Topologia ⇔ ´ Algebra ( ∗)

000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 Figura 15

A intui¸c˜ao geom´etrica nos diz que, em Rn_{, abertos relativos de curvas ou su-}

perf´ıcies s˜ao invariantes por deforma¸c˜oes (Fig. 15). Sendo assim, enquanto espa¸cos topol´ogicos, duas curvas ou superf´ıcies de Rn _{que s˜ao obtidas uma da outra atrav´es}

de uma deforma¸c˜ao s˜ao homeomorfas, como, por exemplo, uma reta e uma par´abola de R2 _{ou uma esfera e um elipsoide de R}3 _{(vide Exerc´ıcio 30). Conforme men-} cionamos `a introdu¸c˜ao deste cap´ıtulo, este fato remete `as origens da Topologia e justifica a sua designa¸c˜ao de geometria da folha de borracha.

7. Topologia ⇔ ´Algebra (∗)

A fim de ilustrar a riqueza e generalidade da Topologia, bem como da ´Algebra, faremos um interessante intercˆambio entre estas teorias apresentando uma demons- tra¸c˜ao topol´ogica de um teorema alg´ebrico e uma demonstra¸c˜ao alg´ebrica de um teorema topol´ogico.

7.1. Topologia e a Infinitude dos N´umeros Primos. Iniciemos, pois, exi-

bindo uma bela demonstra¸c˜ao da infinitude dos n´umeros primos usando argumentos topol´ogicos. Ela ´e devida ao matem´atico israelense Harry Furstenberg (1935– ), que a publicou em 1955 (vide [10]).

Designemos por P ⊂ N o conjunto dos n´umeros primos, isto ´e, aqueles que possuem dois, e somente dois, divisores em N.

Teorema 11. P ´e um conjunto infinito. Demonstrac¸˜ao. Dados a ∈ Z e r ∈ N, defina

B(a, r) ={x ∈ Z; x = a + kr, k ∈ Z} e note que, para quaisquer a∈ Z e r, s ∈ N, B(a, sr) ⊂ B(a, r).

Diremos, ent˜ao, que um conjunto A⊂ Z ´e aberto se, para todo a ∈ A, existe r ∈ N, tal que B(a, r) ⊂ A. Vejamos que, com esta defini¸c˜ao, o conjunto τ, formado pelos abertos de Z, definem neste uma topologia.

Com efeito, ´e imediato que Z e o conjunto vazio (por vacuidade) s˜ao abertos. Segue-se tamb´em diretamente da defini¸c˜ao que a uni˜ao arbitr´aria de conjuntos abertos ´e aberta. Agora, se A1, A2 s˜ao abertos n˜ao-disjuntos e a∈ A1∩ A2, ent˜ao

existem r1, r2 ∈ N, tais que B(a, r1)⊂ A1 e B(a, r2)⊂ A2. Logo, B(a, r1r2)⊂ A1∩ A2, implicando que A1∩ A2 ´e aberto. Por indu¸c˜ao, conclui-se facilmente que a interse¸c˜ao finita de abertos ´e aberta, donde τ ´e uma topologia em Z.

Destaquemos duas propriedades especiais desta topologia. Primeiro, cada con- junto aberto e n˜ao-vazio ´e infinito, pois cont´em algum conjunto B(a, r), que, por sua vez, ´e infinito. Segundo, para quaisquer a∈ Z e r ∈ N, B(a, r) ´e, eviden- temente, aberto. Por´em, ´e tamb´em fechado. Para vermos isto, basta notarmos que

Z − B(a, r) =

r_∪−1 i=1

B(a + i, r).

Assim, o complementar de B(a, r) em Z ´e aberto (pois ´e dado por uma uni˜ao de abertos). Logo, B(a, r) ´e fechado.

Agora, exceto 1 e −1, cada inteiro a admite um divisor primo p, isto ´e, a∈ B(0, p) para algum primo p ∈ P. Desta forma, podemos escrever

Z − {−1, 1} = ∪

p∈P

B(0, p),

donde se infere que P deve ser infinito. Caso contr´ario, o conjunto Z − {−1, 1} seria fechado (por ser uma uni˜ao finita de fechados) e {−1, 1} seria, ent˜ao, aberto. Isto, por´em, contradiria o fato de os abertos de τ serem todos infinitos. 

7.2. O Teorema do Fecho-Complemento de Kuratowski. Dado um es-

pa¸co topol´ogico (X, τ ), designemos por M o conjunto formado por todos os ope- radores (fun¸c˜oes) f : P (X)→ P (X), em que P (X) ´e o conjunto das partes de X, isto ´e, aquele formado por todos os subconjuntos de X.

O curioso resultado que apresentaremos a seguir, estabelecido em 1922 pelo matem´atico polonˆes Kazimierz Kuratowski (1896–1980) (vide [16]), envolve espe- cialmente dois desses operadores, o complemento e o fecho, dados respectivamente por

A7→ X − A e A 7→ A, A ∈ P (X).

Teorema do Fecho-Complemento (Kuratowski). Sejam (X, τ ) um es- pa¸co topol´ogico e A⊂ X um subconjunto arbitr´ario de X. Ent˜ao, aplicando-se a A sucess˜oes aleat´orias de fechos e complementos, ´e poss´ıvel obter no m´aximo 14 subconjuntos de X que sejam distintos entre si. Al´em disso, existem um espa¸co to- pol´ogico X e um subconjunto A deste, em que o limite m´aximo de 14 subconjuntos distintos ´e atingido.

Para uma devida demonstra¸c˜ao do Teorema do Fecho-Complemento e conse- quente clarifica¸c˜ao do misterioso n´umero 14 que aparece em seu enunciado, faz-se natural uma abordagem alg´ebrica. Isto se d´a a partir da observa¸c˜ao de que o par (M,◦), em que ◦ denota a composi¸c˜ao em M, comp˜oe um monoide(vi) cujo elemento neutro ´e o operador identidade de P (X), o qual denotaremos por e.

Mais especificamente, dados f, g∈ M, definindo-se o produto fg = f ◦ g ∈ M, tem-se, para quaisquer f, g, h∈ M,

(vi)_{Um monoide ´e uma estrutura alg´ebrica que consiste de um conjunto n˜ao-vazio e uma}

opera¸c˜ao bin´aria associativa, neste definida, que possui um elemento neutro. Deve-se observar que a estrutura de monoide ´e mais fraca que a de grupo, pois prescinde da propriedade de existˆencia do elemento inverso.

7. TOPOLOGIA⇔ ´ALGEBRA 71 • (fg)h = f(gh) (associatividade);

• fe = ef = f (existˆencia de elemento neutro).

Neste contexto, adotam-se as nota¸c˜oes fk_{, para a composta f ◦ f ◦ · · · ◦ f}

(k vezes), e f0_{= e.}

Denotemos por a e b, respectivamente, os operadores complemento e fecho, isto ´e, dado A⊂ X, tem-se

a(A) = X− A e b(A) = A, e observemos que estes tˆem as seguintes propriedades:

i) a2_{= e;} ii) b2= b; iii) i = aba;

em que i ´e o operador interior : A7→ int A, A ⊂ X.

As propriedades (i) e (ii) s˜ao evidentes. Quanto a (iii), basta observarmos que (vide Proposi¸c˜ao 12-(ii)) i(A) = X− X − A = a(X − A) = a(b(a(A)), donde i = aba.

´

E imediato que o conjunto K⊂ M, de todos os produtos cujos fatores s˜ao a ou b, ´e tamb´em um monoide (dito, de Kuratowski ), pois a2= e∈ K. A demonstra¸c˜ao do Teorema do Fecho-Complemento reduz-se, desta forma, a mostrar que K possui, precisamente, 14 elementos.

Com isto em mente, definimos uma rela¸c˜ao de ordem parcial em K da seguinte forma: Dadas f, g∈ K, dizemos que f ≤ g se, para todo A ⊂ X, f(A) ⊂ g(A). Tem-se, por exemplo, que i≤ e ≤ b, pois, para todo A ⊂ X,

i(A) = int A⊂ A = e(A) ⊂ A = b(A). Dados f, g∈ K, verificam-se, ent˜ao, as seguintes propriedades:

iv) f≤ g e g ≤ f ⇒ f = g ; v) f ≤ g ⇒ bf ≤ bg ;

vi) f≤ g ⇒ ag ≤ af .

Demonstrac¸˜ao do Teorema do Fecho-Complemento. Adotemos a no- ta¸c˜ao introduzida acima e observemos que, pelas propriedades (i) e (ii), todo ele- mento de K se exprime de uma das seguintes formas:

(13) e, a, b, (ab)k, (ba)k, (ab)ka, (ba)kb, em que k∈ N.

Suponhamos, ent˜ao, que valha a igualdade

(14) bab = (ba)3b.

Multiplicando-se ambos os seus membros(vii)_{por a `a esquerda ou `a direita, obt´em-} se, em cada caso, as respectivas igualdades

(ab)2= (ab)4 e (ba)2= (ba)4.

(vii)_{Aqui, estamos usando a seguinte propriedade: f, g∈ M e f = g ⇒ hf = hg e fh =} gh∀h ∈ M.

Da´ı, segue-se que existem 3, e somente 3, elementos distintos de K que se escrevem como (ab)k, quais sejam, ab, (ab)2 e (ab)3. Analogamente, existem apenas trˆes elementos distintos de K que se escrevem como (ba)k e o mesmo ocorre com os produtos da forma (ab)k_{a. Finalmente, devido `a igualdade (14), os produtos da}

forma (ba)k_{b produzem apenas dois elementos distintos de K, bab e (ba)}2_b. Considerando-se, desta forma, a lista (13), vˆe-se que, uma vez verificada a igualdade (14), pode-se concluir que K tem 14 elementos. Especificamente,

K ={e, a, b, ab, (ab)2, (ab)3, ba, (ba)2, (ba)3, aba, (ab)2a, (ab)3a, bab, (ba)2b}. Provemos, ent˜ao, a validez de (14). Para tanto, observemos que, pela proprie- dade (iii), acima, tem-se

(ab)3= (aba)(bab) = i(bab),

donde (ab)3_{≤ bab, j´a que i ≤ e. Agora, partindo-se da desigualdade i ≤ b, obt´em-} se, de (ii) e (v), ib≤ b2= b. Da´ı e de (vi), tem-se ba≤ iba. Desta desigualdade e de (v), obt´em-se, finalmente, bab≤ i(bab) = (ab)3. Portanto, pela propriedade (iv), vale a igualdade (ab)3 = bab, da qual se obt´em (14) por multiplica¸c˜ao `a esquerda por b.

Para concluirmos a demonstra¸c˜ao, tomemos como espa¸co topol´ogico (X, τ ) o conjunto dos n´umeros reais R munido de sua topologia usual e consideremos o conjunto

A = (0, 1)∪ (1, 2) ∪ {3} ∪ (Q ∩ [4, 5]) ⊂ R.

Aplicando-se a A cada um dos 14 operadores do monoide de Kuratowski K, obt´em-se 14 conjuntos distintos entre si, conforme ilustrado na Tabela 1.

OPERADOR f CONJUNTO f (A)

e (0, 1)∪ (1, 2) ∪ {3} ∪ (Q ∩ [4, 5]) a (−∞, 0] ∪ {1} ∪ [2, 3) ∪ (3, 4) ∪ ((R − Q) ∩ [4, 5]) ∪ (5, +∞) b [0, 1]∪ [1, 2] ∪ {3} ∪ [4, 5] ab (−∞, 0) ∪ (2, 3) ∪ (3, 4) ∪ (5, +∞) (ab)2 _{(0, 2)∪ (4, 5)} (ab)3 _{(−∞, 0) ∪ (2, 4) ∪ (5, +∞)} ba (−∞, 0] ∪ {1} ∪ [2, +∞) (ba)2 _{[0, 2]} (ba)3 _{(−∞, 0] ∪ [2, +∞)} aba (0, 1)∪ (1, 2) (ab)2_{a (−∞, 0) ∪ (2, +∞)} (ab)3_{a (0, 2)} bab (−∞, 0] ∪ [2, 4] ∪ [5, +∞) (ba)2_{b [0, 2]∪ [4, 5]} Tabela 1 

8. EXERC´ICIOS 73

8. Exerc´ıcios