Exerc´ıcios Adicionais - 1875 37.2 Transformadas de Fourier

E. 37.60Exerc´ıcio dirigido.[A transformada de Fourier de Gaussianas via integra¸c˜ao complexa].Desejamos demons-trar a igualdade (37.75) Mostre por completamento de quadrados que vale

−αx²−i(y+iγ)x=−α Tomando-sez≡x+i^(y+iγ)_2α , mostre que podemos escrever

Figura 37.3: À esquerda, o caminho de integra¸cãoC. À direita, o caminho de integra¸cão fechadoRA.

O passo seguinte ´e provar que Z

e^−αz²dz= Z∞

−∞

e^−αx²dx . (37.290)

Para tal, tome-seA >0e considere-se a integral

HA :=

e^−αz²dz

ondeRAé o retângulo emCindicado na Figura 37.3, página 1962. Comoe^−αz²é uma fun¸cão inteira (i.e., anal´ıtica em toda parte) na variávelz, a integral HAé nula para todoA >0, pelo Teorema de Cauchy. No entanto, HAé a soma das integrais sobre os quatro segmentos de reta orientados que compõemRA. Constate que a integral sobre o segmento de reta horizontal superior é SA:=−RA

−Ae^−α(x+iw⁰⁾²dx. Constate que a integral sobre o segmento de reta horizontal inferior ´e IA:=RA

−Ae^−αx²dx. Constate que as integrais sobre os segmentos verticais do lado e esquerdo e direito s˜ao

EA:= −i

respectivamente. Constate que

|α|eîθ/2. Constate que vale Z∞ ondeLé a semirreta emCindicada na Figura 37.4, página 1964.

Para calcularR

Le^−|α|z²dztomamos novamenteA >0e consideramos a integral KA :=

e^−|α|z²dz .

Comoe^−|α|z²é uma fun¸cão inteira deztemos KA= 0, pelo Teorema de Cauchy. A integral que define KAé a soma das integrais nas três partes que compõemLA: dois segmentos de reta e um arco de c´ırculo. Vide Figura 37.4, página 1964. Constate que essas integrais são dadas por

Figura 37.4: Esquerda: o caminho de integra¸cãoL, uma semirreta que parte da origem e estende-se ao infinito formando um ângulo deθ/2 com a horizontal. Direita: caminho de integra¸cãoLAe as três partes que o compõem: o segmento de reta 1A(que parte da origem, tem comprimentoAe forma um ângulo deθ/2 com a horizontal), segmento de reta 2A

(idˆentico ao intervalo [0, A] do eixo real) e o arco de c´ırculo 3A(de raioAe aberturaθ/2, centrado na origem).

o que implica (37.291). Reunindo (37.291), (37.290) e (37.289), estabele¸ca que

√1

que é a rela¸cão (37.288) ou (37.75), como desejado. Isto também completa uma demonstra¸cão alternativa do Corolário 37.1, página

1890. 6

E. 37.61Exerc´ıcio dirigido. [A transformada de Fourier de Gaussianas usando séries de Taylor]. Sejamα >0e γ∈C, constantes, seja a fun¸cãoh(x) :=e^−αx²^+γx∈S(R)e sejaˆh:=F[h]sua transformada de Fourier. Usando a expansão de Justifique a troca da série pela integral, acima. Note agora que os termos comn´ımpar anulam-se, poishé uma fun¸cão par. Temos, portanto,h(p) =ˆ √¹ ondeΓé aFun¸cão Gama de Euler(vide Cap´ıtulo 7, página 341). Usando, (7.19), página 348, obtenha disso

ˆh(p) = 1

que ´e o resultado obtido em (37.72). 6

E. 37.62Exerc´ıcio dirigido. [A transformada de Fourier da fun¸cão e^−γx⁴]. Sejaγ >0, constante, seja a fun¸cão Justifique a troca da série pela integral, acima. Note agora que os termos comn´ımpar anulam-se, poishé uma fun¸cão par. Temos, portanto,ˆh(p) =√¹ ondeΓé aFun¸cão Gama de Euler(vide Cap´ıtulo 7, página 341). Portanto,

ˆh(p) = 1

Mostre, usando essa expansão, queˆh(p)é uma fun¸cão inteira na variávelp. Essa expressão permite vislumbrar a estrutura anal´ıtica de ˆhcomo fun¸cão de1/γ∈C: a mesma possui um ponto de ramifica¸cão de ordem1/4em1/γ= 0.

No Exerc´ıcioE. 37.63 apresentamos uma outra estrat´egia para determinarh.ˆ 6

E. 37.63Exerc´ıcio dirigido. [A transformada de Fourier da fun¸cão e^−γx⁴]. Sejaγ >0, constante, seja a fun¸cão h(x) :=e^−γx⁴ ∈S(R)e sejahˆ:= F[h]sua transformada de Fourier. A fun¸cãohsatisfazh^′(x) = −4γx³h(x), ou seja, vale P h= 4iγQ³h. Aplicando-se a transformada de Fourier a essa expressão e usando-se (37.44), obtém-seQˆh=−4iγP³ˆh, ou seja,ˆh(p) satisfaz a equa¸cão diferencialˆh^′′′(p)−4γ¹ph(p) = 0.ˆ

As solu¸cões da equa¸cão diferencialy^′′′(p)−αpy(p) = 0comα∈C, constante, podem ser obtidas pelo método de expansão em série de potências, pois trata-se de uma equa¸cão diferencial ordinária linear regular de ordem três (vide Se¸cão 14.6, página 691 e Se¸cão 15.1, página 748). Procurando-se solu¸cões na formay(p) =

X∞

n=0

cnpⁿ, mostre que os coeficientescnsatisfazem as rela¸c˜oes de recorrˆencia

c3 = 0, cn+4 = α

(n+ 4)(n+ 4)(n+ 2)cn, n∈N₀. (37.293) Comoc3= 0, tem-sec4k+3= 0para todok∈N₀. No caso espec´ıfico deˆhtemosˆh^′(0) =^√⁻¹_2πR∞

−∞yh(y)dy= 0, poishé uma fun¸cão par. Portanto, interessa-nos impor quec1= 0, implicandoc4k+1= 0para todok∈N₀e, com isso, poderão ser não nulos apenas os coeficientesc4kec4k+2,k∈N₀, ou seja, os coeficientesc0, c4, c8, c12,etc., todos proporcionais ac0, e os coeficientesc2, c6, c10, c14, etc., todos proporcionais ac2. Usando as fórmulas de recorrência (37.293), mostre que

c4k =α^k(4k−3)!!! Γsendo aFun¸c˜ao Gama de Euler(vide Cap´ıtulo 7, p´agina 341), e onde

h1(p, γ) := 1

Mostre, usando essas expansões, que h1e h2são fun¸cões inteiras da variávelp. Mostre, usando as expansões e propriedades da fun¸cão Gama de Euler, que a expressão acima paraˆhcoincide com a de (37.292).

Essas expressões também permitem vislumbrar a estrutura anal´ıtica deˆhcomo fun¸cão de1/γ∈C: a mesma possui um ponto de

ramifica¸c˜ao de ordem1/4em1/γ= 0. 6

E. 37.64Exerc´ıcio. Usando as mesmas ideias do Exerc´ıcioE. 37.63, obtenha a transformada de Fourier da fun¸c˜aoexp

−γx⁴+ αx³+βx²+δx

, comγ >0eα, β, δ∈C, em termos de expansões em séries de potências. 6

E. 37.65Exerc´ıcio. Usando as mesmas ideias dos Exerc´ıciosE. 37.61 ouE. 37.63, obtenha a transformada de Fourier da fun¸c˜ao

e^−γx⁶,γ >0, em termos de expansões em séries de potências. 6

E. 37.66Exerc´ıcio dirigido.Paraβ >0, constante, seja a fun¸c˜ao

h(x) = 1

Observe que segue facilmente disso que para a fun¸c˜ao

h(x) = 1

cosh pπ

2x vale F[h] =h , (37.296)

ou seja, essa fun¸c˜aohtem a si mesma como transformada de Fourier!

Sugest˜oes. Observe queh(x) = 2_1+e^e^βx2βx. Logo,

1 +e^s ds. Como descreveremos abaixo, o limite lim

a→∞Iapode ser obtido considerando-se a integral complexa

e ondeCaé o caminho de integra¸cão retangular fechado e orientado no sentido anti-horário indicado na Figura 37.5, página 1966.

Figura 37.5: O caminho de integra¸cão retangular fechado orientado no sentido anti-horárioCano plano complexo. Aqui, a >0 é arbitrário.

Constate que a integral no segmento horizontal inferior deCa´e precisamenteIa. Mostre que a integral no segmento horizontal superior deCa´ee^πy/βIa. Mostre que as integrais nos segmentos verticais deCaconvergem a zero no limitea→ ∞. Conclua disso que

Z∞

CaF(z)dzpode ser calculada pelo m´etodo dos res´ıduos. Observemos para tal queF(z)´e da forma F(z) = p(z)

q(z), com p(z) = e⁽¹²⁻ⁱ^2β^y^)z e q(z) = 1 +e^z.

As fun¸cõespeq são fun¸cões inteiras (anal´ıticas em toda parte) eqtem zeros somente nos pontos zn = (2n+ 1)πi,n∈Z, todos zeros simples (justifique essas afirma¸cões!). Há um único desses zeros no interior do retângulo delimitado pela curvaCa, a saber, o pontoz0=πi. Sob essas circunstâncias o Teorema dos Res´ıduos informa-nos queH

CaF(z)dzindepende deae que vale

(prove-a ou procure-a,e.g., em [75] ou [12]). Calculando o lado direito e reunindo os resultados, obtenha (37.295). 6

E. 37.67Exerc´ıcio dirigido.Este exerc´ıcio estende o método empregado no Exerc´ıcioE. 37.66, página 1966. Paraβ >0, constante, seja a fun¸cão

1 +e^s2ds. Como descreveremos abaixo, o limite lim

a→∞Iapode ser obtido considerando-se a integral complexa

e ondeCaé o caminho de integra¸cão retangular fechado e orientado no sentido anti-horário indicado na Figura 37.5, página 1966.

Constate que a integral no segmento horizontal inferior deCa´e precisamenteIa. Mostre que a integral no segmento horizontal superior deCa´e−e^πy/βIa. Mostre que as integrais nos segmentos verticais deCaconvergem a zero no limitea→ ∞. Conclua disso que

CaF(z)dzpode ser calculada pelo m´etodo dos res´ıduos. Observemos para tal queF(z)´e da forma F(z) = p(z)

q(z), com p(z) =e⁽¹⁻ⁱ^2β^y^)z e q(z) = 1 +e^z2

As fun¸cõespeqsão fun¸cões inteiras (anal´ıticas em toda parte) eqtem zeros somente nos pontoszn= (2n+ 1)πi,n∈Z, todos zeros duplos (justifique essas afirma¸cões!). Há um único desses zeros no interior do retângulo delimitado pela curvaCa, a saber, o pontoz0=πi.

Sob essas circunstˆancias o Teorema dos Res´ıduos informa-nos queH

CaF(z)dzindepende deae que valeH

(prove-a ou procure-a,e.g., em [75] ou [12]). Calculando o lado direito e reunindo os resultados, obtenha (37.297). 6

Apˆ endices

37.A Prova de (37.21)

Nesta se¸cão demonstramos a desigualdade (37.21), página 1873, enunciada na proposi¸cão que segue.

Proposi¸c˜ao 37.19Para todoqgrande o suficiente, a saberq > n, vale para todox∈Rⁿ

Prova. Observemos em primeiro lugar que adotandou= ^x₂ ev=^x₂ na identidade do paralelogramo, equa¸c˜ao (3.31), p´agina 236, obtemos

Acima, na passagem da segunda para a terceira linha usamos o fato que (1+c²)≥¹2(1+c)²para todoc∈R, consequˆencia de 2(1 +c²)−(1 +c)²= (c−1)²≥0. Na passagem da terceira para a quarta linha usamos o fato que para todosa, b∈R valea²+b²≥2ab, consequˆencia elementar da desigualdade (a−b)²≥0.

Retornando finalmente a (37.A.2), temos Z Paraqgrande o suficiente (q > n) a integral ´e finita, provando o que desej´avamos.

37.B Prova da Proposi¸c˜ ao 37.16

Esta se¸cão é dedicada à prova da Proposi¸cão 37.16, página 1923. Essa demonstra¸cão requer alguns lemas preparatórios, com os quais iniciaremos a discussão. Algumas das afirma¸cões que seguem podem ser um tanto óbvias para alguns, mas isso é um tanto ilusório. Por essa razão apresentamos demonstra¸cões detalhadas. O leitor perceberá que algumas das demonstra¸cões adiante seguem passos familiares à teoria das fun¸cões “almost”-periódicas (vide,e.g., [216]).

•Alguns fatos preparatórios Lema 37.2Sejama, b∈R. Então, vale entãoTgrande o suficiente para garantir quef⁻¹(t) exista para todot≥T. Fazendo a mudan¸ca de variávels=f(t) podemos escrever

Paraa= 0 um c´alculo simples mostra que F(T) = 1

e o limite paraT→ ∞não existe, exceto no casob= 0. Vê-se também dessa expressão que nesse caso lim sup

t→∞ |F(t)|>0.

O leitor pode perceber que a demonstra¸cão acima pode ser estendida, por exemplo, substituindof(t) =at+blnt por fun¸cõesf que sejam da formaf(t) =at+g(t) comg^′(t)→0 parat→ ∞. Um exemplo são fun¸cões do tipo f(t) =at+blnt+cln(lnt), definidas parat >1. Essas extensões forneceriam maior generalidade aos resultados que se seguirão, mas não trataremos delas aqui.

Lema 37.3Seja {ωk∈R,k = 1, . . . , n}um conjunto de n≥1n´umeros reais distintos e sejamd1, . . . , dn∈C, constantes. Considere-se a fun¸c˜aoH(s) =

s→∞H(s) = 0, o limite do lado esquerdo ´e nulo e, portanto,dl= 0. Comolfoi escolhido arbitrariamente, segue qued1=· · ·=dn= 0.

definida parat >0. Então,lim sup o seu conjunto complementar, que é um subconjunto próprio de{1, . . . , n}. Podemos escrever

G(t) =

e integrando entreTe 2T, obtemos 1

dt´e nulo. Pela hip´otese que lim sup

dt= 0. Assim, conclu´ımos que

Tlim→∞

Pelo Lema 37.3 (tomes= lnT) o limite acima só pode anular-se se todos os coeficientes forem nulos, ou seja, seck= 0 para todok ∈L. Com isso, estabelecemos que a soma que defineGpode ser reduzida ao conjuntoL^c(que é um subconjunto próprio de{1, . . . , n}):

Repetindo o argumento acima um n´umero finito de vezes provaremos que todos os coeficientesck,k= 1, . . . , n, s˜ao nulos.

Lema 37.5Seja{(ak, bk)∈R², k= 1, . . . , n}um conjunto denelementos distintos deR², comn≥1. Ent˜ao, as nfun¸c˜oese^{i a}^k^y+b^k^ln^y

definidas paray >0s˜ao linearmente independentes, ou seja, se existirem constantesck∈C, k= 1, . . . , n, tais que

Prova.A afirma¸c˜ao ´e evidente pelo Lema 37.4.

Lema 37.6Seja{(ak, bk)∈R², k= 1, . . . , n}um conjunto denelementos distintos deR², comn≥1, e sejam

definida parat >0.

SejamAeCduas fun¸cões definidas em(0,∞)tais que:1.A(t)G(t) =C(t)para todot∈(0,∞),2. lim isso implica queGé identicamente nula. ComoA(t)G(t) =C(t), é válida para todot, isso implica queCé também identicamente nula.

Com esses resultados à mão, passemos à demonstra¸cão da Proposi¸cão 37.16.

•Prova da Proposi¸c˜ao 37.16

Comx=e⁻^y, a express˜ao (37.198) escreve-se

Seja a rela¸c˜ao de ordem emR²₊ (vide enunciado da Proposi¸c˜ao 37.16) definida da seguinte forma: dizemos que (a, b)≻(a^′, b^′) sea > a^′ou sea=a^′masb > b^′. Isso faz deR²₊um conjunto totalmente ordenado. Vamos supor que

Re (ak0),Re (bk0)

seja o máximo (não necessariamente único) do conjunto n

´e limitada no conjuntoy >0, pois

e^{i(Im (a}^m^{)y+Im (b}^m^{) lny}

= 1 para todo y >0.

segue pelo Lema 37.6 que X

m∈M

Portanto, pelo Lema 37.5, as fun¸c˜oeseⁱ^{Im (a}^m^{)y+Im (b}^m^{) lny}

,m∈M, s˜ao linearmente independentes e conclu´ımos que c^′m= 0 para todom∈M, o que evidentemente implicacm= 0 para todom∈M.

A soma em (37.B.6) pode assim ser reduzida ao conjunto complementar deM(que denotamos porM^c) e que ´e um subconjunto pr´oprio de{1, . . . , n}. Logo, obtemos, agora comα= 0,

ylim→∞

k∈M^c

c^′ke^{i(Im (a}^k^{)y+Im (b}^k^{) ln}^y)e^{Re (a}^k^{)y+Re (b}^k^{) lny} = 0.

Repetindo a argumenta¸cão acima um número finito de vezes, conclu´ımos que os coeficientesck são nulos para todo k= 1, . . . , n, como quer´ıamos provar.

Parte IX

An´ alise Funcional

1975

No documento 1875 37.2 Transformadas de Fourier (páginas 50-57)