Solu¸c˜ oes Fundamentais - Equa¸ c˜ oes Diferenciais Distribucionais, Solu¸ c˜ oes Fundamentais

37.4 Equa¸ c˜ oes Diferenciais Distribucionais, Solu¸ c˜ oes Fundamentais e Fun¸ c˜ oes de Green

37.4.1 Solu¸c˜ oes Fundamentais

t(x)

(−1)^Nd^N

dx^N(aNf) (x) + (−1)^N⁻¹d^N⁻¹

dx^N⁻¹(aN−1f) (x) +· · ·+ (−1)¹d

dx(a1f) (x) + (a0f) (x)

= Z_∞

−∞

b(x)f(x)dx .

•Equa¸c˜oes diferenciais parciais distribucionais

Equa¸cões diferenciais parciais para distribui¸cões emRⁿpodem ser definidas analogamente. Sea1, . . . , aNsão fun¸cões infinitamente diferenciáveis emRⁿ,B∈D′(Rⁿ) é uma distribui¸cão emRⁿeα¹, . . . , α^Nsão multi-´ındices distintos, a expressão

k=1

an· D^α^kT

= B (37.251)

define uma equa¸cão diferencial distribucional linear para uma distribui¸cãoT. De acordo com as defini¸cões, seTsatisfaz essa equa¸cão, então para todaϕ∈D(Rⁿ),

k=1

(−1)^|^α^k^|T

D^α^k(akϕ)

= B(ϕ) ou seja, T

k=1

(−1)^|^α^k^|D^α^k(akϕ)

= B(ϕ).

Assim, uma equa¸cão diferencial linear distribucional para uma distribui¸cão incógnitaT∈D′(Rⁿ) é da forma LT = B ,

para uma distribui¸c˜aoB∈D′(Rⁿ) dada e para um operador linear dadoLna forma L=

k=1

ak(x)D^α^k = XN

k=1

ak(x) ∂^|^α^k^|

∂x^α1^k¹· · ·∂x^αn^kⁿ

ondea1, . . . , aNfun¸cões infinitamente diferenciáveis emRⁿeα¹, . . . , α^Nsão multi-´ındices distintos. Assim,Tdeve satisfazer para todaϕ∈D(Rⁿ)

T(L^Tϕ) = B(ϕ), ou seja, hT,L^Tϕi = hB, ϕi.

Setebdenotam as “fun¸c˜oes generalizadas” associadas aTeB, respectivamente, (37.251) pode ser escrita na forma convencional

k=1

an(x) D^α^kt

(x) = b(x), ou seja Lt(x) = b(x), e isso significa que para todaϕ∈D(Rⁿ),

Rⁿ

t(x) L^Tϕ

(x)dⁿx = Z

Rⁿ

b(x)ϕ(x)dⁿx , ou seja,

Rⁿ

t(x)

"_N X

k=1

(−1)^|^α^k^|D^α^k(akϕ)(x)

# dⁿx =

Rⁿ

b(x)ϕ(x)dⁿx .

37.4.1 Solu¸c˜ oes Fundamentais

•A distribui¸c˜ao delta diagonal

Uma distribui¸cão de interesse definida emD(R²ⁿ) é adistribui¸cão delta diagonal, oudistribui¸cão delta de Dirac diagonal, definida paraζ∈D(R²ⁿ) por

δ(ζ) :=

Rⁿ

ζ(x, x)dⁿx .

Essa defini¸cão pressupõe uma decomposi¸cão (não canônica) deR²ⁿna formaRⁿ⊕Rⁿ. Provar que realmente se trata de uma distribui¸cão emD(R²ⁿ) é deixado como exerc´ıcio. É claro que

δ(ζ) = Z

R²ⁿ

δ(x−y)ζ(x, y)dⁿx dⁿy .

Essa última expressão mostra que a “fun¸cão generalizada” associada à distribui¸cão delta diagonal éδ(x−y). Percebe-se também que seζé da formaζ=ϕ⊗ψ, comϕ, ψ∈D(Rⁿ), então

δ ϕ⊗ψ

= Tϕ(ψ) = Tψ(ϕ), comTgdefinida em (37.169).

•Solu¸c˜oes fundamentais de operadores diferenciais lineares Seja um operador diferencial linearLda forma

L = XN

k=1

ak(x)Dx^α^k = XN

k=1

ak(x) ∂^|^α^k^|

∂x^α1^k¹· · ·∂x^αn^kⁿ

ondea1, . . . , aNsão fun¸cões infinitamente diferenciáveis emRⁿeα¹, . . . , α^Nsão multi-´ındices distintos.

Sejah∈D(Rⁿ) e considere-se se a equa¸cão diferencial não-homogênea

Lu = h . (37.252)

Equa¸cões desse tipo ocorrem com grande frequência na F´ısica. Essa equa¸cão inspira considerarmos a equa¸cão diferencial distribucional paraU∈D′(Rⁿ) dada por

LU = Th, (37.253)

ondeTh´e a distribui¸c˜ao regular definida em (37.168).

Uma distribui¸cãoF∈D′(R²ⁿ) é dita ser umasolu¸cão fundamental do operador diferencial linearLse

(L⊗1)F = δ , (37.254)

ondeδno lado direito é a distribui¸cão delta diagonal definida acima e1é o operador identidade. Assim, seFé uma solu¸cão fundamental do operador linearL, vale para todaζ∈D(R²ⁿ)

F (L^T⊗1)ζ

= δ(ζ).

Se uma solu¸cão fundamentalF do operador linearLfor fornecida, afirmamos que uma solu¸cãoU ∈D′(Rⁿ) da equa¸cão distribucional (37.253) é dada por

U(ϕ) := F(ϕ⊗h), ϕ∈D(Rⁿ). (37.255)

De fato, para todoϕ∈D(Rⁿ) teremos,

(LU)(ϕ) = U(L^Tϕ) = F (L^Tϕ)⊗h

= (L⊗1)F

(ϕ⊗h) = δ(ϕ⊗h) = Th(ϕ), provando queLU=Th, como desej´avamos.

A existência de solu¸cões fundamentais para operadores diferenciais lineares não é automaticamente garantida e para tal diversos teoremas foram demonstrados, entre os quais encontra-se o importante teorema de Malgrange⁴¹-Ehrenpreis⁴² (demonstrado entre 1954 e 1955), o qual estabelece que operadores diferenciais lineares a coeficientes constantes sempre possuem solu¸cões fundamentais. Vide,e.g., [429].

•A quest˜ao da unicidade de solu¸c˜oes fundamentais

Se para um operador diferencialL, como acima, existir uma solu¸cão fundamentalF, esta pode não ser única. Se gfor localmente integrável e satisfizer (Lg)(x) = 0 para todox∈Rⁿ(ou seja, segfor uma solu¸cão forte da equa¸cão Lu= 0) valeráLTg= 0 pois, para todoϕ∈D(Rⁿ),

(LTg)(ϕ) = Tg(L^Tϕ) = Z

Rⁿ

g(x) (L^Tϕ)(x)dⁿx^(37.15)= Z

Rⁿ

(Lg)(x)ϕ(x)dⁿx = 0. Conclu´ımos disso que seFé uma solu¸cão fundamental deL, então qualquer distribui¸cão deD′(R²ⁿ) da forma

F+Tg⊗V , comV ∈D′(Rⁿ), arbitrária, será também uma solu¸cão fundamental deL. 37.4.1.1 Solu¸cões Fundamentais como Fun¸cões Generalizadas

A no¸cão de solu¸cão fundamental do operador linearLé talvez mais facilmente explicada em termos da “fun¸cão genera-lizada”F(x, y),x, y∈Rⁿ, associada à distribui¸cãoFagindo emD(R²ⁿ). Fé dita ser uma solu¸cão fundamental do operador linearLse

L_xF(x, y) = δ(x−y), (37.256)

isto ´e

k=1

ak(x) ∂^|^α^k^|

∂x^α₁^k¹· · ·∂x^αn^kⁿ

F(x, y) = δ(x−y). Assim, paraζ∈D(R²ⁿ),

R2n

L_xF(x, y)

ζ(x, y)dⁿx dⁿy = Z

ζ(x, x)dⁿx . (37.257)

Em particular, para duas fun¸c˜oes de teste quaisquerϕ, ψ∈D(Rⁿ) tem-se Z

Rⁿ

L_xF(x, y)

ϕ(x)ψ(y)dⁿx dⁿy = Z

Rⁿ

ϕ(x)ψ(x)dⁿx , (37.258) ou seja,

L_xF(x, y)

ψ(y)dⁿy−ψ(x)

ϕ(x)dⁿx = 0.

A validade dessa rela¸c˜ao para todoϕ∈D(Rⁿ) implica a validade no sentido de distribui¸c˜oes da igualdade Z

L_xF(x, y)

ψ(y)dⁿy = ψ(x) (37.259)

para cadaψ∈D(Rⁿ). Tamb´em de (37.258), obtemos Z

Rⁿ

F(x, y) L^T_xϕ(x)

ψ(y)dⁿx dⁿy = Z

Rⁿ

ϕ(y)ψ(y)dⁿy , ou seja,

Rⁿ

F(x, y) L^T_xϕ(x)

dⁿx−ϕ(y)

ψ(y)dⁿy = 0.

41Bernard Malgrange (1928–).

42Leon Ehrenpreis (1930–2010).

A validade dessa rela¸c˜ao para todoψ∈D(Rⁿ) implica a validade no sentido de distribui¸c˜oes das igualdades Z

Rⁿ

F(x, y) L^T_xϕ(x)

dⁿx = ϕ(y) ou, equivalentemente, Z

Rⁿ

L_xF(x, y)

ϕ(x)dⁿx= ϕ(y), (37.260) para cadaϕ∈D(Rⁿ). Comparar cuidadosamente com (37.259). O exemplo do operador Laplaciano emR³apresentado

a p´agina 1954 ilustra bem as diversas rela¸c˜oes acima.

•Solu¸c˜oes fracas e solu¸c˜oes fundamentais

Se uma fun¸cãoF(x, y), definida parax6=y, for solu¸cão da equa¸cão diferencialL_xF(x, y) = 0 na região não diagonal x6=y(comparar com (37.256). Uma tal solu¸cão é denominadasolu¸cão fracada equa¸cão diferencial em questão), então a fun¸cãoFserá uma solu¸cão fundamental deL_xse adicionalmente satisfazer a primeira rela¸cão de (37.260) para toda ϕ∈D(Rⁿ). Um exemplo disso será discutido logo adiante (página 1954), quando tratarmos do operador Laplaciano em R³.

•Mais comentários sobre a utilidade das solu¸cões fundamentais. O método da fun¸cão de Green Já observamos que a no¸cão de solu¸cão fundamental de um operador diferencial linear é útil por oferecer solu¸cões distribucionais à equa¸cão (37.252)–(37.253). É útil discutirmos isso empregando a nota¸cão de fun¸cão generalizada. Se U ∈D′(Rⁿ) satisfaz (37.253), tem-se para todoϕ∈D(Rⁿ) que (LU)(ϕ) = Th(ϕ). Denotando poru(x) a fun¸cão generalizada associada aU, isso fica

Rⁿ

(Lu)(x) −h(x)

ϕ(x)dⁿx = 0, e temos no sentido distribucional a igualdade

(Lu)(x) = h(x), (37.261)

que corresponde a uma versão distribucional de (37.252). Como vimos em (37.255), podemos tomarU(ϕ) =F(ϕ⊗h), igualdade essa que na nota¸cão de fun¸cões generalizadas fica

u(x)ϕ(x)dⁿx = Z

R2n

F(x, y)ϕ(x)h(y)dⁿx dⁿy , ou seja, u(x) = Z

R2n

F(x, y)h(y)dⁿy . Com isso, (37.261) transforma-se em

R²ⁿ

L_xF(x, y)h(y)dⁿy = h(x), em concordˆancia com (37.260) e com (37.256).

Em resumo, seF(x, y) é a fun¸cão generalizada associada a uma solu¸cão fundamentalFdo operador diferencial linear L, então a equa¸cão não-homogêneaLu=hcomh∈D(Rⁿ) tem uma solu¸cão distribucional dada por

u(x) = Z

R2n

F(x, y)h(y)dⁿy . (37.262)

O exposto acima reexpressa as considera¸c˜oes que fizemos entre (37.252) e (37.255).

Em muitos problemas, exige-se que a solu¸cão da equa¸cãoL_xu(x) =h(x) satisfa¸ca certas condi¸cões de contorno (de Dirichlet, de Neumann ou mistas) na fronteira de um dom´ınio aberto Ω⊂Rⁿ. Solu¸cões fundamentais que conduzem a solu¸cões que satisfa¸cam condi¸cões homogêneas desses tipos são denominadasfun¸cões de Green⁴³(para condi¸cões de contorno de Dirichlet, de Neumann ou mistas). O método de resolu¸cão de equa¸cões diferenciais parciais sob tais condi¸cões de contorno através da determina¸cão da fun¸cão de Green adequada é denominadométodo da fun¸cão de Green. O método da fun¸cão de Green é de grande relevância em F´ısica, como discutido na Se¸cão 42.11, página 2344. Também no Cap´ıtulo 19, página 968, encontramos o método da fun¸cão de Green no tratamento do problema de Sturm-Liouville.

Uma questão importante é a de se saber quando o lado direito de (37.262) define uma fun¸cão, ou seja, quandoué uma solu¸cão forte da equa¸cãoLu=hou, equivalentemente, quando a distribui¸cãoUdada em (37.255) é uma distribui¸cão regular. O lado direito de (37.262) definirá uma fun¸cão se, por exemplo,F(x, y) for uma fun¸cão definida quase em toda parte, tal como no exemplo do operador Laplaciano, discutido à página 1954. Isso ocorre em diversos exemplos de interesse, como veremos adiante e em exemplos da Se¸cão 42.11, especialmente quandoLfor um operador el´ıptico. Uma

43George Green (1793–1841).

parte importante da literatura matemática da teoria das equa¸cões diferenciais parciais lineares é dedicada a essa questão.

Mencionamos nesse contexto os importantes Teoremas de Weyl, de Friedrichs e de H¨ormander (vide,e.g., [429]).

•Uma propriedade de solu¸c˜oes fundamentais

Dada uma solu¸c˜ao fundamentalF∈D′(R²ⁿ) deL, podemos obter uma distribui¸c˜aoF0∈D′(Rⁿ) satisfazendo LF0 = δ0

atrav´es do seguinte procedimento. Paraψ∈D(Rⁿ) fixo, defina-seGψ∈D′(Rⁿ) porGψ(ϕ) =F(ϕ⊗ψ). Teremos LGψ(ϕ) = Gψ(L^Tϕ) = F (L^Tϕ)⊗ψ

= (L⊗1)F

(ϕ⊗ψ) = δ(ϕ⊗ψ) = Tψ(ϕ). Assim, tomando-seψn∈D(Rⁿ),n∈N, uma sequˆencia delta de Dirac centrada em 0, podemos definir

F0(ϕ) := lim

n→∞Gψn(ϕ) := lim

n→∞F(ϕ⊗ψn), e teremos

LF0(ϕ) = F0(L^Tϕ) = lim

n→∞Gψn(L^Tϕ) = lim

n→∞(LGψn)(ϕ) = lim

n→∞Tψn(ϕ) = δ0(ϕ), mostrando queLF0=δ0.

Como veremos, no caso em que o operadorLtem coeficientes constantes, a existência de uma distribui¸cãoF0∈D′(Rⁿ) satisfazendoLF0=δ0equivale à existência de uma solu¸cão fundamental satisfazendo (37.254).

37.4.1.2 O Caso de Operadores Lineares a Coeficientes Constantes

De grande importância para o estudo de muitas das equa¸cões diferenciais encontradas na F´ısica é a situa¸cão na qual o operador diferencialLconsiderado (agindo em fun¸cões suficientemente diferenciáveis emRⁿ) tem coeficientes constantes, ou seja, tem-se

L = XN

k=1

akD^α^k = XN

k=1

ak ∂^|^α^k^|

∂x^α1^k¹· · ·∂x^αn^kⁿ

e (37.263)

L^T = XN

k=1

(−1)^|^α^k^|akD^α^k = XN

k=1

(−1)^|^α^k^|ak ∂^|^α^k^|

∂x^α1^k¹· · ·∂x^αn^kⁿ

;, (37.264)

comak,k= 1, . . . , N, sendo constantes. Nesse caso vˆe-se claramente queL=L^T se e somente se|α^k|for par para todok= 1, . . . , N.

SejaF0∈D′(Rⁿ) uma distribui¸c˜ao tal que

LF0 = δ0. (37.265)

Se uma talF0existir podemos definir uma solu¸c˜ao fundamentalFdeLpor F(ϕ⊗ψ) := (2π)^n/2F0 ϕ∗(Rψ)

. (37.266)

paraϕ, ψ∈D(Rⁿ), onde (Rφ)(x) :=φ(−x),φ∈D(Rⁿ). De fato, teremos

(L⊗1)F

(ϕ⊗ψ) = F (L^Tϕ)⊗ψ

= (2π)^n/2F0(L^Tϕ)∗(Rψ)

= (2π)^n/2F0

L^T ϕ∗(Rψ)

= (2π)^n/2(LF0)ϕ∗(Rψ)

= (2π)^n/2δ0 ϕ∗(Rψ)

= Z

Rⁿ

ϕ(−y)ψ(−y)dⁿy

= Z

ϕ(y)ψ(y)dⁿy = δ(ϕ⊗ψ),

estabelecendo que (L⊗1)F=δ, como quer´ıamos. Acima, na terceira igualdade, usamos o fato que, se os coeficientes de Lforem constantes, valer´a

(2π)^n/2 (L^Tϕ)∗Rψ (x) =

Rⁿ

(L^Tϕ)(x−y)ψ(−y)dⁿy = L^T Z

Rⁿ

ϕ(x−y)ψ(−y)dⁿy = (2π)^n/2

L^T ϕ∗(Rψ) (x). E interessante expressarmos a distribui¸c˜´ aoFdefinida em (37.266) usando a nota¸c˜ao de fun¸c˜oes generalizadas. Deno-temosF0(φ) porR

RⁿF0(x)φ(x)dⁿx. Teremos por (37.266)

F(ϕ⊗ψ) := (2π)^n/2F0ϕ∗(Rψ)

= Z

F0(x)ϕ∗(Rψ) (x)dⁿx

= Z

Rⁿ

F0(x)ϕ(x−y)ψ(−y)dⁿx

dⁿy = Z

Rⁿ

F0(x−y)ϕ(x)ψ(y)dⁿxdⁿy , mostrando queF(x, y) =F0(x−y).

As considera¸cões acima mostram-nos também que dada uma distribui¸cãoF0∈D′(Rⁿ) satisfazendo (37.265) e dada h∈D(Rⁿ), a distribui¸cãoUdada por

U(ϕ) = (2π)^n/2F0 ϕ∗(Rh)

, ϕ∈D(Rⁿ), (37.267)

satisfar´a

LU = Th. (37.268)

Em termos de fun¸c˜oes generalizadas (37.267) fica U(ϕ) =

Rⁿ

u(x)ϕ(x)dx , com u(x) :=

Rⁿ

F0(x−y)h(y)dⁿy . (37.269) Assim, uma distribui¸cãoF0∈D′(Rⁿ) satisfazendo (37.265) fornece diretamente uma solu¸cão distribucional à equa¸cão não-homogênea (37.252)–(37.253).

Por essas razões, dado um operadorLcom coeficientes constantes, uma distribui¸cãoF0 ∈D′(Rⁿ) satisfazendo (37.265) é também dita ser umasolu¸cão fundamentalassociada ao operadorL. Na maioria dos livros-texto, a no¸cão de solu¸cão fundamental para operadores diferenciais com coeficientes constantes é apresentada através de (37.265). Nossa defini¸cão (37.254) é mais geral e engloba a no¸cão de solu¸cão fundamental para operadores diferenciais com coeficientes não necessariamente constantes.

•O exemplo do operador Laplaciano emR³

Um exemplo importante se d´a no caso do operador Laplaciano emR³: ∆ =_∂x^∂²2 1+_∂x^∂²2

2+_∂x^∂²2

3, para o qual vale ∆^T= ∆, como facilmente se constata pela defini¸c˜ao (37.16), p´agina 1871 (vide (37.264)).

Parax, y∈R³da formax= (x1, x2, x3) ey= (y1, y2, y3), sejakx−yk:=p

(x1−y1)²+ (x2−y2)²+ (x3−y3)². A fun¸c˜ao

F(x, y) := −1 4π

kx−yk (37.270)

definida parax6=y, satisfaz (verifique!)

∆x

−1 4π

1 kx−yk

= 0, x6=y . Al´em disso, vale

R³

−1 4π

kx−yk ∆xϕ(x)

d³x = ϕ(y)

para todaϕ∈D(Rⁿ), como demonstramos com mais generalidade no Teorema 43.1, p´agina 2387, do Cap´ıtulo 43. Note que a rela¸c˜ao acima permite escrever

∆x

1 kx−yk

= −4πδ(x−y),

uma rela¸c˜ao muito empregada, por exemplo, na Eletrost´atica.

A integral acima é definida no sentido de valor principal. Note o leitor que a singularidade deF(x, y) emx=yé integrável emR³, ou seja, a fun¸cão_k_x₋¹_y_ké localmente integrável emR³. Para mais detalhes a respeito da defini¸cão de integrais envolvendo a fun¸cão_k_x₋¹_y_k, vide Cap´ıtulo 43, página 2384.

Vemos que a “fun¸cão generalizada” definida pela fun¸cãoF(x, y) dada em (37.270) é uma solu¸cão fundamental do operador Laplaciano emR³. Uma outra solu¸cão fundamental pode ser obtida somando à fun¸cãoF(x, y) uma outra fun¸cãoH(x, y), definida para todosx, y∈R³, que seja uma fun¸cão harmônica, ou seja, que satisfa¸ca ∆xH(x, y) = 0 para todosx, y∈R³. Com esse exemplo, percebemos que solu¸cões fundamentais de operadores diferenciais lineares não são necessariamente únicas.

Observemos, antes de prosseguirmos, que nem todo operador linear tem por solu¸cão fundamental uma fun¸cão, como no exemplo do Laplaciano, acima. Em muitos casos a solu¸cão fundamental é uma leg´ıtima distribui¸cão. Tal ocorre especialmente no caso de operadores hiperbólicos, como o operador de onda ∆−_c¹2∂²

∂t², onde a solu¸cão fundamental em 3 + 1 dimensões envolve uma distribui¸cão de Dirac. Vide Se¸cão 42.11.3.1, página 2352.

•Solu¸c˜oes fundamentais e transformadas de Fourier

Como já discutimos, se possuirmos de uma distribui¸cãoF0 ∈ D′(Rⁿ) satisfazendo (37.265) então uma solu¸cão distribucional de (37.268) é fornecida por (37.267). É importante, portanto, dispormos de meios de obter uma tal distribui¸cãoF0 de modo mais expl´ıcito em casos particulares e, no que segue, discutiremos um método empregado amiúde em F´ısica e que faz uso da transformada de Fourier.

SeL´e um operador diferencial com coeficientes constantes, temos para todof∈S(Rⁿ) que L^TF−1[f] = F−1[PLf],

ondePLé um polinômio denominadopolinômio caracter´ıstico associado ao operadorL. SeLeL^Tsão da forma (37.263) e (37.264), respectivamente, então

PL(p) :=

k=1

(−i)^|^α^k^|akp^α^k, p∈Rⁿ.

E. 37.57Exerc´ıcio importante. Verifique! 6

Vamos supor que para cadaφ∈S(Rⁿ) tenhamos tamb´em Logo, conclu´ımos que a distribui¸c˜aoF0dada por

F0(φ) := δ0

seria uma solu¸cão fundamental associada aL. Naturalmente, não é evidente que o lado direito de (37.271) defina uma distribui¸cão, pois o polinômio caracter´ısticoPLpode ter zeros que atrapalhem esse propósito. Como veremos adiante, porém, (37.271) pode ser usada em muitos exemplos de interesse em F´ısica. De modo geral um resultado fundamental devido a Hörmander⁴⁴, do qual não trataremos aqui, garante ser sempre poss´ıvel dar sentido à expressão (37.271).

44Lars Valter H¨ormander (1931–2012).

E ´útil reapresentar (37.271) de uma forma mais conveniente a certos propósitos. Fazendo uso da nota¸cão de empare-lhamento para distribui¸cões, temos

F0(φ) =

Como comentamos, a distribui¸c˜ao do lado direito pode ter de ser definida em termos de valores principais ou de partes finitas, devido ao fato dePLpoder eventualmente ter zeros sobre o eixo real.

Com (37.273) vemos que a fun¸cão generalizadaF0(x) associada à solu¸cão fundamentalF0é formalmente dada por F0(x) = 1

Com isso, a solu¸cão da equa¸cão não-homogêneaLu=hfornecida em (37.269) é também dada formalmente por u(x) = 1

Para certos operadoresLé poss´ıvel dar sentido matemático a (37.274) e (37.275), como veremos nos exemplos tratados adiante, assim como na Se¸cão 37.4.1.3 e, informalmente, na Se¸cão 42.11, página 2344. Nesses casos felizes as expressões (37.274) e (37.275) são muito úteis para a obten¸cão de solu¸cões expl´ıcitas de equa¸cões diferenciais lineares a coeficientes constantes e não-homogêneas, o que inclui muitos exemplos de interesse f´ısico, como os tratados nas se¸cões supracitadas.

Antes de analisarmos exemplos do uso de (37.271) precisamos fazer algumas coloca¸c˜oes sobre aquela solu¸c˜ao.

•Coment´arios sobre a solu¸c˜ao (37.271) ou (37.273)

Em primeiro lugar, cabe notar que (37.271) ou (37.273) não definem univocamente uma solu¸cão fundamental associada aL, pois sempre podemos acrescentar ao lado direito uma distribui¸cãoV que seja solu¸cão da equa¸cão homogênea

L⊗1 V= 0.

Um segundo comentário, também pertinente à unicidade da solu¸cão (37.271), ou (37.273), e que particularmente concerne casos em queLé um operador hiperbólico (como o operador de onda, ou d’Alembertiano), é o seguinte. Como já comentamos, certos cuidados devem ser tomados para que se dê sentido ao lado direito de (37.271) ou de (37.273) enquanto uma distribui¸cão. Em certos casos a expressãoF−1h₁

P_LF[φ]i

tem de ser definida em termos de valores principais (ou partes finitas), o que pode conduzir a certas ambiguidades e à diversas solu¸cões distintas da equa¸cão (37.254). É de se notar aqui que se houver duas solu¸cões distintas,FeGde (37.254) combina¸cões lineares do tipoλF+ (1−λ)G fornecem também solu¸cões mais gerais. Assim, essas ambiguidades, se surgirem (e, de fato, surgem em equa¸cões de onda não-homogêneas, quandoLé hiperbólico, levando às chamadas fun¸cões de Green retardadas e avan¸cadas), podem ser bem vindas.

•Um exemplo ilustrativo

Consideremos a equa¸cão diferencial linear não-homogênea e a coeficientes constantes⁴⁵

45A equa¸cão (37.276), como toda EDO, é hiperbólica, e o operadori_dt^d−ω0é hiperbólico, fatos mencionados já na primeira linha de [191].

Podemos agora prosseguir usando os resultados sobre transformadas de Fourier de distribui¸cões. Por (37.239), temos comHsendo a fun¸cão de Heaviside (37.173). Reconhecemos queF0é a distribui¸cão regular associada à fun¸cão

F0(t) = ∓ie⁻^iω⁰^t H(±t)−1/2

. (37.277)

Devemos aqui fazer notar quev(t) =e⁻îω⁰^té uma solu¸cão da equa¸cão homogênea i_dt^d−ω0

v(t) = 0. Assim, reconhecemos que podemos reduzir (37.277) ao par de solu¸c˜oes

F_±(t) = ∓ie⁻^iω⁰^tH(±t), (37.278)

como solu¸cões fundamentais associadas aL. As correspondentes solu¸cões particulares de (37.276) são u+(t) =

As solu¸cões avan¸cada e retardada satisfazem a mesma equa¸cão não-homogênea i_dt^d −ω0

u_±(t) =h(t). Assim, a diferen¸cau+−u₋deve ser uma solu¸cão da equa¸cão homogênea i_dt^d−ω0

v(t) = 0. De fato, vemos de (37.279)–(37.280) que

2πF−1[h](ω0) ´e uma mera constante multiplicativa, pois independe det).

Vemos explicitamente nesse caso simples, portanto, que a diferen¸ca entre a solu¸cão retardada e a avan¸cada é uma solu¸cão da equa¸cão homogênea.

E interessante comparar o problema que acabamos de tratar com outro similar, o da equa¸c˜´ ao

onde sgn é a fun¸cão sinal. Para cadaω1há, portanto, apenas uma solu¸cão, ao contrário do que vimos acima quantoω_∗ era real (eω1era nula). A solu¸cão aqui é ou retardada (quandoω1<0) ou avan¸cada (quandoω1>0). Ao fazermos formalmente|ω1| → 0 recuperamos as solu¸cões fundamentais (37.278) dependendo do sinal deω1 quando o limite é tomado.

* * *

Os comentários dos exemplos acima sobre solu¸cões retardadas e avan¸cadas são relevantes, pois os mesmos fenômenos são observados em outras equa¸cões hiperbólicas, como a equa¸cão de ondas for¸cadas2u=h, que estudaremos oportuna-mente.

37.4.1.3 Alguns Exemplos Fisicamente Relevantes

Vamos agora ilustrar as ideias acima com alguns exemplos de interesse em F´ısica. Um tratamento mais informal é oferecido na Se¸cão 42.11, página 2344.

•O oscilador harmˆonico for¸cado unidimensional Considere-se a equa¸c˜ao diferencial _dt^d²2+ω0²

u(t) =h(t), comω0>0, constante, eh∈S(R) uma fun¸c˜ao dada. Essa

é a bem-conhecida equa¸cão do harmônico for¸cado unidimensional (ondeω0=p

k/m,k >0 sendo a constante da mola e m >0 a massa da part´ıcula eh(t) =f(t)/m, comfsendo uma forma externa aplicada `a part´ıcula, dependente apenas det). Adotando-seL=_dt^d²2+ω²0temos nesse casoPL(p) =−p²+ω0²=−(p−ω0)(p+ω0),p∈R. ´E conveniente escrever

Podemos agora prosseguir usando os resultados sobre transformadas de Fourier de distribui¸cões. Por (37.239), temos 1 comHsendo a fun¸cão de Heaviside (37.173). O sinal a ser escolhido em (37.282) é independente do de (37.283). Há, portanto, quatro possibilidades de escolha de sinais.

I.Escolha−−.Nesse casoF0é a distribui¸cão regular associada à fun¸cão F0(t) = −i

u(t) = 0, podemos simplificar a solu¸c˜ao acima para F0(t) = −1

ω0

sen (ω0t)H(t). (37.284)

II.Escolha++.Nesse casoF0é a distribui¸cão regular associada à fun¸cão F0(t) = i

u(t) = 0, podemos simplificar a solu¸c˜ao acima para F0(t) = 1

ω0

sen (ω0t)H(−t). (37.285)

III.Escolha−+.Nesse casoF0é a distribui¸cão regular associada à fun¸cão F0(t) = −i

Comoe⁻îω⁰^teeîω⁰^tsão solu¸cões da equa¸cão homogênea _dt^d²2+ω0²

u(t) = 0, podemos simplificar a solu¸c˜ao acima para F0(t) = −i

onde usamos queH(t) +H(−t) = 1 (o que é verdade exceto emt= 0, um conjunto de medida nula). Assim, novamente descartando o último termo, por ser solu¸cão da equa¸cão homogênea, reobtemos a solu¸cão (37.284).

IV.Escolha+−.Nesse casoF0é a distribui¸cão regular associada à fun¸cão F0(t) = i

u(t) = 0, podemos simplificar a solu¸c˜ao acima para F0(t) = i

Há, assim, duas particulares solu¸cões distintas para a equa¸cão não-homogênea dt^d²²+ω0²

u(t) =h(t): Essas s˜ao as solu¸c˜oes retardada e avan¸cada, respectivamente.

E. 37.58Exerc´ıcio. Constate que uret(t)−uav(t) =−1

•O exemplo do Laplaciano emR³. A equa¸c˜ao de Poisson revisitada

Consideremos aequa¸cão de Poisson∆u=hemR³comh∈S(R³). Nesse caso consideramos o operadorL= ∆ Assim, estabelecemos que uma solu¸cão fundamental de ∆ é a distribui¸cãoF0dada por

F0(φ) = δ0

O lado direito da igualdade em (37.286) ´e dado por δ0

A inversão da ordem das integrais é novamente permitida pelo Teorema de Fubini (da´ı ser necessário limitar a integral emppara a regiãokpk< R). Para cadax6= 0 calculamos a integral empadotando um sistema de coordenadas esféricas com eixo “z” na dire¸cão dex, escrevendo

2 (isso se prova facilmente pelo método dos res´ıduos), conclu´ımos que uma solu¸cão fundamental de ∆ emR³é a distribui¸cãoF0dada por

Na nota¸cão de fun¸cões generalizadas, a solu¸cão fundamental de ∆ emR³obtida acima é dada por F0(x) := −1

4π 1

kxk, x∈R³.

Conforme já comentamos, uma solu¸cão fundamental mais geral é obtida adicionando-se a esta uma solu¸cãouda equa¸cão de Laplace ∆u= 0. Do Teorema 43.1, página 2387, aprendemos, porém, que se exigirmos queue seu gradiente decaiam rapidamente a zero no infinito, entãoudeverá ser identicamente nula.

Com isso, a solu¸c˜ao (37.267) de ∆U=Thcomh∈S(R³) ser´a

Essa solu¸cão da equa¸cão de Poisson é também obtida com mais generalidade (ou seja, com menos restri¸cões à fun¸cãoh) no Teorema 43.2, página 2388.

•O exemplo da equa¸cão de difusão não-homogênea Consideremos aequa¸cão de difusão não-homogênea _∂t^∂−D∆

u=hemRⁿ⁺¹comh∈ S(Rⁿ⁺¹). Nesse caso

ey= (y1, . . . , yn)∈Rⁿ, teremos

ip0−Dkpk²dp0pode ser calculado pelo m´etodo dos res´ıduos, fornecendo

Rlim1→∞

ZR1

−R1

e⁻^iy⁰^p⁰

ip0−Dkpk²dp0 = 2πH(y0)e⁻^Dy⁰^k^p^k², comHsendo a fun¸c˜ao de Heaviside (37.173). Verifique! Assim,

F0(φ) = lim

Assim, na nota¸cão de fun¸cões generalizadas, a solu¸cão fundamental do operador_∂t^∂−D∆ é

F0(y0, y) = H(y0) e⁻^kyk E. 37.59Exerc´ıcio. Verifique explicitamente que

∂

E. 37.60Exerc´ıcio dirigido.[A transformada de Fourier de Gaussianas via integra¸c˜ao complexa].Desejamos demons-trar a igualdade (37.75) Mostre por completamento de quadrados que vale

−αx²−i(y+iγ)x=−α Tomando-sez≡x+i^(y+iγ)_2α , mostre que podemos escrever

Figura 37.3: À esquerda, o caminho de integra¸cãoC. À direita, o caminho de integra¸cão fechadoRA.

O passo seguinte ´e provar que Z

e^−αz²dz= Z∞

−∞

e^−αx²dx . (37.290)

Para tal, tome-seA >0e considere-se a integral

HA :=

e^−αz²dz

ondeRAé o retângulo emCindicado na Figura 37.3, página 1962. Comoe^−αz²é uma fun¸cão inteira (i.e., anal´ıtica em toda parte) na variávelz, a integral HAé nula para todoA >0, pelo Teorema de Cauchy. No entanto, HAé a soma das integrais sobre os quatro segmentos de reta orientados que compõemRA. Constate que a integral sobre o segmento de reta horizontal superior é SA:=−RA

−Ae^−α(x+iw⁰⁾²dx. Constate que a integral sobre o segmento de reta horizontal inferior ´e IA:=RA

−Ae^−αx²dx. Constate que as integrais sobre os segmentos verticais do lado e esquerdo e direito s˜ao

EA:= −i

No documento 1875 37.2 Transformadas de Fourier (páginas 44-50)