Rn, os conceitos de sequência limitada e sequência convergente independem da norma adotada.

4.2. Sequˆencias de Cauchy. Introduziremos agora uma condi¸c˜ao sobre se-

No documento Topologia e Análise no Rn.pdf (páginas 32-36)