37.3 Distribui¸ c˜ oes e Distribui¸ c˜ oes Temperadas
37.3.4 Derivadas de Distribui¸c˜ oes
Uma das raz˜oes pelas quais definimos distribui¸c˜oes sobre espa¸cos de fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis ´e que isso torna poss´ıvel definir a no¸c˜ao dederivada de uma distribui¸c˜ao. Exemplos de interesse de derivadas de distribui¸c˜oes ser˜ao apresentados na Se¸c˜ao 37.3.4.1, p´agina 1933, e na Se¸c˜ao 37.3.4.2, p´agina 1934. Comecemos a discuss˜ao com o caso unidimensional.
Um dos aspectos mais atraentes que resultar˜ao dessa empreitada ser´a a possibilidade de se oferecer um sentido (distribucional) `as derivadas de certas fun¸c˜oes que n˜ao s˜ao diferenci´aveis no sentido tradicional. Outro aspecto atraente ser´a a possibilidade de se estender a no¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais (lineares, ao menos) para distribui¸c˜oes.
•Derivadas de distribui¸c˜oes emR
Sejafum elemento deD(R) (ou deS(R)). Como ´e bem sabido, sua derivada emx∈R´e dada por
y a correspondente a¸c˜ao do grupo de transla¸c˜oes em distribui¸c˜oes (vide acima), ´e natural definir-se a derivada de uma distribui¸c˜aoT∈D′(R) por
T′ := lim
caso esse limite exista. A existˆencia do limite ´e f´acil de ser estabelecida pontualmente. De fato, seffor um elemento de D(R) (ou deS(R)), temos que
1 a
T∗
−a−id T
(f) = 1 a
T∗
−aT
(f)−T(f)
= 1 a
T(Taf)−T(f)
= T Taf−f
a
.
Agora, lim
a→0
(Taf)(x)−f(x)
a = lim
a→0
f(x−a)−f(x)
a =−f′(x), sendof′um elemento deD(R) (ou deS(R)), com a convergˆencia se dando tamb´em na topologia deD(R) (ou deS(R)). Portanto, a continuidade deT implica
T′(f) = lim
a→0T Taf−f
a
= −T(f′). Vemos com isso que a derivada deTest´a bem definida e vale
T′(f) = −T(f′). (37.218)
Assim, distribui¸c˜oes s˜ao sempre diferenci´aveis e, em verdade, infinitamente diferenci´aveis, como n˜ao ´e dif´ıcil de se ver, repetindo-se a argumenta¸c˜ao.
Antes de generalizarmos esses fatos, tratemos de mais uma motiva¸c˜ao para a rela¸c˜ao (37.218).
•Derivadas de certas distribui¸c˜oes regulares emR
Sejag:R→Cuma fun¸c˜ao diferenci´avel e localmente integr´avel, cuja derivada seja tamb´em localmente integr´avel.
Ent˜ao, por (37.168),TgeTg′definem distribui¸c˜oes regulares emD(R). Notemos agora que para todafdeD(R) vale Tg′(f) =
Z∞
−∞
g′(x)f(x)dx = − Z∞
−∞
g(x)f′(x)dx = −Tg(f′) (37.219) (a segunda igualdade segue de integra¸c˜ao por partes pois, pelas hip´oteses, lim
x→±∞g(x)f(x) = 0). Seguindo a ideia de identificar uma distribui¸c˜ao com a “fun¸c˜ao generalizada” que a representa (vide discuss˜ao `a p´agina 1918), podemos interpretarTg′como sendo a derivada da distribui¸c˜aoTge temos, novamente, portanto,T′g(f) =−Tg(f′).
Esses coment´arios motivam a defini¸c˜ao da no¸c˜ao de derivada de uma distribui¸c˜ao geral.
•Definindo derivadas de distribui¸c˜oes emR
Defini¸c˜ao 37.1SeT ∈D′(R)´e uma distribui¸c˜ao qualquer, definimos sua derivadaT′∈D′(R)como sendo a distri-bui¸c˜ao dada por
T′(f) := −T(f′) (37.220)
para todaf∈D(R). Assim, na nota¸c˜ao de emparelhamento, hT′, fi = − hT, f′i.
Note-se que, com isso, (37.219) informa-nos que para toda fun¸c˜ao diferenci´avel e localmente integr´avelg, cuja derivada seja tamb´em localmente integr´avel, vale a seguinte rela¸c˜ao entre distribui¸c˜oes regulares:
(Tg)′ = Tg′.
Na nota¸c˜ao integral para distribui¸c˜oes, set(x)´e a “fun¸c˜ao generalizada” que representaT, temos Z∞
−∞
t′(x)f(x)dx = − Z∞
−∞
t(x)f′(x)dx .
E um exerc´ıcio elementar constatar que´ T′, assim definida, ´e de fato uma distribui¸c˜ao. Fazendo uso do fato de lidarmos com fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis podemos generalizar ainda mais essa defini¸c˜ao
Defini¸c˜ao 37.2SeT∈D′(R)´e uma distribui¸c˜ao qualquer en∈N0, definimos an-´esima derivada deT, denotada por T(n)∈D′(R), como sendo a distribui¸c˜ao dada por
T(n)(f) := (−1)nT f(n)
(37.221) para todaf∈D(R). Assim, na nota¸c˜ao de emparelhamento,
D T(n), fE
= (−1)nD T, f(n)E e na nota¸c˜ao integral, set(x)´e a “fun¸c˜ao generalizada” que representaT,
Z∞
−∞
t(n)(x)f(x)dx = (−1)n Z∞
−∞
t(x)f(n)(x)dx .
Novamente, ´e um exerc´ıcio elementar constatar queT(n), assim definida, ´e de fato uma distribui¸c˜ao. No sentido da defini¸c˜ao acima, distribui¸c˜oes s˜ao infinitamente diferenci´aveis.
No que segue, denotaremos a derivada de uma distribui¸c˜aoT porT′ou tamb´em pordxdT. Analogamente, an-´esima derivadaT(n)tamb´em ser´a por vezes denotada pordxdnnT.
Mais considera¸c˜oes sobre a continuidade de derivadas de distribui¸c˜oes regulares ser˜ao apresentadas logo adiante. ´E importante notar que seTgfor uma distribui¸c˜ao regular, sua derivadaTg′n˜ao ´e necessariamente uma distribui¸c˜ao regular (a fun¸c˜aogpode n˜ao ser diferenci´avel, ou sua derivadas pode n˜ao ser localmente integr´avel). Um exemplo desse tipo ´e discutido na Se¸c˜ao 37.3.4.2, logo adiante: para a fun¸c˜ao de HeavisideH, tem-seTH′=δ0.
•Derivadas de distribui¸c˜oes temperadas emR
Todos os coment´arios e defini¸c˜oes acima particularizam-se para distribui¸c˜oes temperadas: seT∈S′(R) definimos suan-´esima derivada por
D T(n), fE
= (−1)nD T, f(n)E
, ∀f∈S(R)
e, em especial, segfor uma fun¸c˜aonvezes diferenci´avel e de crescimento polinomialmente limitado cujasnprimeiras derivadas s˜ao igualmente de crescimento polinomialmente limitadas, temos para distribui¸c˜oes regulares
(Tg)(n) = Tg(n),
como facilmente se constata via integra¸c˜ao por partes. Mais considera¸c˜oes sobre a continuidade de derivadas de distri-bui¸c˜oes temperadas regulares ser˜ao apresentadas logo adiante.
E importante observar que pode ocorrer de uma fun¸c˜´ aogser de crescimento polinomialmente limitado mas n˜ao suas derivadas. Considere-seg(x) = cos ex4
,x∈R. Essa fun¸c˜ao ´e de crescimento polinomialmente limitado, mas g′(x) =−4x3ex4sen ex4
n˜ao ´e. Nesse caso (Tg)′est´a definida enquanto distribui¸c˜ao temperada, masTg′n˜ao est´a.
Esse ´ultimo exemplo ´e interessante, poisTg′ est´a, por´em, definida como distribui¸c˜ao (n˜ao temperada). Trata-se, portanto, de um elemento deD′(R) que n˜ao pertence aS′(R). EmD′(R) vale at´e a igualdade (Tg)′=Tg′, a qual n˜ao faz sentido emS′(R).
•Derivadas parciais de distribui¸c˜oes emRn
As defini¸c˜oes acima estendem-se naturalmente a distribui¸c˜oes definidas emRn:
Defini¸c˜ao 37.3SeT∈D′(Rn)´e uma distribui¸c˜ao qualquer eα´e um multi-´ındice, definimos a distribui¸c˜aoDαTcomo sendo a distribui¸c˜ao emD(Rn)dada por
DαT
(f) := (−1)|α|T Dαf
(37.222) para todaf∈D(Rn). Assim, na nota¸c˜ao de emparelhamento,
hDαT, fi = (−1)|α|hT, Dαfi e na nota¸c˜ao integral, set(x)´e a “fun¸c˜ao generalizada” que representaT,
Z
Rn
Dαt
(x)f(x)dnx = (−1)|α| Z
Rn
t(x) Dαf (x)dnx .
E um exerc´ıcio elementar provar, usando as defini¸c˜´ oes acima, queDαT´e de fato uma distribui¸c˜ao.
Uma vez entendido que distribui¸c˜oes s˜ao objetos infinitamente diferenci´aveis, podemos tamb´em definir certos tipos de equa¸c˜oes diferenciais para distribui¸c˜oes, o que faremos mais adiante, limitando nossa discuss˜ao a equa¸c˜oes lineares.
37.3.4.1 Alguns Exemplos de Derivadas de Distribui¸c˜oes
•Derivadas de distribui¸c˜oes regulares
Sejahuma fun¸c˜ao localmente integr´avel emRne sejaTha correspondente distribui¸c˜ao regular definida em (37.168).
Seβ´e umn-multi-´ındice,DβTh´e definida por
hDβTh, ϕi ≡ DβTh(ϕ) := (−1)|β| Z
Rn
h(x)Dβϕ
(x)dnx (37.223)
para todoϕ∈D(Rn). Que (37.223) est´a bem definida para todoϕ∈D(Rn) segue do seguinte argumento. Pelo fato de o suporte deϕser compacto podemos restringir a integral de (37.223) a esse suporte. ComoDβϕ´e limitado, segue que
Z
Rn|h(x)| |ϕ(x)|dnx ≤ sup
|Dβϕ(x)|, x∈Rn Z
suppϕ|h(x)|dnx
que ´e finito por hip´otese. Com isso, (37.223) define um funcional linear emD(Rn). Provemos que esse funcional linear ´e cont´ınuo. Para tal sejaϕk∈D(Rn) uma sequˆencia de fun¸c˜oes que converge aϕ∈D(Rn) no sentido deD(Rn). Ent˜ao, existe um compactoK⊂Rntal que supp(ϕ−ϕk)⊂Kpara todokgrande o suficiente e para todo multi-´ındiceβ, tem-se que sup{|Dβϕ(x)−Dβϕk(x)|, x∈Rn} →0 parak→ ∞. Portanto, para todokgrande o suficiente, vale
DβTh(ϕ−ϕk) ≤
Z
Rn|h(x)|
Dβϕ(x)−Dβϕk(x) dnx =
Z
K|h(x)|
Dβϕ(x)−Dβϕk(x) dnx
≤ supn
Dβϕ(x)−Dβϕk(x)
, x∈Rno Z
K|h(x)|dnx . Como a integral do lado direito ´e finita, conclu´ımos que
DβTh(ϕ−ϕk)
→0 parak→ ∞e isso estabelece queDβTh
´e cont´ınua emD(Rn) e, portanto, que ´e um elemento deD′(Rn). Analogamente ao exemplo de (37.166), nem toda distribui¸c˜ao desse tipo ´e temperada.
•Derivadas de distribui¸c˜oes temperadas regulares
Sejaguma fun¸c˜ao (mensur´avel) e de crescimento polinomialmente limitado definida emRn, satisfazendo (37.17) para algumC >0 e algumm∈N0. SejaTga correspondente distribui¸c˜ao temperada regular definida em (37.169). Seβ´e umn-multi-´ındice,DβTg´e definida por
hDβTg, fi ≡ DβTg(f) := (−1)|β| Z
Rn
g(x)Dβf(x)dnx (37.224)
paraf∈S(Rn) define uma distribui¸c˜ao temperada (e, portanto, uma distribui¸c˜ao). Que (37.224) est´a bem definida para todof∈S(Rn) vˆe-se pelo seguinte argumento. Escrevemos
Z
Rn|g(x)| |Dβf(x)|dnx (37.17)≤ C Z
Rn
(1 +kxk)m|Dβf(x)|dnx (37.10)≤ Ckfkq, β
Z
Rn
1
(1 +kxk)q−m dnx . (37.225) Escolhendoqgrande o suficiente (a saber,q≥n+m+ 1), a integral do lado direito de (37.225) ´e finita, provando que o lado direito de (37.224) ´e uma integral absolutamente convergente para todof∈S(Rn).
Assim, (37.224) define um funcional linear emS(Rn). Provemos agora que ´e cont´ınuo emS(Rn). Para tal seja
fk∈S(Rn) uma sequˆencia de fun¸c˜oes que converge af∈S(Rn) no sentido deS(Rn). Teremos
DβTg(f−fk) ≤
Z
Rn|g(x)| |Dβ(f−fk)(x)|dnx (37.17)≤ C Z
Rn
(1 +kxk)m|Dβ(f−fk)(x)|dnx
(37.10)
≤ Ckf−fkkq, β
Z
Rn
1
(1 +kxk)q−m dnx . Novamente escolhendoqgrande o suficiente (a saber,q≥n+m+ 1) a integral do lado direito fica finita e conclu´ımos que existe uma constanteC0, independente dek, tal que
DβTg(f−fk)
≤C0kf−fkkq, β. Por hip´otese,kf−fkkq, β→0 parak→ ∞e isso estabelece queDβTg´e cont´ınua emS(Rn).
•Derivadas da distribui¸c˜ao de Dirac
Pelas defini¸c˜oes acima podemos definir a derivadan-´esima da distribui¸c˜ao de Dirac centrada emx0por δ(n)x0(f) := (−1)nδx0
f(n)
= (−1)nf(n)(x0) para todaf∈S(R).
37.3.4.2 C´alculo da Derivada de Algumas Distribui¸c˜oes de Interesse
Para entender melhor o que as defini¸c˜oes apresentadas acima para a no¸c˜ao de derivada de uma distribui¸c˜ao significam, trataremos aqui de exemplos, dentre os quais, alguns de consider´avel interesse.
Considere-se a distribui¸c˜ao de HeavisideTHdefinida em (37.174). Vamos mostrar que a derivada deTHcoincide com a distribui¸c˜aoδ0. Pela defini¸c˜ao, para todaf∈S(R),
(TH)′(f) = −TH(f′) = − Z∞
−∞
H(x)f′(x)dx = − Z∞
0
f′(x)dx = f(0)−f(∞) = f(0). (37.226) Portanto, para todaf∈S(R) tem-se (TH)′(f) =δ0(f). Isso mostra, fazendo-se uma analogia com (37.219), que a distribui¸c˜ao de Dirac pode ser entendida como a derivada da distribui¸c˜ao associada `a fun¸c˜ao degrau. Assim, apesar de H(x) n˜ao ser uma fun¸c˜ao diferenci´avel (sua derivada n˜ao est´a definida emx= 0), podemos interpretar sua derivada H′(x) como uma “fun¸c˜ao generalizada”, a saber atrav´es da rela¸c˜ao
H′(x) = δ(x).
Ao notar queH′n˜ao existe enquanto fun¸c˜ao mas existe enquanto “fun¸c˜ao generalizada” o estudante pode apreciar melhor a relevˆancia dessa no¸c˜ao.
E. 37.48Exerc´ıcio importante.Sejaha fun¸c˜ao cont´ınua mas n˜ao diferenci´avel (emx= 0) definida por
h(x) := |x|+x
2 =
0, x≤0, x , x >0.
Mostre que(Th)′=TH(comHdefinida em (37.173)) e que(Th)′′=δ0. Conclua, em termos de “fun¸c˜oes generalizadas”, que valem h′(x) =H(x) e h′′(x) = δ(x).
O estudante deve atentar para o fato que a rela¸c˜aoh′(x) =H(x)n˜ao deve ser entendida como uma igualdade entre fun¸c˜oes, mas entre “fun¸c˜oes generalizadas”, poish′n˜ao existe enquanto fun¸c˜ao (hn˜ao ´e diferenci´avel em0), ainda queHo seja. 6 Esse exerc´ıcio mostra que a distribui¸c˜ao de Dirac ´e a derivada (distribucional) segunda de uma fun¸c˜ao cont´ınua e polinomialmente limitada, a saber, da fun¸c˜aoh. Um teorema mais profundo da Teoria das Distribui¸c˜oes afirma que toda distribui¸c˜ao emS(R) ´e a derivada de ordem suficientemente grande de uma fun¸c˜ao cont´ınua e polinomialmente
limitada. Vide Teorema 37.5, p´agina 1936 e vide,e.g., [315] e [316]. Essa afirma¸c˜ao n˜ao ´e v´alida para as distribui¸c˜oes emD(R) (ache um contraexemplo!).
•As derivadas das distribui¸c˜oesln|x|,(lnx)+e(ln|x|)−
Como j´a observamos, ln|x|´e uma fun¸c˜ao localmente integr´avel e, portanto, define uma distribui¸c˜ao comhln|x|, ϕi:=
Z∞
−∞
ln|x|ϕ(x)dx, o mesmo se dando com as fun¸c˜oes (lnx)+e (ln|x|)−definidas em (37.167). No que segue, vamos calcular as derivadas dessas distribui¸c˜oes e estabelecer que
d
dxln|x| = VP 1
x
, d
dx(lnx)+ = PF H(x)
x
e d
dx(ln|x|)− = PF H(−x)
x
. (37.227) As duas ´ultimas rela¸c˜oes foram estabelecidas em (37.201) e (37.202), respectivamente, de modo que falta-nos apenas demonstrar a primeira. Observemos para tal que
d dxln|x|, ϕ
= − hln|x|, ϕ′i = −rlim
→0+
Z−r
−∞ln|x|ϕ′(x)dx+ Z∞
r ln|x|ϕ′(x)dx
= lim
r→0+
ln(r)ϕ(r)−ln(r)ϕ(−r) + Z−r
−∞
ϕ(x) x dx+
Z∞
r
ϕ(x) x dx
. Agora, ln(r)ϕ(r) = ln(r)ϕ(0) +ϕ(r)−rϕ(0)rln(r) e, portanto
ln(r)ϕ(r)−ln(r)ϕ(−r) =
ϕ(r)−ϕ(0)
r −ϕ(−r)−ϕ(0) r
rln(r).
Quandor→0, a express˜aoϕ(r)−rϕ(0)converge aϕ′(0) eϕ(−r)r−ϕ(0)converge a−ϕ′(0). No entanto, lim
r→0rlnr= 0 e, portanto, limr
→0 ln(r)ϕ(r)−ln(r)ϕ(−r)
= 0 e disso conclu´ımos que d
dxln|x|, ϕ
= lim
r→0
Z−r
−∞
ϕ(x) x dx+
Z∞ r
ϕ(x) x dx
= VP Z∞
−∞
ϕ(x) x dx , demonstrando a primeira identidade em (37.227).
•As derivadas das distribui¸c˜oesVPx0ePFx0, m
Podemos ainda coletar alguns dos resultados anteriores e interpret´a-los em termos de derivadas de distribui¸c˜oes. Em (37.199), por exemplo, estabelecemos que param∈N,m >1,
PFx0, m−1′ = −(m−1)PFx0, m
para todosm∈Nex0∈R, ou seja, d dxPF
1 (x−x0)m
= −mPF 1
(x−x0)m+1
, m∈N, x0∈R. A rela¸c˜ao (37.200) pode ser lida como
VPx0
(m−1)
= (−1)m−1(m−1)!PFx0, m (37.228)
para todosm∈Nex0∈R, ou seja, estabelecemos que dm
dxmVP 1
x−x0
= (−1)mm!PF 1
(x−x0)m+1
, m∈N0, x0∈R. Junto com a primeira rela¸c˜ao em (37.227), isso estabeleceu tamb´em que
PF 1
xm+1
= (−1)m m!
dm+1 dxm+1
ln|x|
, m∈N0.